Perbandingan Perhitungan Jumlah Penduduk Tahunan dengan Interpolasi Spline dan Simulasi Asumsi Gompertz Des Alwine Zayanti

• – harga fungsi pada simpul terdalam harus sama. Kondisi ini dapat dinyatakan sebagai:

  2

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Perbandingan Perhitungan Jumlah Penduduk Tahunan

dengan Interpolasi Spline dan Simulasi Asumsi Gompertz

  

Des Alwine Zayanti

Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya

E-mail: dalwinezayanti@yahoo.com

  

Abstrak.Penelitian ini bertujuan untuk memperoleh tabel mortalita lengkap yang

bersumber dari tabel mortalita ringkas, dengan cara melakukan perhitungan dengan

interpolasi spline dan simulasi dengan asumsi Gompertz. Perhitungan interpolasi spline,

harga

i-1 ) , untuk i = 2, 3, 4, … , n sehingga apabila x

  1

  1

  1

  1

  1        i i i i i c x b x a = f(x

• – persamaan tersebut sesuai dengan intervalnya maka diperoleh nilai l x tiap tahunnya. Simulasi berdasarkan asumsi Gompertz

  μ x+y

  = BC x+y diperoleh nilai l x = l .

   

  1   ^x C m e

  . Data yang digunakan adalah US Decennial Life

Table . Selanjutnya akan dilakukan uji bahwa hasil perhitungan interpolasi spline dan

hasil simulasi tabel mortalita tahunan berdasarkan asumsi Gompertz tidak memiliki

perbedaan yang signifikan.

  PENDAHULUAN Tabel mortalita adalah tabel hipotesis dari sekumpulan orang yang dilahirkan pada waktu yang sama (kohort) yang oleh karena proses kematian, jumlah orang tersebut semakin lama semakin berkurang dan akhirnya habis semua.Tabel mortalita dapat berbentuk lengkap maupun ringkas. Suatu tabel mortalita disebut lengkap (complete life table) bila seluruh fungsi dalam tabel mortalita dihitung menggunakan interval tahunan. Apabila interval usia yang digunakan lebih dari setahun, biasanya lima tahun atau sepuluh tahun, maka disebut tabel mortalita ringkas (abriged life table). Namun, pada beberapa kasus dibutuhkan tabel mortalita yang menggunakan interval tahunan.

  Karena itu, perlu dilakukan suatu simulasi untuk mengubah tabel mortalita lima tahunan menjadi tabel mortalita tahunan.Salah satu unsur tabel mortalita yang dapat mengubah tabel mortalita lima tahunan menjadi tabel mortalita tahunan l x tahunan antara lain dengan asumsi

  Gompertz dan interpolasi. Asumsi Gompertz memiliki bentuk fungsi yang lebih sederhana dan paling mendekati keadaan sesungguhnya, sedangkan interpolasi yang digunakan adalah interpolasi spline. Dari kedua cara tersebut, tentunya ada perbedaan dalam hasil yang diperoleh. Untuk itu perlunya dilakukan penelitian untuk melihat apakah ada perbedaan yang signifikan antara nilai l x tahunan hasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai l x tahunanhasil simulasi asumsi Gompertz.

  Selama ini untuk menghitung nilai l x tahunan, yang diperoleh dari abriged life table hampir selalu menggunakan cara interpolasi. Sehingga dirasa perlu untuk mencari cara alternatif yang dianggap lebih efisien, yaitu dengan cara simulasi. Tujuan penelitian ini adalah untuk mensimulasikan nilai l x tahunan dan memperlihatkan bahwa hasil simulasi tersebut tidak mempunyai perbedaan yang signifikan dengan hasil interpolasi.

  disubsitusikan ke persamaan

  

Des Alwine Zayanti: Perbandingan Perhitungan Jumlah Penduduk Tahunan Dengan

Interpolasi Spline Dan Simulasi Asumsi Gompertz

1.

2. Fitting data pada US Decennial Life

  12

  51

  98744 98683 98622 98561 98500 98445 98403 98374 98357 98353 98349 98332 98302 98259 98203 98135 98056 97966 97864 97751 97631 97509 97384 97256 97126 97011 96891 96766 96637 96502 96380 96254 96123 95988 95849 95702 95543 95373 95191 94997 94786 94554 94299 94022 93723 93396 93033

  Menghitung nilai l x lima tahunan menggunakan interpolasi spline.

  17

  16

  15

  14

  13

  10

  11

  53

  9

  8

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  52

  54

  X lx x lx

  66

  Table dengan menggunakan asumsi Gompertzl x =l .

     1  ^x

  C m e

  Sehingga diperoleh nilai m dan C yang berasal dari data. Dilakukan dengan bantuan program komputer dengan bahasa pemograman Mathlab.

