TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

   TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

  Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc

  PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia

  

  1

  2

  3

  

  1

  2

  3

  

  1

  2

  3

   Definisi jika ₁ F ₂ (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V F

  (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 n m

  Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R −→ R dengan aturan T

   Definisi jika ₁ F ₂ (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V F

  (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k Contoh 1 n m

  Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R −→ R dengan aturan T

   Definisi jika ₁ F ₂ (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V F

  (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k

  Contoh 1 n m

  Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R −→ R dengan aturan T

   Definisi jika ₁ F ₂ (u + v ) = F (u) + f (v ), ∀u, v ∈ V F

  (ku) = kF (u), ∀u ∈ V dan semua skalar k

  Contoh 1 n m

  Misalkan A sebuah matriks m × n. Fungsi T : R −→ R dengan aturan T

  Contoh 2

  2

   _{− sin θ} cos θ _{sin θ cos θ} A =

  2

  yakni perputaran R melalui sudut θ, merupakan transformasi linier

  Contoh 3 Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v ) = 0, ∀v ∈ V

  Contoh 2

  2

   _{− sin θ} cos θ _{sin θ cos θ} A =

  2

  yakni perputaran R melalui sudut θ, merupakan transformasi linier

  Contoh 3

  Pemetaan T : V −→ W dengan aturan T (v ) = 0, ∀v ∈ V

   Contoh 4

  Pemetaan T : V −→ V dengan aturan

  

T

(v ) = v , ∀v ∈ V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas Catatan Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka T

   Contoh 4

  Pemetaan T : V −→ V dengan aturan

  

T

(v ) = v , ∀v ∈ V merupakan transformasi linier yang dinamakan transformasi identitas Catatan

  Jika T : V −→ V merupakan transformasi linier, maka T

   Contoh 5

  Pemetaan T : V −→ V yang didefinisikan oleh

  T (v ) = kv

  dengan k skalar, merupakan operator linier pada V . Jika

  k > 1, T disebut dilasi. Jika 0 < k < 1, T disebut kontraksi

   Contoh 6 memiliki S w w

  = {w , , ..., }

  r

  1

  2

  sebagai basis ortonormal. Misal T : V −→ W dengan aturan

  T (v ) =< v , w > w + < v , w > w + ...+ < v , w > w r r

  1

  

1

  2

  2

  merupakan transformasi linier yang dinamakan proyeksi

   {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untuk bidang xy . Jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor pada

  3

  3 R maka proyeksi ortogonal dari R pada bidang xy

  diberikan oleh

  

T

  (v ) = (x, y, 0)

  Contoh 8 Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satu n

basisnya. Maka T dengan aturan

: V −→ R

   {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} merupakan basis ortonormal untuk bidang xy . Jika v = (x, y , z) adalah sebarang vektor pada

  3

  3 R maka proyeksi ortogonal dari R pada bidang xy

  diberikan oleh

  

T

  (v ) = (x, y, 0)

  Contoh 8

  Misal V ruang berdimensi n dan S adalah salah satu

  n

  basisnya. Maka T dengan aturan : V −→ R

   Contoh 9

  Misal V adalah sebuah ruang hasilkali dalam dan v adalah sebarang vektor tetap di V . Maka T : V −→ R dengan aturan

  T

  (v ) =< v , v > merupakan transformasi linier

   Contoh 10

  Misal V = C [0, 1] adalah ruang vektor dari semua fungsi riil yang kontinu pada selang 0 ≤ x ≤ 1 dan misalkan W adalah subruang dari C [0, 1] yang terdiri dari semua fungsi yang turunan pertamanya kontinu pada selang 0

  ≤ x ≤ 1. Maka D

  : W −→ V dengan aturan

  ′ D

  (f ) = f merupakan transformasi linier

   Contoh 11

  Misal V = C [0, 1], maka J : V −→ R dengan aturan _Z

  1 J f

  (f ) = (x)dx merupakan transformasi linier.

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  Sifat 1 T

  (0) = 0 Sifat 2

  

T

(−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  Sifat 1 T

  (0) = 0

  Sifat 2

T

  (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  Sifat 1 T

  (0) = 0

  Sifat 2

T

  (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  Sifat 1 T

  (0) = 0

  Sifat 2

T

  (−v ) = −t(v ), ∀v ∈ V Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah

  

ker

(T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0} Jangkauan dari T adalah

  R (T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w} Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah

  

ker

(T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0} Jangkauan dari T adalah

  R (T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w} Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah

  

ker

(T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0} Jangkauan dari T adalah

  R

  (T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w} Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah

  

ker

(T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0} Jangkauan dari T adalah

  R

  (T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w} Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah

  

ker

(T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0} Jangkauan dari T adalah

  R

  (T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w} Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka Kernel (atau ruang nol) dari T adalah

  

ker

(T ) = {v ∈ V |T (v ) = 0} Jangkauan dari T adalah

  R

  (T ) = {w ∈ W |∃v ∈ V , T (v ) = w}

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  dim (ker (T )) disebut nulitas T dim

  (R(T )) disebut rank T Contoh 1 Misal T : R

  2 −→ R

  2 adalah perputaran R

  2 melalui sudut ^π

  4 , maka R (T ) = R

  2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank

  (T ) = 2

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  dim

  (ker (T )) disebut nulitas T

  dim (R(T )) disebut rank T

  Contoh 1 Misal T : R

  2 −→ R

  2 adalah perputaran R

  2 melalui sudut ^π

  4 , maka R (T ) = R

  2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank

  (T ) = 2

  

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  dim

  (ker (T )) disebut nulitas T

  dim

  (R(T )) disebut rank T

  Contoh 1 Misal T : R

  2 −→ R

  2 adalah perputaran R

  2 melalui sudut ^π

  4 , maka R (T ) = R

  2 dan ker (T ) = {0}. Sehingga rank

  (T ) = 2

  

  adalah perputaran R

  rank

  dan ker (T ) = {0}. Sehingga

  2

  , maka R (T ) = R

  4

  melalui sudut ^π

  2

  2

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier, maka

  −→ R

  2

  Misal T : R

  Contoh 1

  (R(T )) disebut rank T

  dim

  (ker (T )) disebut nulitas T

  dim

  (T ) = 2

   Contoh 2

  Misal T : R

  n

  −→ R

  m

  adalah perkalian oleh matriks A berukuran m × n. Maka R(T ) adalah ruang kolom A dan

  ker

  (T ) adalah ruang pemecahan Ax = 0. Sehingga

  rank (T ) = dim(ruang kolom A) = rank (A)

  dan

  nulias (T ) = dim(ruang pemecahan Ax = 0)

   Teorema

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = n maka

  rank

  (T ) + nulitas(T ) = n

  Teorema Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax = 0 adalah

n

   Teorema

  Jika T : V −→ W adalah transformasi linier dan dim(V ) = n maka

  rank

  (T ) + nulitas(T ) = n

  Teorema

  Jika A adalah matriks m × n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax

  = 0 adalah

  

n Jika T adalah sebarang transformasi linier, _{maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran} : R −→ R

  m × n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi n

  Jika e , e , ..., e adalah basis baku untuk R dan A adalah

  1 2 n matriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalah T

  (e ), T (e ), ..., T (e ), maka dapat dibuktikan bahwa

  1 2 n n

  T (x) = Ax, ∀x ∈ R Jika T adalah sebarang transformasi linier, _{maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran} : R −→ R

  m × n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi n

  Jika e , e , ..., e adalah basis baku untuk R dan A adalah

  1 2 n

  matriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalah

  T

  (e ), T (e ), ..., T (e ), maka dapat dibuktikan bahwa

  1 2 n n

  T

  (x) = Ax, ∀x ∈ R Jika T adalah sebarang transformasi linier, _{maka dapatkah dicari sebuah matriks A yang berukuran} : R −→ R

  m × n sehingga T adalah perkalian oleh A? Solusi n

  Jika e , e , ..., e adalah basis baku untuk R dan A adalah

  1 2 n

  matriks m × n yang vektor-vektor kolomnya adalah

  T

  (e ), T (e ), ..., T (e ), maka dapat dibuktikan bahwa

  1 2 n n

  T

  (x) = Ax, ∀x ∈ R

   berikut. Teorema

  n m Jika T adalah transformasi linier, dan jika : R −→ R n e e e adalah basis baku untuk R , maka T adalah

  , , ...,

  1 2 n perkalian oleh A dimana

  A = [T (e ), T (e ), ..., T (e )]

  1 2 n Catatan

   berikut. Teorema

  n m

  Jika T adalah transformasi linier, dan jika : R −→ R

  n e e e adalah basis baku untuk R , maka T adalah

  , , ...,

  1 2 n

  perkalian oleh A dimana

  A

  = [T (e ), T (e ), ..., T (e )]

  1 2 n Catatan

   berikut. Teorema

  n m

  Jika T adalah transformasi linier, dan jika : R −→ R

  n e e e adalah basis baku untuk R , maka T adalah

  , , ...,

  1 2 n

  perkalian oleh A dimana

  A

  = [T (e ), T (e ), ..., T (e )]

