Integral Ganda Pengertian Integral Ganda

  oki neswan FMIPA-ITB

  

Integral Ganda

Pengertian Integral Ganda

  Z Z R b R f f f

  Integral ganda (x; y) dA adalah perumuman dari integral (x) dx = (x) dx: Misalkan D adalah _{a D}

  [a;b]

  daerah yang berada dalam persegi panjang [a; b] [c; d] : Misalkan P adalah partisi dari persegi panjang yang ditentukan oleh partisi P = fa = x ; x ; x ; : : : ; x = bg dari [a; b] dan P = fc = y ; y ; y ; : : : ; y = dg dari _x

  1 2 n y

  1 2 m

  [c; d] : Maka P menghasilkan persegi-persegi panjang ; x ; yj

  [x i i ] [y j ] = R ij

  1

  1

  yang luasnya adalah A x y x y _{ij = i j = (x i i}

  1 ) (y j j 1 )

  Maka untuk tiap R ij beririsan dengan D; pilih c x ; y : _{ij = (^ i ^ j ) 2 D \ R ij} g : Diperoleh jumlah Riemann atas semua i dan j di mana D \ R 6= ; Misalkan = fc ij ^ij

  X X

  X R f y f x ; y y f x ; y (f; P; ) = (c ij ) x i j = (^ i ^ j ) x i j = (^ i ^ j ) A ij _{D \R ij 6=; D \R ij 6=; D \R ij 6=;}

  Misalkan kP k = max f A ij g : Maka f disebut terintegral atas D jika

  X lim f (^ x i ; y ^ j ) A ij ada.

  kP k!0 _D \R ij 6=;

  Nilai limit ini disebut integral ganda f atas D; yaitu Z Z

  X f x ; y f lim (^ i ^ j ) A ij = (x; y) dA

  kP k!0 _{D \R ij 6=; D}

  Khususnya, jika f (x; y) 0 pada D; maka masing-masing f x ; y (^ i ^ j ) A ij merupakan hampiran volume benda padat,

  V ; antara permukaan z = f (x; y) dan persegi panjang _ij [x ; x ] [y ; y ] ; yaitu _i

  1 i j 1 j

  V f (^ x ; y ^ ) A _{ij i j ij} Dengan demikian,

  X X R (f; P; ) = f (^ x ; ^ y ) A _{D i j ij ij} V = V

  \R ij 6=;

  yaitu R (f; P; ) memberikan hampiran volume benda dibawah permukaan z = f (x; y) di atas daerah D: Jadi, jika f terintegral pada D;

  Z Z V f

  = (x; y) dA _D

  Integral Teriterasi: Teorema Fubini

  2 Sebuah himpunan bagian D disebut y-simple (sederhana-y) jika dapat ditulis sebagai 1 dari R

  D = f(x; y) : a x b; g (x) y g (x)g ; g (y) ; g (y) kontinu pada [c; d]

  1

  1

  

2

  1

  2 Sementara himpunan berikut

  D = f(x; y) : c y d; h (y) x h (y)g ; h (y) ; h (y) kontinu pada [c; d] :

  2

  1

  

2

  1

  2

  dikatakan x-simple (sederhana-x): Daerah sederhana-y

  Daerah sederhana-x Integral yang akan dibahas adalah integral atas daerah yang merupakan gabungan berhingga himpunan yang sederhana-x atau sederhana-y: dengan g (x) ; g (x) kontinu pada [a; b] ; dan h (y) ; h (y) kontinu pada

  1

  2

  1

  2

  [c; d] : Integral atas daerah yang sederhana-x atau sederhana-y dapat dihitung dengan menggunakan Teorema Fubini. Perlu dicatat bahwa sebuah daerah bisa saja sederhana-x dan juga sederhana-y: Contohnya daerah

  2

  2

  di dalam lingkaran x + y = 1 n o n o p p p p

  2

  2

  2

  2

  (x; y) : 1 x 1; 1 x y 1 x = (x; y) : 1 y 1; 1 y x 1 y Theorem 1 (Teorema Fubini) Misalkan D dan D masing-masing himpunan sederhana-y dan sederhana-

  1

  

2

  x:

  1. Jika f (x; y) kontinu pada D ; maka

  1 ₂ #

  Z Z Z b "Z g (x) f f dx _{D 1} (x; y) dA = (x; y) dy _{a g (x) 1}

  2. Jika f ; maka (x; y) kontinu pada D

  2 ₂ #

  Z Z Z d h "Z (x) f (x; y) dA = f (x; y) dx dy _{c h 1 D 2} (x)

  Langkah pertama dalam menggunakan Teorema Fubini untuk menentukan integral ganda adalah menen- tukan kedua fungsi g (x) dan g (x) :

