Konstruksi Materi Kesebangunan dan Kongr
Kesebangunan dan Kongruen
Kompetensi Dasar :
1. Mengidentifikasi Bangun – bangun Datar yang Saling Sebangun dan Kongruen.
2. Mengidentifikasi Sifat – sifat Dua Segitiga Sebangun dan Kongruen
3. Menggunakan Konsep Kesebangunan Segitiga yang Sebangun
Indikator :
1.1 Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak dengan menyebutkan syarat –
syaratnya.
1.2 Mengidentifikasi dan menyebut syarat dua bangun yang kongruen atau tidak.
1.3 Menentukan Panjang Sisi – sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang kongruen
atau dua bangun yang sebangun.
2.1 Mengenali dua segitiga yang sebangun atau tidak sebangun dengan menyebutkan
syarat – syaratnya.
2.2 Mengenali dua segitiga yang kongruen atau tidak kongruen dengan menyebutkan
syarat – syaratnya.
2.3 Membuktikan dua segitiga yang kongruen.
2.4 Menentukan perbandingan sisi dua segitiga sebangun atau kongruen dan menghitung
sisi yang belum diketahui.
3.1 Menghitung panjang sisi dua segitiga yang sebangun
3.2 Memecahkan masalah yang melibatkan kesebangunan
Pembahasan
A
B
E
F
24 cm
C
36 cm
120 cm
D
G
180 cm
H
Perhatikan persegi panjang ABCD dan EFGH
Perbandingan antara panjang persegi panjang ABCD dan persegi panjang
persegipanjang EFGH adalah
AB CD 36 1
=
=
= .
EF GH 180 5
Demikian
pula
dengan
AC … 24 1
=
= =
EG FN … 5 . Dengan demikian sisi – sisi yang bersesuaian
lebarnya, yaitu
memiliki .................
Oleh karena semua sudut persegi panjang besarnya
90 °
(Siku- siku) maka sudut
sudut yang bersesuaian dari kedua persegi panjang itu besarnya sama. Nah, kira – kira kenapa
yha dua bangun datar dikatakan sebangun? Gampang kok jawabannya. Pasti diotaknya kalian
sudah terpikirkan. Kalau belum baca kembali dan cermati sudah jelas gitu jawabannya.
Selanjutnya tulis yha dibawah sini
1. .............................................................................................-_2. .............................................................................................-_D
C
F
4 cm
4 cm
A
6 cm
B
6 cm
E
Gambar diatas menunjukkan gambar permukaan lantai yang akan dipasangi ubin. Jika
ubin ABCD digeser searan AB (tanpa dibalik), diperoleh A →B, B→E, D→C, dan C→F
sehingga ubin ABCD menempati ubin ........-_-........... . Akibatnya,
AB→BE sehingga AB = .... = 6 cm
......→CF sehingga DC = .... = 6 cm
AD→BC sehingga AD = BC = ......cm
......→EF sehingga ....... = EF = 4 cm
Demikian pula sudut – sudutnya mengalami pergeseran. Akibatnya,
∠ A→ ∠ B
sehingga
∠ A = ∠B
∠ B→ ∠ E sehingga
∠ B = ∠E
∠ D→ ∠C
∠ D = ...........
sehingga
… … . → ∠ F sehingga
∠ C = ..........
Sekarang tinggal disimpulkan aja kenapa dua bangun datar dikatakan kongruen. Tulis
yha kesimpulannya dibawah sini
a) ..................................................................................
b) ..................................................................................
Perhatikan gambar di bawah ini...!!
D
C
S
R
5 cm
A
2 cm B
...........?
P
6 cm
Q
Hmmmmmm berapa yha panjang QR....?? Mari kita cari tahu!!
Salah satu syarat dua bangun datar dikatakan sebangun adalah sisi – sisi yang
bersesuaian sebanding. Nah kita gunakan saja sisi – sisi yang bersesuaian tersebut untuk
mencari panjang QR.
AB 2 1
= = , nilai perbandingan salah satu sisi yang bersesuain adalah
PQ 6 3
perbandingan semua sisi – sisi yang bersesuaian adalah ............ . Maka,
BC … .. 1
=
=
QR QR 3
QR=5 x … . .
