BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Koordinat 1. Sistem Koordinat dalam Dimensi Dua - TUTI SUNDARI BAB II

BAB II LANDASAN TEORI A. Sistem Koordinat

1. Sistem Koordinat dalam Dimensi Dua

  a. Sistem Koordinat Kartesius Sistem koordinat ini mempunyai sepasang sumbu yang berpotongan tegak lurus. Sumbu yang mendatar adalah sumbu x dan disebut absis. Sedangkan sumbu yang tegak adalah sumbu y dan disebut ordinat. Kedua sumbu berpotongan pada sebuah titik yang disebut titik pangkal.

  y x

Gambar 2.1 : Sistem Koordinat Kartesius

  Sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 bagian atau daerah yang dinamakan kuadran, yaitu : Kuadran I : di atas sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y. Kuadran II : di atas sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y. Kuadran III : di bawah sumbu x dan di sebelah kiri sumbu y. Kuadran IV : di bawah sumbu x dan di sebelah kanan sumbu y.

  6 Untuk lebih jelasnya bisa diamati pada gambar 2.2 di bawah ini.

  y

  Kuadran II Kuadran I

  x

  Kuadran IV Kuadran III

Gambar 2.2 : Kedudukan Kuadran

  Dengan demikian setiap titik dalam bidang ditentukan oleh sepasang bilangan, yang pertama menunjukkan absis dan yang kedua menunjukkan ordinat. Notasi titik biasanya ditulis dengan huruf kapital. Misal sebuah titik P yang berabsis x o dan berordinat y ditulis P(x y ),

  o o, o

  yang dapat digambarkan sebagai berikut :

  y y o

   P (x y )

  

o, o

x x o

Gambar 2.3 : Letak Suatu Titik

  b. Sistem Koordinat Kutub Dalam koordinat kutub, sebuah titik ditentukan oleh sebuah jarak dan sebuah sudut. Lebih jelasnya pada gambar 2.4 berikut,

   A (r, θ)

  r θ x O

Gambar 2.4 : Sistem Koordinat Kutub Keterangan : r : panjang ruas garis OA. |r| ≥0.

  

θ : sudut yang dibentuk oleh garis OA terhadap sumbu dengan

0° ≤α < 180°. O : titik kutub atau titik asal. Ox : poros atau sumbu kutub.

  (Kusdiono, 1995:105)

  c. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat kutub Misalkan sumbu kutub berimpit dengan sumbu x posisi sistem koordinat kartesius. Koordinat kutub (r, θ) sebuah titik P dan koordinat kartesius (x, y) titik itu dihubungkan oleh persamaan:

  x = r cos θ, y = r sin θ

  y

  2

  2

  2 r = x + y tan θ =

  x Persamaan di atas diperoleh dari gambar 2.5 berikut,

  y P r θ x

  O x

Gambar 2.5 : Hubungan Koordinat

  Kartesius dengan Koordinat Kutub

  d. Konsep Lingkaran Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu (Siswanto, 2005: 161). Jarak yang sama disebut dengan jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut dengan pusat lingkaran. Pada Gambar 2.6 ditampilkan tempat kedudukan titik- titik P, Q, R dan S yang membentuk lingkaran. Jari-jari lingkaran dinyatakan dengan r dan pusat lingkaran dinyatakan dengan titik O.

  Selain jari-jari dan pusat lingkaran juga terdapat sudut. Sudut tersebut dapat diukur dengan satuan derajat dan radian.

  1) Satuan Derajat Derajat disebut juga satuan sudut sexagesimal, yaitu keliling lingkaran dibagi dengan 360 bagian yang sama. Tiap bagian disebut 1 derajat. Dengan demikian satu putaran penuh yaitu 360 derajat. Simbol yang menyatakan derajat adalah ”...° ”

  1 putaran penuh = keliling lingkaran = 360°

  2

  1 putaran penuh =

  2

  1 keliling lingkaran = 180° Setiap derajat dibagi dalam 60 menit dan setiap menit dibagi lagi dalam 60 detik. Simbol menit adalah ” ... ' ” dan simbol detik ” ... " ”.

  Q S P r r

r

r

  O

Gambar 2.6 : Lingkaran yang Berpusat di

  O dengan Jari – Jari r

R Contoh dalam penulisannya, 15 menit ditulis : 15' 20 detik ditulis : 20" 1° = 60' = 3600"

  (Negoro, 1982:492) 2) Satuan Radian

  Perhatikan gambar berikut ini,

  F D B

• E O

  A

  C

Gambar 2.7 : Tiga Lingkaran yang

  Kosentrasi di Titik O Nilai perbandingan dari Gambar 2.7 adalah sebagai berikut:

  panjang busur AB panjang busur CD panjang busur EF

   

  jari  jari OA jari  jari OC OF

  Nilai perbandingan tersebut merupakan satuan radian sudut AOB atau sudut COD atau sudut EOF.

  panjang bu sur

  Jadi, ukuran radian =

  

panjang ja ri-jari

  O O r O r

• S

  r P r 1 rad 1 rad r 1 rad 1 rad 1 rad r

  P 1 rad

  R r r

  P Q R r Q

  Q r r r r r ( iii )

  ( ii ) ( i ) r

Gambar 2.8 : Tiga Lingkaran dengan

  Radian yang Berbeda - beda Dari gambar 2.8 (i) menunjukkan besar sudut 1 radian, yaitu sudut pusat juring di hadapan busur yang panjangnya 1 r.

