pembahasan SMA IPS p4tkmatematika org
PEM BAHASAN UN SM A
TAHUN PELAJARAN 2009/ 2010
M ATEM ATIKA
PROGRAM STUDI IPS
PEM BAHAS :
1. Sigit Tri Guntoro, M .Si.
2. Jakim Wiyoto, S.Si.
3. M arfuah, M .T.
4. Rohmitaw ati, S.Si.
EDITOR :
Dra. Puji Iryant i, M .Sc.
PPPPTK M ATEM ATIKA
2010
1
1.
Nilai kebenaran yang t epat unt uk pernyat aan ( ∧ ) ⇒∽
pada t abel berikut adalah … .
A. S B S B
B. S S S B
C.
SSB B
D. S B B B
E.
BBBB
Penyelesaian:
B
B
( ∧ )
B
S
S
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
∽
S
( ∧ ) ⇒∽
S
Jawab: D
2.
Negasi dari pernyat aan “ Jika ulangan t idak jadi maka semua mur id bersuka ria” adalah … .
A. Ulangan t idak jadi dan semua murid t idak bersuka ria.
B. Ulangan t idak jadi dan semua murid bersuka ria.
C.
Ulangan t idak jadi dan ada mur id t idak bersuka r ia.
D. Ulangan jadi dan semua mur id bersuka ria.
E.
Ulangan jadi dan semua mur id t idak bersuka ria.
Penyelesaian:
M isalkan
: “ ulangan jadi”
: “ semua mur id bersuka ria”
Pernyat aan “ Jika ulangan t idak jadi maka semua mur id bersuka ria” dinot asikan dengan
∽
⇒
.
Nilai kebenaran
kebenaran).
⇒
sama dengan nilai kebenaran ∽
∨ . (Coba selidiki hal ini dengan t abel
2
Sehinga nilai kebenaran dari negasi dari implikasi
dengan nilai kebenaran dari negasi dari ∽ ( ∽
∽
⇒
=∽ ( ∽
∧∽
=
∨ )
∨ ).
⇒
(dinot asikan dengan ∽
⇒
sama
Negasi pernyat aan “ Jika ulangan t idak jadi maka semua mur id bersuka ria” dinot asikan dengan
∽ ∽
∽ ∽
∽
3.
∧∽
⇒
.
⇒
=∽ ( ∽ ( ∽ ) ∨ )
=∽ (
=∽
∨ )
∧∽
: Ulangan t idak jadi dan ada murid yang t idak bersuka r ia.
Jawab: C
Diket ahui beberapa premis berikut :
Premis 1: Jika Rini naik kelas dan ranking sat u maka ia berlibur ke Bali.
Premis 2: Rini t idak berlibur di Bali.
Kesimpulan yang sah adalah … .
A. Rini naik kelas dan t idak ranking sat u.
B. Rini naik kelas maupun ranking sat u.
C.
Rini naik kelas at au t idak ranking sat u.
D. Rini t idak naik kelas at au t idak ranking sat u.
E.
Rini t idak naik kelas t et api t idak ranking sat u.
Penyelesaian:
Soal nomor 3. Ini merupakan permasalahan penarikan kesimpulan dari argumen-argum en yang
diberikan. Argumen adalah serangkaian pernyat aan yang bias digunakan unt uk m enarik suat u
kesimpulan. Argumen t erdiri dari dua kelompok pernyat aan, yait u pernyat aan-pernyat aan
sebelum kesimpulan biasa diist ilahkan pr emis dan kesimpulan (konklusi).
Dalam ilmu logika, ada t iga bent uk argum ent asi yang sah yait u modus ponens, modus t ollens,
dan silogisma.
3
1. M odus ponens
M odus ponens berbent uk sebagai berikut :
Premis 1 suat u implikasi p ⇒ q.
Premis 2 ant eseden dari implikasi t ersebut p .
Konklusinya
.
2. M odus t ollens
M odus t ollens berbent uk sebagai berikut :
Premis 1 suat u implikasi
⇒ .
Premis 2 berupa negasi dari konsekuen ∽
.
Konklusinya ∽
3. Silogisma
Silogisma berbent uk sebagai berikut :
Premis 1 suat u implikasi
Premis 1 suat u implikasi
Konklusinya
⇒
⇒ .
⇒ .
Soal nomor 3 ini merupakan penarikan kesimpulan dengan modus t ollens. Keabsahan modus
t olens ini dapat dit unjukkan dengan mengingat bahwa nilai kebenaran suat u implikasi ekuivalen
dengan nilai kebenaran kont raposisinya.
⇒
≡∽
(Coba cek dengan membuat t abel nilai kebenaran).
M isalkan pernyat aan
⇒∽
: Rini naik kelas.
: Rini ranking sat u.
: Rini berlibur ke Bali.
Premis 1 suat u implikasi yang dinot asikan dengan (
Premis 2 pernyat aan ∽ .
Konklusi ∽ (
∧ )=∽
∧ )⇒ .
∨∽
Jadi kesimpulannya: “ Rini t idak naik kelas at au t idak ranking sat u.”
Jawab: D
4
4.
Bent uk sederhana dar i
∙
A.
∙
adalah … .
B.
C.
D.
E.
Penyelesaian:
∙
∙
=
=
=
=
∙
∙
∙
∙
∙
∙
(
∙
)
Jawab: A
5.
Hasil dari 2 √2 − √6
A. 2 1 − √2
√2 + √6 adalah … .
B. 2 2 − √2
C.
2 √3 − 1
D. 3 √3 − 1
E.
4 2 √3 + 1
Penyelesaian:
2 √2 − √6 √2 + √6
= 2 √2
√2 + 2 √2 √6 − √6 √2 − √6 √6
= 4 + 2 √12 − √12 − 6
= √12 − 2
= √3 ∙ 4 − 2
= 2 √3 − 2
= 2 √3 − 1
Jawab: C
5
6.
Nilai dari
log 5 ×
log 4 ×
log
×
log 25
= ……
A. 24
B. 12
C.
8
D. −4
E.
−12
Penyelesaian:
Ingat beberapa sifat logarit ma berikut :
1).
2).
3).
4).
5).
a
log a 1
a
log bm m. a log b
an
1
log b . a log b
n
a
log b. b log c a log c
a
log
log 5 ×
b a
log b a log c
c
log 4 ×
log
×
log 25
=
log 5 ×
log 2 ×
= log 5 × 2
= log 5 ×
log
log 2 × 3 log
log 2 ×
= log × 2 × 2 × 3
×
log 5
×
2 log 5
log × ( 2 ∙ 1) × 2 × 3
=1× 2 × 2× 3
= 24
Jawab: A
6
7.
Koordinat t it ik pot ong grafik fungsi kuadarat
A. ( 1,0) dan ( 3,0)
( ) = ( − 1) − 4 dengan sumbu
adalah … .
B. ( 0,1) dan ( 0,3)
C.
( −1,0) dan ( 3,0)
D. ( 0, −1) dan ( 0,3)
E.
( −1,0) dan ( −3,0)
Penyelesaian:
Grafik fungsi ( ) = ( − 1) − 4 memot ong sumbu
( ) = ( − 1) − 4
di ( ) = 0
= 0
−2 + 1−4 = 0
−2 −3 = 0
( − 3) ( + 1) = 0
( − 3) = 0 at au ( + 1) = 0
= 3 at au
= −1
Jadi fungsi ( ) = (
− 1) − 4 memot ong sum bu
di ( 3,0) dan ( −1,0) .
Jawab: C
7
8.
= ( − 6) ( + 2)
Koordinat t it ik balik dar i grafik fungsi kuadarat yang persamaannya
adalah … .
A. ( −2,0)
B. ( −1, −7)
C.
( 1, −15)
D. ( 2, −16)
E.
( 3, −24)
Penyelesaian:
Cara I:
Tit ik balik suat u fungsi adalah t it ik opt imum (maksimum/ minim um) yang dicapai oleh fungsi
=
bersangkut an. Unt yuk fungsi kuadarat
grafiknya, yait u
Di
= −
nilai
= −
=
di
= 2 adalah
+
t it ik balik t erjadi pada sumbu sim et ri
.
−
Sumbu simet ri unt uk fungsi
Nilai
+
+
−
+
=
= ( − 6) ( + 2) =
= −16 .
, dengan
=
− 4 − 12 adalah
Jadi t it ik balik t erjadi di t it ik ( 2, −16) .
−4
= −
.
= 2,
Jawab: D
Cara II:
Tit ik balik suat u fungsi adalah t it ik opt imum (maksimum/ minim um) yang dicapai oleh fungsi
bersangkut an. Garis singgung pada t it ik balik t ersebut sejajar sumbu
.
8
Garis yang sejajar sumbu
mem punyai kemiringan/ gradient 0.
=
Gradien garis singgung suat u fungsi
Unt uk mencari t urunan fungsi
( ) adalah
= ( − 6) ( + 2) dapat dilakukan m elalui dua cara.
Cara pert ama, kalikan dulu fakt or-fakt ornya kemudian dicari t urunannya.
= ( − 6) ( + 2)
=
=
− 6 + 2 − 12
− 4 − 12
= 2 −4
Cara kedua, dengan mengingat sifat berikut :
Unt uk suat u fungsi
Unt uk fungsi
=
( ) ( ) berlaku
=
( )+
( )
= ( − 6) ( + 2) ,
( ) = ( − 6) dan ( ) = ( + 2) .
= 1 dan
=1
= 1( + 2) + 1( − 6)
Jadi
= 2 −4
Di t it ik balik, kemir ingan garis singgung sama dengan 0.
= 2 −4 = 0
2 −4 = 0
= 2
Unt uk
Jadi
= 2 nilai
t it ik
balik
adalah ( 2, −16) .
= ( 2 − 6) (2 + 2) = −16.
dari
grafik
fungsi
kuadarat
yang
persamaannya
= ( − 6) ( + 2)
Jawab: D
9
9.
Persamaan grafik fungsi kuadrat m empunyai t it ik ekst rim ( −1,4) dan melalui ( 0,3) adalah … .
A.
B.
C.
D.
E.
= −
+ 2 −3
= −
−2 + 3
= −
−2 + 5
= −
= −
+ 2 + 3
−2 −5
Penyelesaian:
Cara I:
Persamaan grafik fungsi kuadarat yang mem iliki t it ik ekst rim ( , ) adalah
=
( − ) +
.
Unt uk grafik fungsi kuadrat yang m emiliki t it ik ekst rim di ( −1,4) , memenuhi persamaan
=
( + 1) + 4 .
Grafik melalui ( 0,3) maka 3 =
( 0 + 1) + 4
⇔3 =
⇔
+ 4
= −1
Jadi persamaan grafiknya adalah
= −1( + 1) + 4
= −1(
= −
+ 2 + 1) + 4
−2 + 3
Jawab: C
Cara II:
M isalkan fungsi kuadrat t ersebut adalah
=
+
+
.
Fungsi t ersebut mempunyai t it ik ekst rim ( −1,4) . Di t it ik ( −1,4) garis singgung fungsi t ersebut
mempunyai kemir ingan/ gradient nol.
Di t it ik ( −1,4) ,
= 2
+
= 0
−2 +
= 0
= 2
………………………………………………. (i)
Grafik fungsi ini melalui ( 0,3) .
Jadi memenuhi persamaan 3 =
0 +
0+
= 3 ……………………………………………. (ii)
Grafik fungsi ini juga m elalui ( −1,4)
10
( −1) +
Jadi memenuhi persamaan 4 =
− +
4=
M engingat kesamaan (ii)
= 3
4=
1=
M engingat kesamaan (i)
= 2
1=
= −1 ⇒
( −1) +
……………………………………….. (iii)
− + 3
−
−2
= −1
= −2
Jadi fungsi kuadrat t ersebut adalah
= −
− 2 + 3.
Jawab: C
10.
Diket ahui fungsi
:
→ ,
:
→
yang dinyat akan
Komposisi fungsi yang dirumuskan sebagai (
−6 + 5
A.
( )=
∘ ) ( ) = ….
− 2 − 3 dan
( )=
−2
−6 −3
B.
−2 + 6
C.
−2 + 2
D.
−2 −5
E.
Penyelesaian:
( ∘ )( ) =
= (
=
=
( )
= ( − 2) − 2( − 2) − 3
− 4 + 4) − ( 2 − 4) − 3
−4 + 4−2 + 4−3
−6 + 5
Jawab: A
11
11.
Diket ahui fungsi
f ( x)
3x 4
5
; x . Invers dari f adalah f 1 ( x ) ...
2x 5
2
5x 4
3
;x
2x 3
2
3x 4
5
;x
2x 5
2
4x 3
2
;x
5x 2
5
5x 2
3
;x
4x 3
4
5x 4
3
;x
2x 3
2
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
M isalnya
Berart i
y . f ( x) .
y
3x 4
2x 5
3x 4 2 xy 5 y
3x 2 xy 5 y 4
x (3 2 y ) 5 y 4
x
Jadi
f 1 ( x )
5y 4 5 y 4
.
3 2y
2y 3
5x 4
3
;x
2x 3
2
Jawaban : E
12.
Akar-akar persamaan
A.
B.
C.
D.
E.
x 2 2 x 3 0 adalah x1 dan x 2 . Jika x1 > x 2 , maka nilai x1 x2 ....
-4
-2
0
2
4
12
Pembahasan:
Cara I:
Persamaan t ersebut dicari akarnya secara langsung. Yait u
x 2 2 x 3 0 ( x 3)( x 1) 0 yang menghasilkan x1 3 dan x2 1
Dari sini diperoleh
x1 x2 3 (1) 4 .
Cara II:
( x1 x 2 ) 2 x12 x 22 2 x1 x 2
( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2
(2) 2 4(3) = 16. Jadi ( x1 x 2 ) 2 16
Karena
x1 > x 2 maka x1 x2
posit ip sehingga
x1 x2 = 4
Jawaban : E
13.
Akar-akar persamaan kuadarat
A.
B.
C.
D.
E.
x 2 5 x 3 0 adalah dan . Nilai
1 1
....
5
3
3
5
3
5
5
3
8
3
Pembahasan:
Karena persamaan kuadrat
x 2 5 x 3 0 mempunyai akar dan maka
5 dan . 3 . Dengan dem ikian diperoleh
5
1 1
.
3
Jawaban : D
13
14.
x 2 10 x 21 0, x R
x x 3 atau x 7; x R
Himpunan penyelesaian dari
A.
adalah….
x x 7 atau x 3; x R
x 7 x 3; x R
x 3 x 7; x R
x 3 x 7; x R
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
x 2 10 x 21 0 ( x 3)( x 7) 0 . Unt uk mempermudah dalam m enent ukan
penyelesaian digunakan bilangan.
+++++
3
0
+++++
––––––
7
Karena yang dicari hasil negat if maka penyelesaiannya adalah 3 < x < 7
Jawaban : E
15.
Diket ahui m dan n m erupakan penyelesaian dari sist em persamaan
3 x 2 y 17
.
2x 3y 8
Nilai dari m + n = ....
A.
B.
C.
D.
E.
9
8
7
6
5
Pembahasan:
Karena m dan n m erupakan penyelesaian dari
3 x 2 y 17
2x 3y 8
maka harus berlaku
3m 2n 17 dan 2m 3n 8 . Selanjut nya keduanya dijumlahkan menghasilkan
5 m + 5 n = 25. Perhat ikan bahwa 5 m + 5 n = 25 5(m + n ) = 25 m + n = 5
14
Jawaban: E
16.
Pak Temon bekerja dengan per hit ungan 4 hari lembur dan 2 hari t idak lembur sert a mendapat gaji
Rp740.000,00 sedangkan Pak Abdel bekerja 2 hari lembur dan 3 hari t idak lembur dengan gaji
Rp550.000,00. Jika Pak Eko bekerja dengan perhit ungan lembur selama lima hari , maka gaji yang
dit erima Pak Eko adalah ....
A.
Rp450.000,00
B.
Rp.650.000,00
C.
Rp700.000,00
D.
Rp750.000,00
E.
Rp1.000.000,00
Pembahasan:
Sist em persamaan linear yang menggambar kan per masalahan di at as adalah
4 x 2 y 740000 ;2 x 3 y 550000 dengan x = besarnya upah lembur t iap hari dan y =
besarnya upah t idak lembur t iap hari. Dengan m enggunakan m et ode elim inasi
4 x 2 y 740000 3 12 x 6 y 2220000
2 x 3 y 550000 2 4 x 6 y 1100000
diperoleh penyelesaian x = 140000 dan y = 90000. Karena Pak Eko bekerja lembur selama 5 hari
maka ia mendapat gaji 5 × 140000 = 700000.
Jawaban : C
17.
Perhat ikan gambar!
Nilai maksimum f ( x, y )
A.
B.
C.
D.
E.
200
180
120
110
80
60 x 30 y unt uk ( x, y ) pada daerah yang diarsir adalah ....
Y
6
4
X
0
3
8
15
Pembahasan:
Garis selidik yang bersesuaian dengan fungsi sasaran adalah 6 x + 3 y = k. Dengan m enggeser garis
selidik ke kanan maka nilai maksimum diperoleh yait u pada t it ik-t it ik yang mem enuhi 6 x + 3 y = k
yang berada pada daerah yang diarsir. Perhat ikan gambar di bawah
digeser
Y
6
4
4 10
,
3 3
X
0
3
8
garis selidik
4 10
( , ) akan m enghasilkan
3 3
nilai f ( x, y ) 60 x 30 y maksimum. Jadi nilai maksimum dar i f adalah f ( 0,6 ) 60( 0 ) 30 ( 6)
Berart i di t it ik (0,6) at au di perpot ongan kedua garis it u yait u t it ik
= 180 . Sama nilainya dengan
f(
4 10
4
10
, ) = 60( ) 30( ) = 80 + 100 = 180
3 3
3
3
Jawaban : B
18.
2
Tempat parkir seluas 600 m hanya mampu m enampung 58 kendaraan jenis bus dan mobil. Tiap
2
2
mobil m embut uhkan t empat seluas 6 m dan bus 24 m . Biaya par kir t iap mobil Rp2.000,00 dan
bus Rp 3.500,00. Berapa hasil dari biaya par kir maksimum, jika t empat par kie penuh?
A.
Rp87.500,00
B.
Rp116.000,00
C.
Rp137.000,00
D.
Rp163.000,00
E.
Rp203.000,00
16
Pembahasan:
Permasalahan di at as dapat dit uangkan dalam sist em pert idaksamaan linear sebagai berikut :
6 x 24 y 600; x y 58; x 0; y 0 . Nilai maksimum yang akan dicari adalah
f ( x, y ) 2000 x 3500 y dimana x dan y berada dalam daerah peyelesaian sist em
pert idaksamaan t ersebut . Daerah penyelesaian dapat dit ent ukan sebagai ber ikut :
6 x 24 y 600; x y 58; x 0; y 0 disederhanakan dulu menjadi
x 4 y 100; x y 58; x 0; y 0 yang mempunyai daerah penyelesaian
Y
58
25
(44,14)
X
0
58
100
Dengan mencoba snua t it ik pada daerah penyelesaian, diperoleh penyelesaian yang menghasilkan
nilai maksimum yait u
f ( 44,14) 2000 ( 44 ) 3500 (14) = 137000
Jawaban : C
19.
Diket ahui
5
x
y 0
, Q
P
5x x y
5 2y
dan
1 1
R
4 1
Jika P + Q = 5 R, maka nilai x.y = ...
A.
B.
C.
D.
E.
6
5
-5
-6
-14
17
Pembahasan:
x
P Q 5R
5x
5 y 0 5 5
+
=
x y 5 2 y 20 5
5 5 5
x y
=
5x 5 x y 20 5
Dari sini diperoleh hubungan 5 x+5 = 20, x+y = 5 yang menghasilkan penyelesaian x = 3 dan y = 2.
Jadi x.y = 3 . 2 = 6
Jawaban : A
20.
Diket ahui mat riks-mat riks
2 1
A
4 5
dan B
3 2
. Nilai det erm inan mat riks
6 1
2 A – 3 B adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
5
-45
-65
-75
-85
Pembahasan:
4 2
2 A 3B =
8
10
–
9 6 5 4
=
.
18
3
10
7
Jadi det ( 2 A 3B ) = det
5 4
= -5(7) – (-4).(-10) = -35 – 40 = -75
10
7
18
=
21. Diket ahui mat riks
= ⋯
1
5
2
, dan
6
=
3
6
5
. Jika
7
=
−
maka invers mat riks C adalah
1 −3
1
2
1 3
−1 2
−1 3
1 −2
1 −3
−1 2
A.
B.
C.
D.
1
1
E.
3
2
Penyelesaian :
−
=
=
=
=
1
5
2
3
−
6
6
1−3
5−6
−2
−1
5
7
2−5
6−7
−3
−1
Invers mat riks berordo 2 2 jika
( )= | |=
=
−2
−1
=
−3
−1
=
−
( ) = | | = ( −2 − 1) − ( −1
= 2−3
=
= −1
1 −1
−1 1
= −1
=
1
−1
−1
1
−3
2
maka
=
( )
−
−
− 3)
3
−2
3
−2
Jawaban : D
19
22. Diket ahui persamaan mat riks
−6
A.
4
E.
4
2
3
. M aka mat riks A = …
1
−6
5
1
0
0
1
2
D.
=
4
−5
C.
2
4
−5
5
B.
1
3
0
1
1
0
−1
−1
−
Penyelesaian :
=
4
=
= −
=
1 4
2 −3
−2
3
2
= −
=
−3
1
−2
−8 + 2
−6
5
−2
∙
1
1
1 ∙ 4
−
2
2
6−1
−5
∙
=
maka
∙
4
2
4
2
3
1
3
1
3
1
−6 + 1
9
+
2
−
1
2
4
Jawaban : A
23. Dari suat u deret arit m et ika diket ahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah t iga
puluh suku pert ama der et it u adalah …
A. 1.650
B. 1.710
C. 3.300
D. 4.280
E.
5.300
20
Penyelesaian :
= 17 dan
Diket ahui
= 33
Rumus umum suku ke-n dengan suku pert ama a dan beda b adalah
Sehingga diket ahui
=
+ 5
=
=
+ ( − 1)
…………………………………….. (i)
+ 9
…………………………………….. (ii)
Dengan (i) dan (ii) diperoleh
=
+ 5
=
+ 9
−
= −4
−
17 − 33 = −4
−16 = −4
= 4
Sehingga
=
=
+ 5
−5
= 17 − 20
= −3
21
=
2
=
( 2 + ( − 1) )
30
( 2.( −3) + ( 30 − 1) 4)
2
= 15( −6 + 166)
= 15 × 110
= 1.650
Jawaban : A
24. Suku ket iga dan ket ujuh suat u barisan geom et ri bert urut -t urut adalah 6 dan 96. Suku ke-5 barisan
t ersebut adalah …
A. 18
B. 24
C. 36
D. 48
E.
54
Penyelesaian :
M isalkan t erdapat suat u barisan geomet ri
suku pert ama a dan rasio r adalah
Diket ahui
= 6 dan
=
,
,…,
maka rumus umum suku ke-n dengan
.
= 96
=
=
:
=
=
96
= 16
6
= ±2
deret geom et ri diat as = 2.
22
=
6= 4 ⇒
=
3
2
Sehingga suku kelima deret geomet ri t ersebut =
=
=
3
∙2
2
= 18
Jawaban : A
25. Jumlah deret geom et ri t ak hingga 18 + 6 + 2 +
A. 26
+ ⋯ adalah …
B. 27
C. 36
D. 38
E.
54
Penyelesaian :
= 18
Diket ahui
=
=
=
6
1
=
18 3
Oleh kar ena −1 <
→ ∞ maka
=
=
−
1−
1−
< 1 maka nilai
akan semakin kecil dan m endekat i nol. Dalam hal ini unt uk
→ 0 , sehingga diperoleh
( 0)
1−
Sehingga jumlah deret geomet ri t ak hingga diat as adalah sebagai berikut :
=
=
18
1−
1
3
18
2
3
= 27
23
Jawaban : B
= ⋯
26. Nilai lim →
A. −4
B. −1
C. 0
D. 1
E.
4
Penyelesaian :
( − 6) ( − 2)
− 8 + 12
= lim
→
( + 2) ( − 2)
−4
lim
→
=
= lim →
(
(
)
(
)
)
=−
= −
Jawaban : B
= ⋯
27. Nilai lim →
A. −1
B. −
C. 0
D.
E.
1
Penyelesaian:
( )
Fungsi dan limit diat as berbent uk
( )
dengan
cara membagi pembilang dan penyebut dengan
lim
→
3
−2 −1
= lim
→ 3
+ 6 −1
=
−
+
2
6
−
−
( ) ≠ 0. Penyelesaian dapat dit ent ukan dengan
1
1
= lim
→
(karena pangkat t ert ingginya 2). Sehingga :
1−
3+
2
6
−
−
1
1
=
1−
3+
2
∞
6
∞
−
−
1
∞
1
∞
=
Jawaban : D
24
−2
( )= 6
28. Diket ahui
′( 1) = ⋯
+ 3
−
−3 dan
adalah t urunan pert ama dari . Nilai dari
A. 20
B. 21
C. 23
D. 24
E.
26
Penyelesaian :
( ) = 6
( ) = 24
−2
− −3
+ 3
−6
+ 6 −1
(1) = 24(1) − 6( 1) + 6( 1) − 1
= 24 − 6 + 6 − 1
= 23
Jawaban : C
29. Grafik fungsi ( ) =
A. −1 <
B. −5 <
+ 6
< 5
< 1
C.
< 1 at au
D.
< −5 at au
E.
