Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler
Hukum Gravitasi Newton dan Hukum Keppler dalam Model Randall – Sundrum
Azrul Azwar
Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura
Jalan Jendral Ahmad Yani Pontianak 78124
e-mail : azrul_azwar@yahoo.co.id
Abstrak
Telah dilakukan kajian terhadap model Randall – Sundrum yang difokuskan untuk mendapatkan
perumusan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler dalam model tersebut. Dari kajian ini diperoleh
bahwa hukum gravitasi Newton mengalami modifikasi. Modifikasi ini menjadi signifikan pada jarak yang
sangat dekat. Penerapannya pada hukum Keppler memberikan perubahan pada hubungan antara
periode dan jarak planet.
Kata Kunci : Randall-Sundrum, Dimensi Ekstra, Brane, Gravitasi.
1. Pendahuluan
Saat ini telah banyak dikembangkan
model alam semesta dengan dimensi tambahan
(extra dimension) [1-3]. Salah satu model
yang cukup populer adalah model Randall –
Sundrum [2,3]. Model ini telah digunakan
dalam fisika partikel untuk menjelaskan
masalah hirarki massa berdasarkan kehadiran
dimensi ekstra yang melengkung [2,3]. Selain
itu
penerapannya
pada
kosmologi
mengahasilkan model yang konsisten dengan
model kosmologi standar pada level energi
rendah (kondisi alam semesta saat ini) dan
hanya berbeda pada level energy tinggi
(awal alam semesta) [4-6].
Salah satu permasalahan dalam model
dengan dimensi tambahan adalah belum
adanya bukti eksperimental
keberadaan
dimensi tambahan tersebut. Secara teoritis,
kehadiran dimensi tambahan ini dapat
dibuktikan dengan mengamati penyimpangan
pada hukum gravitasi, karena gravitasi
merupakan dinamika dari ruang-waktu itu
sendiri. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang
modifikasi hukum Keppler dalam model
Randall – Sundrum. Adanya modifikasi ini
diharapkan dapat diamati secara ekperimental
melalui observasi periode gerak planet
sehingga menjadi bukti keberadaan dimensi
tambahan.
2.Model Randall – Sundrum
Model Randall – Sundrum merupakan
salah satu model dunia brane dalam ruang –
waktu berdimensi lima. Dalam model ini,
alam semesta dianggap sebagai sebuah
permukaan tiga dimensi (yang disebut
“brane” atau lebih tepat “3-brane”, mengacu
pada tiga dimensi ruang), yang tersimpan
(embedded) dalam ruang-waktu berdimensi
lima (yang disebut “Bulk”), dengan semua
medan materi dan medan gauge selain medan
gravitasi terkurung (hanya memiliki dinamika)
pada brane, sedangkan gravitasi yang
merupakan dinamika dari seluruh ruang-waktu
dan dimediasi oleh graviton dapat bergerak
dalam Bulk [2-5].
Dalam model Randall–Sundrum, ruangwaktu bulk bersifat lengkung, yang dipilih
berbentuk
ruang-waktu
Anti-de
Sitter
berdimensi lima. Ruang-waktu ini merupakan
ruang–waktu bersimetri maksimal dengan
konstanta
kosmologi
bernilai
negatif.
Sedangkan brane memiliki tegangan (tension)
σ , dan dianggap memiliki simetri refleksi
Dengan mensubstitusikan metrik (9) pada
tensor Einstein, dan dengan menggunakan
kondisi Randall-Sundrum gauge (transversetraceless gauge) [2], maka akan diperoleh
persamaan
, serupa dengan model
Horava-Witten [2-5].
