FST UTY Press Yogyakarta

PENGANTAR SIMULATED ANNEALING DAN APLIKASINYA

  

Dr. Suparman, M.Si., DEA

FST UTY Press Yogyakarta

PENGANTAR SIMULATED ANNEALING DAN APLIKASINYA

  Oleh : Dr. Suparman, M.Si., DEA Hak Cipta @ 2010 pada Penulis Penerbit : FST UTY Press Jl. Ringroad Utara, Jombor Sleman

Hak cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak buku ini

sebagian atau seluruhnya, dalam bentuk dan dengan cara apa pun juga,

baik secara mekanis maupun elektronis, termasuk fotokopi, rekaman,

dan lain-lain tanpa izin tertulis dari penulis. Edisi pertama Cetakan pertama, 2010

  Editor : Sugiyarto, M.Si., Ph.D Desain Cover : Magistera Laningratum Setting : Ayudea Az Zahra Zulfa Dr. Suparman, M.Si., DEA

  

Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya, ________ Yogyakarta :

FST UTY Press, 2010 vi+52 hlm; 18,5 x 26,5 cm

  ISBN : 978-979-1334-30-3 Statistika : Buku Referensi

Kutipan Pasal 44 : Sangsi pelanggaran undang-undang hak cipta 1987

1.

  Barang siapa dengan sengaja dan tanpa hak mengumumkan atau memperbanyak suatu ciptaan atau memberi ijin untuk itu, dipidana dengan pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 100.000.000,- (seratus juta rupiah).

  2. Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran hak cipta sebagaimana dimaksud ayat 1 (satu), dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling banyak Rp 50.000.000,- (lima puluh juta rupiah).

KATA PENGANTAR

  Buku ini disusun berdasarkan penelitian dan pengajaran yang penulis lakukan selama lima tahun. Di samping itu, penulis juga telah mengkaji berbagai literatur dan hasil penelitian. Buku ini ditulis sebagai buku referensi untuk para peneliti, para pengajar di Perguruan Tinggi dan para mahasiswa dalam memahami Metode Simulated Annealing. Dalam buku ini disertakan beberapa aplikasinya sehingga membuat buku ini cocok juga untuk para praktisi yang ingin memahami Metode Simulated Annealing dan permasalahan yang bisa diselesaikan dengan metode ini.

  Dalam buku ini dibahas berbagai hal, yaitu : 1) Simulated Annealing; 2) Estimasi Model Runtun Waktu Autoregresif; 3) Estimasi Model Runtun Waktu Subset Autoregresif; 4) Estimasi Model Runtun Waktu Moving Average; 5) Estimasi Model Runtun Waktu Subset Moving Average; 6) Estimasi Model Subset Autoregresif Moving Average; dan 7) Segmentasi Model Synthetic Aperture Radar.

  Karena saya tidak mungkin menyelesaikan buku ini sendirian, daya ingin mengucapkan banyak terima kasih pada berbagai pihak yang telah mendukung kelancaran penulisan buku ini. Akhirnya penulis tetap mengharapkan berbagai masukan, kritik dan saran demi perbaikan karya di masa yang akan datang.

  Yogyakarta, Juni 2010 Penulis

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  

Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

iv

  