− 15 + 3 naik pada int erval …
> 5
< −1 at au
> 1
> 5
Penyelesaian :
( )=
+ 6
− 15 + 3
unt uk menent ukan dimana
’( ) = 0 3
’( ) = 3
+ 12 − 15
’( ) > 0, misalkan
+ 12 − 15 = 0
( 3 + 15) ( − 1) = 0
( 3 + 15) = 0 ⇒
( − 1) = 0 ⇒
= −5
= 1
dengan garis bilangan r iil :
25
(+)
(-)
-5
(+)
1
jadi dapat di simpulkan bahwa grafik fungsi
uji t erhadap
( ) naik pada int er val
’( )
< −5 dan
30. Hasil penjualan x unit barang dinyat akan oleh fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4
> 1.
Jawaban : D
(dalam
rat usan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diper oleh adalah …
A. Rp. 2.000.000,00
B. Rp. 4.000.000,00
C. Rp. 5.000.000,00
D. Rp. 6.000.000,00
E.
Rp. 7.000.000,00
Penyelesaian :
( ) = 50.000 + 400 − 4
Nilai ( ) akan mencapai nilai maksimum dari nilai
yang diperoleh dari
( ) = 0.
( ) = 400 − 8
400 − 8 = 0
8 = 400
=
400
= 50
8
( ) = −8
( 50) = − 8 < 0 (negat if) maka ( ) mempunyai nilai maksimum yait u ( ) .
Nilai maksimum
( )=
( 50) = 50.000 + 400(50) − 4( 50)
= 50.000 + 20.000 − 10.000
= 60.000
fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4 (dalam rat usan rupiah), sehingga hasil penjualan maksimum
yang diperoleh adalah Rp. 6.000.000,00
Jawaban : D
26
=
31. Diket ahui mat riks
= ⋯
G.
H.
I.
J.
2
, dan
6
=
3
6
5
. Jika
7
=
−
maka invers mat riks C adalah
−3
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
1
F.
1
5
2
3
2
3
−2
−3
2
3
2
Penyelesaian :
−
=
=
1
5
2
3
−
6
6
5
7
1−3 2−5
5−6 6−7
−2 −3
=
−1 −1
=
Invers mat riks berordo 2 2 jika
( )= | |=
=
−2
−1
=
−3
−1
=
−
( ) = | | = ( −2 − 1) − ( −1
= 2−3
= −1
1 −1
−1 1
−1
= −1
=
1
=
1
−1
−3
2
maka
=
( )
−
−
− 3)
3
−2
3
−2
Jawaban : D
27
32. Diket ahui persamaan mat riks
−6
F.
4
J.
4
2
3
. M aka mat riks A = …
1
−6
5
1
0
0
1
2
I.
=
4
−5
H.
2
4
−5
5
G.
1
3
0
1
1
0
−1
−1
−
Penyelesaian :
=
4
=
= −
=
1 4
2 −3
−2
3
2
= −
=
−3
1
−2
−8 + 2
−6
5
−2
∙
1
1
1 ∙ 4
−
2
2
6−1
−5
∙
=
maka
∙
4
2
4
2
3
1
3
1
3
1
−6 + 1
9
+
2
−
1
2
4
Jawaban : A
28
33. Dari suat u deret arit m et ika diket ahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah t iga
puluh suku pert ama der et it u adalah …
F.
1.650
G. 1.710
H. 3.300
I.
4.280
J.
5.300
Penyelesaian :
= 17 dan
Diket ahui
= 33
Rumus umum suku ke-n dengan suku pert ama a dan beda b adalah
Sehingga diket ahui
=
+ 5
=
=
+ ( − 1)
…………………………………….. (i)
+ 9
…………………………………….. (ii)
Dengan (i) dan (ii) diperoleh
=
+ 5
=
+ 9
−
= −4
−
17 − 33 = −4
−16 = −4
= 4
Sehingga
=
=
+ 5
−5
= 17 − 20
= −3
29
=
2
=
( 2 + ( − 1) )
30
( 2.( −3) + ( 30 − 1) 4)
2
= 15( −6 + 166)
= 15 × 110
= 1.650
Jawaban : A
34. Suku ket iga dan ket ujuh suat u barisan geom et ri bert urut -t urut adalah 6 dan 96. Suku ke-5 barisan
t ersebut adalah …
F.
18
G. 24
H. 36
I.
48
J.
54
Penyelesaian :
M isalkan t erdapat suat u barisan geomet ri
suku pert ama a dan rasio r adalah
Diket ahui
= 6 dan
=
,
,…,
maka rumus umum suku ke-n dengan
.
= 96
=
=
:
=
=
96
= 16
6
= ±2
deret geom et ri diat as = 2.
=
30
6= 4 ⇒
=
3
2
Sehingga suku kelima deret geomet ri t ersebut =
=
=
3
∙2
2
= 18
Jawaban : A
35. Jumlah deret geom et ri t ak hingga 18 + 6 + 2 +
F.
26
+ ⋯ adalah …
G. 27
H. 36
I.
38
J.
54
Penyelesaian :
= 18
Diket ahui
=
=
=
6
1
=
18 3
Oleh kar ena −1 <
→ ∞ maka
=
=
−
1−
1−
< 1 maka nilai
akan semakin kecil dan m endekat i nol. Dalam hal ini unt uk
→ 0 , sehingga diperoleh
( 0)
1−
Sehingga jumlah deret geomet ri t ak hingga diat as adalah sebagai berikut :
=
=
18
1−
1
3
18
2
3
= 27
31
Jawaban : B
= ⋯
36. Nilai lim →
F.
−4
G. −1
H. 0
I.
1
J.
4
Penyelesaian :
( − 6) ( − 2)
− 8 + 12
= lim
→
( + 2) ( − 2)
−4
lim
→
=
= lim →
(
)
(
)
)
=−
= −
Jawaban : B
= ⋯
37. Nilai lim →
F.
(
−1
G. −
H. 0
I.
J.
1
Penyelesaian:
( )
Fungsi dan limit diat as berbent uk
( )
dengan
cara membagi pembilang dan penyebut dengan
lim
→
3
−2 −1
= lim
→ 3
+ 6 −1
=
−
+
2
6
−
−
( ) ≠ 0. Penyelesaian dapat dit ent ukan dengan
1
1
= lim
→
(karena pangkat t ert ingginya 2). Sehingga :
1−
3+
2
6
−
−
1
1
=
1−
3+
2
∞
6
∞
−
−
1
∞
1
∞
=
Jawaban : D
32
−2
( )= 6
38. Diket ahui
′( 1) = ⋯
F.
+ 3
−
−3 dan
adalah t urunan pert ama dari . Nilai dari
20
G. 21
H. 23
I.
24
J.
26
Penyelesaian :
( ) = 6
( ) = 24
−2
− −3
+ 3
−6
+ 6 −1
(1) = 24(1) − 6( 1) + 6( 1) − 1
= 24 − 6 + 6 − 1
= 23
Jawaban : C
39. Grafik fungsi ( ) =
F.
−1 <
G. −5 <
+ 6
< 5
< 1
H.
< 1 at au
I.
< −5 at au
J.
− 15 + 3 naik pada int erval …
> 5
< −1 at au
> 1
> 5
Penyelesaian :
( )=
+ 6
− 15 + 3
unt uk menent ukan dimana
’( ) = 0 3
’( ) = 3
+ 12 − 15
’( ) > 0, misalkan
+ 12 − 15 = 0
( 3 + 15) ( − 1) = 0
( 3 + 15) = 0 ⇒
( − 1) = 0 ⇒
= −5
= 1
dengan garis bilangan r iil :
33
(+)
(-)
-5
(+)
1
jadi dapat di simpulkan bahwa grafik fungsi
uji t erhadap
( ) naik pada int er val
’( )
< −5 dan
40. Hasil penjualan x unit barang dinyat akan oleh fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4
> 1.
Jawaban : D
(dalam
rat usan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diper oleh adalah …
F.
Rp. 2.000.000,00
G. Rp. 4.000.000,00
H. Rp. 5.000.000,00
I.
Rp. 6.000.000,00
J.
Rp. 7.000.000,00
Penyelesaian :
( ) = 50.000 + 400 − 4
Nilai ( ) akan mencapai nilai maksimum dari nilai
yang diperoleh dari
( ) = 0.
( ) = 400 − 8
400 − 8 = 0
8 = 400
=
400
= 50
8
( ) = −8
( 50) = − 8 < 0 (negat if) maka ( ) mempunyai nilai maksimum yait u ( ) .
Nilai maksimum
( )=
( 50) = 50.000 + 400(50) − 4( 50)
= 50.000 + 20.000 − 10.000
= 60.000
fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4 (dalam rat usan rupiah), sehingga hasil penjualan maksimum
yang diperoleh adalah Rp. 6.000.000,00
Jawaban : D
34
35
TAHUN PELAJARAN 2009/ 2010
M ATEM ATIKA
PROGRAM STUDI IPS
PEM BAHAS :
1. Sigit Tri Guntoro, M .Si.
2. Jakim Wiyoto, S.Si.
3. M arfuah, M .T.
4. Rohmitaw ati, S.Si.
EDITOR :
Dra. Puji Iryant i, M .Sc.