Geometri model Randall – Sundrum
dinyatakan oleh metrik [2,3]
1 1 ρσ
2
2 U η ∂ ρ ∂σ −∂Z +V ( Z ) h μν=0
Z 2 ( Z→−Z )
√ −6Λ
(1)
(
, disini Λ adalah konstanta
−10
R=
Λ
3
Persamaan differensial (5) di atas dapat
diselesaikan dengan metode separasi
variabel, karena bagian non-trivial dari
potensial hanya bergantung pada koordinat
dimensi
kelima,
Z,
yaitu
dengan
mensubstitusikan
(2)
a
a
h μν ( x ,Z ) =ψ ( Z ) Φ ( x )
3. Gravitasi Newton dalam Model Randall –
Sundrum
Untuk memperoleh gravitasi Newtonian
dalam model Randall-Sundrum dapat
dilakukan dengan memberikan perturbasi
linear terhadap metrik. Tinjau fluktuasi kecil
pada
g AB
metrik
2
A
ds =( g AB +δg AB ) dx dx
)
U ( Z ) =exp (−2k|Z|)
Sedangkan faktor e ±2 kz disebut sebagai faktor
kelengkungan. Pada titik z = 0 faktor
kelengkungan ini bernilai 1 dan metrik (1) di
atas akan menjadi ruang-waktu Minkowski.
gravitsi
sehingga
(6)
ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh
1 ρσ
1
η ∂ ρ ∂σ Φ ( x ρ )= e−2k|Z| ( ∂2Z +4 kδ ( Z ) −4 k 2 ) ψ ( Z )
Φ
ψ
(7)
,
Persamaan (7) dapat diselesaikan apabila ruas
kiri sama dengan ruas kanan, sama-sama
2
B
−m >0 ,
bernilai konstan, dipilih
sehingga akan diperoleh dua persamaan
diferensial yang saling terkait, yaitu:
(3)
Dalam kajian ini, akan membatasi pada
fluktuasi kecil dalam “dunia” empat dimensi
yang diberikan oleh metrik
sehingga
(5)
1 ∂2 U
2
V ( Z ) =2 U
2 +6 kδ ( Z )−6 k
∂Z
kosmologi. Metrik (1) di atas menyatakan
geometri ruang – waktu berdimensi lima
dengan kelengkungan konstan sebesar
δ g AB
]
)
dengan:
d s 2=e ±2 kz η μν d x μ d x ν −d z 2
dengan k =
[(
h μν ( x,Z )
η ρσ ∂ρ ∂σ Φ ( x ρ ) =−m2 Φ ( x a )
,
(8)
ds 2 =( e−2k|Z| ημν +h μν ) dx μ dx ν−dZ 2
(4)
[ −m2 e
1
− ∂2Z−2kδ ( Z ) +2 k 2 ψ ( Z ) =0
2
]
2k|Z|
(9)
pertukaran mode ke nol yang merupakan
graviton tak bermassa.
m=0
Untuk kasus
persamaan (9) akan menjadi
Dalam kerangka statik dengan simetri
rotasi pada 3-brane seperti alam semesta kita,
persamaan (8) dalam sistem koordinat bola
akan menjadi
1 d 2 dΦ
2
2 dr r dr =m Φ
r
(
)
Dalam sistem koordinat ini,
merupakan fungsi dari r saja.
