BAB IX. STATISTIKA - BAB 9 Statistika

BAB IX. STATISTIKA Pengertian Statistika dan Statistik: Statistika adalah ilmu pengetahuan yang membahas

  1. Data diskrit atau cacahan : data diperoleh dengan cara menghitung atau mencacah misal: data siswa kelas 3 yang tidak lulus UNAS

  Data yang telah dikumpulkan perlu disusun dan disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik agar mudah dipahami untuk keperluan laporan dan atau analisa lebih lanjut. Bentuk tersebut berupa tabel atau diagram.

  Penyajian Data:

  2. Data ordinal : data yang memerlukan pemeringkatan/tingkatan untuk melengkapi deskripsi data. misal: Kecepatan siswa dalam merespon pelajaran: cepat, sedang, lambat.

  1. Data nominal: data yang memerlukan subbagian untuk melengkapi deskripsi data. misal: warna kulit : sawo matang, putih, hitam

  : data berupa kategori yang menunjukkan keadaan fisik objek yang diamati Terdiri dari 2 jenis:

  Data kualitatif

  2. Data Kontinu/ukuran : data diperoleh dengan cara mengukur. misal: data tentang berat siswa kelas 2 IPA

  metode-metode ilmiah tentang cara-cara pengumpulan data, pengolahan, penganalisian dan penarikan kesimpulan. Statistik adalah kumpulan data, bilangan ataupun non bilangan yang disusun dalam tabel dan atau diagram yang menggambarkan suatu masalah Statitika secara umum dibagi menjadi dua macam:

  1. Statistika Deskriptif: Meliputi kegiatan-kegiatan mengumpulkan dan mengelompokkan data, menyusun dan menyajikan data dalam bentuk tabel atau grafik yang mudah dipahami dan menganalisa tanpa mengambil kesimpulan.

  Data Kuantitatif: data dalam bentuk angka atau

  Contoh : hasil ulangan Matematika 5 siswa sbb: 6 8 7 6 9 Angka masing-masing 6, 8, 7, 6, 9 disebut datum, keseluruhan angka-angka disebut data

  Datum : informasi yang didapat dari pengamatan terhadap objek, dapat berupa angka atau lambang Data : kumpulan dari datum-datum secara keseluruhan

  Datum, data, data kuantitatif, data kualitatif

  Populasi : keseluruhan objek yang akan diambil datanya/ akan diteliti Sampel : beberapa/sebagian populasi yang dipilih untuk diteliti

  Populasi dan Sampel:

  2. Statistika Inferensia atau induktif: Meliputi penganalisian data agar diperoleh kesimpulan secara umum

  bilangan Terdiri dari 2 jenis:

  1. Penyajian data dalam bentuk diagram Kelas interval: a. Diagram garis :

  Banyak data dikumpulkan dalam kelompok yang disebut kelas interval 51 – 60 Æ kelas interval pertama

  b. Diagram batang 91 – 100 Æ kelas interval kelima Frekuensi: Bilangan yang menyatakan banyak data pada setiap kelas interval

   Batas kelas: Nilai-nilai ujung pada kelas interval.

  Ujung atas disebut batas atas Ujung bawah disebut batas bawah

  c. Diagram lingkaran: 51, 61, 71, 81, 91 disebut batas bawah 60, 70, 80, 90, 100 disebut batas atas

  Tepi kelas:

  a. jika ketelitian hingga satuan , maka

• tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5
• tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5

  b. jika ketelitian hingga satu desimal, maka

• tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,05

  Daftar distribusi frekuensi:

• tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,05 Penyajian data berukuran besar (n ≥ 30) dapat

  a. jika ketelitian hingga dua desimal , maka ilakukan dengan mengggunakan daftar distribusi

• tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,005 frekuensi
• tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,005 Nilai ulangan Banyak

  Panjang kelas:

  Matematika siswa (f) Panjang kelas= tepi atas – tepi bawah 51 - 60

  10 61 - 70 15 71 – 80 10 81 - 90 7 91 - 100

  3

  Histogram dan Poligram Frekuensi:

DATA TUNGGAL

  Histogram:

  1. Ukuran Pemusatan :

  Untuk menyajikan data yang telah disusun dalam distribusi frekuensi menjadi diagram, dibuat 2 sumbu Terdapat nilai statistika yang dapat dimiliki oleh yang saling tegak lurus, sumbu datar untuk kelas interval sekumpulan data yang diperoleh yaitu : (tepi bawah dan tepi atas) , sumbu tegak untuk frekuensi

   a. Rata-rata jumlah seluruh data

  Rata-rata =

  banyaknya data x , x , x , ……, x

  Misal adalah sekumpulan data _{1 2 3 n} yang telah diurutkan maka: _n

  1

  x x x ... x + + + + _{n 1 2 3}

  x = atau x = x _i ∑ n n _{i 1}

  = x dibaca x bar adalah satuan hitung yang biasa

  disebut dengan rataan atau mean Poligram Frekuensi: Tiap sisi atas batang yng berdekatan dihubungkan

   b. Rataan Sementara

  dengan sebuah garis dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu Cara lain untuk menghitung rataan dengan cara mendatar maka akan terbentuk poligram frekuensi. menentukan rataan sementara yaitu dengan mengambil titik tengah sembarang kelas interval.

  Misalnya diketahui data tunggal x , x , x , ……, x _{1 2 3 n} dan rataan sementara yang ditaksir adalah x maka _s rataan data tersebut adalah :

  d _i ∑ _s + x = x n d _{i i s} = x - x x = nilai interval (nilai data) _i x = nilai rataan sementara (nilai tengah interval) _s Rataan Tiga =

  4

  1 ( Q ₁ + 2 Q ₂ + Q ₃ )

• Jika n ganjil maka mediannya adalah nilai data ke

  e. Desil Ukuran yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama besar, didapatkan 9 buah desil yaitu D ₁ , D ₂ , D ₃ , . . ., D ₉ Untuk menentukan desil ke-i dapat digunakan rumus :

• Jika n genap maka mediannya adalah rata-rata nilai data ke
• 1 atau median =
• 1
_{2 2} ^{n n} x x

  D _i = x _{10 ) 1 ( + n i} D _i = desil ke-i n = banyaknya datum (nilai data) x _{10 ) 1 ( + n i} = datum pada urutan ke

  Data yang paling banyak muncul

   d. Modus

  ⎜⎜ ⎝ ⎛

  1 ⎟⎟ ⎠ ⎞

  2

  2

  n

  dan nilai data ke

  n

  2

  x

  2 1 + n atau median = _{2 1 + n}

  Nilai tengah yang membagi seluruh data menjadi dua bagian yang sama setelah diurutkan

  c. Median

2. Ukuran Letak:

  10 ) 1 ( + n i

   d. Rataan Tiga

a. Kuartil

  )

  b. Statistik lima serangkai Terdiri dari :

  1 ( Q ₃ - Q ₁ )

  2

  1 H =

  2

  Q _d =

   kuartil) adalah setengah dari hamparan.

  c. Simpangan Kuartil ( Jangkauan semi antar

  Selisih antara Kuartil ketiga dengan kuartil pertama H = Q ₃ - Q ₁

   b. Jangkauan Antar Kuartil (Hamparan)

  x - _min x

  Selisih antara nilai data terbesar dengan data yang terkecil J = _maks

   a. Jangkauan Data

  3. Ukuran Penyebaran :

  Jika median membagi data menjadi 2 bagian yang sama maka kuartil membagi data menjadi 4 bagian yang sama. Untuk menentukan kuartil dari suatu data yang telah diurutkan dapat dilakukan dengan membaginya menjadi 4 bagian juga dapat menggunakan rumus : _i

  Q = _{4 ) 1 ( + n i} x

  dimana : _i

  Q = kuartil ke-i

  n = banyaknya data

• datum(nilai data) terkecil (x _min
• datum terbesar (x _max
• Kuartil pertama (Q
1Kuartil kedua (Q 2Kuartil ketiga (Q ₃ )

  1 (Q ₁ + Q ₃ )

  2

  c. Rataan Kuartil Rataan Kuartil =

  )

  / Standar Deviasi S = ² S =

  x , ₂ x , ₃ x , ……, _n x yang masing-masing

  ( ) ∑

  = − ⁿ _{i i} x x n ₁ ²

  1. Ukuran Pemusatan Data

  a. Rataan hitung: Misalnya diketahui data dalam daftar distribusi frekuensi .

