ANALISIS MODEL PENYEBARAN PENYAKIT HEPATITIS B DALAM TUBUH DENGAN MENGAPLIKASIKAN KONTROL OPTIMAL SKRIPSI

  

ANALISIS MODEL PENYEBARAN PENYAKIT HEPATITIS B DALAM

TUBUH DENGAN MENGAPLIKASIKAN KONTROL OPTIMAL

SKRIPSI

RESA ARDEO KUSUMA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

  

2016

  

ANALISIS MODEL PENYEBARAN PENYAKIT HEPATITIS B DALAM

TUBUH DENGAN MENGAPLIKASIKAN KONTROL OPTIMAL

SKRIPSI

RESA ARDEO KUSUMA

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA

SURABAYA

  

2016

  Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

  Alhamdulillahirabbil’alamin. Segala puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena hanya dengan rahmat dan karunia-Nya, sehingga skripsi yang berjudul “ Analisis Model Penyebaran Penyakit Hepatitis B Dalam Tubuh Dengan Mengaplikasikan Kontrol Optimalini dapat diselesaikan dengan baik. Shalawat serta salam bahagia semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad SAW, pemimpin sekaligus suri tauladan yang paling baik bagi kehidupan umat manusia.

  Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

  1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk menuntut ilmu.

  2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Bidik Misi.

  3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs. selaku Ketua Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

  4. Dr. Mohammad Imam Utoyo,M.Si selaku KoordinatorProgram Studi S1 Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga.

  5. Dr. Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan masukan inspirasi dalam perkuliahan dan selaku dosen pembimbing II yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

  6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa penuh kesabaran, ketelitian, keramahan, dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, arahan, waktu, serta semangat.

  7. Dr. Mohammad Imam Utoyo, M.Si selaku dosen penguji I dan Abudullah Jaelani, S.Si, M.Si selaku dosen penguji II yang telah memberi saran yang membangun.

  8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, lebih khususnya di Departemen

  Matematika yang telah menyampaikan ilmunya tanpa pamrih dan tak kenal lelah.

  9. Yang tercinta Ibu saya Kusmawati dan Nenek saya Soeniah serta Adik tercinta sayaArdino Putra Pramudiayang selalu memberikan dukungan, semangat, doa dan kasih sayangnya.

  10. Akbar, Alif, Fahrul, Robert, Sri Wigantono, Syifaul Janan, Tuhfatul Janan, dan Zainul Millah yang merupakan teman kos.

  11. Adi, Ajeng, Alfian, Baim, Cakra, Dewi, Ellyza,Fandi, Firdha, Ghanda, Ibnu, Rizki Fajar, Rima, Sri, Tiar, Tito, dan Ubaid yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini.

  12. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Matematika angkatan 2012 atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.

  13. Semua pihak yang tidak dapat Penyusun sebutkan seluruhnya yang telah membantu dalam penyusunan skripsi.

  Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka dan penambah informasi khususnya bagi mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini, kemungkinan masih terdapat kekurangan sehingga saran dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk penulisan berikutnya.

  Surabaya, 22 April 2016 Resa Ardeo Kusuma Resa Ardeo Kusuma, 2016, Analisis Model Penyebaran Penyakit Hepatitis B Dalam Tubuh dengan Mengaplikasikan Kontrol Optimal.

  Skripsi ini dibawah bimbingan Dr. Fatmawati, M.Si.dan Dr. Windarto, M.Si. DepartemenMatematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

  

ABSTRAK

  Hepatitis B adalah penyakit yang disebabkan oleh virus Hepatitis B suatu anggota famili Hepadnavirus. Penyakit ini dapat menyebabkan kematian jika tidak ditangani secara serius. Penyakit ini dapat dicegah dengan cara pemberian obat antiviral. Ada beberapa macam jenis obat antiviral, salah satu jenis obat antiviral Hepatitis B adalah Entecavir. Penyebaran penyakit Hepatitis B dalam tubuh telah dikaji dalam berbagai bidang, salah satunya bidang matematika yaitu menggunakan model matematika.

  Dalam skripsi ini dilakukan analisis model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B tanpa dan dengan adanya pengobatan antiviral. Model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B tanpa pengontrol mempunyai dua dan titik setimbang endemik titik setimbang yaitu titik setimbang non endemik

  . Selain itu, dapat ditentukan besaran Basic Reproduction Ratio yang merupakan tolak ukur terjadinya endemic penyakit Hepatitis B pada model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B tanpa pengontrol. Titik setimbang non endemik bersifat stabil asimtotis jika . Titik setimbang endemik akan ada dan cenderung stabil asimtotis jika . Pada model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B dengan pengontrol, dapat ditentukan profil pengontrol optimal menggunakan Prinsip Maksimum Pontryagin. Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa pemberian kontrol cukup efektif untuk meminimalkan jumlah sel hepatosit dengan biaya minimal.

  Kata Kunci

  :Model matematika, hepatitis B, obat antiviral, kestabilan, kontrol optimal. Resa Ardeo Kusuma, 2016, The Analysis of Hepatitis B Disease Model in a Human Body by Applying Optimal Control.