i
Φ(x )
(10)
)
A=G N m1 m2
Φ0 ( ∞ ) =0→B=0
dan
, sehingga cocok
dengan gravitasi Newtonian antara dua
brane yang terletak di titik
Z =0
G mm
Φ0 ( r ) =− N r 1 2
m2
(15)
yang memiliki solusi berbentuk
ψ ( Z ) =ψ 0 exp (−2k|Z|)
(16)
yang memenuhi kondisi syarat batas pada
melalui integrasi persamaan (15)
pada selang
infinitesimal
(12)
, konstanta integrasi A dapat dipilih
dan
d ψ
=4 k 2 ψ ( Z )
dZ 2
−ε≤Z ≤ε
untuk
(
Untuk sumber titik yang terletak pada
m1
Ketika Z ≠0 , maka persamaan (14) di
atas menjadi
dψ dψ
4 kψ ( 0 ) =lim dZ |ε − dZ |−ε
ε→ 0
yang memiliki solusi umum berbentuk
partikel bermassa
(14)
Z =0
(11)
r=0
2
d ψ
2
2 = [ 4 k −4 kδ ( Z ) ] ψ ( Z )
dZ
hanya
1 d 2 dΦ
r dr =0
r 2 dr
A
Φ0 ( r ) =− r +B
atas,
2
Apabila dipilih m=0 , yaitu untuk
kasus tak bermassa (mode ke-nol), maka
persamaan (10) di atas akan menjadi
persamaan Laplace, yaitu
(
di
ε
)
yang
(17)
∞
∫−∞ dZ|ψ ( Z )|2=1
Kondisi normalisasi
memberikan nilai konstanta
normalisasi
2k , sehingga solusi (16)
0
sebesar
akan menjadi
ψ ( Z ) =√2k exp (−2k|Z|)
pada
(18)
Persamaan (18) akan menuju nol secara cepat
(13)
Persamaan (13) di atas menunjukkan bahwa
model
Randall
–
Sundrum
dapat
menghasilkan hukum gravitasi Newton.
Dalam pandangan model ini, gravitasi
Newton pada brane dibangkitkan oleh
ketika
|Z|
membesar, dan akan memiliki
|Z|=0
nilai maksimum ketika
. Ini berarti
bahwa mode ke-nol yang menghasilkan
gravitasi Newtonian akan terkonstrasi di
dekat brane yang terletak pada
|Z|=0
.
Solusi asimtotis persamaan (9) akan
didomisasi oleh solusi gelombang datar
karena potensial Kazula-Klein turun menuju
|Z|→∞
nol ketika
, sehingga keadaan
Kazula-Klein continuum tanpa gap hadir
untuk semua nilai
2
2
m >0
, sehingga harga
eigen m
bersifat kontinyu dan proper
measure menjadi dm. Dengan menggunakan
spektrum eigen ini, maka dapat dihitung
koreksi terhadap potensial gravitasi Newton
Φ(r)
m
antara dua partikel bermassa
m1
2 pada brane yang terletak di Z=0
dan
yang dibangkitkan oleh pertukaran mode
Kazula-Klein continuum. Untuk itu, tinjau
kembali persamaan (8)
1 d 2 dΦ
2
2 dr r dr =m Φ
r
(
)
(19)
Solusi dari persamaan dari persamaan (19)
adalah
−mr
Ae
Φm ( r ) = r
(20)
Konstanta integrasi A dapat dipilih berbentuk
A=G5 m1 m2
G
5
dengan
adalah
konstanta gravitasi Newton dalam dimensi
lima yang terkait dengan konstanta gravitasi
Newton dalam dimensi empat melalui
persamaan
Adanya
GN
G5 = k
.
kopling
anatara
2
mode
continuum ( m >0 ) dengan brane akan
memberikan koreksi terhadap gravitasi
Newtonian yang diberikan oleh persamaan
∞
−mr
me
ΔΦ ( r ) ≈G5 m1 m2∫ dm k r
0
ΔΦ ( r ) ≈
(21)
GN
1
m1 m2 2
k
kr
( )
Sehingga hukum gravitasi Newton dapat
dituliskan sebagai.
Φ ( r )≈
GN m1 m2
1
1+ 2 2
r
k r
(
)
(22)
Dari hasil ini,dapat disimpulkan bahwa
gravitasi Newton akan mengalami koreksi.
Koreksi ini akan signifikan untuk level energi
2
8
tinggi sekitar 1/k ≈10 GeV . Pada level
energi rendah model Randall-Sundrum secara
konsisten identik dengan gravitasi Newton.