= 15 cm
Atau bisa juga menggunakan cara seperti berikut
AB BC
=
PQ QR
2 …
=
… QR
1
. Berarti nilai
3
2QR =6 x …
2QR =30
QR=…
Gampangkan
Pembahasan Selanjutnya Syarat – syarat Dua Segitiga Sebangun
C
R
b
a
c
A
2b
B
2a
2c
P
Q
Berdasarkan gambar diatas maka
PQ=2 AB=2c
QR=…=2 a
…=AC=…
AB BC … 1
=
=
=
Sehingga
PQ … PR 2
Kemudian diperoleh sudut – sudutnya sebagai berikut :
∠ A=∠ P
∠ B=…
∠ C=…
Dari dua hal di atas dapat disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan sebangun apabila
a) ....................................................................................
b) ....................................................................................
Diberikan dua buah segitiga yaitu
C
M
A
B
K
L
AB=KL , BC =… , dan AC=KM . Hal ini
Sesuai dengan gambar di atas maka
menunjukkan bahwa dua segita yang kongruen memiliki syarat umum yaitu
..................................................................................................... (syarat 1)
Lakukanlah pengukuran pada masing – masing sudut kedua segitiga tersebut. Jika
dilakukan
pengukuran
dengan
benar
maka
akan
diperoleh
hubunga
∠ A=∠ K , ∠ B=∠ L ,∠ C=… . Hal ini menunjukka bahwa dua segitiga yang kongruen
memiliki sifat umum yaitu
.....................................................................................................(syarat 2)
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi – sisi yang bersesuaian dari dua
segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara
umum? Untuk mengetahuinya lakukanlah percobaan seperti berikut
Gambarlah lima pasang segitiga sembarang yang sisi – sisi bersesuainnya sama
panjang. Kemudian ukurlah besar sudut yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga
tersebut. Dapatkah dinyatakan bahwa jika sisi – sisi yang bersesuaian dari dua
segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen?
Tuliskan kesimpulan anda dibawah ini
....................................................................................................................
...............................
Selanjutnya gambarlah dua segitiga misalnya
MN =PQ =5 cm , panjang
∆ MNO
dimana Panjang
R
4 cm
4 cm
5 cm
N
P
Ukurlah panjang NO dan QR, besar
Jika
∆ PQR
MO=PQ=4 cm , dan ∠ M =∠ P=60 ° .
O
M
dan
dilakukan
pengukuran
∠N
dengan
dan
benar,
5 cm
Q
∠ Q , serta besar
kamu
akan
NO=QR , ∠ N=∠Q , dan ∠ O=∠ R .
Dengan demikian, pada ∆ MNO
dan ∆ PQR
berlaku :
∠O
dan
memperoleh
∠R .
hubungan
MN =… , NO=QR , … ..=PR
∠ M =∠ P ,∠ N =… , ∠ O=…
i.
ii.
Berdasarkan apa yang telah dipaparkan di atas menunjukkan bahwa
∆ MNO
dan
∆ PQR memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen yaitu
Dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga ................................ dan sudut yang
diapitnya ............................................. maka kedua kedua segitiga itu kongruen
(s, sd, s)
Buatlah garis yang menghubungkan titik E dan titik F dengan panjang 2 cm. Kemudian, buat
garis yang menghubungkan titik H dan titik I dengan panjang 2 cm.
Setelah itu, dari titik E tariklah garis yang membentuk sudut sudut
pula garis pada titik F yang membentuk sudut
90 °
dan tarik
45 ° . Sehinggga garis yang ditarik dari titik
E dan titik F akan berpotongan dititik G. Kemudian lakukan hal yang sama pada garis HI.
Maka akan terbentuk dua buah segitiga seperti berikut
G
E
J
2 cm
F
H
2 cm
I
Ukurlah panjang garis FG, EG, IJ, HJ, dan ukurlah sudut
∠ G dan∠ J . Jika
dilakukan pengukuran dengan benar maka akan diperoleh hubungan yang berlaku seperti
berikut.
∠ E=∠ H , ∠ F=… , ∠G=…
EF=… , EG =… , FG=IJ
Hal ini menunjukkan bahwa ∆ EFG
dan
∆ HIJ
memenuhi sifat dua segitiga
yang kongruen yaitu :
.................................................................................................................dan
sisi
yang berada diantaranya............................... maka kedua segitiga itu kongruen (sd,
s, sd)
Amati gambar dibawah ini!
A
C
M
B
K
L
Pada gambar di atas ∠ A=∠ L , ∠ B=∠ M , dan AC=KL . Ukurlah besar ∠C dan ∠ K ,
serta panjang
AB dan LM ,
BC dan KM . Berdasarkan pengukuran
serta panjang
tersebut kamu akan memperoleh hubungan ∠C=∠… , AB=LM , BC =… .