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR iii DAFTAR ISI v

BAB 1 SIMULATED ANNEALING

  1

  1.1 Pendahuluan

  1

  1.2 Pembentukan Ukuran

  4

  1.3 Perhitungan Fungsi Kepadatan

  6

  1.4 Simulated Annealing

  8 BAB 2 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU AUTOGRESIF

  11

  2.1 Rumusan Masalah

  11

  2.2 Bayesian Hirarki

  12

  2.3 Metode MCMC

  13

  2.4 Algoritma SA

  14

  2.5 Aplikasi

  14

  2.6 Kesimpulan

  18 BAB 3 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU SUBSET

  19 AUTOGRESIF

  3.1 Rumusan Masalah

  19

  3.2 Bayesian Hirarki

  19

  3.3 Metode MCMC

  21

  3.4 Algoritma SA

  21

  3.5 Kesimpulan

  22 BAB 4 ESTIMASI MODEL RUNTUN MOVING AVERAGE

  23

  4.1 Rumusan Masalah

  23

  4.2 Bayesian Hirarki

  24

  4.3 Metode MCMC

  25

  4.4 Algoritma SA

  26

  4.5 Aplikasi

  26

  4.6 Kesimpulan

  30 Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

BAB 5 ESTIMASI MODEL RUNTUN SUBSET MOVING AVERAGE

AUTOGRESIF MOVING AVERAGE

  40

  38 BAB 7 SEGMENTASI MODEL SYNTHETIC APERTURE

  RADAR

  39

  7.1 Rumusan Masalah

  39

  7.2 Pendekatan Bayesian

  7.3 Metode SA

  38

  41

  7.4 Aplikasi

  42

  7.5 Kesimpulan

  45 DAFTAR PUSTAKA

  47

  6.5 Kesimpulan

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA vi

  31

  33

  5.1 Rumusan Masalah

  31

  5.2 Bayesian Hirarki

  31

  5.3 Metode MCMC

  33

  5.4 Algoritma SA

  5.5 Kesimpulan

  37

  34 BAB 6 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU SUBSET

  35

  6.1 Rumusan Masalah

  35

  6.2 Bayesian Hirarki

  36

  6.3 Metode MCMC

  6.4 Algoritma SA

  BAB

  1 SIMULATED ANNEALING

1.1 PENDAHULUAN

  Misalkan E menyatakan himpunan keadaan dan  menyatakan probabilitas keadaan pada E. Algoritma Metropolis-Hastings ([1], [2]) menghasilkan rantai Markov pada E yang mempunyai probabilitas stasioner sama dengan  . Pembentukan rantai Markov tersebut mendasarkan pada kondisi reversibilite. Probabilitas  disebut stasioner jika untuk kernel K dari rantai Markov pada E berlaku :

  ( x ) ( y ) K ( y , x )     _{y E}

  

  untuk semua . Probabilitas  disebut reversibel untuk kernel K

  x  E

  jika

   ( x ) K ( x , y )   ( y ) K ( y , x )

  untuk semua x , y E . Jelas bahwa reversibilite dari  berimplikasi

  

  pada stasionaritas untuk kernel K. Sifat ini digunakan untuk membentuk kernel K sedemikian sehingga  merupakan distribusi stasioner. Misalkan q menyatakan kernel bantu pada E. Dimulai dari , penarikan sebuah titik baru y dilakukan dalam 2 tahap :

  x  E 1.

  Titik y ditarik menurut q(x,y) 2. Titik y diterima dengan probabilitas

    ( y ) q ( y , x )   ( x , y )  min 1 ,  

  ( x ) q ( x , y )   

  Kernel K didefinisikan sebagai

  K ( x , y ) q ( x , y ) ( x , y ) jika x y      

  K ( x , y ) q ( x , x ) 1 ( x , y )        _y

  x 

  Kernel K ini memenuhi persamaan reversibite. Dibawah kondisi bahwa rantai Markov adalah irreduktibel dan aperiodik maka probabilitas  juga merupakan probabilitas limit.

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA Misalkan E menyatakan ruang yang dibentuk oleh dua ruang yang berbeda dimensinya. _{n n 1 2} E   1 x     2 x  dengan n dan n adalah bilangan bulat yang berbeda. Untuk

  1 _{n n n n 1}

  2 _{1 2 2}

  selanjutnya  1 x  ditulis dengan  dan   2 x  ditulis dengan  . Dengan demikian himpunan E dibentuk oleh dua unsur yaitu unsur _{n n 1 2} dari dan unsur dari . Demikian pula, ukuran  dibentuk

    _{n n 1 2} oleh dan .

   dibawa oleh   dibawa oleh  _{1 n n 1 2 2} Di dalam atau , algoritma Metropolis-Hastings dapat

   

  berfungsi tanpa kesulitan. Sebaliknya perlu mendefinisikan _{n n 1 2} tranformasi dari  menuju  atau sebalinya yang memenuhi persamaan reversibilite. Idea dari Green ([3]), misalkan q menyatakan kernel instrumental dan menyatakan probabilitas

  

  penerimaan/penolakan. Maka harus dipenuhi  ( dx ) q ( x , dx ' )  ( x , x ' )   ( dx ' ) q ( x ' , dx )  ( x ' , x )

   A  B  B  A

  untuk semua A   dan B   . Atau _{1 2 A B B A}  ( dx ) q ( x , dx ' )  ( x , x ' )   ( dx ' ) q ( x ' , dx )  ( x ' , x ) _{12 21}

      _{n n 1 2} Dimana q menyatakan kernel probabilitas dari  menuju  dan

  12 _{n n 2 1}

  q menyatakan kernel probabilitas dari menuju

  12   .

  Misalkan bahwa ukuran dan kernel mempunyai fungsi kepadatan terhadap ukuran Lebesque, maka  ( x ) q ( x , x ' )  ( x , x ' ) dxdx '   ( x ' ) q ( x ' , x )  ( x ' , x ) dx ' dx _{1 12 2 21 AxB BxA}

   

    ( x ' ) q ( x ' , x )  ( x ' , x ) dxdx ' _{2 21 AxB}

  

  Atau ( x ) q ( x , x ' ) ( x , x ' ) = ( x ' ) q ( x ' , x ) ( x ' , x )

