Rumus dan materi logika matematika

om
.c
ot

Pernyataan

og

1.

sp

LOGIKA MATEMATIKA

a.

bl

Pernyataan adalah kalimat yang bernilai benar atau salah tetapi tidak sekaligus
benar dan salah.

Pernyataan Berkuantor

-m

2.

at
em

at

ik

Pernyataan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya p, q, r dan seterusnya.
Pernyataan dibedakan menjadi:
1. Pernyataan Tunggal, yaitu penrnyataan yang mengandung satu gagasan.
2. Pernyataan Majemuk, yaitu pernyataan yang mengandung dua gagasan atau
lebih. Dapat pula dikatakan bahwa pernyataan majemuk adalah gabungan dua
atau lebih pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata gabungan logika.

Pernyataan Berkuantor Universal (umum)
Pernyataan berkuantor universal adalah pernyataan yang memuat kata
semua atau setiap.
Notasi:  p dibaca semua/setiap.

so

al

2.1

Pernyataan Berkuantor Eksistensial (Khusus)
Pernyataan berkontur eksistensial adalah pernyataan yang memuat kata ada
atau beberapa.
Notasi:  p dibaca ada /beberapa p.

ht

tp
:

//

be

la

2.2

ja

r-

Contoh:
1) Semua siswa ingin lulus ujian
2) Setiap bilangan genap habis dibagi 2

3.

Contoh:

(1). Ada ikan bernafas dengan paru-paru
(2). Beberapa siswa hari ini tidak hadir
Pernyataan Majemuk
3.1

Konjungsi
Konjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p dan q” yang dibaca
“p dan q”
Tabel kebenaran Konjungsi:
p
B
B
S
S

Irvan Dedy

q
B
S

B
S

pq
B
S
S
S

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa 
p  q bernilai benar apabila p benar, 
q benar. Selain dari itu p  q bernilai 
salah.

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

om
.c
ot

Disjungsi
Disjungsi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p  q” yang dibaca “p
atau q”.

og

sp

3.2

Tabel Kebenaran Disjungsi:

bl

pq
B
B
B
S

a.

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q bernilai 
benar apabila salah satu pernyataan tunggalnya 
benar. Selain dari itu p  q bernilai salah.

ik

q
B
S
B
S

at

p
B
B
S

S

-m

at
em

3.3 Implikasi (Pernyataan Bersyarat)
Implikasi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p  q” yang dibaca:
1) jika p maka q
3) p syarat cukup bagi q
2) q hanya jika p
4) q syarat perlu bagi p

so

q
B
S
B

S

pq
B
S
B
B

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q 
bernilai benar untuk semua keadaan, kecuali 
apabila p benar dan q salah.

la

ja

r-

p
B

B
S
S

al

Tabel Kebenaran Implikasi:

ht

tp
:

//

be

3.4

Ekivalensi (Biimplikasi)

Ekivalensi dari dua pernyataan tunggal p dan q adalah “p  q” yang dibaca:
1) p jika dan hanya jika q
2) p syarat cukup dan perlu dibagi q
3) q syarat cukup dan perlu dibagi p
p  q  ( p  q)  (q  p)

Tabel Kebenaran Ekivalensi:
p
B
B
S
S
4.

q
B
S
B
S

pq
B
S
S
B

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa: p  q 
bernilai benar apabila nilai kebenaran pernyataan 
tunggalnya sama selain dari itu salah.

Negasi
4.1

Irvan Dedy

Negasi dari Pernyataan Tunggal
Negasi dari pernyataan p ditulis ~p dan dibaca:
Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

om
.c
ot
og

sp

1) Tidak p
2) Bukan p
3) Tidak benar p

a.
at

Negasi dari Pernyataan Berkuantor
p : semua x adalah y
p : ada x adalah y
~p : ada x tidak y
~p : semua x tidak y

at
em

4.2

~p
S
B

ik

p
B
S

bl

Tabel kebenaran:

Negasi dari Pernyataan Majemuk

tp
:

//

be

la

4.3

ja

r-

so

al

-m

Contoh:
1) p : Semua siswa hadir di kelas ini
~p : Ada siswa tidak hadir di kelas ini
2) p : Semua bilangan prima adalah ganjil
~p : Ada bilangan prima yang tidak ganjil
3) p : Ada bilangan prima yang negatif
~p : Semua bilangan prima tidak negatif
4) p : Ada harga x sehingga x < 7
~p : semua x berlaku x  7

4.3.1 Negasi dari Konjugasi
~(p  q)  ~p  ~q

4.3.2 Negasi dari Diskonjugasi
~(p  q)  ~p  ~q

ht

4.3.3 Negasi dai Implikasi
~(p  q)  p  ~q
4.3.4 Negasi dari Ekivalensi
~(p  q)  ~[(p  q)  (q  p)]
 ~(p  q)  (q  p)
 p  ~q  q  ~p
5.

Variasi Pernyataan Bersyarat

Dari implikasi p  q dapat dibuat tiga buah pernyataan bersyarat lainnya yaitu
invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi : p  q
Konvers : q  p
Irvan Dedy

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

om
.c
ot

Kontraposisi : ~q  ~p

sp

Invers : ~ p  ~q

pq
B
S
B
B

~q
S
B
S
B

~p  ~q
B
B
S
B

qp
B
B
S
B

bl

~p
S
S
B
B

a.

q
B
S
B
S

~q  ~p
B
S
B
B

-m

at
em

at

Dari tabel terlihat bahwa:
1) Implikasi ekivalen dengan kontraposisi:
p  q  ~q  ~p
2) Invers ekivalen dengan konvers
~p  ~q  q  p

ik

p
B
B
S
S

og

Tabel kebenaran

Tautologi dan Kontradiksi

ja

6.

r-

so

al

Contoh:
Implikasi : Jika kamu rajin belajar, maka kamu sukses
Invers : Jika kamu tidak rajin, maka kamu tidak sukses
Konvers : Jika kamu sukses, maka kamu rajin
Kontraposisi: Jika kamu tidak sukses, maka kamu tidak rajin

ht

tp
:

//

be

la

Tautologi adalah pernyataan yang selalu benar
Contoh : p  ~p

7.

p
B
S

~p
S
B

p  ~p
B
B

Kontradiksi adalah pernyataan yang selalu salah 
Contoh : p  ~p 
 
p 
~p 
p  ~p 
B 
S 
S 
S 
B 
S 
 

Sifat operasi Logika
7.1 Sifat Idempoten
(1). p  p  p
(2). p  p  p
7.2 Sifat Komutatif
(1). p  q  q  p
(2). p  q  q  p
7.3 Sifat Assosiatif
(1). p  (q  r)  (p  q)  r
(2). p  (q  r)  (p  q)  r

Irvan Dedy

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna

om
.c
ot
sp
bl
a.
ik

at
em
(4). ~t = k
(5). ~k = t

-m

7.6 Sifat Komplemen
(1). p  ~p  t
(2). p  ~p  k
(3). ~(~p)  p

(3). p  t  p
(4). p  k  k

at

7.5 Sifat Identitas
(1). p  t  t
(2). p  k  p
t : tautologi
k : kontradiksi

og

7.4 Sifat Distributif
(1). p  (q  r)  (p  q)  r
(2). p  (q  r)  (p  q)  r

so

al

7.7 Sifat Idempoten
(1). p~(p  q)  ~p  ~q
(2). ~(p  q)  ~p  ~q

Penarikan Kesimpulan

be

8.

la

ja

r-

7.8 Sifat Implikasi
p  q  ~q  p  p  q

Modus Ponens
p  q … premis 1
p
... premis 2
 q ... kesimpulan

8.2

Modus Tollens
p  q … premis 1
~q
... premis 2
 ~ p ... kesimpulan

8.3

Silogisme
p  q … premis 1
qr
... premis 2
 p  r ... kesimpulan

ht

tp
:

//

8.1

Irvan Dedy

Bimbingan Belajar SMA Dwiwarna