  This undergraduate thesis is under the advisors of Dr. Fatmawati, M.Si. dan Dr. Windarto, M.Si. Department of Matematics, Faculty of Science and Technology, UniversitasAirlangga, Surabaya.

  

ABSTRACT

  Hepatitis B is a disease caused by Hepatitis B virus as family of

  

Hepadnavirus. This type of disease may cause death if it does not handle

  seriously. Hepatitis B could be prevented by giving the antiviral medicine. There are several types of antiviral medication. One type of the antiviral for Hepatitis B is Entecavir. Several branch of science have studied about the spread of hepatitis B. By using a mathematical model, the dynamic of Hepatitis B could be learned.

  In this undergraduate thesis, we analyzes a mathematical model of Hepatitis B spread. The model has two equilibria, namely disease free equilibrium

  ) which and endemic equilibrium . In addition, Basic Reproduction Ratio ( is a measure of endemic hepatitis B of the model could be determined. The disease free equilibrium is asymptotically stable if . The endemic equilibrium tend to asymptotically stable if . We also determined profile of optimal control (in the form of antiviral medicine) by using Pontryagin Maximum principle. The result of numerical simulation shows that applying of antiviral treatment is effective for minimizing amount of the infected hepatocytes cell with minimal cost.

  Keywords

  : Mathematical model, hepatitis B, antiviral medicine, stability,optimal control.

  DAFTAR ISI Halaman

  LEMBAR JUDUL ........................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................. ii LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ............................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................ iv SURAT PERNYATAAN TENTANG ORSINALITAS..................... ............ v KATA PENGANTAR..................... ................................................................ vi ABSTRAK ....................................................................................................... viii ABSTRACT ..................................................................................................... ix DAFTAR ISI.. .................................................................................................. x DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii DAFTAR GAMBAR ....................................................................................... xiii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................... xiv

  BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1

  1.1. Latar Belakang ............................................................................. 1

  1.2. Rumusan Masalah ........................................................................ 3

  1.3. Tujuan .......................................................................................... 4

  1.4. Manfaat ....................................................................................... 4

  1.5. Batasan Masalah.......................................................................... 4

  BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 5

  2.1. Virus Hepatitis B .......................................................................... 5

  2.2. Hepatitis B .................................................................................... 6

  2.3. Sistem Persamaan Differensial ................................................... 7

  ............................................... 9

  2.4. Basic Reproduction Number

  2.5. Kestabilan Sistem Linear ............................................................ 10

  2.6. Kriteria Routh-Hurwitz .............................................................. 12

  2.7. Masalah Kontrol Optimal ............................................................ 14

  2.8. Prinsip Maksimum Pontryagin .................................................... 15

  BAB III METODOLOGI PENELITIAN ....................................................... 18 BAB IV PEMBAHASAN ............................................................................... 20

  4.1. Model Matematika Penyebaran Penyakit Hepatitis B Dalam Tubuh Tanpa Kontrol Optimal ..................................................... 20

  4.1.1. Titik Setimbang Model .................................................... 23

  4.1.2. Analisis Kestabilan Titik Setimbang ............................... 25

  4.1.2.1 Kestabilan Asimtotis Lokal Titik Setimbang Bebas virus

  26

  4.1.2.2 Kestabilan Asimtotis Lokal Titik Setimbang Endemik

  28

  4.2. Model Matematika Penyebaran Penyakit Hepatitis B dengan Kontrol Optimal ........................................................................... 31

  4.2.1Simulasi Numerik ............................................................... 36

  BAB V PENUTUP .......................................................................................... 42

  5.1 Kesimpulan .................................................................................. 42

  5.2 Saran ............................................................................................. 43 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 44 LAMPIRAN

  

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Tabel Halaman

  4.5 Perbandingan jumlah populasi sel hepatosit sehat pada waktu akhir pengamatan

  4.8 Perbandingan jumlah populasi virus Hepatitis B di virion pada waktu akhir pengamatan

  39

  4.7 Perbandingan jumlah populasi virus Hepatitis B di kapsid pada waktu akhir pengamatan

  38

  4.6 Perbandingan jumlah populasi sel hepatosit terinfeksi pada waktu akhir pengamatan

  37

  30

  4.1 Variabel dan parameter dalam model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B dalam tubuh

  4.4 Keterangan parameter-parameter tambahan pada model matematika penyakit Hepatitis B dalam tubuh dengan pemberian obat antiviral

  28

  4.3 Nilai parameter model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B

  28

  4.2 Nilai awal untuk bidang fase

  20

  40

  

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Gambar Halaman

  4.1 Diagram transmisi penyebaran penyakit Hepatitis B di dalam tubuh

  21

  4.2 Grafik bidang fase populasi sel hepatosit sehat terhadap populasi sel hepatosit terinfeksi pada model matematika penyebaran penyakit Hepatitis B untuk titik setimbang

  29

  4.3 Dinamika populasi sel hepatosit sehat

  36

  4.4 Dinamika populasi sel hepatosit terinfeksi

  37

  4.5 Dinamika populasi Virus Hepatitis B di kapsid

  38

  4.6 Dinamika populasi Virus Hepatitis B di virion

  39

  4.7 Grafik kontrol

  40