      _{1 12 2 21} Jadi

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  2

     ( x ' ) q ( x ' , x ) _{2 21}

  ( x ' , x ) min 1 ,  

     ( x ) q ( x , x ' ) _{1 12}

    Selanjutnya dibentuk ukuran dalam himpunan ExE

  

  simetris dan memenuhi ( dx ) q ( x , dx ' ) mempunyai fungsi kepadatan

  

  dan mempunyai fungsi kepadatan

  f ( x , x ' )  ( dx ' ) q ( x ' , dx ) f ( x ' , x )

  terhadap  . Ingatlah bahwa ukuran  adalah simetris jika dan hanya jika untuk semua fungsi terukur positif diatas ExE

   ( x , y )

  berlaku  ( x , y )  ( dx , dy )   ( y , x )  ( dx , dy ) _{ExE ExE}  

  Karena ukuran ini simetris, maka  ( dx ) q ( x , dx ' )  ( x , x ' )  f ( x . x ' )  ( x , x ' )  ( dx , dx ' )

     _{A B AxB} f ( x '. x ) ( x ' , x ) ( dx , dx ' )   

_BxA



  ( dx ' ) q ( x ' , dx ) ( x ' , x ) f ( x '. x ) ( x ' , x ) ( dx ' , dx )      _{B A BxA}    f ( x . x ' ) ( x , x ' ) ( dx , dx ' )

    

_BxA



Persamaan reversibilite menjadi f ( x '. x )  ( x ' , x )  ( dx , dx ' )  f ( x . x ' )  ( x , x ' )  ( dx , dx ' ) _{BxA BxA}  

  Agar supaya persamaan ini dipenuhi, cukup dipenuhi f ( x ' , x )  ( x ' , x )  f ( x , x ' )  ( x , x ' ) untuk semua . Atau

  ( x , x ' )  ExE   f ( x ' , x )

  .

   ( x , x ' )  min 1 ,   f ( x , x ' )  

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA Permasalahan selanjutnya adalah bagaimana membentuk ukuran  yang simetris diatas ExE dan fungsi kepadatan f yang berkaitan dengan transformasi yang dilakukan.

1.2 PEMBENTUKAN UKURAN

  _{n n 1 2} Ide umum adalah melengkapi dua ruang dan untuk berada  

  dalam ruang yang sama dimensinya. Misalkan m dan m adalah dua _{1 2} bilangan positif sedemikian sehingga n  m  n  m _{1 1 2 2} Selanjutnya mendefinisikan transformasi-transformasi yang bersesuaian. Misalkan _{n  m n 1 1 2}

   g :    ₂ 

  ( x , x )  g ( x , x ) _{1 2 1}  dan _{n m n 2}  _{2 1}

   g :    ₁ 

  ( x ' , x )  g ( x ' , x ) _{2 1 2} 

  Anggap bahwa ada ijektivitas dari transformasi-transformasi terhadap komponen, yaitu untuk i =1, 2 berlaku g ( u ,  )  g ( u ,  )     _{i i}

  Anggap juga bahwa ada sebuah rumus inversi yang memungkinkan _{n m 1 1} untuk kembali ke belakang. Untuk semua x   dan x   , _{m 2 1} terdapat dengan tunggal x   sedemikian sehingga _{2 n m 1 1} g g ( x , x ), x  . Definisikan juga sebuah fungsi h x dari  x  ke ₁   _{2 1 m 2 2}

  2

  dalam  dengan memisalkan x  h ( x , x ) yang memenuhi _{2 2 1} persamaan sebelumnya. _{n m 2 2} Secara simetris, untuk semua dan terdapat _{m 1} x '   x   ₂ dengan tunggal sedemikian sehingga x   g  g ( x ' , x ), x   . x ' _{1 n m m 2 2 1 2 1 2 1} Definisikan fungsi h dari ke dalam dengan memisalkan

  a  x  

  x  h ( x ' , x ) Akhirnya sifat inversi ini memungkinkan berdasarkan _{1 1 2} g dan g untuk membentuk dua aplikasi yang saling invers

  1 2, Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  4 n m n m _{1 1 2}



₂ : x      ₁₂ ( x , x ) g ( x , x ), h ( x , x ) ₁    _{2 1}

₂

₁

  dan _{n m n  m 2 3 1 1}

   :  x    ₂₁ ( x ' , x )   g ( x ' , x ), h ( x ' , x )  _{2 1 2 1 2} Untuk ilustrasi, misalkan

  n  dan ₁ 1 n  . Maka lengkapi ruang ₂ 2  dan ambil m  dan ₁ 1 m  . Definisikan aplikasi g dan g dengan _{2 1 2} cara berikut _{2 2}  g :    ₂

   ( x , x )  g ( x , x )  ( x  x , x  x ) _{1 2 1 1 1}

   dan ₂

   g :    ₁  x '  x '  ^{1 2 }  x :  ( x ' , x ' )  g ( x " )    _{1 2 2}

  2    _{n n 1 2} Ingatlah bahwa E adalah berbentuk

  

  1 x     2 x  dan ukuran  simetris diatas ExE berdasarkan aplikasi g dan g . Dimulai dengan _{n n 1 2}