  Besar  POQ = 1 rad.

Gambar 2.8 (ii) panjang busur PQR = 2 r, maka besar  POR = 2 rad.Gambar 2.8 (iii) besar  POS = 3 rad.

  Dari contoh diatas dapat dinyatakan bahwa:

  panjang bu sur

  1 r

  1 radian =

  1 r

  panjang bu sur

  2 r

  2 radian =

  1 r

  panjang bu sur

  3 r

  3 radian =

  1 r 3) Hubungan antara Radian dengan Derajat

  Telah diketahui bahwa panjang busur 1 r pada keliling lingkaran membentuk sudut 1 radian di pusat lingkaran. Keliling lingkaran 2 r, berarti keliling lingkaran (2  r) membentuk sudut

  2 radian di pusat lingkaran. Sedangkan sudut pusat lingkaran 360°, maka hubungan antara radian dan derajat adalah :

  2 rad = 360°

   rad = 180°

  Dari  rad = 180°, didapat: 180  180  1 rad =   57 , 29577951   57° 17' 45"

  

  3 ,

  14 Dari 180° =  rad, didapat:

  

  3 ,

  14    

  1° = rad    rad  , 017 rad   180  180   

    Jadi,  rad = 180° 1 rad  57, 29577951°  57° 17' 45"

  1° = 0,017 rad

  e. Luasan dan Pusat pada Bidang-Bidang Datar Sederhana Dalam hal ini titik berat adalah pusat luasan. Di bawah ini cara menentukan pusat luasan dari beberapa bangun datar

  1) Bangun Persegi Persegi adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh empat buah rusuk yang sama panjang dan memiliki empat sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku (Anonim, 2010). Letak titik berat persegi adalah pada titik potong antara kedua diagonalnya (Kanginan, 2005:136), yang dapat digambarkan sebagai berikut:

  C B P”

   P

  y p

  P’ O A x p

Gambar 2.9 : Titik Berat Persegi

  Titik pusat P(x p ,y p )

  1

  1

  x = P′ = OA = BC p

  2

  2

  1

  1

  y = P″ = OC = AB p

  2

  2 Dengan OA = AB = BC = OC dan luas persegi OABC sama dengan

  2

  2

  2

  2 (OA) = (AB) = (BC) = (OC)

  2) Bangun Persegi Panjang Persegi panjang adalah bangun datar dua dimensi yang dibentuk oleh dua pasang rusuk yang masing-masing sama panjang dan sejajar dengan pasangannya, dan memiliki empat buah sudut yang kesemuanya adalah sudut siku-siku (Anonim, 2009). Letak titik berat persegi panjang adalah pada titik potong antara kedua diagonalnya (Kanginan, 2005 : 135), yang dapat digambar sebagai berikut :

  C B

   P

  P″ y p A

  P′ O x p

Gambar 2.10 : Titik Berat Persegi Panjang

  OA // CB dan OC // AB AB ┴OA dan OC ┴CB

  Titik pusat P(x p ,y p )

  1

  1 Jarak OP′= x p = OA = BC

  2

  2

  1

  1 Jarak OP″= y p = OC = AB

  2

  2 Luas bangun OABC = OA x AB 3) Bangun Segitiga Sama Sisi

  Bangun segitiga sama sisi yaitu segitiga yang ketiga sisinya sama panjang dan sudutnya sama besar yaitu 60º (Anonim, 2010).

  Letak titik berat adalah perpotongan garis berat, yang dapat digambarkan sebagai berikut,

  y B  

   P y 

  p x B′

  O A x p

Gambar 2.11 : Titik Berat Segitiga Sama Sisi

  Segitiga OAB sama sisi,

  OA = AB = OB Sudut AOB = sudut OBA = sudut BAO = 60º

  Pusat segitiga P (x , y )

  p p

  1 Jarak x = OA

  p

  2

  1

  1 Jarak y p = BB′ = (OA) sin 60º

  3

  3

  alas x tinggi

  1

  2 Luas segitiga OAB = = (OA) sin 60º

  2

  2 4) Bangun Segitiga Tidak Beraturan

  Segitiga sembarang atau segitiga tidak beraturan adalah segitiga yang panjang ketiga sisinya berbeda dan besar masing – masing sudutnya berbeda (Anonim, 2010). Letak titik berat adalah pada perpotongan garis berat, dan untuk tinggi segitiga = BB´ = h,

  1 maka tinggi titik berat (y p ) adalah h (Kanginan, 2005 : 136).

  3

  y B

   h P″

   P

  y

   p x

  ┘ ┘

  A B′

P′

O

    x p

Gambar 2.12 : Titik Berat Segitiga Tidak Beraturan

  Segitiga OAB tidak beraturan,

  Panjang OP′ = x p Panjang OP″ = y p

  B’ proyeksi titik B pada sumbu x BB” tinggi segitiga OAB

  1

  1 Luas segitiga OAB = alas x tinggi = x OA x BB’

  2

  2

  5) Pusat Luasan Bidang Tidak Beraturan Bangun sebarang dapat diurai dalam luas-luasan kecil, misalkan A

  1 y n y

      _{n i i} ⁿ _i ^{i i}

  A A y _{1 1}

  (Kanginan, 2005:135)

  a. Sistem Koordinat Kartesius Koordinat kartesius di ruang dimensi tiga mempunyai tiga sumbu yang masing-masing saling tegak lurus (Isnaini, 1985:178).