4. Modifikasi Hukum Keppler
Adanya modifikasi pada hukum Newton
yang diberikan oleh persamaan (22) akan
menyebabkan modifikasi pada hukum
Keppler. Untuk mendapatkan hukum Keppler
dari model Randall-Sundrum, tinjau kembali
persamaan energi potensial gravitasi yang
diberikan oleh persamaan (22)
Φ ( r )≈
GN m1 m2
1
1+ 2 2
r
k r
(
)
(22)
Besarnya gaya gravitasi antara dua benda
bermassa m1 dan m2 dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan
F=−∇ Φ ( r ) =
G N m1 m2
2
1+ 4 4
2
r
k r
(
)
(23)
Dari persamaan (23) di atas dapat
diperoleh hukum Keppler III yang
menggambarkan hubungan antara periode
dan jarak planet, yang diberikan oleh
persamaan
4 π2
T 2= GM
(
r3
2
1+ 4 4
k r
)
(24)
Persamaan menunjukkan adanya koreksi
terhadap periode orbit planet. Adanya koreksi
ini memberikan peluang untuk memverifikasi
kehadiran dimensi ke lima, yaitu dengan
mengukur perbedaan periode planet yang
diprediksi oleh hukum Newton dengan yang
diprediksi oleh persamaan (24).
5. Kesimpulan
Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa
model
Randall-Sundrum
menghasilkan
hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler
yang termodifikasi. Modifikasi ini signifikan
pada level energi yang sangat tinggi.
Daftar Pustaka
[1] N. Arkani-Hamed, S. Dimopulos dan G.
Dvali. Phys. Lett. B 429, 263 (1998)
[2] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev.
Lett. 83, 3370 (1999)
[3] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev.
Lett. 83, 4690 (1999)
[4] D. Langlois, Prog. Theor. Phys. Suppl.
148, 181 (2003)
[5] P. Brax dan C. van de Bruck, Class.
Quant. Grav 20, R201 (2003)
Azrul Azwar
Program Studi Fisika, FMIPA, Universitas Tanjungpura
Jalan Jendral Ahmad Yani Pontianak 78124
e-mail : azrul_azwar@yahoo.co.id
Abstrak
Telah dilakukan kajian terhadap model Randall – Sundrum yang difokuskan untuk mendapatkan
perumusan hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler dalam model tersebut. Dari kajian ini diperoleh
bahwa hukum gravitasi Newton mengalami modifikasi. Modifikasi ini menjadi signifikan pada jarak yang
sangat dekat. Penerapannya pada hukum Keppler memberikan perubahan pada hubungan antara
periode dan jarak planet.
Kata Kunci : Randall-Sundrum, Dimensi Ekstra, Brane, Gravitasi.
1. Pendahuluan
Saat ini telah banyak dikembangkan
model alam semesta dengan dimensi tambahan
(extra dimension) [1-3]. Salah satu model
yang cukup populer adalah model Randall –
Sundrum [2,3]. Model ini telah digunakan
dalam fisika partikel untuk menjelaskan
masalah hirarki massa berdasarkan kehadiran
dimensi ekstra yang melengkung [2,3]. Selain
itu
penerapannya
pada
kosmologi
mengahasilkan model yang konsisten dengan
model kosmologi standar pada level energi
rendah (kondisi alam semesta saat ini) dan
hanya berbeda pada level energy tinggi
(awal alam semesta) [4-6].
Salah satu permasalahan dalam model
dengan dimensi tambahan adalah belum
adanya bukti eksperimental
keberadaan
dimensi tambahan tersebut. Secara teoritis,
kehadiran dimensi tambahan ini dapat
dibuktikan dengan mengamati penyimpangan
pada hukum gravitasi, karena gravitasi
merupakan dinamika dari ruang-waktu itu
sendiri. Dalam tulisan ini akan dibahas tentang
modifikasi hukum Keppler dalam model
Randall – Sundrum. Adanya modifikasi ini
diharapkan dapat diamati secara ekperimental
melalui observasi periode gerak planet
sehingga menjadi bukti keberadaan dimensi
tambahan.