  1

  2

  mendefinisikan  pada  x  kemudian secara simetris pada _{m m 1 2}

  

 x  dan akhirnya diperluas pada ExE. Pertimbangkan aplikasi

_{n m n m 1 1 2 2} : x x       ( x , x ) x , g ( x , x ) ₁    _{2 1} Karena adalah bayangan dari ukuran Lebesque dari _{n n 1 2} 

  

 x  melalui aplikasi  maka dapat dimisalkan d    . d  . Untuk

_{n n 1 2} A   dan B   berlaku _{n m 1 1} ( AxB )   ( x , x )   x  x  A dan g ( x , x )  B 

   ¹ _{m m 1 2} ^{2 1 }

  Definisi ini diperluas pada  x  melalui sifat simetris dengan memisalkan _{n n 1 2} untuk dan .

   ( BxA )   ( AxB ) A   B  

  Akhirnya _{n n n n 1 2 2 1}

   ( AxB )   A   xB     A   xB      

  Perhatikan bahwa _{n n 1 1}

   ( AxB )  jika A   dan B  

  Dan

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA n n _{2 2} ( AxB ) jika A dan B      

  Untuk sebuah fungsi dua variabel positif pada ExE berlaku

   ( x , y )  ( x , x ' )  ( dx , dx ' )   ( x , x ' )  ( dx , dx ' ) _ExE   _{n n 1 x 1}  

    ( x , x ' )  ( dx , dx ' ) _{n n 2}  _{x 2}  

  Karena simetris maka juga berlaku

  

   ( x , x ' )  ( dx , dx ' )  (  ( x , x ' )   ( x ' , x ))  ( dx , dx ' ) _ExE   _{n n 1 x 1 n n 1}   ₂ Akhirnya, untuk dan berlaku

  A   B  

   ( x , x ' )  ( dx , dx ' ) _AxB   1 ( x ) _{A B} 1 ( x ' )  ( x , x ' )  ( dx , dx ' ) _ExE 

   1 ( x ) _{A B} 1 ( g ( x , x ))  ( x , g ( x , x ))  ( dx , dx ) _{2 1}

₂

_{1 1 n n 1}  _{x 2}  

1.3 PERHITUNGAN FUNGSI KEPADATAN

  _{n n 1 2} Misalkan x   . Dipilih lompatan menuju  dengan probabilitas _{n 1} j(2,x) dan tinggal di  dengan probabilitas 1-j(2,x). Ambil secara _{m 1} random titik x   dengan distribusi bantu q (x ) dan kemudian ₁

  1

  1

  dimisalkan x '  g ( x , x ) _{2 1} Misalkan ( x ) dan ( x ) adalah fungsi-fungsi kepadatan   _{1 2 n n 1 2} terhadap ukuran Lebesque dari

   dan  . Maka  ( dx ) q ( x , dx ' )  ( x , x ' ) _{A B}  

   1 ( x )  ( x ) _{A 1 B} 1 ( g ( x , x ))) _{2 1 n n 1}  _{x 2}  

  j ( 2 , x )  ( x , g ( x , x )) q ( x ) dxdx _{n n 1 2 2 1 1 1 1} dengan A   dan B   .

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  6

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

   

  ' 1 ) x ( ) ' x (

  1

  )) x , ' x ( g , ' x ( ) ' x , 1 ( j _{2 1}  _{2 2 2} ) dxdx x ( q

  Untuk menyatakan integral ini terhadap ukuran

  

  , lakukan perubahan variabel   

  ) x , x ( h x ) x , x ( g ' x _{1 2 2 1 2} Jika integral di ruas kanan dinyatakan sebagai fungsi dari x dan x

   

  1

  maka akan muncul jacobian ) x , x (

  ) x , ' x ( _{1 2} 

   Sehingga

  ) ' dx ( _B 

  

  ) x , ' x ( ) dx , ' x ( q _A 

      _{1 m 1 n x 2 1 A 2 B} )) x , ' x ( g (

  ) x , ' x ( ) dx , ' x ( q _A 

  Menurut kondisi inversi, untuk x dan

  

  ' x

  yang diberikan terdapat dengan tunggal x

  1

  sedemikian sehingga ) x , x ( g ' x _{1 2}

   . Dengan demikian

  ) x ( q _{1 1} dinyatakan dengan ) ' x , x ( q ₁ .