Dengan demikian, pada ∆ ABC
dan ∆ KLM
berlaku
∠ A=∠ … … ,∠ … …=∠ M ,∠ C=∠… …
AB=LM , BC=… , AC =…
Hal ini menunjukkan bahwa
∆ ABC
dan
∆ KLM
memenuhi sifat dua segitiga
yang kongruen yaitu
................................................................................................................................
......................................................dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama
panjang (sd, sd, s)
Bagaimanakah cara mencari panjang sisi salah satu segitiga kongruen yang belum
diketahui? Berikut ini akan dibahas bagaimana cara mencarinya
Misal diberikan dua segitiga kongruen seperti berikut
C
A
10 cm
B
6 cm
F
H
15 cm
G
Berdasarkan gambar diatas berapakah panjang AC?
Salah satu syarat dua segitiga sebangun adalah sisi – sisi yang bersesuaian sama panjang.
Untuk mencari panjang AC dapat menggunakan perbandingan sisi – sisi yang bersesuaian
seperti berikut
BC 10 2
= = , karena
GH 15 3
∆ ABC
dan
∆ FGH
sebangun maka semua
nilai perbandingan sisi – sisi yang bersesuaian sama sehingga
AC AC 2
=
=
FH … … 3
3 AC=6 x …
3 AC =12
AC =…
Atau
BC
AC
=
GH … …
10
AC
=
…… ……
15 AC =… x 6
15 AC =60
AC =…
Diberikan sebuah masalah seperti berikut
Andi yang tingginya 170 cm berdiri pada jarak 4 m dari sebuah pohon. Jika
bayangan andi 2 m hitunglah tinggi pohon
Untuk menjawabnya buatlah model segitiga seperti berikut
x
1,7 m
4m
x ….
=
1,7 2
2 x =… x 4
2 x =6,8
2m
x=…
Jadi tinggi pohon adalah ......... m .
Kompetensi Dasar :
1. Mengidentifikasi Bangun – bangun Datar yang Saling Sebangun dan Kongruen.
2. Mengidentifikasi Sifat – sifat Dua Segitiga Sebangun dan Kongruen
3. Menggunakan Konsep Kesebangunan Segitiga yang Sebangun
Indikator :
1.1 Membedakan dua bangun datar sebangun atau tidak dengan menyebutkan syarat –
syaratnya.
1.2 Mengidentifikasi dan menyebut syarat dua bangun yang kongruen atau tidak.
1.3 Menentukan Panjang Sisi – sisi yang belum diketahui dari dua bangun yang kongruen
atau dua bangun yang sebangun.
2.1 Mengenali dua segitiga yang sebangun atau tidak sebangun dengan menyebutkan
syarat – syaratnya.
2.2 Mengenali dua segitiga yang kongruen atau tidak kongruen dengan menyebutkan
syarat – syaratnya.
2.3 Membuktikan dua segitiga yang kongruen.
2.4 Menentukan perbandingan sisi dua segitiga sebangun atau kongruen dan menghitung
sisi yang belum diketahui.
3.1 Menghitung panjang sisi dua segitiga yang sebangun
3.2 Memecahkan masalah yang melibatkan kesebangunan
Pembahasan
A
B
E
F
24 cm
C
36 cm
120 cm
D
G
180 cm
H
Perhatikan persegi panjang ABCD dan EFGH
Perbandingan antara panjang persegi panjang ABCD dan persegi panjang
persegipanjang EFGH adalah
AB CD 36 1
=
=
= .
EF GH 180 5
Demikian
pula
dengan
AC … 24 1
=
= =
EG FN … 5 . Dengan demikian sisi – sisi yang bersesuaian
lebarnya, yaitu
memiliki .................
Oleh karena semua sudut persegi panjang besarnya
90 °
(Siku- siku) maka sudut
sudut yang bersesuaian dari kedua persegi panjang itu besarnya sama. Nah, kira – kira kenapa
yha dua bangun datar dikatakan sebangun? Gampang kok jawabannya. Pasti diotaknya kalian
sudah terpikirkan. Kalau belum baca kembali dan cermati sudah jelas gitu jawabannya.
Selanjutnya tulis yha dibawah sini
1. .............................................................................................-_2. .............................................................................................-_D
C
F
4 cm
4 cm
A
6 cm
B
6 cm
E
Gambar diatas menunjukkan gambar permukaan lantai yang akan dipasangi ubin. Jika
ubin ABCD digeser searan AB (tanpa dibalik), diperoleh A →B, B→E, D→C, dan C→F
sehingga ubin ABCD menempati ubin ........-_-........... . Akibatnya,
AB→BE sehingga AB = .... = 6 cm
......→CF sehingga DC = .... = 6 cm
AD→BC sehingga AD = BC = ......cm
......→EF sehingga ....... = EF = 4 cm
Demikian pula sudut – sudutnya mengalami pergeseran. Akibatnya,
∠ A→ ∠ B
sehingga
∠ A = ∠B
∠ B→ ∠ E sehingga
∠ B = ∠E
∠ D→ ∠C
∠ D = ...........
sehingga
… … . → ∠ F sehingga
∠ C = ..........
Sekarang tinggal disimpulkan aja kenapa dua bangun datar dikatakan kongruen. Tulis
yha kesimpulannya dibawah sini
a) ..................................................................................
b) ..................................................................................
Perhatikan gambar di bawah ini...!!
D
C
S
R
5 cm
A
2 cm B
...........?
P
6 cm
Q
Hmmmmmm berapa yha panjang QR....?? Mari kita cari tahu!!
Salah satu syarat dua bangun datar dikatakan sebangun adalah sisi – sisi yang
bersesuaian sebanding. Nah kita gunakan saja sisi – sisi yang bersesuaian tersebut untuk
mencari panjang QR.
AB 2 1
= = , nilai perbandingan salah satu sisi yang bersesuain adalah
PQ 6 3
perbandingan semua sisi – sisi yang bersesuaian adalah ............ . Maka,
BC … .. 1
=
=
QR QR 3
QR=5 x … . .
= 15 cm
Atau bisa juga menggunakan cara seperti berikut
AB BC
=
PQ QR
2 …
=
… QR
1
. Berarti nilai
3
2QR =6 x …
2QR =30
QR=…
Gampangkan
Pembahasan Selanjutnya Syarat – syarat Dua Segitiga Sebangun
C
R
b
a
c
A
2b
B
2a
2c
P
Q
Berdasarkan gambar diatas maka
PQ=2 AB=2c
QR=…=2 a
…=AC=…
AB BC … 1
=
=
=
Sehingga
PQ … PR 2
Kemudian diperoleh sudut – sudutnya sebagai berikut :
∠ A=∠ P
∠ B=…
∠ C=…
Dari dua hal di atas dapat disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan sebangun apabila
a) ....................................................................................
b) ....................................................................................
Diberikan dua buah segitiga yaitu
C
M
A
B
K
L
AB=KL , BC =… , dan AC=KM . Hal ini
Sesuai dengan gambar di atas maka
menunjukkan bahwa dua segita yang kongruen memiliki syarat umum yaitu
..................................................................................................... (syarat 1)
Lakukanlah pengukuran pada masing – masing sudut kedua segitiga tersebut. Jika
dilakukan
pengukuran
dengan
benar
maka
akan
diperoleh
hubunga
∠ A=∠ K , ∠ B=∠ L ,∠ C=… . Hal ini menunjukka bahwa dua segitiga yang kongruen
memiliki sifat umum yaitu
.....................................................................................................(syarat 2)
Berdasarkan uraian di atas tampak bahwa jika sisi – sisi yang bersesuaian dari dua
segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen. Apakah hal itu berlaku secara
umum? Untuk mengetahuinya lakukanlah percobaan seperti berikut
Gambarlah lima pasang segitiga sembarang yang sisi – sisi bersesuainnya sama
panjang. Kemudian ukurlah besar sudut yang bersesuaian dari setiap pasang segitiga
tersebut. Dapatkah dinyatakan bahwa jika sisi – sisi yang bersesuaian dari dua
segitiga sama panjang maka dua segitiga tersebut kongruen?
Tuliskan kesimpulan anda dibawah ini
....................................................................................................................
...............................
Selanjutnya gambarlah dua segitiga misalnya
MN =PQ =5 cm , panjang
∆ MNO
dimana Panjang
R
4 cm
4 cm
5 cm
N
P
Ukurlah panjang NO dan QR, besar
Jika
∆ PQR
MO=PQ=4 cm , dan ∠ M =∠ P=60 ° .