2.Model Randall – Sundrum
Model Randall – Sundrum merupakan
salah satu model dunia brane dalam ruang –
waktu berdimensi lima. Dalam model ini,
alam semesta dianggap sebagai sebuah
permukaan tiga dimensi (yang disebut
“brane” atau lebih tepat “3-brane”, mengacu
pada tiga dimensi ruang), yang tersimpan
(embedded) dalam ruang-waktu berdimensi
lima (yang disebut “Bulk”), dengan semua
medan materi dan medan gauge selain medan
gravitasi terkurung (hanya memiliki dinamika)
pada brane, sedangkan gravitasi yang
merupakan dinamika dari seluruh ruang-waktu
dan dimediasi oleh graviton dapat bergerak
dalam Bulk [2-5].
Dalam model Randall–Sundrum, ruangwaktu bulk bersifat lengkung, yang dipilih
berbentuk
ruang-waktu
Anti-de
Sitter
berdimensi lima. Ruang-waktu ini merupakan
ruang–waktu bersimetri maksimal dengan
konstanta
kosmologi
bernilai
negatif.
Sedangkan brane memiliki tegangan (tension)
σ , dan dianggap memiliki simetri refleksi
Dengan mensubstitusikan metrik (9) pada
tensor Einstein, dan dengan menggunakan
kondisi Randall-Sundrum gauge (transversetraceless gauge) [2], maka akan diperoleh
persamaan
, serupa dengan model
Horava-Witten [2-5].
Geometri model Randall – Sundrum
dinyatakan oleh metrik [2,3]
1 1 ρσ
2
2 U η ∂ ρ ∂σ −∂Z +V ( Z ) h μν=0
Z 2 ( Z→−Z )
√ −6Λ
(1)
(
, disini Λ adalah konstanta
−10
R=
Λ
3
Persamaan differensial (5) di atas dapat
diselesaikan dengan metode separasi
variabel, karena bagian non-trivial dari
potensial hanya bergantung pada koordinat
dimensi
kelima,
Z,
yaitu
dengan
mensubstitusikan
(2)
a
a
h μν ( x ,Z ) =ψ ( Z ) Φ ( x )
3. Gravitasi Newton dalam Model Randall –
Sundrum
Untuk memperoleh gravitasi Newtonian
dalam model Randall-Sundrum dapat
dilakukan dengan memberikan perturbasi
linear terhadap metrik. Tinjau fluktuasi kecil
pada
g AB
metrik
2
A
ds =( g AB +δg AB ) dx dx
)
U ( Z ) =exp (−2k|Z|)
Sedangkan faktor e ±2 kz disebut sebagai faktor
kelengkungan. Pada titik z = 0 faktor
kelengkungan ini bernilai 1 dan metrik (1) di
atas akan menjadi ruang-waktu Minkowski.
gravitsi
sehingga
(6)
ke dalam persamaan (5) sehingga diperoleh
1 ρσ
1
η ∂ ρ ∂σ Φ ( x ρ )= e−2k|Z| ( ∂2Z +4 kδ ( Z ) −4 k 2 ) ψ ( Z )
Φ
ψ
(7)
,
Persamaan (7) dapat diselesaikan apabila ruas
kiri sama dengan ruas kanan, sama-sama
2
B
−m >0 ,
bernilai konstan, dipilih
sehingga akan diperoleh dua persamaan
diferensial yang saling terkait, yaitu:
(3)
Dalam kajian ini, akan membatasi pada
fluktuasi kecil dalam “dunia” empat dimensi
yang diberikan oleh metrik
sehingga
(5)
1 ∂2 U
2
V ( Z ) =2 U
2 +6 kδ ( Z )−6 k
∂Z
kosmologi. Metrik (1) di atas menyatakan
geometri ruang – waktu berdimensi lima
dengan kelengkungan konstan sebesar
δ g AB
]
)
dengan:
d s 2=e ±2 kz η μν d x μ d x ν −d z 2
dengan k =
[(
h μν ( x,Z )
η ρσ ∂ρ ∂σ Φ ( x ρ ) =−m2 Φ ( x a )
,
(8)
ds 2 =( e−2k|Z| ημν +h μν ) dx μ dx ν−dZ 2
(4)
[ −m2 e
1
− ∂2Z−2kδ ( Z ) +2 k 2 ψ ( Z ) =0
2
]
2k|Z|
(9)
pertukaran mode ke nol yang merupakan
graviton tak bermassa.