  ) dx ( _A 

  ) ' x , x ( ) ' dx , x ( q _B 

  

   

     _{AxB 1} ) ' x , x ( ) x , ) 2 ( j x ( ) ' dx , dx ( ) ' x , x ( q ₁ 

  Sehingga fungsi kepadatan terhadap ukuran

  

  dapat ditulis sebagai ) ' x , x ( q ) x ,

  ) 2 ( j x ( ) ' x , x ( f _{1 1}  

  Dengan cara yang sama diperoleh ) ' dx ( _B 

  

  1 ( x ' ) ( x ' ) 1 ( x )   _{B 2 A AxB} 

   ( x ' , x ) ₂

  j ( 1 , x ' )  ( x ' , x ) q ( x ' , x )  ( dx , dx ' ) ₂

   ( x , x ) ₁ Maka diperoleh ( x ' , x )

   ₂ f ( x ' , x )   ( x ' ) j ( ₂ 1 , x ' ) q ( x ' , x ) ₂ ( x , x )

   ₁ Probabilitas penerimaan menjadi

     ( x ' ) j ( ₂

1 , x ' ) q ( x ' , x )  ( x ' , x )

₂  ( x , x ' )  min 1 , .    ( x ) j ( ₁

2 , x ) q ( x , x ' )  ( x , x )

_{1 1}  

1.4 SIMULATED ANNEALING

  Algoritma reversibel jump Markov chain Monte Carlo yang diuraikan _i dalam bagian sebelumnya menghasilkan pengamatan x dalam

    ruang keadaan E menurut distribusi  .

  Dalam bagian ini, diuraikan versi simulated annealing dari algoritma reversible jupm Markov chain Monte Carlo. Algoritma Simulated Annealing (lihat sebagai contoh [4]) menggunakan skema _i penurunan temperatur T dan menghasilkan x menurut

    _{i  }

  distribusi   h ( x )

   ( x )   _T  

  T _i   dimana h ( x ) log ( x ) . Dengan menurunkan temperatur T menuju

     i

  0, nilai yang disimulasikan berada disekitar dekat sekali dengan minimum global dari fungsi h(x).

  Bartoli dan Del Moral memberikan kondisi sangat umum dari kekonvergenan algoritma simulated annealing dalam ruang terukur sembarang. Kondisi reversibilitas dari kernel otomatis dipenuhi untuk kernel Metropolis-Hasting. Di sini, skema penurunan

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  8

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

   

        ) x ( log ) x ( h ) x ( log ) x ( h

         

  dengan

  1 exp

• ^* _i

  T

           ) x , x (

  ) 1 min x , x ( ¹² _{T 12} ^{* * 21 *}

  temperatur T

  ) u ( h ) x ( j ,

  ) u , x ( f ) u ( g ) x ( j

    ) u , x (

   

   menjadi   

  dicari secara empiris. Probabilitas penerimaan/penolakan ) x , x ( ^*

  i

  ) x ( h ) x ( h ) x , x ( _{* *} ^{* *}

  

Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  10

  BAB

  2 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU AUTOREGRESIF

2.1 RUMUSAN MASALAH Misalkan adalah suatu runtun waktu berharga riil.

  (

  X t ) t  Z

  Runtun waktu (

  X t ) t  Z dikatakan memiliki model AR dengan orde p,

  dinotasikan sebagai AR(p), jika (

  X t ) t Z memenuhi persamaan 

  stokhastik berikut : _{p ( p )} (2.1)

  t  Z

  X X E _{t i t i t}    

   i ¹ 

  

  di mana orde p  N , vektor koefisien

  ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) P

     ,  ,  ,   

  p 

  1 2 

  dan ( E t ) t Z merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil

  

  yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan

  2

  rata-rata 0 dan variansi  ([5]). Data jumlah pembangkit tenaga listrik oleh industri listrik, jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model AR.

  Selanjutnya model AR (

  X ) disebut stasioner jika dan hanya t t  Z

  jika persamaan suku banyak _{p ( p ) i}

   ( a )  1   a _{i 1 i}  

  bernilai nol untuk nilai a di luar lingkaran dengan jari-jari sama dengan satu ([6]).

  Berdasarkan data x t (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan berusaha untuk menaksir harga

  ( p )

  2

  p, , dan   . Untuk melakukan itu, kita akan menggunakan pendekatan Bayesian hierarki, yang akan diuraikan dalam bagian berikut ini.

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

2.2 BAYESIAN HIERARKI

  Andaikan  adalah suatu realisasi dari model

  s   x p  1 , x p  2 , , x n 

  AR(p). Jika nilai s   x

  1 , x ^{2 ,  , x p  diketahui, maka fungsi}

  kemungkinan dari s dapat ditulis kurang lebih sebagai berikut : _{( n  p ) / 2 ( p ) 2 n} (2.2)

  1

  1 ^{2 ( p )}    s p ,  ,   exp  g t , p , 

        _{2 2  }

   t q ¹ 2  2   

  di mana _{( p ) p ( p )}

  g t , p ,   x   x   t   i ^{1 i t  i} x  x    x  ([7]).