  1

2 Misalkan daerah sederhana-y terletak antara garis vertikal x = a dan x = b: buat garis vertikal melalui

  x

  b: tiap x; a Kemudian tentukan persamaan kedua kurva yang dipotong oleh garis x: Misalkan g (x)

  1

  dan g (x) berturut-turut adalah persamaan kurva batas bawah dan batas atas D: Maka

  2 ₂ #

  Z Z Z b "Z g (x) f f dx _D (x; y) dA = (x; y) dy _{a g (x) 1} Dengan cara serupa, untuk daerah sederhana-x; terletaj antara garis horizontal y = c dan y = d: untuk tiap y; c y d; buat garis horizontal melalui y: Dari kiri kekanan, misalkan h (y) dan h (y) berturutu-turut

  1

  2

  adalah persamaan kurva batas kiri dan kana atas D: Maka ₂ # Z Z Z d "Z h (x) f f dyn _{D 2} (x; y) dA = (x; y) dx _{c h (x) 1} Z Z ₂ R g (x) f f

  Pada integral ganda (x; y) dA di atas, A (x) = (x; y) dy dapat dipandang sebagai "luas _{D 1 g (x) 1} penampang" seperti pada gambar di bawah. Tentu saja dalam situasi umum, A (x) dapat bernilai negatif.

  Akan tetapi cara pandang ini sangat membantu kita memahami bahwa jika f (x; y) 0; maka integral : ini akan memberikan volume benda pejal dibawah permukaan z = f (x; y) dan di atas daerah D Artinya,

  1

  jika kita mengetahui luas penampang benda pejal S; maka kita dapat menentukan volumenya. Tentu saja Z Z interpretasi serupa juga berlaku untuk integral ganda f (x; y) dA: _{D 2}

  Jadi, f (x; y) 0 untuk tiap (x; y) 2 D dan terintegral, maka volume benda antara z = f (x; y) dan Z Z daerah D adalah f (x; y) dA: _D

  3 CONTOH Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh sb-y; garis y = 8; dan y = x : Gunakan interal

  Sebagai himpunan sederhana-y;

  3 R x y

  = (x; y) : 0 2; x 8 : Maka luas daerah L adalah

  Z Z Z Z Z Z

  2

  2

  8

  2

  2

  4

  x

  8 ₃

  3 L dA dydx y dx x dx

  = = = ] = _{x 3 x} 8 = 8x = 12 _R

  4 Sedangkan sebagai himpunan sederhana-x; n ₃ ^{1 o} R y x y :

  = (x; y) : 0 8; 0 Maka _{3 1 1} Z Z Z

8 Z y Z

  8 Z _{y 3}

  8 _{1 4}

  8 ₃

  3 ₃ L = dA = dxdy = x ] dy = y dy = y = 12: _R

  4 CONTOH Misalkan S adalah benda pejal pada oktan pertama yang dibatasi oleh bidang-bidang koor-

  2

  dinat, bidang x + 2y = 4; dan silinder parabolik z = 4 y : Tentukan volume S: Pertama kita tentukan dulu daerah pada bidang XY yaitu bidang z = 0: Pada bidang ini, silinder parabolik

  2

  y memberikan 0 = 4 atau y = 2: Diperoleh dua garis y = 2 dan y = 2: Karena benda berada pada Jadi diperoleh segitiga

  T = f(x; y) : 0 y 2; 0 x 4 2yg Maka volume adalah

  Z

  2 Z 4 2y Z

  2 Z

  2 2 2 4 2y

  2 V y dxdy xy dy dy

  = 4 = 4x = 4 (4 2y) (4 2y) y Z Z

  2

  2

  1

  4

  3

  2

  4

  3

  2

  y y = 2y 4y 8y + 16 dy = 4y + 16y

  2

  3

  40 =

  3 Sebaliknya, dengan memandang T sebagai himpunan sederhan-x; 4 2x T x y ;

  = (x; y) : 0 4; 0

  2 maka _{x ! x}

  4

  2 ²

  4

  3

  2 Z Z Z ²

  y

2 V =

  4 y dydx = 4y dx

  3 !