PPPPTK M ATEM ATIKA
2010
1
1.
Nilai kebenaran yang t epat unt uk pernyat aan ( ∧ ) ⇒∽
pada t abel berikut adalah … .
A. S B S B
B. S S S B
C.
SSB B
D. S B B B
E.
BBBB
Penyelesaian:
B
B
( ∧ )
B
S
S
S
B
S
B
S
B
B
S
S
S
B
B
B
∽
S
( ∧ ) ⇒∽
S
Jawab: D
2.
Negasi dari pernyat aan “ Jika ulangan t idak jadi maka semua mur id bersuka ria” adalah … .
A. Ulangan t idak jadi dan semua murid t idak bersuka ria.
B. Ulangan t idak jadi dan semua murid bersuka ria.
C.
Ulangan t idak jadi dan ada mur id t idak bersuka r ia.
D. Ulangan jadi dan semua mur id bersuka ria.
E.
Ulangan jadi dan semua mur id t idak bersuka ria.
Penyelesaian:
M isalkan
: “ ulangan jadi”
: “ semua mur id bersuka ria”
Pernyat aan “ Jika ulangan t idak jadi maka semua mur id bersuka ria” dinot asikan dengan
∽
⇒
.
Nilai kebenaran
kebenaran).
⇒
sama dengan nilai kebenaran ∽
∨ . (Coba selidiki hal ini dengan t abel
2
Sehinga nilai kebenaran dari negasi dari implikasi
dengan nilai kebenaran dari negasi dari ∽ ( ∽
∽
⇒
=∽ ( ∽
∧∽
=
∨ )
∨ ).
⇒
(dinot asikan dengan ∽
⇒
sama
Negasi pernyat aan “ Jika ulangan t idak jadi maka semua mur id bersuka ria” dinot asikan dengan
∽ ∽
∽ ∽
∽
3.
∧∽
⇒
.
⇒
=∽ ( ∽ ( ∽ ) ∨ )
=∽ (
=∽
∨ )
∧∽
: Ulangan t idak jadi dan ada murid yang t idak bersuka r ia.
Jawab: C
Diket ahui beberapa premis berikut :
Premis 1: Jika Rini naik kelas dan ranking sat u maka ia berlibur ke Bali.
Premis 2: Rini t idak berlibur di Bali.
Kesimpulan yang sah adalah … .
A. Rini naik kelas dan t idak ranking sat u.
B. Rini naik kelas maupun ranking sat u.
C.
Rini naik kelas at au t idak ranking sat u.
D. Rini t idak naik kelas at au t idak ranking sat u.
E.
Rini t idak naik kelas t et api t idak ranking sat u.
Penyelesaian:
Soal nomor 3. Ini merupakan permasalahan penarikan kesimpulan dari argumen-argum en yang
diberikan. Argumen adalah serangkaian pernyat aan yang bias digunakan unt uk m enarik suat u
kesimpulan. Argumen t erdiri dari dua kelompok pernyat aan, yait u pernyat aan-pernyat aan
sebelum kesimpulan biasa diist ilahkan pr emis dan kesimpulan (konklusi).
Dalam ilmu logika, ada t iga bent uk argum ent asi yang sah yait u modus ponens, modus t ollens,
dan silogisma.
3
1. M odus ponens
M odus ponens berbent uk sebagai berikut :
Premis 1 suat u implikasi p ⇒ q.
Premis 2 ant eseden dari implikasi t ersebut p .
Konklusinya
.
2. M odus t ollens
M odus t ollens berbent uk sebagai berikut :
Premis 1 suat u implikasi
⇒ .
Premis 2 berupa negasi dari konsekuen ∽
.
Konklusinya ∽
3. Silogisma
Silogisma berbent uk sebagai berikut :
Premis 1 suat u implikasi
Premis 1 suat u implikasi
Konklusinya
⇒
⇒ .
⇒ .
Soal nomor 3 ini merupakan penarikan kesimpulan dengan modus t ollens. Keabsahan modus
t olens ini dapat dit unjukkan dengan mengingat bahwa nilai kebenaran suat u implikasi ekuivalen
dengan nilai kebenaran kont raposisinya.
⇒
≡∽
(Coba cek dengan membuat t abel nilai kebenaran).
M isalkan pernyat aan
⇒∽
: Rini naik kelas.
: Rini ranking sat u.
: Rini berlibur ke Bali.
Premis 1 suat u implikasi yang dinot asikan dengan (
Premis 2 pernyat aan ∽ .
Konklusi ∽ (
∧ )=∽
∧ )⇒ .
∨∽
Jadi kesimpulannya: “ Rini t idak naik kelas at au t idak ranking sat u.”
Jawab: D
4
4.
Bent uk sederhana dar i
∙
A.
∙
adalah … .
B.
C.
D.
E.
Penyelesaian:
∙
∙
=
=
=
=
∙
∙
∙
∙
∙
∙
(
∙
)
Jawab: A
5.
Hasil dari 2 √2 − √6
A. 2 1 − √2
√2 + √6 adalah … .
B. 2 2 − √2
C.
2 √3 − 1
D. 3 √3 − 1
E.
4 2 √3 + 1
Penyelesaian:
2 √2 − √6 √2 + √6
= 2 √2
√2 + 2 √2 √6 − √6 √2 − √6 √6
= 4 + 2 √12 − √12 − 6
= √12 − 2
= √3 ∙ 4 − 2
= 2 √3 − 2
= 2 √3 − 1
Jawab: C
5
6.
Nilai dari
log 5 ×
log 4 ×
log
×
log 25
= ……
A. 24
B. 12
C.
8
D. −4
E.
−12
Penyelesaian:
Ingat beberapa sifat logarit ma berikut :
1).
2).
3).
4).
5).
a
log a 1
a
log bm m. a log b
an
1
log b . a log b
n
a
log b. b log c a log c
a
log
log 5 ×
b a
log b a log c
c
log 4 ×
log
×
log 25
=
log 5 ×
log 2 ×
= log 5 × 2
= log 5 ×
log
log 2 × 3 log
log 2 ×
= log × 2 × 2 × 3
×
log 5
×
2 log 5
log × ( 2 ∙ 1) × 2 × 3
=1× 2 × 2× 3
= 24
Jawab: A
6
7.
Koordinat t it ik pot ong grafik fungsi kuadarat
A. ( 1,0) dan ( 3,0)
( ) = ( − 1) − 4 dengan sumbu
adalah … .
B. ( 0,1) dan ( 0,3)
C.
( −1,0) dan ( 3,0)
D. ( 0, −1) dan ( 0,3)
E.
( −1,0) dan ( −3,0)
Penyelesaian:
Grafik fungsi ( ) = ( − 1) − 4 memot ong sumbu
( ) = ( − 1) − 4
di ( ) = 0
= 0
−2 + 1−4 = 0
−2 −3 = 0
( − 3) ( + 1) = 0
( − 3) = 0 at au ( + 1) = 0
= 3 at au
= −1
Jadi fungsi ( ) = (
− 1) − 4 memot ong sum bu
di ( 3,0) dan ( −1,0) .
Jawab: C
7
8.
= ( − 6) ( + 2)
Koordinat t it ik balik dar i grafik fungsi kuadarat yang persamaannya
adalah … .
A. ( −2,0)
B. ( −1, −7)
C.
( 1, −15)
D. ( 2, −16)
E.
( 3, −24)
Penyelesaian:
Cara I:
Tit ik balik suat u fungsi adalah t it ik opt imum (maksimum/ minim um) yang dicapai oleh fungsi
=
bersangkut an. Unt yuk fungsi kuadarat
grafiknya, yait u
Di
= −
nilai
= −
=
di
= 2 adalah
+
t it ik balik t erjadi pada sumbu sim et ri
.
−
Sumbu simet ri unt uk fungsi
Nilai
+
+
−
+
=
= ( − 6) ( + 2) =
= −16 .
, dengan
=
− 4 − 12 adalah
Jadi t it ik balik t erjadi di t it ik ( 2, −16) .
−4
= −
.
= 2,
Jawab: D
Cara II:
Tit ik balik suat u fungsi adalah t it ik opt imum (maksimum/ minim um) yang dicapai oleh fungsi
bersangkut an. Garis singgung pada t it ik balik t ersebut sejajar sumbu
.
8
Garis yang sejajar sumbu
mem punyai kemiringan/ gradient 0.
=
Gradien garis singgung suat u fungsi
Unt uk mencari t urunan fungsi
( ) adalah
= ( − 6) ( + 2) dapat dilakukan m elalui dua cara.