  Ketiga sumbu tersebut antara lain :

  x 1 x 2 x n A

  1 y

       

  2

   

  A

   A n

Gambar 2.13 : Pusat Luasan Bangun Sembarang

  A

  2 

   _{2 1} ^{2 2 1 1} =

  A ... A A A y ... y A y A y

  1 , A

  2 ,y

  2 ,…,A n

  . Masing-masing dengan pusat C

  1 (x

  1 ,y

  1 ), C

  2 (x

  2 ), …, C n

  A A x _{1 1} ^P n ^{n n}

  (x n

  ,y n ).

  Maka pusat luasan dapat dirumuskan,

  ^P n ^{n n} A ... A A A x ... x A x A x

       

   _{2 1} ^{2 2 1 1} =

      _{n i i} ^{n i i i}

2. Sistem Koordinat Dalam Dimensi Tiga

  1) sumbu x yang biasa disebut absis, 2) sumbu y yang biasa disebut dengan ordinat, 3) sumbu z yang biasa disebut dengan aplikat.

  Ketiga sumbu tersebut bersama-sama membentuk sistem koordinat yang orthogonal xyz. Sumbu-sumbu tersebut terbagi atas sumbu x positif dan negatif. Sumbu y positif dan negatif. Sumbu z positif dan negatif. Sedangkan titik potong ketiga sumbu tersebut dinamakan titik nol, ditulis dengan 0, atau biasa disebut titik awal sistem koordinat. Lebih jelasnya pada gambar 2.14 berikut ini,

  z +

x -

y - y + x + z -

Gambar 2.14 : Kedudukan Koordinat

  Dalam sistem koordinat kartesius di ruang dimensi tiga, titik P dinyatakan oleh rangkap tiga terurut (x, y, z), seperti Gambar 2.15 di bawah ini :

  z

   P (x, y, z)

  y x

Gambar 2.15 : Koordinat Kartesius Sebuah Titik

  Sistem koordinat akan membagi ruang dalam 8 bagian atau disebut oktan, hingga titik P (x, y, z) dapat berada pada salah satu bagian ruang tersebut (Isnaini, 1985 : 179). Kedelapan bagian ruang tersebut yaitu : Oktan I : x, y, z positif Oktan II : x negatif, y dan z positif Oktan III : x dan y negatif, z positif Oktan IV : y negatif, x dan z positif Oktan V : x dan y positif, z negatif Oktan VI : x dan z negatif, y positif Oktan VII : x, y, z negatif Oktan VIII : y dan z negatif, x positif

  b. Sistem Koordinat Bola Koordinat bola adalah perumusan koordinat kutub ke ruang berdimensi tiga (Nababan, 1991:268). Sistem koordinat bola berguna untuk masalah-masalah geometri dan fisika tertentu yang melibatkan suatu pusat simetri.

  Di dalam koordinat bola terdapat suatu bidang kutub dan suatu sumbu z yang tegak lurus pada bidang kutub tersebut, dengan titik asal sumbu z berimpit dengan titik kutub dari bidang kutub tersebut. Suatu titik tertentu dalam koordinat bola dinyatakan oleh rangkap tiga terurut

  

(ρ, θ, ), dimana ρ = |OP| adalah jarak dari titik asal ke P, θ adalah

  ukuran sudut kutub dari proyeksi P pada bidang kutub, dan  adalah sudut antara sumbu z positif dan ruas garis OP. Titik asal mempunyai representasi koordinat bola (ρ, θ, ), dimana θ dan  dapat mengambil sebarang nilai. Jika titik P(ρ, θ, ), bukan titik asal, maka ρ > 0 dan 0    π;  = 0. Jika P pada bagian positif sumbu z dan  = π , jika titik P pada bagian negatif sumbu z. Lebih jelasnya dapat diamati pada

gambar 2.16 berikut,

  z

   P (ρ, θ, ) ρ

   y O θ x

Gambar 2.16 : Sistem Koordinat Bola

  (Nababan, 1991 : 270) Manfaat utama sistem koordinat bola dalam soal-soal yang memuat suatu simetri terhadap sebuah titik dan titik asal ditempatkan pada titik ini. Contohnya, bola yang berpusat di titik asal dan berjari-jari

  c mempunyai persamaan yang sederhana ρ = c. Grafik persamaan θ = c

  adalah setengah bidang vertikal. Persamaan  = c menyatakan setengah kerucut dengan sumbu z sebagai sumbunya.

  (Stewart, 2003:272-273) c. Tinggi Rata – Rata Luasan Dalam penentuan rumus untuk mencari tinggi rata – rata analog dengan penentuan pusat pada suatu bangun sembarang. Maka tinggi rata-rata (h rr ) dirumuskan sebagai berikut,

  

n

^{n n n} _{i i} ^{n i i i rr} A ... A A A h ... h A h A

  (A

       

   

      _{2 1} ^{2 2 1 1} ₁ ¹

    

  1 , h 1)

  ) (A

  n , h n

  (A

  2)

  A A h h

  2 , h

Gambar 2.17 : Tinggi Rata – Rata Luasan

3. Transformasi Koordinat

Gambar 2.18 : Hubungan Sistem Koordinat Bola dengan Kartesius

  O

  (ρ, θ, )  x y z

   P(x,y,z)

  r θ

   Q(r, θ,0)

  y z x

  ρ

• + y
• + z

  2 = ρ

  2  (cos

  2 θ + sin

  2 θ) + ρ

  2 cos

  2  x

  2

  2

  2 (sin

  2 = ρ

  2 

  2  ) x

  2

  2

  2 = ρ

  2

  (Nababan, 1991 : 272)