  ˆ 1 ˆ 2 ˆ p

  untuk t = p+1, p+2, …, n dengan nilai awal Misalkan S adalah daerah stabilitas. Dengan menggunakan

  p

  transformasi _{( p ) ( p ) ( p ) ( p )}

   

  (2.3)

  G :    ,  , ,   S  ^{1 2 p  p} _{( p ) p}

   r  r , r , , r  (  1 , 1 )

   ^{1 2 p }

  maka model AR stasioner jika dan hanya jika (

  X t ) t  Z ( p ) p

  ([8]). Selanjutnya fungsi kemungkinan dapat

  r   r 1 ,  , r p   (  1 , 1 )

  ditulis kembali sebagai : _{( n  p ) / 2 ( r ) 2 n} (2.4)

  1

  1 ^{2  1 ( p )}    s p , r ,   exp  g t , p , G (  )

        ₂

_{2  }

  

 t p

¹ 2  2   

  Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut : a)

  Orde p berdistribusikan Binomial dengan parameter λ : _{p p p p max} 

  ( p ) C ( 1 )       _{p max} ( p )

  b)

  r

  Untuk orde q ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien

  q berdistribusikan seragam pada interval (-1, 1) .

  2

  c)  berdistribusikan invers gamma dengan parameter

  Variansi α/2 dan β/2 : _{/ 2 2 (  /} 

  2 ) ^{2 ( 1 / 2 ) 2}   

  ( , ) ( ) exp /( 2 )           (  / 2 )

  Di sini parameter λ diasumsikan berdistribusi seragam pada interval

  (0,1), nilai α diambil sama dengan 2 dan parameter β diasumsikan berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter

  ( p )

  2 H 1  ( p , r ,  ) dan H 2  (  ,  ) dapat dinyatakan sebagai : _{( p ) 2}  ( H , H )   (  )  (  ) (2.5) _{1 2    }   p    r p    , 

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  12

  Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H dan H dapat dinyatakan sebagai :

  1

  2 ( H , H )  ( H , H s )   s H 

  (2.6) _{1 2}   ₁ ^{1 2} Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori H

  1 , H 2 s mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

     tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk mengatasi masalah tersebut, diusulkan metode MCMC.

2.3 METODE MCMC

  Misalkan M = (H , H ). Secara umum, metode Markov Chain

  1

2 Monte Carlo (MCMC) merupakan suatu metode sampling, yaitu

  dengan cara membuat rantai Markov homogen M ,...,M yang

  1 m

  memenuhi sifat aperiodik dan irreduktibel ([9]) sedemikian hingga M ,...,M dapat dipertimbangkan sebagai variabel acak yang

  1 m

  mengikuti distribusi , . Dengan demikian M ,...,M dapat  H

  1 H 2 s 1 m  

  digunakan sebagai sarana untuk menaksir parameter M. Untuk merealisasikan itu diadopsi algoritma Gibbs Hibrida ([9]) yang terdiri dari dua tahap :

  1. H

  2 s

     Simulasi distribusi

  2. H

  1 , H 2 s

     Simulasi distribusi

  Algoritma Gibbs digunakan untuk mensimulasikan distribusi dan algoritma hibrida, yang mengabungkan algoritma  H

  2 s  

  Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (RJMCMC) ([3]) untuk

  

( p )

  mensimulasikan parameter ( p , r ) dengan algoritma Gibbs untuk

  2

  mensimulasikan parameter , digunakan untuk mensimulasikan σ distribusi H

  1 , H 2 s . Algoritma RJMCMC merupakan rampatan dari

     algoritma Metroppolis-Hastings ([1], [9]). Estimator yang dihasilkan oleh metode MCMC dalam dua tahap. Tahap pertama adalah estimator dari orde q. Tahap kedua

  2

  adalah estimator dari parameter model AR dan variansi yang σ bersesuaian dengan orde q yang diperoleh pada tahap pertama.

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA Untuk mendapatkan kecepatan dan efisiensi diperlukan suatu algoritma untuk menentukan estimator orde q, parameter model AR

  2

  dan variansi secara bersamaan. Untuk keperluan itu, diusulkan σ algoritma Simulated Annealing (SA).

  2.4 ALGORTIMA SA

  Algoritma SA ([10]) diperoleh dengan menambahkan barisan temperatur T ,...,T dalam metode MCMC di atas. Selanjutnya

  1 m

  algoritma SA akan memproduksi suatu rantai Markov M(T ),...,M(T ) yang tidak lagi homogen. Dengan suatu hipotesis

  1 m

  tertentu pada T

  1 ,...,T m ([11]) maka M(T m ) akan konvergen menuju

  suatu nilai yang memaksimumkan distribusi posteriori  H

  1 , H 2 s .

   

  2.5 APLIKASI

  Sebagai ilustrasi, kita akan menerapkan metode ini untuk mengidentifikasi orde dan menaksir parameter data AR sintesis dan data riil. Studi simulasi ditempuh untuk mengkonfirmasi kinerja dari algoritma SA apakah dapat berkerja dengan baik. Sedangkan studi kasus diberikan untuk memberikan contoh penerapan penelitian dalam memecahkan permasalahan dalam kehidupan sehari-hari.