Cara pert ama, kalikan dulu fakt or-fakt ornya kemudian dicari t urunannya.
= ( − 6) ( + 2)
=
=
− 6 + 2 − 12
− 4 − 12
= 2 −4
Cara kedua, dengan mengingat sifat berikut :
Unt uk suat u fungsi
Unt uk fungsi
=
( ) ( ) berlaku
=
( )+
( )
= ( − 6) ( + 2) ,
( ) = ( − 6) dan ( ) = ( + 2) .
= 1 dan
=1
= 1( + 2) + 1( − 6)
Jadi
= 2 −4
Di t it ik balik, kemir ingan garis singgung sama dengan 0.
= 2 −4 = 0
2 −4 = 0
= 2
Unt uk
Jadi
= 2 nilai
t it ik
balik
adalah ( 2, −16) .
= ( 2 − 6) (2 + 2) = −16.
dari
grafik
fungsi
kuadarat
yang
persamaannya
= ( − 6) ( + 2)
Jawab: D
9
9.
Persamaan grafik fungsi kuadrat m empunyai t it ik ekst rim ( −1,4) dan melalui ( 0,3) adalah … .
A.
B.
C.
D.
E.
= −
+ 2 −3
= −
−2 + 3
= −
−2 + 5
= −
= −
+ 2 + 3
−2 −5
Penyelesaian:
Cara I:
Persamaan grafik fungsi kuadarat yang mem iliki t it ik ekst rim ( , ) adalah
=
( − ) +
.
Unt uk grafik fungsi kuadrat yang m emiliki t it ik ekst rim di ( −1,4) , memenuhi persamaan
=
( + 1) + 4 .
Grafik melalui ( 0,3) maka 3 =
( 0 + 1) + 4
⇔3 =
⇔
+ 4
= −1
Jadi persamaan grafiknya adalah
= −1( + 1) + 4
= −1(
= −
+ 2 + 1) + 4
−2 + 3
Jawab: C
Cara II:
M isalkan fungsi kuadrat t ersebut adalah
=
+
+
.
Fungsi t ersebut mempunyai t it ik ekst rim ( −1,4) . Di t it ik ( −1,4) garis singgung fungsi t ersebut
mempunyai kemir ingan/ gradient nol.
Di t it ik ( −1,4) ,
= 2
+
= 0
−2 +
= 0
= 2
………………………………………………. (i)
Grafik fungsi ini melalui ( 0,3) .
Jadi memenuhi persamaan 3 =
0 +
0+
= 3 ……………………………………………. (ii)
Grafik fungsi ini juga m elalui ( −1,4)
10
( −1) +
Jadi memenuhi persamaan 4 =
− +
4=
M engingat kesamaan (ii)
= 3
4=
1=
M engingat kesamaan (i)
= 2
1=
= −1 ⇒
( −1) +
……………………………………….. (iii)
− + 3
−
−2
= −1
= −2
Jadi fungsi kuadrat t ersebut adalah
= −
− 2 + 3.
Jawab: C
10.
Diket ahui fungsi
:
→ ,
:
→
yang dinyat akan
Komposisi fungsi yang dirumuskan sebagai (
−6 + 5
A.
( )=
∘ ) ( ) = ….
− 2 − 3 dan
( )=
−2
−6 −3
B.
−2 + 6
C.
−2 + 2
D.
−2 −5
E.
Penyelesaian:
( ∘ )( ) =
= (
=
=
( )
= ( − 2) − 2( − 2) − 3
− 4 + 4) − ( 2 − 4) − 3
−4 + 4−2 + 4−3
−6 + 5
Jawab: A
11
11.
Diket ahui fungsi
f ( x)
3x 4
5
; x . Invers dari f adalah f 1 ( x ) ...
2x 5
2
5x 4
3
;x
2x 3
2
3x 4
5
;x
2x 5
2
4x 3
2
;x
5x 2
5
5x 2
3
;x
4x 3
4
5x 4
3
;x
2x 3
2
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
M isalnya
Berart i
y . f ( x) .
y
3x 4
2x 5
3x 4 2 xy 5 y
3x 2 xy 5 y 4
x (3 2 y ) 5 y 4
x
Jadi
f 1 ( x )
5y 4 5 y 4
.
3 2y
2y 3
5x 4
3
;x
2x 3
2
Jawaban : E
12.
Akar-akar persamaan
A.
B.
C.
D.
E.
x 2 2 x 3 0 adalah x1 dan x 2 . Jika x1 > x 2 , maka nilai x1 x2 ....
-4
-2
0
2
4
12
Pembahasan:
Cara I:
Persamaan t ersebut dicari akarnya secara langsung. Yait u
x 2 2 x 3 0 ( x 3)( x 1) 0 yang menghasilkan x1 3 dan x2 1
Dari sini diperoleh
x1 x2 3 (1) 4 .
Cara II:
( x1 x 2 ) 2 x12 x 22 2 x1 x 2
( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2
(2) 2 4(3) = 16. Jadi ( x1 x 2 ) 2 16
Karena
x1 > x 2 maka x1 x2
posit ip sehingga
x1 x2 = 4
Jawaban : E
13.
Akar-akar persamaan kuadarat
A.
B.
C.
D.
E.
x 2 5 x 3 0 adalah dan . Nilai
1 1
....
5
3
3
5
3
5
5
3
8
3
Pembahasan:
Karena persamaan kuadrat
x 2 5 x 3 0 mempunyai akar dan maka
5 dan . 3 . Dengan dem ikian diperoleh
5
1 1
.
3
Jawaban : D
13
14.
x 2 10 x 21 0, x R
x x 3 atau x 7; x R
Himpunan penyelesaian dari
A.
adalah….
x x 7 atau x 3; x R
x 7 x 3; x R
x 3 x 7; x R
x 3 x 7; x R
B.
C.
D.
E.
Pembahasan:
x 2 10 x 21 0 ( x 3)( x 7) 0 . Unt uk mempermudah dalam m enent ukan
penyelesaian digunakan bilangan.
+++++
3
0
+++++
––––––
7
Karena yang dicari hasil negat if maka penyelesaiannya adalah 3 < x < 7
Jawaban : E
15.
Diket ahui m dan n m erupakan penyelesaian dari sist em persamaan
3 x 2 y 17
.
2x 3y 8
Nilai dari m + n = ....
A.
B.
C.
D.
E.
9
8
7
6
5
Pembahasan:
Karena m dan n m erupakan penyelesaian dari
3 x 2 y 17
2x 3y 8
maka harus berlaku
3m 2n 17 dan 2m 3n 8 . Selanjut nya keduanya dijumlahkan menghasilkan
5 m + 5 n = 25. Perhat ikan bahwa 5 m + 5 n = 25 5(m + n ) = 25 m + n = 5
14
Jawaban: E
16.
Pak Temon bekerja dengan per hit ungan 4 hari lembur dan 2 hari t idak lembur sert a mendapat gaji
Rp740.000,00 sedangkan Pak Abdel bekerja 2 hari lembur dan 3 hari t idak lembur dengan gaji
Rp550.000,00. Jika Pak Eko bekerja dengan perhit ungan lembur selama lima hari , maka gaji yang
dit erima Pak Eko adalah ....
A.
Rp450.000,00
B.
Rp.650.000,00
C.
Rp700.000,00
D.
Rp750.000,00
E.
Rp1.000.000,00
Pembahasan:
Sist em persamaan linear yang menggambar kan per masalahan di at as adalah
4 x 2 y 740000 ;2 x 3 y 550000 dengan x = besarnya upah lembur t iap hari dan y =
besarnya upah t idak lembur t iap hari. Dengan m enggunakan m et ode elim inasi
4 x 2 y 740000 3 12 x 6 y 2220000
2 x 3 y 550000 2 4 x 6 y 1100000
diperoleh penyelesaian x = 140000 dan y = 90000. Karena Pak Eko bekerja lembur selama 5 hari
maka ia mendapat gaji 5 × 140000 = 700000.
Jawaban : C
17.
Perhat ikan gambar!
Nilai maksimum f ( x, y )
A.
B.
C.
D.
E.
200
180
120
110
80
60 x 30 y unt uk ( x, y ) pada daerah yang diarsir adalah ....
Y
6
4
X
0
3
8
15
Pembahasan:
Garis selidik yang bersesuaian dengan fungsi sasaran adalah 6 x + 3 y = k. Dengan m enggeser garis
selidik ke kanan maka nilai maksimum diperoleh yait u pada t it ik-t it ik yang mem enuhi 6 x + 3 y = k
yang berada pada daerah yang diarsir. Perhat ikan gambar di bawah
digeser
Y
6
4
4 10
,
3 3
X
0
3
8
garis selidik
4 10
( , ) akan m enghasilkan
3 3
nilai f ( x, y ) 60 x 30 y maksimum. Jadi nilai maksimum dar i f adalah f ( 0,6 ) 60( 0 ) 30 ( 6)
Berart i di t it ik (0,6) at au di perpot ongan kedua garis it u yait u t it ik
= 180 . Sama nilainya dengan
f(
4 10
4
10
, ) = 60( ) 30( ) = 80 + 100 = 180
3 3
3
3
Jawaban : B
18.
2
Tempat parkir seluas 600 m hanya mampu m enampung 58 kendaraan jenis bus dan mobil. Tiap
2
2
mobil m embut uhkan t empat seluas 6 m dan bus 24 m . Biaya par kir t iap mobil Rp2.000,00 dan
bus Rp 3.500,00. Berapa hasil dari biaya par kir maksimum, jika t empat par kie penuh?
A.
Rp87.500,00
B.
Rp116.000,00
C.
Rp137.000,00
D.
Rp163.000,00
E.
Rp203.000,00
16
Pembahasan:
Permasalahan di at as dapat dit uangkan dalam sist em pert idaksamaan linear sebagai berikut :
6 x 24 y 600; x y 58; x 0; y 0 . Nilai maksimum yang akan dicari adalah
f ( x, y ) 2000 x 3500 y dimana x dan y berada dalam daerah peyelesaian sist em
pert idaksamaan t ersebut . Daerah penyelesaian dapat dit ent ukan sebagai ber ikut :
6 x 24 y 600; x y 58; x 0; y 0 disederhanakan dulu menjadi
x 4 y 100; x y 58; x 0; y 0 yang mempunyai daerah penyelesaian
Y
58
25
(44,14)
X
0
58
100
Dengan mencoba snua t it ik pada daerah penyelesaian, diperoleh penyelesaian yang menghasilkan
nilai maksimum yait u
f ( 44,14) 2000 ( 44 ) 3500 (14) = 137000
Jawaban : C
19.
Diket ahui
5
x
y 0
, Q
P
5x x y
5 2y
dan
1 1
R
4 1
Jika P + Q = 5 R, maka nilai x.y = ...
A.
B.
C.
D.
E.
6
5
-5
-6
-14
17
Pembahasan:
x
P Q 5R
5x
5 y 0 5 5
+
=
x y 5 2 y 20 5
5 5 5
x y
=
5x 5 x y 20 5
Dari sini diperoleh hubungan 5 x+5 = 20, x+y = 5 yang menghasilkan penyelesaian x = 3 dan y = 2.
Jadi x.y = 3 . 2 = 6
Jawaban : A
20.
Diket ahui mat riks-mat riks
2 1
A
4 5
dan B
3 2
. Nilai det erm inan mat riks
6 1
2 A – 3 B adalah ....
A.
B.
C.
D.
E.
5
-45
-65
-75
-85
Pembahasan:
4 2
2 A 3B =
8
10
–
9 6 5 4
=
.
18
3
10
7
Jadi det ( 2 A 3B ) = det
5 4
= -5(7) – (-4).(-10) = -35 – 40 = -75
10
7
18
=
21. Diket ahui mat riks
= ⋯
1
5
2
, dan
6
=
3
6
5
. Jika
7
=
−
maka invers mat riks C adalah
1 −3
1
2
1 3
−1 2
−1 3
1 −2
1 −3
−1 2
A.
B.
C.
D.
1
1
E.
3
2
Penyelesaian :
−
=
=
=
=
1
5
2
3
−
6
6
1−3
5−6
−2
−1
5
7
2−5
6−7
−3
−1
Invers mat riks berordo 2 2 jika
( )= | |=
=
−2
−1
=
−3
−1
=
−
( ) = | | = ( −2 − 1) − ( −1
= 2−3
=
= −1
1 −1
−1 1
= −1
=
1
−1
−1
1
−3
2
maka
=
( )
−
−
− 3)
3
−2
3
−2
Jawaban : D
19
22. Diket ahui persamaan mat riks
−6
A.
4
E.
4
2
3
. M aka mat riks A = …
1
−6
5
1
0
0
1
2
D.
=
4
−5
C.
2
4
−5
5
B.
1
3
0
1
1
0
−1
−1
−
Penyelesaian :
=
4
=
= −
=
1 4
2 −3
−2
3
2
= −
=
−3
1
−2
−8 + 2
−6
5
−2
∙
1
1
1 ∙ 4
−
2
2
6−1
−5
∙
=
maka
∙
4
2
4
2
3
1
3
1
3
1
−6 + 1
9
+
2
−
1
2
4
Jawaban : A
23. Dari suat u deret arit m et ika diket ahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah t iga
puluh suku pert ama der et it u adalah …
A. 1.650
B. 1.710
C. 3.300
D. 4.280
E.
5.300
20
Penyelesaian :
= 17 dan
Diket ahui
= 33
Rumus umum suku ke-n dengan suku pert ama a dan beda b adalah
Sehingga diket ahui
=
+ 5
=
=
+ ( − 1)
…………………………………….. (i)
+ 9
…………………………………….. (ii)
Dengan (i) dan (ii) diperoleh
=
+ 5
=
+ 9
−
= −4
−
17 − 33 = −4
−16 = −4
= 4
Sehingga
=
=
+ 5
−5
= 17 − 20
= −3
21
=
2
=
( 2 + ( − 1) )
30
( 2.( −3) + ( 30 − 1) 4)
2
= 15( −6 + 166)
= 15 × 110
= 1.650
Jawaban : A
24. Suku ket iga dan ket ujuh suat u barisan geom et ri bert urut -t urut adalah 6 dan 96. Suku ke-5 barisan
t ersebut adalah …
A. 18
B. 24
C. 36
D. 48
E.
54
Penyelesaian :
M isalkan t erdapat suat u barisan geomet ri
suku pert ama a dan rasio r adalah
Diket ahui
= 6 dan
=
,
,…,
maka rumus umum suku ke-n dengan
.
= 96
=
=
:
=
=
96
= 16
6
= ±2
deret geom et ri diat as = 2.
22
=
6= 4 ⇒
=
3
2
Sehingga suku kelima deret geomet ri t ersebut =
=
=
3
∙2
2
= 18
Jawaban : A
25. Jumlah deret geom et ri t ak hingga 18 + 6 + 2 +
A. 26
+ ⋯ adalah …
B. 27
C. 36
D. 38
E.
54
Penyelesaian :
= 18
Diket ahui
=
=
=
6
1
=
18 3
Oleh kar ena −1 <
→ ∞ maka
=
=
−
1−
1−
< 1 maka nilai
akan semakin kecil dan m endekat i nol. Dalam hal ini unt uk
→ 0 , sehingga diperoleh
( 0)
1−
Sehingga jumlah deret geomet ri t ak hingga diat as adalah sebagai berikut :
=
=
18
1−
1
3
18
2
3
= 27
23
Jawaban : B
= ⋯
26. Nilai lim →
A. −4
B. −1
C. 0
D. 1
E.
4
Penyelesaian :
( − 6) ( − 2)
− 8 + 12
= lim
→
( + 2) ( − 2)
−4
lim
→
=
= lim →
(
(
)
(
)
)
=−
= −
Jawaban : B
= ⋯
27. Nilai lim →
A. −1
B. −
C. 0
D.
E.
1
Penyelesaian:
( )
Fungsi dan limit diat as berbent uk
( )
dengan
cara membagi pembilang dan penyebut dengan
lim
→
3
−2 −1
= lim
→ 3
+ 6 −1
=
−
+
2
6
−
−
( ) ≠ 0. Penyelesaian dapat dit ent ukan dengan
1
1
= lim
→
(karena pangkat t ert ingginya 2). Sehingga :
1−
3+
2
6
−
−
1
1
=
1−
3+
2
∞
6
∞
−
−
1
∞
1
∞
=
Jawaban : D
24
−2
( )= 6
28. Diket ahui
′( 1) = ⋯
+ 3
−
−3 dan
adalah t urunan pert ama dari . Nilai dari
A. 20
B. 21
C. 23
D. 24
E.
26
Penyelesaian :
( ) = 6
( ) = 24
−2
− −3
+ 3
−6
+ 6 −1
(1) = 24(1) − 6( 1) + 6( 1) − 1
= 24 − 6 + 6 − 1
= 23
Jawaban : C
29. Grafik fungsi ( ) =
A. −1 <
B. −5 <
+ 6
< 5
< 1
C.
< 1 at au
D.
< −5 at au
E.
− 15 + 3 naik pada int erval …
> 5
< −1 at au
> 1
> 5
Penyelesaian :
( )=
+ 6
− 15 + 3
unt uk menent ukan dimana
’( ) = 0 3
’( ) = 3
+ 12 − 15
’( ) > 0, misalkan
+ 12 − 15 = 0
( 3 + 15) ( − 1) = 0
( 3 + 15) = 0 ⇒
( − 1) = 0 ⇒
= −5
= 1
dengan garis bilangan r iil :
25
(+)
(-)
-5
(+)
1
jadi dapat di simpulkan bahwa grafik fungsi
uji t erhadap
( ) naik pada int er val
’( )
< −5 dan
30. Hasil penjualan x unit barang dinyat akan oleh fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4
> 1.
Jawaban : D
(dalam
rat usan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diper oleh adalah …
A. Rp. 2.000.000,00
B. Rp. 4.000.000,00
C. Rp. 5.000.000,00
D. Rp. 6.000.000,00
E.
Rp. 7.000.000,00
Penyelesaian :
( ) = 50.000 + 400 − 4
Nilai ( ) akan mencapai nilai maksimum dari nilai
yang diperoleh dari
( ) = 0.
( ) = 400 − 8
400 − 8 = 0
8 = 400
=
400
= 50
8
( ) = −8
( 50) = − 8 < 0 (negat if) maka ( ) mempunyai nilai maksimum yait u ( ) .
Nilai maksimum
( )=
( 50) = 50.000 + 400(50) − 4( 50)
= 50.000 + 20.000 − 10.000
= 60.000
fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4 (dalam rat usan rupiah), sehingga hasil penjualan maksimum
yang diperoleh adalah Rp. 6.000.000,00
Jawaban : D
26
=
31. Diket ahui mat riks
= ⋯
G.
H.
I.
J.
2
, dan
6
=
3
6
5
. Jika
7
=
−
maka invers mat riks C adalah
−3
1
1
1
−1
−1
1
1
−1
1
1
F.
1
5
2
3
2
3
−2
−3
2
3
2
Penyelesaian :
−
=
=
1
5
2
3
−
6
6
5
7
1−3 2−5
5−6 6−7
−2 −3
=
−1 −1
=
Invers mat riks berordo 2 2 jika
( )= | |=
=
−2
−1
=
−3
−1
=
−
( ) = | | = ( −2 − 1) − ( −1
= 2−3
= −1
1 −1
−1 1
−1
= −1
=
1
=
1
−1
−3
2
maka
=
( )
−
−
− 3)
3
−2
3
−2
Jawaban : D
27
32. Diket ahui persamaan mat riks
−6
F.
4
J.
4
2
3
. M aka mat riks A = …
1
−6
5
1
0
0
1
2
I.
=
4
−5
H.
2
4
−5
5
G.
1
3
0
1
1
0
−1
−1
−
Penyelesaian :
=
4
=
= −
=
1 4
2 −3
−2
3
2
= −
=
−3
1
−2
−8 + 2
−6
5
−2
∙
1
1
1 ∙ 4
−
2
2
6−1
−5
∙
=
maka
∙
4
2
4
2
3
1
3
1
3
1
−6 + 1
9
+
2
−
1
2
4
Jawaban : A
28
33. Dari suat u deret arit m et ika diket ahui suku ke-6 adalah 17 dan suku ke-10 adalah 33. Jumlah t iga
puluh suku pert ama der et it u adalah …
F.
1.650
G. 1.710
H. 3.300
I.
4.280
J.
5.300
Penyelesaian :
= 17 dan
Diket ahui
= 33
Rumus umum suku ke-n dengan suku pert ama a dan beda b adalah
Sehingga diket ahui
=
+ 5
=
=
+ ( − 1)
…………………………………….. (i)
+ 9
…………………………………….. (ii)
Dengan (i) dan (ii) diperoleh
=
+ 5
=
+ 9
−
= −4
−
17 − 33 = −4
−16 = −4
= 4
Sehingga
=
=
+ 5
−5
= 17 − 20
= −3
29
=
2
=
( 2 + ( − 1) )
30
( 2.( −3) + ( 30 − 1) 4)
2
= 15( −6 + 166)
= 15 × 110
= 1.650
Jawaban : A
34. Suku ket iga dan ket ujuh suat u barisan geom et ri bert urut -t urut adalah 6 dan 96. Suku ke-5 barisan
t ersebut adalah …
F.
18
G. 24
H. 36
I.
48
J.
54
Penyelesaian :
M isalkan t erdapat suat u barisan geomet ri
suku pert ama a dan rasio r adalah
Diket ahui
= 6 dan
=
,
,…,
maka rumus umum suku ke-n dengan
.
= 96
=
=
:
=
=
96
= 16
6
= ±2
deret geom et ri diat as = 2.
=
30
6= 4 ⇒
=
3
2
Sehingga suku kelima deret geomet ri t ersebut =
=
=
3
∙2
2
= 18
Jawaban : A
35. Jumlah deret geom et ri t ak hingga 18 + 6 + 2 +
F.
26
+ ⋯ adalah …
G. 27
H. 36
I.
38
J.
54
Penyelesaian :
= 18
Diket ahui
=
=
=
6
1
=
18 3
Oleh kar ena −1 <
→ ∞ maka
=
=
−
1−
1−
< 1 maka nilai
akan semakin kecil dan m endekat i nol. Dalam hal ini unt uk
→ 0 , sehingga diperoleh
( 0)
1−
Sehingga jumlah deret geomet ri t ak hingga diat as adalah sebagai berikut :
=
=
18
1−
1
3
18
2
3
= 27
31
Jawaban : B
= ⋯
36. Nilai lim →
F.
−4
G. −1
H. 0
I.
1
J.
4
Penyelesaian :
( − 6) ( − 2)
− 8 + 12
= lim
→
( + 2) ( − 2)
−4
lim
→
=
= lim →
(
)
(
)
)
=−
= −
Jawaban : B
= ⋯
37. Nilai lim →
F.
(
−1
G. −
H. 0
I.
J.
1
Penyelesaian:
( )
Fungsi dan limit diat as berbent uk
( )
dengan
cara membagi pembilang dan penyebut dengan
lim
→
3
−2 −1
= lim
→ 3
+ 6 −1
=
−
+
2
6
−
−
( ) ≠ 0. Penyelesaian dapat dit ent ukan dengan
1
1
= lim
→
(karena pangkat t ert ingginya 2). Sehingga :
1−
3+
2
6
−
−
1
1
=
1−
3+
2
∞
6
∞
−
−
1
∞
1
∞
=
Jawaban : D
32
−2
( )= 6
38. Diket ahui
′( 1) = ⋯
F.
+ 3
−
−3 dan
adalah t urunan pert ama dari . Nilai dari
20
G. 21
H. 23
I.
24
J.
26
Penyelesaian :
( ) = 6
( ) = 24
−2
− −3
+ 3
−6
+ 6 −1
(1) = 24(1) − 6( 1) + 6( 1) − 1
= 24 − 6 + 6 − 1
= 23
Jawaban : C
39. Grafik fungsi ( ) =
F.
−1 <
G. −5 <
+ 6
< 5
< 1
H.
< 1 at au
I.
< −5 at au
J.
− 15 + 3 naik pada int erval …
> 5
< −1 at au
> 1
> 5
Penyelesaian :
( )=
+ 6
− 15 + 3
unt uk menent ukan dimana
’( ) = 0 3
’( ) = 3
+ 12 − 15
’( ) > 0, misalkan
+ 12 − 15 = 0
( 3 + 15) ( − 1) = 0
( 3 + 15) = 0 ⇒
( − 1) = 0 ⇒
= −5
= 1
dengan garis bilangan r iil :
33
(+)
(-)
-5
(+)
1
jadi dapat di simpulkan bahwa grafik fungsi
uji t erhadap
( ) naik pada int er val
’( )
< −5 dan
40. Hasil penjualan x unit barang dinyat akan oleh fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4
> 1.
Jawaban : D
(dalam
rat usan rupiah). Hasil penjualan maksimum yang diper oleh adalah …
F.
Rp. 2.000.000,00
G. Rp. 4.000.000,00
H. Rp. 5.000.000,00
I.
Rp. 6.000.000,00
J.
Rp. 7.000.000,00
Penyelesaian :
( ) = 50.000 + 400 − 4
Nilai ( ) akan mencapai nilai maksimum dari nilai
yang diperoleh dari
( ) = 0.
( ) = 400 − 8
400 − 8 = 0
8 = 400
=
400
= 50
8
( ) = −8
( 50) = − 8 < 0 (negat if) maka ( ) mempunyai nilai maksimum yait u ( ) .
Nilai maksimum
( )=
( 50) = 50.000 + 400(50) − 4( 50)
= 50.000 + 20.000 − 10.000
= 60.000
fungsi ( ) = 50.000 + 400 − 4 (dalam rat usan rupiah), sehingga hasil penjualan maksimum
yang diperoleh adalah Rp. 6.000.000,00
Jawaban : D
34
35