  Dalam bidang pengukuran dan pemetaan bumi, dikenal bidang geoid yang merupakan bentuk bumi dalam pengertian fisik. Geoid adalah bidang nivo (level surface) atau bidang ekuipotensial gaya berat yang terletak pada ketinggian muka air rata-rata. Arah gaya berat di setiap titik pada geoid adalah tegak lurus. Karena arah-arah gaya berat menuju pusat bumi, bidang geoid merupakan permukaan tertutup yang melingkupi bumi dan bentuknya tidak teratur. Secara teoritis, permukaan geoid pada umumnya tidak berhimpit dengan muka air laut rata-rata, karena penyimpangannya relatif kecil, maka secara praktis, geoid berhimpit dengan muka air laut rata-rata.

  2 sin

  2

  2

  2 = ρ

  Karena OQ = ρ sin  dan QP = ρ cos , persamaan ini menjadi : x = ρ sin  cos θ

  y = ρ sin  sin θ

z = ρ cos 

  Dengan mengkuadratkan setiap persamaan dan menjumlahkannya diperoleh

  x

  2

  2

  2 sin

  Dengan menempatkan suatu sistem koordinat bola dan suatu sistem koordinat kartesius bersama-sama seperti terlihat dalam gambar 2.18 di atas, diperoleh hubungan antara koordinat bola dan koordinat kartesius sebagai berikut,

  2  cos

  2 θ + ρ

  

2

sin

  2  sin

  2 θ + ρ

  2 cos

  2  x

  x = OQ cos θ ; y = OQ sin θ ; z = QP

• + y
• + z
• + y
• + z
• + cos

• + y
• + z

B. Bola Bumi

1. Fisik bumi

  (Handoko, 2004:6)

2. Bumi sebagai bola

  a. Posisi tempat di muka bumi Posisi tempat di muka bumi biasanya dinyatakan dalam satuan astronomi yaitu derajat, menit, dan detik. Hubungan koordinat geografi dan jarak di bumi ditentukan oleh lokasinya di permukaan bumi.

  o

  Disepanjang ekuator dan meridian, 1 adalah 111,11 km, diasumsikan bahwa keliling bumi adalah 40.000 km (Kraak, 2007:71).

  Bentuk bumi adalah bulat ibarat seperti bola oleh karena itu bumi sering disebut dengan bola bumi. Pada bola langit, bumi adalah sebagai titik pusatnya. Diameter rata-rata dari bulatan bumi adalah 12.742 km sehingga jari-jari rata-ratanya 6371 km (Anonim, 2010).

  Diameter ini adalah sebagai khatulistiwa bumi. Beberapa istilah yang terdapat pada bola bumi untuk mengetahui letak suatu titik di permukaan bumi :

  1) Lingkaran ekuator Lingkaran ekuator yaitu lingkaran yang membagi dua sama besar bola bumi menjadi bagian utara dan selatan.

  2) Lingkaran lintang Lingkaran lintang yaitu lingkaran-lingkaran yang sejajar dengan lingkaran ekuator.

  3) Lintang tempat Lintang tempat yaitu jarak antara suatu tempat ke ekuator.

  Lintang biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani  (phi). Bagi

Gambar 2.19 : Lingkaran Ekuator

  S B T U Lingkaran Ekuator

  U S B T Lingkaran Ekuator

Gambar 2.20 : Lingkaran

  Lintang tempat-tempat di sebelah utara ekuator, lintang tempat dihitung positif. Sedangkan bagi tempat-tempat yang berada di sebelah selatan ekuator dihitung negatif. Tempat-tempat yang terlalui ekuator, lintang tempatnya nol. Nilai maksimum koordinat lintang tempat adalah 90° yaitu terletak di kutub-kutub bumi. Lintang tempat titik Kutub Utara yaitu 90°, sedangkan Kutub Selatan yaitu

• 90°. Garis lintang di sebelah utara lingkaran ekuator disebut Lintang Utara (LU) dan garis lintang di sebelah selatan lingkaran ekuator disebut Lintang Selatan (LS).

  4) Lingkaran bujur Lingkaran bujur yaitu lingkaran-lingkaran besar yang melalui titik-titik kutub dan memotong ekuator tegak lurus. Lingkaran bujur yang melalui Greenwich Inggris disebut bujur nol sebagai standar untuk menentukan waktu di seluruh dunia. Waktu Greenwich dikenal dengan singkatan GMT atau Greenwich Mean Time. Selisih waktu antara setiap 15° garis bujur adalah satu jam. Sehingga selisih waktu setiap,

  1 1° = x 60 menit = 4 menit

  15 U Greenwich

  ●

  T B Lingkaran Ekuator

  S Gambar 2.21: Lingkaran Bujur

  5) Bujur Tempat Bujur tempat yaitu jarak suatu tempat ke lingkaran bujur yang melalui kota Greenwich. Bujur biasanya dinotasikan dengan abjad Yunani lamda (λ). Bujur tempat menggambarkan lokasi sebuah tempat di timur atau barat bumi dari sebuah garis utara-selatan yang disebut Meridian Utama. Tempat-tempat yang berada di sebelah barat Greenwich, bujur tempatnya disebut Bujur Barat (BB) sedangkan bagi tempat-tempat yang berada di sebelah timur

  

Greenwich, bujur tempatnya disebut Bujur Timur (BT). Istilah Bujur

  Barat dan Bujur Timur tidak dijumpai dalam bahasa Inggris, istilah tersebut hanya ditemui dalam bahasa Indonesia.