  Baik untuk data AR sintesis maupun data AR riil ini, kita akan menggunakan algoritma SA untuk mengidentifikasi orde dan mengestimasi parameter model AR yang bersesuaiaan. Untuk keperluan itu, algoritma SA dimplementasikan sebanyak 70000 iterasi dengan nilai awal temperatur T = 10 kemudian temperatur diturunkan dengan faktor 0,995 hingga mencapai temperatur akhir T = 0,01. Nilai orde q dibatasi maksimum 10 sehingga q = 10.

  1400 maks

  Data AR Sintesis

Gambar 2.1 merupakan data AR sintesis yang dibuat menurut persamaan (2.1) di atas dengan menggunakan bahasa pemograman

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  14

  ( 2 )

  MATLAB, dengan jumlah data n = 250, orde p = 2, , 4162 ,  

  1 ( 2 )

  2 dan = 4.

     , 5377 σ

  2 Gambar 2.1. Data AR Sintesis

  Selanjutnya berdasarkan data dalam Gambar 2.1 orde p, parameter

  2

  model AR, variansi akan ditentukan atau lebih tepat akan ditaksir σ dengan menggunakan algoritma SA. Penaksir orde, parameter model

  2 AR dan variansi yang dihasilkan oleh algoritma SA adalah p 2 ,

  σ

  ˆ  ( 2 ) ( 2 )

  2

  ˆ ˆ  , 4073 ,   , 5430 dan

     = 3,5239. ˆ

  1

2 Data AR Riil

Gambar 2.2 menyajikan data penjualan suatu produk pada CV

  Jaya Warsa Klaten untuk 50 periode yaitu dari Januari 2002 sampai Pebruari 2006 ([12]). Dari plot data dapat kita lihat bahwa bahwa data tidak stasioner. Untuk mendapatkan menstasionerkan data, dibuat data baru yang terdiri dari pembedaan data asli antara periode yang berturut-turut.

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

Gambar 2.2. Data Penjualan suatu Produk pada CV

  Jaya Warsa Dengan melakukan pembedaan pertama terhadap data asli pada Gambar 2.2 akan menghasilkan suatu data stasioner yang plotnya ditunjukkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3. Pembedaan Pertama Data Penjualan suatu Produk pada CV Jaya Warsa.

  Seperti untuk kasus data sintesis, berdasarkan data pada ₂ Gambar 2.3 orde p, parameter model AR dan varisnsi diestimasi

  

  dengan menggunakan algoritma SA. Hasilnya adalah p

  4 , ˆ  ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 )

  2

  ˆ ˆ ˆ ˆ  , 5105 ,  , 3414 ,  , 2809 ,  , 2250 dan

      ˆ =

  1

  2

  3

  4 16,6262.

  Data riil kedua disajikan pada Gambar 2.4. Data tersebut merupakan data penjualan Penjualan Jasa Penumpang Pesawat

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  16

  Udara (PJP2U) dalam negeri pada PT Angakasa Pura I Bandar Udara Internasional Adisutjipto Yogyakarta untuk 55 periode yaitu Januari 2001 sampai Juli 2005 ([13]). Terlihat jelas pada Gambar 4 bahwa data inipun tidak stasioner.

Gambar 2.4. Data Penjualan PJP2U dalam negeri pada PT Angakasa Pura I.

  Untuk mendapakan data yang stasioner dilakukan pembedaan pertama dan hasilnya ditunjukkan pada Gambar 2.5.

Gambar 2.5. Pembedaan Pertama Data Penjualan PJP2U dalam Negeri pada PT Angakasa Pura I.

  Berdasarkan data pada Gambar 2.5 selanjutnya orde p,

  2

  parameter model AR dan variansi ditaksir dengan menggunakan σ

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  ( 1 )

  2

  ˆ algoritma SA. Hasilnya adalah

  1 , , 3926 dan p ˆ     = 6,8499 x ˆ

  1

  7 10 .

2.6 KESIMPULAN

  Uraian di atas, merupakan kajian teori tentang algoritma SA dan penerapannya pada identifikasi orde p, penaksiran vektor

  ( p )

  2

  koefisien , dan penaksiran variansi dari model AR. Dari hasil 

  σ simulasi menunjukkan bahwa algoritma SA dapat menaksir parameter-parameter itu dengan baik.

  Sebagai implementasi algoritma SA, diambil dua data riil pada CV Jaya Warsa dan PT Angkasa Pura I. Hasilnya adalah data penjualan suatu produk pada CV Jaya Warsa Klaten dapat dimodelkan dengan model ARI(4) dan data penjualan PJP2U dalam negeri pada PT Angakasa Pura I Bandar Udara Internasional Adisutjipto Yogyakarta dapat dimodelkan dengan model ARI(1). Selanjutnya model-model yang diperoleh dapat digunakan untuk memprediksi jumlah penjualan pada CV Jaya Warsa dan juga jumlah penjualan PJP2U dalam negeri pada PT Angakasa Pura I Bandar Udara Internasional Adisutjipto pada periode berikutnya.