  3. Berdasarkan nilai m dan C yang diperoleh, simulasikan nilai l x tahunan pada data.

  4. Lakukan uji kecocokan dengan mengunakan uji Chi - Kuadrat untuk melihat apakah ada perbedaan yang signifikan antara nilai l x tahunan hasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai l x tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz .

  68

  67

  65

  55

  64

  63

  62

  61

  60

  59

  58

  57

  56

  1

HASIL DAN PEMBAHASAN

  90

  6

  73

  72

  71

  70

  69

  1

  2

  3

  4

  5

  7

  75

  8

  9

  10

  11

  12

  13

  14

  15

  16

  17

  18

  74

  76

  47 100000

  90

  Pada US Decennial Life Table, diperoleh 21 titik data dan n = 20, yang di sajikan seperti berikut: Tabel 7. Us decennial life table i x q x l x

  8780 7283 5757 4471 3425

  98 91229 90669 90060 89400 88689 87923 87097 86210 85262 84254 83170 81995 80730 79373 77925 76394 74786 73102 71342 69506 67576 65533 63378 61111 58732 56273 53766 51212 48610 45960 43242 40434 37537 34551 31475 28421 25500 22712 20058 17536 15147 12892 10770

  97

  96

  95

  94

  93

  92

  91

  89

  77

  88

  87

  86

  85

  84

  83

  82

  81

  80

  79

  78

  19

  46

  95 100

  55

  5

  10

  15

  20

  25

  30

  35

  40

  45

  50

  60

  18

  65

  70

  75

  80

  85

  PerhitunganInterpolasi Spline untuk i = 2, 3, 4, … , 20 Selanjutnya, hasil dari perhitungan interpolasi spline disajikan dalam Tabel 1 berikut: Tabel 8. Nilai lxhasil interpolasi spline

  7283 2053

  98744 98500 98353 98203 97751 97126 96502 95849 94997 93723 91738 88689 84254 77925 69506 58732 45960 31475 17536

  0,6437 0,77196 1,00000

  0,00154 0,00463 0,00646 0,00652 0,00693 0,00921 0,01398 0,02215 0,03472 0,05232 0,07906 0,11489 0,16776 0,23978 0,35248 0,49378

  0,00248 0,0015

  1

  19

  45

  33

  44

  43

  42

  41

  40

  39

  38

  37

  36

  35

  34

  32

  20

  31

  30

  29

  28

  27

  26

  25

  24

  23

  20

  21

  22

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

PerhitunganBerdasarkan Asumsi Gompertz Rumusan untuk force of mortality : μ(x) =

  11

  20

  19

  18

  17

  16

  15

  14

  13

  12

  10

  22 100000

  9

  8

  7

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  x tahunan berdasarkan asumsi Gompertz x lx x lx

  21

  99985 99970 99953 99935 99915 99894 99871 99846 99820 99791 99760 99727 99691 99652 99610 99565 99516 99464 99407 99346 99281 99210

  = 0,001842031; C = 1,0788156

  63

  72

  71

  70

  69

  68

  67

  66

  65

  64

  62

  51

  61

  60

  59

  58

  57

  56

  55

  54

  53

  52

Tabel 4.2. Hasil simulasi l

  Dengan menggunakan program di atas, maka nilai parameter m dan C yang diperoleh adalah: m

  ) ( ln x s dx  d

  Berdasarkan asumsi Gompertz, μ x

  

  =

  P x

  t y x BC dy e . t

  

   

  =

  , dimana B dan C adalah suatu ketetapan, hal ini setara dengan: μ x+y = BC x+y sehingga akan diperoleh : t P x

  = BC x

  t P x

  t y x C dy BC e . st

  .  =

  t x x y dy e

  

  

  Sehingga diperoleh seperti persamaan 

    

    

  ) ( ) ( . x s t x s e ^{t x x y} dy

    t x x t x x y y y s dy d . d ) ( ln 

     

  

  P x

  97751; 97126; 96502;95849; 94997; 77925;69506; 58732; 45960; 31475; 17536; 7283; 2053]; x = [0; 1; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80; 85; 90; 95; 100]; %Fitting US Life Table to the Gompertz Function %(getting parameter estimates) b = ones(2,1); %initial value of bbhat =nlinfit(x,lxus,'gompertz',b) %nonlinier regression estimation %estimated parameter m = bhat(1);c = bhat(2); function yhat = gompertz(beta,x) %GOMPERTZ gompertz function fitting %yhat = gompertz(beta,x) m = beta(1);c = beta(2); yhat = 100000*exp(-m*(c.^x-1));

   

  Program Mencari Nilai Parameter m dan C Berdasarkan Asumsi Gompertz %Simulating L(x)_Life_Tablelxus = [100000; 98744; 98500; 98353; 98203;

  C m e

     1  x

  C m e l x = l .