m=0
Untuk kasus
persamaan (9) akan menjadi
Dalam kerangka statik dengan simetri
rotasi pada 3-brane seperti alam semesta kita,
persamaan (8) dalam sistem koordinat bola
akan menjadi
1 d 2 dΦ
2
2 dr r dr =m Φ
r
(
)
Dalam sistem koordinat ini,
merupakan fungsi dari r saja.
i
Φ(x )
(10)
)
A=G N m1 m2
Φ0 ( ∞ ) =0→B=0
dan
, sehingga cocok
dengan gravitasi Newtonian antara dua
brane yang terletak di titik
Z =0
G mm
Φ0 ( r ) =− N r 1 2
m2
(15)
yang memiliki solusi berbentuk
ψ ( Z ) =ψ 0 exp (−2k|Z|)
(16)
yang memenuhi kondisi syarat batas pada
melalui integrasi persamaan (15)
pada selang
infinitesimal
(12)
, konstanta integrasi A dapat dipilih
dan
d ψ
=4 k 2 ψ ( Z )
dZ 2
−ε≤Z ≤ε
untuk
(
Untuk sumber titik yang terletak pada
m1
Ketika Z ≠0 , maka persamaan (14) di
atas menjadi
dψ dψ
4 kψ ( 0 ) =lim dZ |ε − dZ |−ε
ε→ 0
yang memiliki solusi umum berbentuk
partikel bermassa
(14)
Z =0
(11)
r=0
2
d ψ
2
2 = [ 4 k −4 kδ ( Z ) ] ψ ( Z )
dZ
hanya
1 d 2 dΦ
r dr =0
r 2 dr
A
Φ0 ( r ) =− r +B
atas,
2
Apabila dipilih m=0 , yaitu untuk
kasus tak bermassa (mode ke-nol), maka
persamaan (10) di atas akan menjadi
persamaan Laplace, yaitu
(
di
ε
)
yang
(17)
∞
∫−∞ dZ|ψ ( Z )|2=1
Kondisi normalisasi
memberikan nilai konstanta
normalisasi
2k , sehingga solusi (16)
0
sebesar
akan menjadi
ψ ( Z ) =√2k exp (−2k|Z|)
pada
(18)
Persamaan (18) akan menuju nol secara cepat
(13)
Persamaan (13) di atas menunjukkan bahwa
model
Randall
–
Sundrum
dapat
menghasilkan hukum gravitasi Newton.
Dalam pandangan model ini, gravitasi
Newton pada brane dibangkitkan oleh
ketika
|Z|
membesar, dan akan memiliki
|Z|=0
nilai maksimum ketika
. Ini berarti
bahwa mode ke-nol yang menghasilkan
gravitasi Newtonian akan terkonstrasi di
dekat brane yang terletak pada
|Z|=0
.