  1 2 n Catatan

   berikut. Teorema

  n m

  Jika T adalah transformasi linier, dan jika : R −→ R

  n e e e adalah basis baku untuk R , maka T adalah

  , , ...,

  1 2 n

  perkalian oleh A dimana

  A

  = [T (e ), T (e ), ..., T (e )]

  1 2 n Catatan

   berikut. Teorema

  n m

  Jika T adalah transformasi linier, dan jika : R −→ R

  n e e e adalah basis baku untuk R , maka T adalah

  , , ...,

  1 2 n

  perkalian oleh A dimana

  A

  = [T (e ), T (e ), ..., T (e )]

  1 2 n Catatan

  

  Jika T : R

  2

  −→ R

  2

  adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah

  A

  = cos θ − sin θ sin θ cos θ

  Refleksi terhadap sumbu y Jika T : R

  2 −→ R

  2 adalah refleksi terhadap sumbu y , maka matriks baku untuk T adalah

  

  Jika T : R

  2

  −→ R

  2

  adalah perputaran terhadap titik asal melalui sudut θ, maka matriks baku untuk T adalah

  A

  = cos θ − sin θ sin θ cos θ

  Refleksi terhadap sumbu y

  Jika T : R

  2

  −→ R

  2

  adalah refleksi terhadap sumbu y , maka matriks baku untuk T adalah

  

  Jika T : R

  2

  −→ R

  2

  adalah refleksi terhadap sumbu x, maka matriks baku untuk T adalah

  

A

  =

  1 −1

  Refleksi terhadap garis y = x Jika T : R

  2 −→ R

  2 adalah refleksi terhadap garis y = x, maka matriks baku untuk T adalah

  

  Jika T : R

  2

  −→ R

  2

  adalah refleksi terhadap sumbu x, maka matriks baku untuk T adalah

  

A

  =

  1 −1

  Refleksi terhadap garis y = x

  Jika T : R

  2

  −→ R

  2

  adalah refleksi terhadap garis y = x, maka matriks baku untuk T adalah

  2

  2 Jika T adalah ekspansi atau kompresi dalam : R −→ R arah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik

  (x, y ) ke (kx, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah

  k

A

  = 0 1

  Ekspansi dan Kompresi dalam arah y

  2

  2 Jika T adalah ekspansi atau kompresi dalam : R −→ R arah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik

  (x, y)

  2

  2 Jika T adalah ekspansi atau kompresi dalam : R −→ R arah x dengan faktor k , maka akan memetakan titik

  (x, y ) ke (kx, y). Sehingga matriks baku untuk T adalah

  k

A

  = 0 1

  Ekspansi dan Kompresi dalam arah y

  2

  2 Jika T adalah ekspansi atau kompresi dalam

  : R −→ R arah y dengan faktor k , maka akan memetakan titik (x, y)

  2

  2 Jika T adalah geseran dalam arah x dengan : R −→ R faktor k , maka akan memetakan titik _{1 k} Sehingga matriks baku untuk T adalah A

  = 0 1

  Geseran dalam arah y

  2

  2 Jika T adalah geseran dalam arah y dengan : R −→ R faktor k , maka akan memetakan titik

  (x, y) ke (x, y + kx).

  2

  2 Jika T adalah geseran dalam arah x dengan : R −→ R faktor k , maka akan memetakan titik _{1 k} Sehingga matriks baku untuk T adalah A

  = 0 1

  Geseran dalam arah y

  2

  2 Jika T adalah geseran dalam arah y dengan

  : R −→ R faktor k , maka akan memetakan titik (x, y) ke (x, y + kx).

   Resume matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya.

  Teorema

  2

  : R −→ R invertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran,

kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan dari

   Resume matriks-matriks elementer. Dengan fakta ini maka teorema berikut dapat dibuktikan kebenarannya.

  Teorema

  2

  : R −→ R invertibel, maka efek geometri dari T berupa geseran, kompresi, ekspansi, refleksi, atau gabungan dari Jika T adalah perkalian oleh matriks A yang : R −→ R invertibel, maka _{1 2} bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah ₃ sebuah garis lurus melalui titik asal bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah ₄ garis-garis lurus yang sejajar bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yang

menghubungkan bayangan P dan bayangan Q

  Jika T adalah perkalian oleh matriks A yang : R −→ R invertibel, maka _{1 2} bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah ₃ sebuah garis lurus melalui titik asal bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah ₄ garis-garis lurus yang sejajar bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yang

menghubungkan bayangan P dan bayangan Q

  Jika T adalah perkalian oleh matriks A yang : R −→ R invertibel, maka _{1 2} bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah ₃ sebuah garis lurus melalui titik asal bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah ₄ garis-garis lurus yang sejajar bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yang