  6) Ketinggian Tempat Ketinggian adalah elevasi suatu objek dari suatu tingkat yang diketahui atau datum. Datum yang biasa digunakan adalah permukaan laut. Di Amerika Serikat dan Britania Raya, ketinggian biasa diukur dalam satuan kaki, sedangkan di seluruh bagian dunia lain, ketinggian diukur dengan satuan meter. Diketahui bahwa 1 kaki sama dengan 12 inci dan 1 inci sama dengan 2,54 cm. Titik tertinggi di permukaan bumi adalah gunung Everest setinggi 8.848 meter.

  (Anonim, 2010) Ketinggian suatu tempat sangat mempengaruhi suhu.

  Semakin tinggi tempat dari permukaan laut, suhu udara semakin rendah. Pada umumnya suhu udara turun 0,6° C setiap naik 100 meter dari permukaan laut.

  (Hadisumarno, 1987:44)

  b. Peta Secara etimologis, peta (Map) berasal dari bahasa Yunani

  

mappa yang berarti tutup meja (table cloth). Peta dipandang sebagai

  penutup permukaan bumi, baik sebagian bumi yang terdiri dari berbagai kenampakan geografi di atasnya.

  Secara istilah peta adalah bola bumi yang dipaksa menjadi dataran atau representasi dua dimensi dari suatu ruang tiga dimensi (Anonim, 2010). Dengan kata lain, peta adalah gambaran permukaan bumi di atas bidang datar dalam ukuran diperkecil yang kebenarannya dapat dipertanggungjawabkan secara visual atau matematis yang menyajikan informasi tentang bumi (Mahyu, 2010).

  Gambar pembuatan peta dari bentuk bola (globe) ke bidang datar atau peta (Sutama, 14).

Gambar 2.22 : Pembuatan Peta dari Bentuk Bola ke Bidang Datar

  Syarat-syarat peta: peta harus rapi dan bersih, peta tidak boleh membingungkan, peta harus mudah dipahami, peta harus memberikan gambaran yang sebenarnya (Anonim, 2010). Fungsi peta antara lain: menyeleksi data, memperlihatkan ukuran, menunjukkan lokasi relatif, memperlihatkan bentuk (Anonim, 2010).

  Di Indonesia lembaga yang berwenang membuat peta dasar Indonesia yaitu BAKOSURTANAL (Badan Koordinasi Survei dan Pemetaan Nasional). Menggunakan datum geodetik nasional Indonesia dalam membuat peta rupa bumi Indonesia.

  c. Skala Skala peta adalah merupakan perbandingan jarak antara dua titik di peta dengan jarak yang bersangkutan di permukaan bumi (jarak mendatar) (Handoko, 2004:7). Dengan kata lain, skala adalah angka yang menunjukkan perbandingan jarak sebenarnya dengan jarak pada peta (Anonim, 2002). Secara matematika dapat ditulis:

  

jarak sebe narnya

Skala =

jarak dala m peta

  Cara menentukan skala pada peta yang belum berskala : 1) Membandingkan dua jarak tempat di peta dengan jarak kedua tempat di lapangan.

  2) Membandingkan dengan peta lain yang luasnya sama dan telah diketahui skalanya.

  3) Membandingkan kenampakan-kenampakan dalam peta yang sudah pasti ukurannya.

  (Anonim, 2003) Terdapat beberapa cara untuk menyatakan skala peta, beberapa cara yang umum tersebut antara lain : 1) Dengan menuliskan hubungan antara jarak di peta dengan jarak di muka bumi dalam bentuk persamaan.

  Misalnya 1 cm = 100 m, hal ini berarti bahwa 1 cm di peta sesuai dengan 100 m di lapangan atau di permukaan bumi (jarak mendatar).

  Tipe skala ini disebut skala teknis (Engineer’s Scale). 2) Dengan menuliskan angka perbandingan.

  Misalnya 1 : 5000, hal ini mempunyai arti jika 1 cm di peta akan sama dengan 5000 cm di lapangan. Tipe skala ini disebut skala numeris (Numerical Scale). 3) Dengan menuliskan skala grafis.

  Suatu garis lurus dibagi ke dalam bagian-bagian yang sama, misalnya tiap bagian panjangnya 1 cm. Pada setiap ujung bagian garis dituliskan angka jarak yang sebenarnya, misal 1 km.

Gambar 2.23 : Skala Grafis

  Ini berarti bahwa 1 cm di peta sesuai dengan 1 km dilapangan. Tipe skala ini di sebut skala grafis (Graphical Scale).

  Pada hakekatnya besar kecilnya skala suatu peta akan mencerminkan ketelitian serta banyaknya informasi yang disajikan.

  Misalnya kita mengukur jarak antara dua titik pada peta skala 1:5000 dan 1:20.000, kesalahannya 0,1 mm. Hal ini berarti, pada peta skala

  1:5000 memberikan kesalahan sebesar 0,1 x 5000 mm = 500 mm = 0,5 meter sedangkan pada skala 1:20.000 memberikan kesalahan jarak 0,1 x 20.000 = 2 meter. Sedangkan informasi yang diberikan peta skala besar akan menginformasikan secara lebih lengkap dan mendetail dibandingkan dengan peta skala kecil.