Solusi asimtotis persamaan (9) akan
didomisasi oleh solusi gelombang datar
karena potensial Kazula-Klein turun menuju
|Z|→∞
nol ketika
, sehingga keadaan
Kazula-Klein continuum tanpa gap hadir
untuk semua nilai
2
2
m >0
, sehingga harga
eigen m
bersifat kontinyu dan proper
measure menjadi dm. Dengan menggunakan
spektrum eigen ini, maka dapat dihitung
koreksi terhadap potensial gravitasi Newton
Φ(r)
m
antara dua partikel bermassa
m1
2 pada brane yang terletak di Z=0
dan
yang dibangkitkan oleh pertukaran mode
Kazula-Klein continuum. Untuk itu, tinjau
kembali persamaan (8)
1 d 2 dΦ
2
2 dr r dr =m Φ
r
(
)
(19)
Solusi dari persamaan dari persamaan (19)
adalah
−mr
Ae
Φm ( r ) = r
(20)
Konstanta integrasi A dapat dipilih berbentuk
A=G5 m1 m2
G
5
dengan
adalah
konstanta gravitasi Newton dalam dimensi
lima yang terkait dengan konstanta gravitasi
Newton dalam dimensi empat melalui
persamaan
Adanya
GN
G5 = k
.
kopling
anatara
2
mode
continuum ( m >0 ) dengan brane akan
memberikan koreksi terhadap gravitasi
Newtonian yang diberikan oleh persamaan
∞
−mr
me
ΔΦ ( r ) ≈G5 m1 m2∫ dm k r
0
ΔΦ ( r ) ≈
(21)
GN
1
m1 m2 2
k
kr
( )
Sehingga hukum gravitasi Newton dapat
dituliskan sebagai.
Φ ( r )≈
GN m1 m2
1
1+ 2 2
r
k r
(
)
(22)
Dari hasil ini,dapat disimpulkan bahwa
gravitasi Newton akan mengalami koreksi.
Koreksi ini akan signifikan untuk level energi
2
8
tinggi sekitar 1/k ≈10 GeV . Pada level
energi rendah model Randall-Sundrum secara
konsisten identik dengan gravitasi Newton.
4. Modifikasi Hukum Keppler
Adanya modifikasi pada hukum Newton
yang diberikan oleh persamaan (22) akan
menyebabkan modifikasi pada hukum
Keppler. Untuk mendapatkan hukum Keppler
dari model Randall-Sundrum, tinjau kembali
persamaan energi potensial gravitasi yang
diberikan oleh persamaan (22)
Φ ( r )≈
GN m1 m2
1
1+ 2 2
r
k r
(
)
(22)
Besarnya gaya gravitasi antara dua benda
bermassa m1 dan m2 dapat diperoleh dengan
menggunakan persamaan
F=−∇ Φ ( r ) =
G N m1 m2
2
1+ 4 4
2
r
k r
(
)
(23)
Dari persamaan (23) di atas dapat
diperoleh hukum Keppler III yang
menggambarkan hubungan antara periode
dan jarak planet, yang diberikan oleh
persamaan
4 π2
T 2= GM
(
r3
2
1+ 4 4
k r
)
(24)
Persamaan menunjukkan adanya koreksi
terhadap periode orbit planet. Adanya koreksi
ini memberikan peluang untuk memverifikasi
kehadiran dimensi ke lima, yaitu dengan
mengukur perbedaan periode planet yang
diprediksi oleh hukum Newton dengan yang
diprediksi oleh persamaan (24).
5. Kesimpulan
Dari analisis di atas dapat disimpulkan bahwa
model
Randall-Sundrum
menghasilkan
hukum gravitasi Newton dan hukum Keppler
yang termodifikasi. Modifikasi ini signifikan
pada level energi yang sangat tinggi.
Daftar Pustaka
[1] N. Arkani-Hamed, S. Dimopulos dan G.
Dvali. Phys. Lett. B 429, 263 (1998)
[2] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev.
Lett. 83, 3370 (1999)
[3] L. Randall and R. Sundrum, Phys. Rev.
Lett. 83, 4690 (1999)
[4] D. Langlois, Prog. Theor. Phys. Suppl.
148, 181 (2003)
[5] P. Brax dan C. van de Bruck, Class.
Quant. Grav 20, R201 (2003)