  Rataan data tersbut adalah :

  x = ∑ ∑

  = = _{k i i} ^{i k i i} f x f _{1 1} .

  k = banyaknya kelas f _i = frekuensi pada kelas ke-i

  ∑ = ^{k i i} f ₁

  = n = menyatakan banyaknya data

  b. Rataan Sementara Misalnya diketahui titik tengah kelas ₁

  mempunyai frekuensi f ₁ , f ₂ , f ₃ , …., f _k maka rataan datanya adalah:

  d. Langkah (L)

  x = x _s

• ∑ ∑ _i ⁱ

  f . d f ₁

  x _s = rataan sementara d _i = x _i - x _s

  ∑ ⁱ f = n menyatakan banyaknya data

  c. Modus Modus dari suatu data berkelompok adalah:

  M = L +

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛ ∆ + ∆ ∆ _{2 1 1}

  c M = modus data berkelompok L = tepi bawah kelas modus c = panjang kelas (tepi atas – tepi bawah kelas modus) ₁

  ∆ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi

  kelas sebelumnya

  x = data ke i x = rataan

  n = banyaknya data _i

  x x ₁ ²

  L =

  2

  3 ( Q ₃ - Q ₁ )

  e. Pagar Dalam

  Pagar Dalam = Q ₁ - L

  f. Pagar Luar

  Pagar Luar = Q ₃ + L

  g. Simpangan Rata-Rata (SR)

  Seberapa jauh penyebaran nilai-nilai data terhadap nilai rataan.

  SR =

  n

  1

  ∑ =

  − ⁿ _{i i}

  x x ₁

  n = banyaknya data _i

  x = data ke i x = rataan

  h. Ragam

  Rata-rata kuadrat jarak suatu data dari nilai rataannya S ² =

  n

  1

  ( ) ∑

  =

  − ⁿ _{i i}

i. Simpangan Baku

1 DATA BERKELOMPOK

  3

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

  −

  f f n i _k

  4 . c i = 1,2,3

  L _i = tepi bawah kuartil ke-i n = banyaknya data _k

  f = frekuensi komulatif kelas sebelum kuartil ke-i

  f = frekuensi kelas kuartil ke-i c = lebar kelas b. Desil Desil data berkelompok didapat dengan rumus: D _i = L _i +

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

  − f f n i _k

  2. Ukuran Letak Data

  10 .

  c i = 1,2,3, …, 9 L _i = tepi bawah kelas interval yang memuat D _i n = banyaknya data _k

  f = jumlah frekuensi semua kelas interval

  sebelum kelas interval yang memuat D _i f = frekuensi kelas interval yang memuat D _i c = lebar kelas interval Nilai ulangan Matematika

  Banyak siswa (f) 51 - 60 61 - 70 71 – 80 81 - 90 91 - 100

  10

  15

  8

  7

  a. Kuartil Kuartil data berkelompok dirumuskan sbb: Q _i = L _i +

  f = frekuensi kelas median c =panjang kelas

  2 ∆ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi

  ⎟ ⎠ ⎞

  kelas sesudahnya Contoh:

  Letak modus data di atas adalah pada kelas ke 2 (jumlah frekuensi terbesar yaitu 15) L = tepi bawah = 61 – 0.5 = 60.5 ₁

  ∆ = 15 – 10 = 5 (10 adalah frekuensi kelas

  sebelumnya) ₂

  ∆ = 15 – 8= 7 (8 adalah frekuensi kelas sesudahnya.

  c = 70.5 - 60.5 = 10 Sehingga modus dari data berkelompok tersebut bisa didapat dengan memasukkan angka-angka di atas ke dalam rumus. M = L +

  ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

  ⎝ ⎛ ∆ + ∆ ∆ _{2 1 1}

  c = 60.5 +

  ⎜ ⎝ ⎛

  f = frekuensi komulatif kelas sebelum median

  5

  5 . 10

  = 60.5 + 4,167 = 64.667

  d. Median Median data berkelompok adalah:

  Median = L +

  ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞

  ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − f f n _k

  2

  c L = tepi bawah kelas median n = banyaknya data _k

• 7

  3. Ukuran Penyebaran Data i. Angka Baku (Z) a. Jangkauan:

  x − x

  Z =

  S

  H = Q - Q _{3 1}

  b. Simpangan Kuartil

  1 Q = (Q - Q ) _{d 3 1}

  2

  c. Langkah

  3 L = ( Q - Q ) _{3 1}

  2

  d. Pagar dalam Pagar Dalam = Q - L ₁

  e. Pagar Luar Pagar Luar = Q + L ₃

  f. Simpangan Rata-rata _k

  f | x − x | _{i i} ∑ _i

  = ¹ SR = _k f _i

  ∑ _i = ¹

  g. Ragam _{k 2}

  f x − x _{i i} ( ) _{2 i} ∑ = ¹ S = _k f _i

  ∑ _{i 1} =

  h. Koefisien Keragaman (v)

  S

  (v) = x 100%

  x

  S = Simpangan baku

  x = Rataan hitung