  4

  

4

3 Z x Z

  x

  2

  1

  1

  8

  2

  3

  2

  = 4 2 = 8 2x 2x +

• dx x x dx

  2

  3

  24

  2

  3

  4

  2

  x

  1

  1

  8

  40

  4

  3

  2

  x x x x

• 2
• = 8x =

  96

  6

  3

  3 CONTOH Tentukan volume tetrahedron yang dibatasi oleh bidang-bidang x + 2z + y = 2; x = 2z; x = 0 dan y = 0: Contoh ini akan dikerjakan dalam tiga cara:

  1. Irisan bidang x + 2z + y = 2; x = 2z; dengan bidang y = 0 adalah garis-garis x + 2z = 2 dan x = 2z: Kedua garis ini berpotongan di x = 1: Jadi, pada bidang XOZ; diperoleh segitiga D y yang dibatasi oleh garis-garis x + 2z = 2; x = 2z; dan sb-z: Sebagai daerah sederhana-z; D dapat dinyatakan sebagai _y x x

  2 D x z : _{y = (x; z) : 0 1;}

  2

  2 Gambar benda adalah Agar lebih mudah, maka sebagai bidang datar digunakan bidang yang memuat D y yaitu bidang y = 0 atau bidang-xz: Maka diperoleh gambar berikut. x

  Benda ini dapat dipandang sebagai benda yang berada antara alas (y = 0) dan y = 2 2z pada daerah D y : Maka volume adalah _{2 x} Z Z Z Z Z

  1 ²

  1 ² _{2 x}

  2 V x x x z x dx

  = (2 2z) dzdx = (2 2z) dzdx = (2 ) z _{D y 2 x 2 x 2} Z

  1 ²

  

2

  2

  x x x x x dx = (2 ) 1 1 + _x

  2

  2

  2

  2 ₂ Z

  1

  1

  2

  dx = (x 1) =

  3 Sebagai latihan, pandang D y sebagai daerah sederhana-x; kemudian tentukan volume benda. _{x 2 x y}

  2. Sebagai alternatif, benda dapat dipandang di batasi dibawah oleh z = dan di atas oleh z = = _{y x}

  2

  2

  ; 1 pada daerah

  2

2 D x y

  _{z = f(x; y) : 0 1; 0} 2 2xg Maka

  Z Z Z Z

  1 2 2x

  y x x y x x V dydx dydx

  = 1 =

  1 _{D z}

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 2x

  Z Z Z

  1 2 2x

  1

  2

  y y x dydx y xy dx = 1 =

  2

  4 Z

  1

  1

  2

  dx = (x 1) =

  3

  3. Alternatif lain adalah menghitung volume dengan integral ganda terhadap dzdy: Agar lebih mudah memahaminya, maka bidang x = 0 atau bidang-yz digambar sebagai bidang datar.

  y

  Bidang x + y + 2z = 2 memotong bidang x = 0 (atau bidang-yz) pada garis y + 2z = 2 atau z = 1

  2

  ; Jadi, diperoleh segitiga D x n o y

  D y z : _{x = (y; z) : 0 2; 0}

  1

  2 Bidang x + y + 2z = 2 dan x = 2z berpotongan pada sebuah garis yang persamaannya ditentukan dengan menyelesaikan persamaan x

• y + 2z = 2

  : x = 2z _y

  1

  : Substitusi x = 2z pada x + y + 2z = 2 menghasilkan 2z + y + 2z = 2 atau y + 4z = 2 atau z = _y

  2

  4

1 Maka D dibagi dua oleh garis z = ; D = D [ D ; dengan

  _{x x x;}

  1 x;

  2

  2

  4

  y

  1 D = (y; z) : 0 y 2; 0 z

  1

  2

  4 1 y 2 y

  D = (y; z) : 0 y 2; z

  2

  2

  4

  2

  y

  1

  ; Dengan demikian dibawah garis z = batas atas benda adalah bidang x = 2z: Sementara itu, _y

  2

  4

  1

  ; y diatas garis z = batas bawah benda adalah bidang x + y + 2z = 2 atau x = 2 2z:

  2

4 Maka

  _{1 y y} Z Z Z Z Z

2 Z Z

  _{2 4}

  2 Z

  1 ₂ V = 2zdzdy + (2 y 2z) dzdy = 2zdzdy + (2 y 2z) dzdy _{D D 1 2 y 2 1 y 4}

  1

²

Z

  2 ^{1 Z} _y

  2

  2

  2

  z dy y dy = (2 ) z ^{2 4 z} _{1 y}

• 2
_{2 4} " ! !# _{y y}

  2

  2

2 Z

  2

  1

  2 Z

  1

  y y 1 y

  1

  2

  2

  4

• = dy (2 y ) 1 (2 y ) dy

  2

  4

  2

  2

  2

  4

  2 Z

2 Z

  2

  1

  5

  5

  5

  1

  1

  1

  2

  2

  = + ) + (2 y dy y y dy = = +

  2

  4

  32

  8

  8

  6

  6

  3 Exercise 2 Sebagai latihan tentukan volume benda yang dibatasi oleh bidang-bidang x + 2z + y = 2; 2x + y 4z = 0; x = 0 dan y = 0: