PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS FINITE IMPULSE RESPONSE TUGAS AKHIR - Program simulasi untuk realisasi struktur tapis finite impulse response - USD Repository
PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI STRUKTUR TAPIS
FINITE IMPULSE RESPONSE TUGAS AKHIR Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Teknik Program Studi Teknik Elektro Oleh: Nama : Hugo Yulian Nathanael NIM : 025114039 PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2007
SIMULATION PROGRAM FOR THE REALIZATION OF
STRUCTURE OF FINITE IMPULSE RESPONSE FILTER
FINAL PROJECT
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Sarjana Teknik Degree
In Electrical Engineering Study Program
By:
Name : Hugo Yulian Nathanael
Student Number : 025114039
ELECTRICAL ENGINEERING STUDY PROGRAM
DEPARTMENT OF ELECTRICAL ENGINEERING
FACULTY OF ENGINEERING
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2007
HALAMAN PERSEMBAHAN
Kupersembahkan karya tulis ini kepada :
Tuhan Yesus Kristus terkasih,
Bapak dan Ibu Tercinta,
Kedua saudaraku Ade dan Ani tercinta,
Keluarga besarku tercinta,
Kekasihku Lina tersayang, dan
Almamaterku Teknik Elektro USD
HALAMAN MOTTO
tiada kehidupan tanpa kesalahan, kekalahan dan
kegagalan.
satu-satunya dari seluruh rahasia adalah belajar menarik
keuntungan dari kesalahan-kesalahan dan kegagalan-
kegagalan.
satu-satunya kegagalan dalam hidup ini adalah kegagalan
untuk mencoba.
(Harold Sherman)
Lebih baik bertempur dan kalah dari pada tidak pernah
bertempur sama sekali.
Kesempurnaan manusia yang sejati bukan pada apa yang
dimilikinya melainkan bagaimana dirinya.
INTISARI
Tugas akhir ini mendeskripsikan tentang program simulasi untuk realisasi tapis
finite impulse response (FIR). Program simulasi akan mensimulasikan tahap-tahap
perancangan tapis FIR, dari penentuan spesifikasi, perhitungan koefisien tapis, relisasi struktur dan perhitungan wordlength effect.
Program akan menghitung koefisien tapis dari spesifikasi masukan dan merepresentasikan koefisien tapis tersebut menjadi jumlah bit tertentu (kuantisasi). Perhitungan koefisien tapis FIR menggunakan metode Jendela dan metode Optimal. Koefisien tapis yang terkuantisasi kemudian direalisasikan dalam bentuk struktur, struktur yang digunakan untuk merealisasikan tapis FIR adalah transversal structure dan linear phase structure. Dari tapis yang telah direalisasikan dalam bentuk struktur tersebut kemudian dihitung finite wordlength effect yaitu coefficient quantization
errors dan roundoff erorrs.
Program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR telah diimplementasikan dan dilakukan pengujian untuk mengamati kinerja tapis hasil perancangan. Kinerja tapis hasil perancangan diamati dari kurva tanggapan frekuensi yang merupakan keluaran program simulasi. Hasil yang diperoleh adalah metode Optimal merupakan metode yang paling optimal untuk merancang tapis FIR, frekuensi sampling yang tinggi dapat meningkatkan kinerja tapis, jumlah bit kuantisasi yang terbatas dapat menurunkan kinerja tapis dan semakin sempit transition width semakin besar jumlah koefisien tapis yang dibutuhkan.
Kata kunci : tapis FIR, perhitungan koefisien tapis, realisasi struktur
ABSTRACT
This Final project describes the simulation program for the realization of structure of finite impulse response (FIR) filter. Simulation Program will simulate how to design the FIR filter from determination specification, calculation of filter coefficient, structure realization and the calculation of wordlength effect.
Program will calculate the filter coefficient from input specification and represented by a fixed number of bit (quantization). Calculation of FIR filter coefficient uses Window method and Optimal method. Filter coefficient that have been quantized then realized in the form of structure, it is use to realize FIR filter which one is transversal structure and linear phase structure. From the filter which has been realized in the form of the structure then program calculated finite wordlength effect that consist of coefficient quantization errors and roundoff erorrs.
Simulation program for realization of structure FIR filter implementation was implemented and tested to observe filter performance. Filter performance observed from the curve of response frequency that representing output of simulation program. The result are the Optimal method which is the optimum method to design FIR filter, high sampling frequency increase performance of filter, limited number of quantization bit decrease performance of filter and the narrower the transition width required more filter coefficient.
Keyword: FIR filter, calculation of filter coefficient, structure realization
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan yang Maha Esa, karena atas Anugerah-Nya penulis akhirnya dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan baik dan lancar.
Dalam proses penulisan tugas akhir ini penulis menyadari bahwa ada begitu banyak pihak yang telah memberikan perhatian dan bantuan dengan caranya masing- masing sehingga tugas akhir ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih antara lain kepada :
1. Tuhan Yesus atas penyertaan dan bimbingannya.
2. Bapak Ir. Greg. Heliarko, SJ., B.ST., MA., M.Sc, selaku dekan fakultas teknik.
3. Bapak Damar Wijaya, S.T., M.T., selaku pembimbing atas bimbingan, dukungan, saran dan kesabaran bagi penulis dari awal sampai tugas akhir ini bisa selesai.
4. Bapak Bayu Primawan, S.T., M.Eng., Martanto, S.T., M.T., dan Ir. Iswanjono, M.T., selaku penguji yang telah bersedia memberikan kritik dan saran.
5. Seluruh dosen teknik elektro atas ilmu yang telah diberikan selama penulis menimba ilmu di Universitas Sanata Dharma.
6. Papah dan Mamah tercinta atas semangat, doa serta dukungan secara moril maupun materiil.
7. Kedua saudaraku, Bafo dan Tiffany atas dukungan, cinta, bantuan yang sangat berguna.
8. Lina yang selalu ada dan menemani disaat kebosanan melanda.
9. Dhika atas koreksi abstract yang sangat membantu, thank’s.....
10. Teman-teman akrabku: Pandu, Spadic, Pinto, Wuri, Hari, Komang terima kasih atas bantuan dan kebersamaan kita selama ini.
11. Teman-teman elektro: Butet, Ratna, Dewi, Dhany, Robby, Andek, Lele, Wawan, Alex, Briatma, Erick Corro, Eko, Berlin, Antin, Vian dan Paulina serta teman- teman angkatan 2001, 2002 dan 2003 yang selalu berbagi ilmu dan pengalaman kuliah.
12. Teman-teman kost ku yang selalu memberikan saran-saran yang berguna.
13. Dan seluruh pihak yang telah ambil bagian dalam proses penulisan tugas akhir ini yang terlalu banyak jika disebutkan satu-persatu.
Dengan rendah hati penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu berbagai kritik dan saran untuk perbaikan tugas akhir ini sangat diharapkan. Akhir kata, semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Terima kasih.
Yogyakarta, Maret 2007 Penulis
DAFTAR ISI
BAB II. DASAR TEORI
2.5. Langkah-langkah Perancangan Tapis FIR...………………………21
2.4.2. Lokasi Zero Tapis FIR.........................................................18
2.4.1. Tanggapan Impuls dan Tanggapan Frekuensi Tapis FIR....10
2.4. Karakteristik Tapis FIR...............................................…………….10
2.3. Sifat-sifat Transformasi-Z.............................…………………….....8
2.2. Invers Transformasi-Z........................................................................8
2.1. Transformasi-Z……………………………………………………...5
1.5. Sistematika Penulisan……………………………………………....3
Halaman
1.4. Metodologi Penelitian………..……………………………………..3
1.3. Batasan Masalah……………………………………………………2
1.2. Tujuan dan Manfaat Penelitian……………………………………..2
1.1. Latar Belakang Masalah……………………………………………1
BAB I. PENDAHULUAN
INTISARI………………………………………………………………………….viii
ABSTRACT…………………………………………………………………………ix
KATA PENGANTAR……………………………………………………………….x
DAFTAR ISI……………………………………………………………………….xii
DAFTAR GAMBAR……………………………………………………………….xv
DAFTAR TABEL………………………………………………………………....xix
DAFTAR CONTOH……………………………………………………………….xx
JUDUL……………………………………………………………………………….i
HALAMAN PERSETUJUAN……………………………………………………..iii
HALAMAN PENGESAHAN………………………………………………….…...iv
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA……………………………...v
HALAMAN PERSEMBAHAN……………………………………………………vi
HALAMAN MOTTO……………………………………………………………...vii
2.6. Spesifikasi Tapis FIR...……………………………………………22
2.7. Metode Perancangan Tapis FIR…………………………………...24
3.2.2. Proses Perhitungan Koefisien tapis......................................57
BAB IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
3.3. Layout Program.…………………………………………………..79
3.2.4.2. Perhitungan Roundoff Errors……………………78
3.2.4.1. Perhitungan Coefficient Quantization Errors…...78
3.2.4. Proses Perhitungan Finite Wordlength Effect…………….75
3.2.3.5. Masukkan Data Ke Linear Phase Structure…….75
3.2.3.4. Masukkan Data Ke Transversal Structure............71
3.2.3.3. Struktur Linear Phase...........................................69
3.2.3.2. Koefisien Linear Phase Structure.........................68
3.2.3.1. Kuantisasi Koefisien.............................................65
3.2.3. Proses Realisasi Tapis FIR Dalam Bentuk Struktur............63
3.2.2.2. Fungsi Metode Optimal........................................61
3.2.2.1. Fungsi-fungsi Metode Jendela..............................58
3.2.1. Proses Pemeriksaan Masukan..............................................54
2.7.1. Metode Jendela (Window Method)…………………….….24
3.2. Perancangan Program Simulasi Untuk Realisasi Struktur Tapis FIR.........................................................................................……..54
3.1. Algoritma Program......................................................……………53
BAB III. PERANCANGAN PROGRAM SIMULASI UNTUK REALISASI
TAPIS FINITE IMPULSE RESPONSE…………………………………….50
®
2.11. Program Aplikasi MATLAB
2.10.2. Roundoff Errors…………………………………………...49
2.10.1. Coefficient Quantization Errors…...……………………...48
2.10. Finite Wordlength Effect Pada Tapis FIR.………………………...47
2.9.2. Linear Phase Structure........................................................45
2.9.1. Transversal Structure...........................................................44
2.9. Realisasi Struktur Tapis FIR……………………………………....44
2.8. Perbandingan Antara Metode Jendela dan Metode Optimal.....…..43
2.7.2. Metode Optimal…………………………………………...31
4.1. Halaman Utama....................................................………………...84
4.2. Hubungan Antara Metode Perancangan Tapis dengan Kinerja Tapis................................................................................................86
4.2.1. Tapis Lowpass.....................................................................86
4.2.2. Tapis Highpass.....................................................................90
4.2.3. Tapis Bandpass....................................................................93
4.3. Hubungan Antara Sampling Frequency dengan Kinerja Tapis.......97
4.4. Hubungan Antara Jumlah Bit Kuantisasi Koefisien Tapis dengan Kinerja Tapis..................................................................................102
4.5. Hubungan Antara Transition Width dengan Jumlah Koefisien Tapis Hasil Perancangan..........................................................................106
BAB V. PENUTUP Kesimpulan………………………………………............…………….108 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR GAMBAR
HalamanGambar 2.1 Runtun waktu diskrit.............................……………………………...6Gambar 2.2 Region of convergence ………………………………........................8Gambar 2.3 Ilustrasi empat jenis tanggapan impuls ……………………………..12Gambar 2.4 Contoh lokasi zero pada tapis FIR .....………………………………19Gambar 2.5 Unit circle pada bidang komplek …………………….......…………21Gambar 2.6 Spesifikasi tanggapan frekuensi untuk tapis lowpass dengan rippleyang seragam pada passband dan stopband ……..………...............22
Gambar 2.7 Spesifikasi tanggapan frekuensi untuk tapis lowpass dengan rippleyang tidak seragam pada passband dan stopband ……..…..............23
Gambar 2.8 Tanggapan frekuensi ideal dari tiga jenis tapis ………………...…...25Gambar 2.9 Tanggapan amplitude yang diharapkan .........………………………33Gambar 2.10 Tanggapan frekuensi tapis optimal .........…………………………...40Gambar 2.11 Diagram alir sederhana dari metode optimal ………………...……..43Gambar 2.12 Transversal structure .................…………………………………....44Gambar 2.13 Linear phase structure untuk tapis FIR dengan tanggapan impulsyang simetri …………………………………...........................…….47
Gambar 2.14 Linear phase structure untuk tapis FIR dengan tanggapan impuls yangtidak simetri ...………........…...........................................................47
Gambar 2.15 Ilustrasi dari efek kuantisasi koefisien …………………………...…49Gambar 3.1 Algoritma perancangan program simulasi untuk realisasi strukturtapis FIR ….........................................................................................53
Gambar 3.2 Diagram alir proses pemeriksaan masukan ……………………....…56Gambar 3.3 Diagram alir proses perhitungan koefisien tapis ………………........57Gambar 3.4 Diagram alir proses perhitungan koefisien tapis dengan menggunakanhanning window, hamming window dan blackman window ……….59
Gambar 3.5 Diagram alir proses perhitungan koefisien tapis dengan menggunakankaiser window ………..............................................................…….60
Gambar 3.6 Diagram alir proses perhitungan koefisien tapis dengan menggunakanmetode optimal …..............................................................…………62
Gambar 3.7 Diagram alir proses realisasi struktur tapis …………………………65Gambar 3.8 Diagram alir kuantisasi koefisien ……...............................................67Gambar 3.9 Diagram alir perhitungan koefisien linear phase structure …….......68Gambar 3.10 Diagram alir pembuatan linear phase structure ………………........71Gambar 3.11 Diagram alir proses memasukkan masukan ke transversalstructure ………................................................................................73
Gambar 3.12 Diagram alir proses memasukkan masukan ke linear phasestructure
bagian I …………………………………………………...76 Gambar 3.13 Diagram alir proses memasukkan masukan ke linear phase
structure
bagian II ………………………………………………….77 Gambar 3.14 Diagram alir perhitungan finite wordlength effect ………………….77
Gambar 3.15 Diagram alir perhitungan errors ……………………………………79
Gambar 3.16 Layout program ……………………………...............……………...80
Gambar 3.17 Tampilan window untuk menampilkan gambar struktur tapis….…...83
Gambar 4.1 Tampilan halaman pembuka program .....………………………….…84
Gambar 4.2 Tampilan program utama......................................................................85
Gambar 4.3 Tampilan submenu help .....................................……………………..85Gambar 4.4 Tampilan permintaan masukan..............................................................86Gambar 4.5 Tampilan hasil perancangan tapis lowpass dengan metodejendela menggunakan hanning window.……........................................87
Gambar 4.6 Tampilan struktur tapis yang digunakan untuk merancangtapis lowpass..........................................................................................88
Gambar 4.7 Tampilan hasil perancangan tapis lowpass dengan metode jendeladan metode optimal................................................................................88
Gambar 4.8 Tampilan hasil perancangan tapis highpass dengan metode jendelamenggunakan hamming window…………….………..........................91
Gambar 4.9 Tampilan hasil perancangan tapis highpass dengan metode jendeladan metode optimal................................................................................91
Gambar 4.10 Tampilan hasil perancangan tapis bandpass dengan metode jendelamenggunakan kaiser window.............................................................94
Gambar 4.11 Tampilan struktur tapis yang digunakan untuk merancangtapis bandpass.....................................................................................95
Gambar 4.12 Tampilan hasil perancangan tapis bandpass dengan metode jendeladan metode optimal.............................……………………………...95
Gambar 4.13 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengangalat pada cut-off frequency………………………………………....98
Gambar 4.14 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengangalat pada passband ripple..................................................................99
Gambar 4.15 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengangalat pada stopband attenuation.......................................................100
Gambar 4.16 Grafik hubungan antara masukan sampling frequency dengangalat pada transition width................................................................101
Gambar 4.17 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapisdengan galat pada cut-off frequency.................................................103
Gambar 4.18 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapisdengan galat pada passband ripple...................................................104
Gambar 4.19 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapisdengan galat pada stopband attenuation..........................................104
Gambar 4.20 Grafik hubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapisdengan galat pada transition width...................................................105
Gambar 4.21 Grafik hubungan antara transition width dengan jumlah koefisientapis hasil perancangan.....................................................................107
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 2.1 Tanggapan impuls ideal beberapa jenis tapis…..………….…………….25Tabel 2.2 Karakteristik beberapa fungsi jendela………..………………………….30Tabel 4.1 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis lowpass.................87Tabel 4.2 Spesifikasi aktual hasil perancangan tapis lowpass..................................89Tabel 4.3 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis highpass................90Tabel 4.4 Spesifikasi aktual hasil perancangan tapis highpass.................................92Tabel 4.5 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis bandpass...............93Tabel 4.6 Spesifikasi aktual hasil perancangan tapis bandpass................................96Tabel 4.7 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis untuk memperolehhubungan antara masukkan sampling frequency dengan kinerja tapis....97
Tabel 4.8 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis untuk memperolehhubungan antara jumlah bit kuantisasi koefisien tapis dengan kinerja tapis.........................................................................................................102
Tabel 4.9 Spesifikasi yang diharapkan pada perancangan tapis untuk memperolehhubungan antara masukan transition width dengan jumlah koefisien tapis.........................................................................................................106
DAFTAR CONTOH
Halaman
Contoh 2.1 Transformasi-Z...........................................…..…………..……………...6
Contoh 2.2 Tanggapan impuls simetri dengan N ganjil …..........……….………….13
Contoh 2.3 Tanggapan impuls simetri dengan N genap....…..........…….………….14
Contoh 2.4 Tanggapan impuls tidak simetri dengan N ganjil...…….......……….….16
Contoh 2.5 Tanggapan impuls tidak simetri dengan N genap................…….….….17
Contoh 3.1 Kuantisasi Koefisien...........................................................….….….….66
Contoh 3.2 Struktur linear phase...........................................................……..….….69
Contoh 3.3 Masukkan data ke transversal structure.............................……..….….72
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Perkembangan dibidang elektronika telah melahirkan penemuan-penemuan baru. Aplikasinya telah memenuhi berbagai sektor kehidupan, antara lain sektor audio, video, sistem kontrol dan sebagainya. Semua kegiatan tersebut tidak dapat dipisahkan dengan masalah pengolahan sinyal. Jika masalah sinyal dikaitkan dengan sistem yang ada, maka pengolahan sinyal bertugas untuk menerima masukan yang ada dan selanjutnya mengolah atau memproses kemudian mengeluarkan hasilnya.
Tapis digital merupakan salah satu piranti untuk mengolah sinyal digital. Tapis digunakan untuk proses pengolahan sinyal yaitu penapisan (filtering), penghalusan (smoothing) dan prediksi (prediction). Berdasarkan tanggapan impulsnya tapis digital dibedakan menjadi tapis digital tanggapan impuls berhingga (finite impulse respons, FIR) dan tapis digital tanggapan impuls tak berhingga (infinite impulse response, IIR).
Perancangan struktur tapis FIR merupakan salah satu pokok bahasan pada mata kuliah pengolahan sinyal digital. Karena belum banyak program simulasi mengenai perancangan struktur tapis FIR, maka untuk membantu mahasiswa dalam memahami pokok bahasan tersebut, tugas akhir ini akan memfokuskan diri pada perancangan program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.
1.2 Tujuan dan Manfaat Penelitian
Tujuan yang ingin dicapai dari penelitian ini adalah membuat program bantu yang berfungsi untuk merealisasikan struktur tapis finite impulse response.
Beberapa manfaat yang diharapkan dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Membantu para dosen pengampu mata kuliah pengolahan sinyal digital dalam menjelaskan realisasi struktur tapis FIR dengan lebih menarik.
2. Membantu mahasiswa untuk memahami dan merancang struktur tapis finite impulse response.
3. Sebagai referensi yang dapat mendukung penelitian selanjutnya yang berkaitan dengan perancangan struktur tapis finite impulse response.
1.3 Batasan Masalah
Pada penelitian ini dilakukan pembatasan masalah terhadap program simulasi yang akan dibuat. Batasan masalah penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Program simulasi dibuat menggunakan MATLAB.
2. Input program adalah cut-off frequency, transition width, passband ripple, stopband attenuation dan sampling frequency.
3. Perhitungan nilai koefisien fungsi alih tapis menggunakan metode jendela (window method) dan metode optimal (optimal method).
4. Metode jendela yang digunakan terdiri dari hanning window, hamming window , Blackman window dan kaiser window.
5. Struktur tapis yang digunakan terdiri dari transversal structure dan linear phase structure .
6. Finite wordlength effects yang dihitung adalah coefficient quantization errors dan roundoff errors.
1.4 Metodologi Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan untuk menyusun tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
1. Studi pustaka yang berhubungan dengan realisasi struktur tapis FIR.
2. Membuat perangkat lunak, yaitu program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.
3. Menguji program simulasi yang telah dibuat.
4. Membahas dan menganalisis hasil rancangan yang diperoleh dari program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.
5. Membuat kesimpulan dari hasil pembahasan dan analisis.
1.5 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan pada penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut :
BAB I : Berisi latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, metodologi penelitian dan sistematika penulisan tugas akhir.
BAB II : Berisi teori-teori yang mendasari penulisan tugas akhir ini. BAB III : Berisi penjelasan tentang konsep dan langkah-langkah perancangan program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR.
BAB IV : Berisi hasil simulasi dan pembahasan dari program simulasi untuk realisasi struktur tapis FIR. BAB V : Berisi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran yang mungkin berguna untuk pengembangan program lebih lanjut.
BAB II DASAR TEORI Tapis finite impulse response, FIR, memiliki berbagai kelebihan yang
membuatnya sangat berguna untuk bermacam-macam aplikasi dalam pemrosesan sinyal digital. Beberapa kelebihan tapis FIR adalah sebagai berikut [1]
1. Tanggapan fase linear, hal ini disebabkan tanggapan impuls tapis FIR yang simetri.
2. Selalu lebih stabil, karena semua pole berada pada origin.
3. Dapat direalisasikan dalam bentuk piranti keras secara efisien. Struktur tapis FIR juga sederhana dan mudah untuk diimplementasikan. Kekurangan pada tapis FIR adalah kebutuhan perkalian yang banyak untuk tanggapan frekuensi yang diberikan, sehingga memberikan tunda proses yang lama bagi masukan untuk mencapai keluaran.
2.1 Transformasi-Z
Transformasi-Z dari suatu runtun, x n , untuk semua , didefinisikan dengan n
( )
∞ − nX ( ) z = x ( ) n z (2.1) ∑
− ∞ dengan z adalah variabel komplek [2]. Pada sistem kausal, x n tidak bernilai nol hanya pada interval < n < ∞ ,
( )
sehingga persamaan (2.1) bisa disederhanakan menjadi
∞ − n
(2.2)
X ( ) z = x ( ) n z ∑ n
= Persamaan (2.2) disebut transformasi-Z satu sisi.