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  18

  BAB

  3 ESTIMASI MODEL RUNTUN WAKTU SUBSET AUTOREGRESIF

  3.1 RUMUSAN MASALAH Misalkan adalah suatu runtun waktu berharga riil.

  (

  X t ) t  Z

  Runtun waktu (

  X t ) t  Z dikatakan memiliki model Subset

  AutoRegresif dengan orde p, dinotasikan sebagai SAR(p), jika (

  X t ) t Z 

  memenuhi persamaan stokhastik berikut :

  ( p ) p

  (3.1)

  X X E ,  t Z

t    t  m i  t 

i

  1  m i 

  di mana orde dan vektor koefisien

  p  N ( p ) ( p ) p ( p )

   .

     , ,   

  

 

m m

_{1 p}

  Di sini, merupakan suatu barisan peubah acak berharga riil ( E t ) t  Z yang saling bebas dan masing-masing berdistribusi normal dengan

  2

  mean 0 dan variansi . Data kurs mata uang rupiah terhadap euro, σ jumlah pendaftaran mobil di suatu negara, jumlah penumpang pesawat udara dan data jumlah penjualan industri merupakan beberapa contoh data riil yang dapat dimodelkan oleh model SAR.

  Berdasarkan data x

  t (t = 1, 2, …, n), selanjutnya kita akan

  berusaha untuk menaksir harga

  ( p )

  2 p, dan .

   σ

  Untuk melakukan itu, kita akan menggunakan pendekatan Bayesian hierarki, yang akan diuraikan dalam bagian berikut ini.

  3.2 BAYESIAN HIERARKI

  Andaikan  adalah suatu realisasi dari model

  s   x p  1 , x p  2 , , x n 

  SAR(p). Jika nilai  diketahui, maka fungsi

  s   x 1 , x

^{2 , , x p }

  kemungkinan dari s dapat ditulis kurang lebih sebagai berikut :

  Pengantar Simulated Annealing dan Aplikasinya | Dr. Suparman, M.Si., DEA

  ( n  p ) /

  2

  (3.2)

  1

  1  

  n ( )

  2 2 ( ) p p

   ( s p , , ) exp g ( t , p , )      

   

  t p

  2

  2

  1  

  2  2    di mana

  ( p ) p

  ( p ) ( q )

g ( t , p , q ,  ,  )  x t   x t  m i

  

  i  1 m _i

  untuk t = p+1, p+ .

  x ˆ 1  x ˆ 2    x ˆ p 

  2, …, n dengan nilai awal Penentukan distribusi prior untuk parameter-parameter tersebut di atas adalah sebagai berikut : a)

  Orde p berdistribusikan Binomial dengan parameter λ : _{p p  p p max}

   ( p  )  C  ( _{p max} 1   ) ( p )

  b) 

  Untuk orde p ditentukan terlebih dahulu, vektor koefisien berdistribusikan normal dengan mean 0 dan variansi 1.

  2

  c) berdistribusikan invers gamma dengan parameter Variansi σ

  α/2 dan β/2 : _{/ 2}

   ₂ (  / 2 ) _{2 ( 1 / 2 ) 2}   

   (   ,  )  (  ) exp   /( 2  )  (  / 2 )

  Di sini parameter λ diasumsikan berdistribusi seragam pada interval

  (0,1), nilai α diambil sama dengan 2 dan parameter β diasumsikan berdistribusi Jeffrey. Sehingga distribusi prior untuk parameter

  ( p )

  2 H  ( p , , ) dan H  ( , ) dapat dinyatakan sebagai : 1   2  

  ( H , H ) 

  1

  2

    ( H

  1 H 2 )  ( H 2 ) ( p )

  2

  (3.3)   ( p  )  (  p )  (   ,  )  (  )  (  )  (  )

  Menurut Teorema Bayes, maka distribusi a posteriori untuk parameter H dan H dapat dinyatakan sebagai :

  1

  2     ( H , H ) (3.4)

  ( H , H s )  s H  _{1 2 1} ^{1 2} Distribusi a posteriori merupakan gabungan dari fungsi

  kemungkinan dan distribusi prior yang kita asumsikan sebelum sampel diambil. Fungsi kemungkinan bersifat obyektif sementara distribusi prior ini bersifat subyektif. Dalam kasus ini, distribusi a posteriori H , H s mempunyai bentuk yang sangat rumit sehingga

   

  1 2 

  tidak dapat diselesaikan secara analitis. Untuk mengatasi masalah tersebut, diusulkan metode Markov Chain Monte Carlo (MCMC).