  (Handoko, 2004:7 ; 8)

3. Kabupaten Banyumas

  Wilayah Kabupaten Banyumas terletak di sebelah barat daya dan merupakan bagian dari Propinsi Jawa Tengah. Terletak di antara garis bujur timur 108˚39΄17˝ sampai 109˚27΄15˝ dan di antara garis lintang selatan 7˚15΄05˝ sampai 7˚37΄10˝ yang berarti berada di belahan selatan garis khatulistiwa. Batas-batas Kabupaten Banyumas adalah : a Sebelah Utara : Gunung Slamet, Kabupaten Tegal dan Kabupaten

  Pemalang. b Sebelah Selatan : Kabupaten Cilacap c Sebelah Barat : Kabupaten Cilacap dan Kabupaten Brebes d Sebelah Timur : Kabupaten Purbalingga, Kabupaten Kebumen dan

  Kabupaten Banjarnegara Luas wilayah Kabupaten Banyumas sekitar 1.327,60 km2 atau setara dengan 132.759,56 ha, dengan keadaan wilayah antara daratan dan pegunungan dengan struktur pegunungan terdiri dari sebagian lembah Sungai Serayu untuk tanah pertanian, sebagian dataran tinggi untuk pemukiman dan pekarangan, dan sebagian pegunungan untuk perkebunan dan hutan tropis terletak di lereng Gunung Slamet sebelah selatan. Bumi dan kekayaan Kabupaten Banyumas masih tergolong potensial karena terdapat pegunungan Slamet dengan ketinggian puncak dari permukaan air laut sekitar 3.400 m dan masih aktif. Keadaan cuaca dan iklim di Kabupaten Banyumas karena tergolong di belahan selatan khatulistiwa masih memiliki iklim tropis basah. Demikian Juga karena terletak di antara lereng pegunungan jauh dari garis pantai atau lautan maka pengaruh angin laut tidak begitu tampak, namun dengan adanya dataran rendah yang seimbang dengan pantai selatan angin hampir nampak bersimpangan antara pegunungan dengan lembah dengan tekanan rata-rata antara 1.001 mbs, dengan suhu udara berkisar antara 21,4˚C - 30,9˚C.

  (Anonim, 2010)

C. Pusat Wilayah dan Tinggi Rata – Rata

1. Pusat Pemerintahan dan Pusat Wilayah

  Pusat pemerintahan merupakan kompleks perkantoran pemerintah yang dilengkapi dengan hunian terbatas untuk rumah-rumah dinas pejabat (Sarwono, 2008). Contohnya Jakarta sebagai pusat pemerintahan Indonesia, kantor bupati sebagai pusat pemerintahan daerah dan kantor kecamatan sebagai pusat pemerintahan kecamatan. Sedangkan, pusat wilayah merupakan koordinat rata-rata di titik wilayah tertentu.

2. Penentuan Lintang dan Bujur Standar Berdasarkan Hasil Pengukuran Badan Hisab dan Rukyat

  a. Hasil Pengukuran Badan Hisab dan Rukyat Adapun data lintang dan bujur 6 tempat hasil penelitian Badan

  Hisab dan Ruhyat adalah sebagai berikut: 1) Desa Cingebul Rt/ Rw : 03/ 01, Kecamatan Lumbir Desa tersebut merupakan batas paling barat Kabupaten Banyumas.

  Desa tersebut berada pada posisi:

   p (lintang pusat) = 108º 53´ 29,1˝ λ (bujur pusat) = -7º 27´ 20,9˝ p h p (tinggi pusat) = 48 m

  2) Desa Losari, Kecamatan Rawalo Desa tersebut berada pada posisi

   p = 109º 08´ 46,8˝ λ p = -7º 34´ 43,9˝ h p = 28 m

  3) Desa Kemutug Lor Rt/ Rw : 05/ 04 Kecamatan Baturraden Desa tersebut merupakan batas paling utara Kabupaten Banyumas.

  Desa tersebut berada pada posisi:

   = 109º 13´ 52,2˝ p

  λ p = -7º 18´ 47,7˝ h = 660 m p

  4) Masjid Agung Baitussalam Alun – Alun Purwokerto

   =109º 13´ 41,8˝ p

  λ p = -7º 25´ 29,2˝ h = 95 m p

  5) Grumbul Kedung Sampang desa Nusadadi Rt/ Rw : 03/ 01 Kecamatan Sumpiuh Desa tersebut merupakan batas paling selatan Kabupaten Banyumas. Desa tersebut berada pada posisi:

   p = 109º 23´ 06,1˝ λ = -7º 39´ 31,3˝ p h p = 46 m

  6) Desa Buniayu, Kecamatan Tambak Desa tersebut merupakan batas paling timur Kabupaten Banyumas.