Transformasi-Z merupakan suatu runtun dengan panjang yang tidak berhingga, dan tidak konvergen untuk semua nilai . Daerah dimana transformasi-Z konvergen z (memiliki nilai tertentu) disebut sebagai region of convergence (ROC), dan pada
X z x n
bagian ini nilai berhingga. ROC ditentukan oleh sifat dari . Pencarian ROC
( ) ( ) ditunjukkan pada Contoh 2.1.
Contoh 2.1 Tentukan transformasi-Z dan region of convergence untuk runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1.
Gambar 2.1 Runtun waktu diskrit [2].Penyelesaian Runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1 dapat didefinisikan secara matematis
1 x ( ) n = ≤ n ≤ ∞
= n <
jelaslah bahwa ini merupakan runtun kausal tak berhingga. Dari persamaan (2.1), transformasi-Z dari runtun waktu diskrit pada Gambar 2.1 adalah
∞ n − X z = x n z
( ) ( ) n ∑ = −∞ ∞ n −
= z ∑ n
(2.3)
= − − 1 2 = 1 z z ... + + +
1
−
Sistem akan konvergen jika z < 1 atau z > 1 .
X ( ) z dapat
diekspresikan dalam bentuk tertutup 1 2
− − X z = 1 z z ... + + +
( ) 1 z = = 1
− 1 z z −
1 −
Jika z = 2 (di luar unit circle ), maka dengan menggunakan persamaan (2.3) 2 3
2 X z =
( ) ( ) ( ) + + + +
1
1
2
1
2
1 2 ..... = =
2
2
1 −
1 Jika z = (di dalam unit circle), maka dengan menggunakan
2 persamaan (2.3)
1 1 .
5 1 .
5 1 . 5 .....
1
2
4 8 ....
( ) = ( ) ( ) = 2 3 + + + + + + +
- X z
Dari contoh di atas terlihat bahwa
X ( ) z akan konvergen jika z berada di luar unit circle, dan akan divergen jika z berada di dalam unit circle.
Gambar 2.2 menunjukkan ROC dari runtun pada Gambar 2.1.Gambar 2.2 Region of convergence [2].2.2 Invers Transformasi-Z
Invers tansformasi-Z (IZT) berguna untuk mengembalikan runtun waktu
x n
diskrit . IZT umumnya digunakan pada pemrosesan sinyal digital, sebagai contoh
( )
pada penggunaan untuk mencari tanggapan impuls dari tapis digital. Invers transformasi-Z didefinisikan dengan 1
− x n Z X z (2.4)
( ) = [ ( ) ] 1 −
dengan
X z adalah transformasi-Z dari x n dan Z adalah simbol dari invers ( ) ( ) transformasi-Z.
2.3 Sifat-sifat Transformasi-Z
Beberapa sifat dari transformasi-Z adalah sebagai berikut
1. Linearity. Jika runtun x n dan x n mempunyai transformasi-Z 1 ( )
2 ( )
X z dan 1 ( ) X z , maka transformasi-Z dari kombinasi linearnya adalah 2 ( )ax n bx n → aX z bX z (2.6)
- 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2.
- =
- =
+ + + + + =
- =
x n adalah X z , maka
Delay atau shift. Jika tansformasi-Z dari ( ) ( ) m
−
transformasi-Z dari x n yang tertunda sebesar m adalah z
X ( ) z atau ( ) x ( ) n → X ( ) z
− m x ( n − m ) → z X ( z ) 3. x n
Convolution. Sistem LTI (linear time-Invariant) diskret dengan input ( ) dan tanggapan impuls h k menghasilkan output
( ) ∞ y ( ) n = h ( ) ( k x n − k ) (2.7) k = −∞ ∑
Dalam bentuk transformasi-Z, input dan output memiliki hubungan
Y z H z X z
= (2.8)
( ) ( ) ( )
dengan
X z , H z dan Y z adalah bentuk transformasi-Z dari x n , h k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan y n .