menghubungkan bayangan P dan bayangan Q

  Jika T adalah perkalian oleh matriks A yang : R −→ R invertibel, maka _{1 2} bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah ₃ sebuah garis lurus melalui titik asal bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah ₄ garis-garis lurus yang sejajar bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

titik P dan Q adalah segmen garis yang

menghubungkan bayangan P dan bayangan Q

  Jika T adalah perkalian oleh matriks A yang : R −→ R invertibel, maka _{1 2} bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah ₃ sebuah garis lurus melalui titik asal bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah ₄ garis-garis lurus yang sejajar bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

  titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q Jika T adalah perkalian oleh matriks A yang : R −→ R invertibel, maka _{1 2} bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah ₃ sebuah garis lurus melalui titik asal bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah ₄ garis-garis lurus yang sejajar bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan

  titik P dan Q adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q

   Masalah n m

  Jika untuk setiap transformasi linier T dapat : R −→ R dinyatakan sebagai transformasi matriks, bagaimana untuk sebarang transformasi linier T

  : V −→ W secara umum?

  

  v

  B ^′ .

  B ke [T (x)]

  Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x]

  B ^′ ∈ R m .

  ∈ R n dan [T (x)]

  Maka ∀x ∈ V , [x] B

  v m }.

  , ...,

  2

  ,

  Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u

  1

  = {v

  ′

  } dan W berdimensi m dengan basis B

  n

  , ..., u

  2

  , u

  1

  Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

  

  v m }.

  B ^′ .

  B ke [T (x)]

  Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R n ke R m dengan memetakan [x]

  m .

  ∈ R

  B ^′

  dan [T (x)]

  n

  ∈ R

  B

  Maka ∀x ∈ V , [x]

  , ...,

  Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u

  2

  v

  ,

  1

  = {v

  ′

  } dan W berdimensi m dengan basis B

  n

  , ..., u

  2

  , u

  1

  Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

  

  B

  B ^′ .

  ke [T (x)]

  B

  dengan memetakan [x]

  m

  ke R

  n

  Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R

  m .

  ∈ R

  B ^′

  dan [T (x)]

  n

  ∈ R

  Maka ∀x ∈ V , [x]

  Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u

  v m }.

  , ...,

  2

  v

  ,

  1

  = {v

  ′

  } dan W berdimensi m dengan basis B

  n

  , ..., u

  2

  , u

  1

  Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

  

  B

  B ^′ .

  ke [T (x)]

  B

  dengan memetakan [x]

  m

  ke R

  n

  Jadi proses pemetaan x ke T (x) akan menghasilkan pemetaan dari R

  m .

  ∈ R

  B ^′

  dan [T (x)]

  n

  ∈ R

  Maka ∀x ∈ V , [x]

  Misalkan V berdimensi n dengan basis B = {u

  v m }.

  , ...,

  2

  v

  ,

  1

  = {v

  ′

  } dan W berdimensi m dengan basis B

  n

  , ..., u

  2

  , u

  1

  Sehingga pemetaan tersebut dapat dilaksanakan menggunakan perkalian dengan matriks A, yakni

   Matriks A berbentuk

  A = [[T (u

  1 )]

  B ^{′ , [T (u}

  2 )]

  B ^{′ , ..., [T (u} n )]

  B ^{′ ]} Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ dan disimbolkan

  [T ] B,B ^′

  Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang

bertalian dengan basis B adalah

  

  Matriks A berbentuk

  A

  = [[T (u

  1

  )]

  B ^{′ , [T (u}

  2

  )]

  B ^{′ , ..., [T (u} n

  )]

  B ^{′ ]} Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian dengan basis B dan B’ dan disimbolkan

  [T ] B,B ^′

  Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang

bertalian dengan basis B adalah

  

  Matriks A berbentuk

  A

  = [[T (u

  1

  )]

  B ^{′ , [T (u}

  2

  )]

  B ^{′ , ..., [T (u} n

  )]

  B ^{′ ]}

  Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian

  dengan basis B dan B’ dan disimbolkan

  [T ]

  B,B ^′ Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang

bertalian dengan basis B adalah

  

  B ^{′ , ..., [T (u} n

  B,B ^′

  [T ]

  dengan basis B dan B’ dan disimbolkan

  Matriks A disebut matriks untuk T yang bertalian

  B ^{′ ]}

  )]

  )]

  Matriks A berbentuk

  2

  B ^{′ , [T (u}

  )]

  1

  = [[T (u

  A

  Jika T operator linier, maka matriks untuk T yang bertalian dengan basis B adalah