  Desa tersebut berada pada posisi:

   = 109º 26´ 42,4˝ p

  λ p = -7º 37´ 15,4˝ h = 46 m p

  b. Penentuan Lintang dan Bujur Standar Kabupaten Banyumas

  jarak sebe narnya Skala = jarak dala m peta λj  λi k = Xj  Xi

   j   i t = Yj  Yi dengan: k = skala horisontal

  t = skala vertikal λ i , λ j = bujur tempat ,  = lintang tempat  i j

  X , X = absis tempat dalam peta i j

  Y i , Y j = ordinat tempat dalam peta

  Langkah-langkah dalam menentukan lintang dan bujur standar Kabupaten Banyumas sebagai berikut : 1) Menghitung Skala Horisontal Rata – Rata (k rr )

  jarak bujur tempat

  Rumus : k =

  jarak absis peta λj  λi

  =

  Xj  Xi Δ λ

  =

  Δ X _k Δ λ _n  _n  ₁ k = rr _k

  Δ X _n  _{n  1} Tabel 2.1

  

Data Bujur

  No. Posisi Bujur Absis

  1. Cingebul 108˚53΄29,1˝ 3 mm

  2. Losari 109˚08΄46,8˝ 523 mm

  3. Kemutug Lor 109˚13΄52,2˝ 551 mm

  4. Masjid Baitussalam Purwokerto 109˚13΄41,8˝ 570 mm

  5. Kedung Sampang 109˚23΄61,2˝ 928 mm

  6. Buniayu 109˚26΄42,4˝ 994 m

Tabel 2.2 Perhitungan Jumlah Bujur dalam Derajat

  No. Kode j - i λ

• - λ

  

j

  i Δ λ n

  1. 2 – 1 109˚08΄46,8˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚15΄17,7˝ 2. 3 – 1 109˚13΄52,2˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚20΄23,1˝ 3. 4 – 1 109˚13΄41,8˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚20΄12,7˝ 4. 5 – 1 109˚23΄06,1˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚29΄37,0˝ 5. 6 – 1 109˚26΄42,4˝ - 108˚53΄29,1˝ 0˚33΄13,3˝ 6. 3 – 2 109˚13΄52,2˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚05΄05,4˝ 7. 4 – 2 109˚13΄41,8˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚04΄55,0˝ 8. 5 – 2 109˚23΄06,1˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚04΄19,3˝ 9. 6 – 2 109˚26΄42,4˝ - 109˚08΄46,8˝ 0˚17΄55,6˝

  10. 4 – 3 109˚13΄41,8˝ - 109˚13΄52,2˝ - 0˚00΄10,6˝ 11. 5 – 3 109˚23΄06,1˝ - 109˚13΄52,2˝ 0˚09΄13,9˝ 12. 6 – 3 109˚26΄42,4˝ - 109˚13΄52,2˝ 0˚12΄50,2˝ 13. 5 – 4 109˚23΄06,1˝ - 109˚13΄41,8˝ 0˚09΄24,3˝ 14. 6 – 4 109˚26΄42,4˝ - 109˚13΄41,8˝ 0˚13΄00,6˝ 15. 6 – 5 109˚26΄42,4˝ - 109˚23΄06,1˝ 0˚03΄36,3˝

   

   ¹⁵ _{1 n n}

  

  3˚28΄54˝ " 12534 '

  '' 54 '

  28

  3 ¹⁵ ₁    

    n ⁿ

  λ Δ

Tabel 2.3 Perhitungan Jumlah Bujur dalam Peta

  Kode No.

  X j – X i Δ X n (mm) j – i

  1. 2 – 1 523 – 3 520 2. 3 – 1 551 – 3 548 3. 4 – 1 570 – 3 567 4. 5 – 1 928 – 3 925 5. 6 – 1 994 – 3 991 6. 3 – 2 551 – 523

  28 7. 4 – 2 570 – 523

  47 8. 5 – 2 928 – 523 405 9. 6 – 2 994 – 523 471

  10. 4 – 3 570 – 551

  19 11. 5 – 3 928 – 551 377 12. 6 – 3 994 – 551 443 13. 5 – 4 928 – 570 358 14. 6 – 4 994 – 570 424 15. 6 – 5 994 – 928

  66 ₁₅ 6189

  

   _n  _n  ₁ k  _{rr 15}

   x _n

   _{n  1}

  0 ' 12534 " 

  

= 2,025206"/mm = 2,02 "/mm

  6189 mm 2) Menghitung Skala Vertikal Rata – rata (t )

  rr Jarak l int ang tempat

  Rumus : t 

  Jarak ordinat peta  j  i

  =

  ji  Yi Δ 

  =

  Δ Y _k Δ  _n

   _n  ₁ t = rr _k

  Δ Y _{n n }  ₁

• - 

  

i

Δ λ n

   

   

  483,66" 138' Δ ¹⁵ _{1 n n}  

  0˚138΄483,66˝ 66" 8763, 0'

  Δ 

    ^{15 1 n n}

  10. 4 – 3 -7˚27΄20,9˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚07΄23,0˝ 11. 5 – 3 -7˚25΄29,2˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚09΄14,7˝ 12. 6 – 3 -7˚18΄47,7˝ + 7˚34΄43,9˝ 0˚15΄56,2˝ 13. 5 – 4 -7˚25΄29,2˝ + 7˚27΄20,9˝ 0˚01΄51,7˝ 14. 6 – 4 -7˚18΄47,7˝ + 7˚27΄20,9˝ 0˚08΄33,2˝ 15. 6 – 5 -7˚18΄47,7˝ + 7˚25΄29,2˝ 0˚06΄41,5˝

  1. 2 – 1 -7˚37΄15,4˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚02΄15,9˝ 2. 3 – 1 -7˚34΄43,9˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚04΄47,4˝ 3. 4 – 1 -7˚27΄20,9˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚12΄10,4˝ 4. 5 – 1 -7˚25΄29,2˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚14΄02,1˝ 5. 6 – 1 -7˚18΄47,7˝ + 7˚39΄31,3˝ 0˚20΄43,6˝ 6. 3 – 2 -7˚34΄43,9˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚02΄31,5˝ 7. 4 – 2 -7˚27΄20,9˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚09΄44,5˝ 8. 5 – 2 -7˚25΄29,2˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚11΄46,2˝ 9. 6 – 2 -7˚18΄47,7˝ + 7˚37΄15,4˝ 0˚18΄27,7˝

  j - i  j

Tabel 2.4 Data Lintang

  Kode

Tabel 2.5 Perhitungan Jumlah Lintang dalam Derajat No.