O
M
dan
dilakukan
pengukuran
∠N
dengan
dan
benar,
5 cm
Q
∠ Q , serta besar
kamu
akan
NO=QR , ∠ N=∠Q , dan ∠ O=∠ R .
Dengan demikian, pada ∆ MNO
dan ∆ PQR
berlaku :
∠O
dan
memperoleh
∠R .
hubungan
MN =… , NO=QR , … ..=PR
∠ M =∠ P ,∠ N =… , ∠ O=…
i.
ii.
Berdasarkan apa yang telah dipaparkan di atas menunjukkan bahwa
∆ MNO
dan
∆ PQR memenuhi sifat dua segitiga yang kongruen yaitu
Dua sisi yang bersesuaian dari dua segitiga ................................ dan sudut yang
diapitnya ............................................. maka kedua kedua segitiga itu kongruen
(s, sd, s)
Buatlah garis yang menghubungkan titik E dan titik F dengan panjang 2 cm. Kemudian, buat
garis yang menghubungkan titik H dan titik I dengan panjang 2 cm.
Setelah itu, dari titik E tariklah garis yang membentuk sudut sudut
pula garis pada titik F yang membentuk sudut
90 °
dan tarik
45 ° . Sehinggga garis yang ditarik dari titik
E dan titik F akan berpotongan dititik G. Kemudian lakukan hal yang sama pada garis HI.
Maka akan terbentuk dua buah segitiga seperti berikut
G
E
J
2 cm
F
H
2 cm
I
Ukurlah panjang garis FG, EG, IJ, HJ, dan ukurlah sudut
∠ G dan∠ J . Jika
dilakukan pengukuran dengan benar maka akan diperoleh hubungan yang berlaku seperti
berikut.
∠ E=∠ H , ∠ F=… , ∠G=…
EF=… , EG =… , FG=IJ
Hal ini menunjukkan bahwa ∆ EFG
dan
∆ HIJ
memenuhi sifat dua segitiga
yang kongruen yaitu :
.................................................................................................................dan
sisi
yang berada diantaranya............................... maka kedua segitiga itu kongruen (sd,
s, sd)
Amati gambar dibawah ini!
A
C
M
B
K
L
Pada gambar di atas ∠ A=∠ L , ∠ B=∠ M , dan AC=KL . Ukurlah besar ∠C dan ∠ K ,
serta panjang
AB dan LM ,
BC dan KM . Berdasarkan pengukuran
serta panjang
tersebut kamu akan memperoleh hubungan ∠C=∠… , AB=LM , BC =… .
Dengan demikian, pada ∆ ABC
dan ∆ KLM
berlaku
∠ A=∠ … … ,∠ … …=∠ M ,∠ C=∠… …
AB=LM , BC=… , AC =…
Hal ini menunjukkan bahwa
∆ ABC
dan
∆ KLM
memenuhi sifat dua segitiga
yang kongruen yaitu
................................................................................................................................
......................................................dan satu sisi sekutu kedua sudutnya sama
panjang (sd, sd, s)
Bagaimanakah cara mencari panjang sisi salah satu segitiga kongruen yang belum
diketahui? Berikut ini akan dibahas bagaimana cara mencarinya
Misal diberikan dua segitiga kongruen seperti berikut
C
A
10 cm
B
6 cm
F
H
15 cm
G
Berdasarkan gambar diatas berapakah panjang AC?
Salah satu syarat dua segitiga sebangun adalah sisi – sisi yang bersesuaian sama panjang.
Untuk mencari panjang AC dapat menggunakan perbandingan sisi – sisi yang bersesuaian
seperti berikut
BC 10 2
= = , karena
GH 15 3
∆ ABC
dan
∆ FGH
sebangun maka semua
nilai perbandingan sisi – sisi yang bersesuaian sama sehingga
AC AC 2
=
=
FH … … 3
3 AC=6 x …
3 AC =12
AC =…
Atau
BC
AC
=
GH … …
10
AC
=
…… ……
15 AC =… x 6
15 AC =60
AC =…
Diberikan sebuah masalah seperti berikut
Andi yang tingginya 170 cm berdiri pada jarak 4 m dari sebuah pohon. Jika
bayangan andi 2 m hitunglah tinggi pohon
Untuk menjawabnya buatlah model segitiga seperti berikut
x
1,7 m
4m
x ….
=
1,7 2
2 x =… x 4
2 x =6,8
2m
x=…
Jadi tinggi pohon adalah ......... m .