  1   x

   

  C mC e =

  1   x

  P =  

  1   ^{t x} C mC e s (x) = x

  =

  =

  P x

  Misalkan m = C B ln maka hasil yang diperoleh : t

  C C BC e

  1 ln   t x

   

  =

  P x

      t

     

  t C C BC ^{y x} e ln 

  73 91724 91089 90408 89679 88900 88066 87176 86225 85212 84131 82981 81758 80459 79081 77620 76074 74442 72719 70906 69000 67002 64911 62728

• … +

  2 ) sebagai berikut: χ

  dan kolom ke-j

  = freku ensi harapan dari sel baris ke-i

  Dimana : O ij = frekuensi teramati dari sel baris ke-i dan kolom ke-j E ij

  ) (

  E E O _{1 1}

   ^c _{j ij ij ij} ^r _i

     

  2 =

  Statistik uji Chi-kuadrat ( χ

  2

  H 1 : tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai l x tahunanhasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai l x tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz

  H : Ada perbedaan yang signifikan antara nilai l x tahunanhasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai l x tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz.

  PerbandinganInterpolasi Spline Dan Simulasi Gompertz Pasangan hipotesis nol dan hipotesis alternatif yang akan diuji adalah:

  8350 6865 5558 4425 3460 2654

  53134 50543 47890 45183 42435 39657 36864 34070 31294 28551 25862 23244 20716 18296 16001 13847 11847 10012

  99 100

  98

  97

  Perhitungan Chi Square berikut:

  ) ( 100000 99507 52 . )

  95

  χ

  Draper, N.R & H. Smith, (1992). Analisis Regresi Terapan , Bambang Sumantri (Penerjemah), PT. Gramedia Pustaka

  Numerik Untuk Teknik , S. Sardy (Penerjemah). Universitas Indonesia, Jakarta.

  Actuaries, Schaumburg Illinois. Canale, P & Chapra, (1991). Metode

  National Center for Health Statistics, Hyattsville, Maryland. Bowers, (1997). Actuarial Mathematics, second edition, The Society of

  Anderson, RN, (1999) . “US Decennial Life Table for 1979

  Chi Square , dapat disimpulkanbahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai l x tahunan hasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai l x tahunanhasil simulasi asumsi Gompertz.

  KESIMPULAN Berdasarkan hasil pengujian dengan

  2 = 1118,5 untuk db = 2 adalah p-value < 0,001. Artinya dengan taraf nyata sebesar 5% dapat dinyatakan bahwa tidak ada perbedaan yang signifikan antara nilai lx tahunan hasil perhitungan interpolasi spline dengan nilai lx tahunan hasil simulasi asumsi Gompertz.

  Jika p- value > α, maka terima H Dengan menggunakan Tabel C sebagai acuan, diketahui bahwa kemungkinan yang berkaitan

  ( 100000 100492 5 , ^{2 2}  

  Jika p-value < α, maka tolak H ii.

  = 2,41 + 2,437 + … + 35,313+ 35,552 = 1118,5 Pengambilan keputusan : i.

  

  ) 182 , 2365 2654 ( ^{2 2}  

  2342 ) 2342 2053 ( 2365 182 ,

   

  ( 100000 100492 5 , ^{2 2} 

  100492 5 , )

  99507 52 , ) ( 100000 99507 52 .

  96

  94

  46

  36

  44

  43

  42

  41

  40

  39

  38

  37

  35

  93

  34

  33

  32

  31

  30

  29

  28

  27

  45

  47

  

Des Alwine Zayanti: Perbandingan Perhitungan Jumlah Penduduk Tahunan Dengan

Interpolasi Spline Dan Simulasi Asumsi Gompertz

  84

  92

  91

  90

  89

  88

  87

  86

  85

  83

  48

  82

  81

  80

  79

  78

  77

  50 98867 98763 98652 98533 98404 98265 98115 97954 97780 97593 97391 97175 96941 96690 96420 96129 95817 95481 95120 94732 94315 93867 93386 92871 92317

  49

  26

DAFTAR PUSTAKA

• – 1981”, vol 1 – 4,

  

Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013

Hanselman, D & Littlefield, B, (2000). Their Estimation , third edition, Actex

Matlab Bahasa Komputasi Teknik , Publication, Winstead.

  Pearson Education Asia Pte, Ltd. dan Sugiyono, (2004). Statistika Non penerbit Andi, Yogyakarta.

  Parametrik untuk Penelitian , Alfabeta, London,D, (1998). Survival Model and Bandung.