  6. Kemutug Lor -7˚18΄47,7˝ 543 mm

  5. Masjid Baitussalam Purwokerto -7˚25΄29,2˝ 359 mm

  4. Cingebul -7˚27΄20,9˝ 181 mm

  3. Losari -7˚34΄43,9˝ 109 mm

  2. Buniayu -7˚37΄15,4˝ 74 mm

  1. Kedung Sampang -7˚39΄31,3˝ 1 mm

  No. Posisi Lintang Ordinat

  

  X j

  apabila k = k

   = 2,4095848"/mm = 2,41 "/mm 3) Menghitung Bujur Standar (Sumbu Y)

  Sumbu Y → absis X = 0 → λ = ? k =

  Xi Xj λi λj

   

  = 

  

  Xj λ λj

  rr

   3637 mm

  , maka k

  rr

  X j

  = λ

  j

  = λ j

  rr

  " ' 8763 66 , 0

  n n Y Δ n n Δ rr t

Tabel 2.6 Perhitungan Jumlah Lintang dalam Peta

  10. 4 – 3 181 – 109

  No.

  Kode

  j – i ^{i j}

Y Y 

_n

  Y Δ

  1. 2 – 1 74 – 1

  73 2. 3 – 1 109 – 1 108 3. 4 – 1 181 – 1 180 4. 5 – 1 359 – 1 358 5. 6 – 1 543 – 1 542 6. 3 – 2 109 – 74

  35 7. 4 – 2 181 – 74 107 8. 5 – 2 359 – 74 285 9. 6 – 2 543 – 74 469

  72 11. 5 – 3 359 – 109 250 12. 6 – 3 543 – 109 434 13. 5 – 4 359 – 181 178 14. 6 – 4 543 – 181 362 15. 6 – 5 543 – 359 184

  1

    ^{15 1 n n}

  Y Δ

  3637 

   

   

  15

  1

  15

• – λ

  λ
• – k

Daerah yang dipergunakan dalam menghitung bujur standar yaitu Cingebul, dengan alasan bahwa Cingebul adalah daerah yang paling dekat dengan sumbu Y.

  Kasus Cingebul :

  λ j = 108° 53' 29,1" X = 3 mm j k = 2,02"/mm rr

  sehingga, λ = 108° 53' 29,1" – (2,02"/mm x 3 mm) = 108° 53' 29,10" – 6,06"

  λ = 108° 53' 23,04"

  Jadi bujur standar (sumbu Y) adalah 108° 53' 23,04" 4) Menghitung Lintang Standar (Sumbu X)

  Sumbu X → ordinat Y = 0 →  = ?

  j   i  j    t = = Yj  Yi Yj 

  apabila t = t rr , maka t rr Y j =  j – 

  =

• – t Y   j rr j

  Daerah yang dipergunakan dalam menghitung bujur standar yaitu Sampang, dengan alasan bahwa Sampang adalah daerah yang paling dekat dengan sumbu X.

  Kasus Sampang Nusadadi :

  = -7° 39' 31,3"  j Y j = 1 mm t = 2,41"/mm rr sehingga,  = -7° 39' 31,3" – (2,41"/mm x 1 mm)

   = -7° 39' 33,71"

  Jadi lintang standar (sumbu X) adalah -7° 39' 33,71" (Meita, 2008:76-84)

D. Program Matlab

1. Pengertian Matlab

  Matlab (matrix laboratory) merupakan program interaktif untuk melakukan perhitungan-perhitungan yang meliputi numerik ketehnikan, komputasi simbol, visualisasi, grafis, analisa data matematis, statistika, simulasi dan pemodelan. Matlab merupakan perangkat lunak (softwere) yang canggih, cukup lengkap dan bahasa pemprograman Matlab jauh lebih hebat dan lebih mudah dari bahasa pemprograman yang lain seperti Basic, Pascal, Delphi maupun C++. Matlab juga menyediakan sekelompok penyelesaian masalah untuk problem-problem khusus, yaitu yang disebut

  toolbox. Sebagai contoh versi mahasiswa, Matlab ini menyediakan Control System Toolbox, Signal Prosesing Toolbox, dan Simbolix Math Toolbox

  bahkan dapat membuat toolbox sendiri. Pemberian perintah dalam matlab, dalam pengetikan hurufnya membedakan antara huruf besar dan huruf kecil.

  Macam-macam window dalam Matlab, antara lain :

  a. Command Windows Command windows muncul pada saat pertama kali membuka

  program Matlab. Dalam window ini dapat melaksanakan akses ke

  

command Matlab, mengetik ekspresi Matlab, mengakses help window,

  dan sebagainya. Command window juga dapat mengakses barisan perintah yang telah ditulis pada baris prompt sekarang (dan di atasnya lagi) menggunakan tanda panah ke atas atau ke bawah.

  Untuk menyimpan perintah-perintah yang telah ditulis dan

  

output yang telah ditampilkan di layar commad window, dapat dengan