( ) 4. X z adalah transformasi-Z dari x n , maka
Differentiation. Jika ( ) ( ) transformasi-Z dari nx n diperoleh dengan diferensiasi
X z : ( ) ( ) x n → X z
( ) ( )
d
X z ( )
(2.9)
nx n → − z ( )
d z Sifat ini digunakan untuk memperoleh invers tansformasi-Z jika
X z ( ) memiliki orde pole yang banyak.
2.4 Karakteristik Tapis FIR
Pada bagian ini akan dibahas bentuk tanggapan impuls dan tanggapan frekuensi tapis FIR, serta lokasi zero tapis FIR.
2.4.1 Tanggapan Impuls dan Tanggapan Frekuensi Tapis FIR
Jika h n adalah tanggapan impuls tapis dengan panjang N, maka fungsi
( )
sistem dapat dinyatakan dengan N 1
− n − H ( ) z = h ( ) n z , ≤ n ≤ N − 1 (2.10)
∑ n =
yang memiliki pole sebanyak N −1 pada titik asal z = 0, dan zero sebanyak N−1 pada sembarang tempat di bidang Z (Z-plane) [3]. Fungsi tanggapan frekuensi j ω
H e , dapat dinyatakan sebagai ( ) N 1 j ω j ω n −
−
π ω π
H e = h ( ) n e , − ≤ ≤ (2.11) ( )
∑ n =
Tunda fase sistem yang diberikan adalah negatif dari sudut fase dibagi frekuensi, yaitu θ ω
− ( ) T (2.12) p =
ω Suatu tapis dikatakan memiliki tanggapan fase yang linear jika tanggapan fasenya memenuhi satu dari hubungan berikut = − (2.13)
θ ( ) ω αω atau θ ω = β − αω (2.14)
( )
−
1
( )
π dengan α = N dan β ± = .
2
2 Agar θ ω = − αω terpenuhi, maka tanggapan impuls tapis harus memiliki
( )
simetri positif, yaitu
( N − 1 ) ⎧
n = ,
1 , ..., ( N ganjil )⎪
2 h ( ) ( n = h N − n − 1 ) (2.15)
⎨ N
n = ,
1 , ..., ( N genap ) ( )
⎪⎩
2 Jika N ganjil, α merupakan suatu bilangan bulat dan ini disebut sebagai
tapis FIR tipe 1. Sebaliknya, jika N genap, α bukan merupakan bilangan bulat dan ini disebut tapis FIR tipe 2.
Untuk tanggapan fase yang memenuhi hubungan = − , θ ( ) ω β αω α bukanlah merupakan tetapan tunda fase, tetapi
d θ ( ) ω
α (2.16)
= −
ω
d
adalah tetapan yang merupakan tunda grup. Untuk jenis ini, tanggapan impuls memiliki simetri negatif, yaitu
h ( ) n = − h ( N − n −
1 ) (2.17)
( N −
1 ) α =
2 π
β = ±
2 Gambar 2.3 Ilustrasi empat jenis tanggapan impuls [4].
Sehingga ada dua tipe lagi yang mungkin, yaitu untuk N ganjil dan untuk N genap, yang disebut tapis FIR tipe 3 dan tipe 4.
Ketika kasus simetri dan asimetri digabungkan bersama N ganjil dan N genap, akan didapat empat jenis tapis FIR. Keempatnya ditunjukkan pada Gambar 2.3.
2
1
1
2
3
4
1
3
- <>
4
2 1 [
3
4
( ) ]
( ) ( )
1 2 2 3 3 4 4 4 4 1 4 2 2 4 3 3 4 4 4 4 4 5 3 6 2 7
1