Sistem Koordinat - Repository UNIKOM
1
Materi
1
Macam-macam sistem koordinat
- Sistem loordinat Kartesian
- Sitem koordinat silinder
- Sistem koordinat Bola
Materi 2
Transformasi koordinat
- Contoh soal
2
Pertemuan
ini membahas tentang penggunaan
sistem koordinat Kartesian, sistem koordinat
silinder, sistem koordinat bola, transformasi
koordinat dan contoh-contoh soal-soal.
Aplikasi dari analisa vektor ini terdapat dalam
bidang listrik dan gelombang, mekanika, mekanika
teknik, mekanika zat alir dan lain-lain. Setelah
menyelesaikan dengan baik marei.
3
1. Macam-macam sistim koordinat
1.1 Sistim koordinat Kartesian
Z
z
• P(x,y,z) Titik P koordinat
Y
nya x , y dan z
X
Elemen volum di titik P : dV = dx dy dz
Z dz
dx
dy
P
Y
2
2
4
2
2
1.2 Sistim koordinat Silinder
Z
z • P (r ,φ , z)
x = r cos φ
Y y = r sin φ
φ
X
Z
r
dφ
dz
.
P dr
φ
X
z=z
r
r dφ Elemen volum diferen
sial : dV = r dr dφ dz
Y
Elemen garis diferensial dL adalah diagonal
5
k
• Vektor satuan ar , aφ dan az =
. ..
Z
az aφ
r
z
ar
y
φ
X
ar ┴ a φ ┴ a Z
• Hubungan koordinat Kartesian
dengan
.. … koordinat silinder :
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
r = √( x2 + y2) ; r ≥ 0
φ = atan (y/x)
z=z
6
1.3.Sistim koordinat bola
ar
θ P•
aφ
Koordinat titik M
..
Θ’ r
aθ
..
.. …
adalah r , φ dan θ’
•
M (r, φ,
θ’)
φ
..
Ke tiga vektor satuan saling tegak lurus ,
ar ┴ a φ ┴ a θ
x = r sin θ cos φ ; r = √( x2 + y2 + z2 ); r ≥ 0
7
Elemen garis diferensial , dL
Z
dr
r sin θ dφ
θP
dθ
Y
φ
X
r dθ
dL2 = dr2 + (r dθ)2 + (r sin θ dφ)2
Elemen volum diferensial , dV
dV = r2 sin θ dr dθ dφ
8
2. Transformasi koordinat
…
2.1 Transformasi S.K.Kartesian ke S.K.Silin- ..
der
…
…
Dengan mempergunakan tabel di bawah ..
ini , hasil dari perkalian titik antara dua ..
vektor satuan .
ar
i
j
k
cos φ
sin φ
0
aφ
aZ
- sin φ
cos φ
0
0
0
1
Vektor A dalam koordinat Kartesian
A = AX i + A Y j + AZ k
9
Vektor A dalam koordinat silindris
A = Ar ar + Aφ aφ + Az az
Cara mencari komponen vektor silindris
adalah dengan melakukan “dot product “
antara vektor dalam koordinat Kartesian
dengan salah satu vektor satuan dalam
koordinat silindris .
Sebagai contoh mencari komponen Ar :
Ar = (Ar ar + Aφ aφ + AZ aZ ) ● ar
Ar = (AX i + AY j + AZ k ) ● ar
= AX i ● ar + AY j ● ar + AZ k ● ar
Menurut tabel : I ● a = cos φ
10
sehingga komponen silindris Ar memberikan
Ar = AX cos φ + AY sin φ
Cara yang sama dihasilkan Aφ dan AZ
Aφ = - AX sin φ + AY cos φ
AZ = AZ
Contoh : Transformasikan ke koordinat
tabung vektor B = yi – xj + zk
Jawaban :
Br = B • ar
Br = (yi – xj + zk) • ar = y cos φ - x sin φ = 0
B = (y i – x j + z k) • a = (y i – x j) • a = - r
11
2.2 Transformasi S,K.Kartesian ke S.K.Bola
…
…..
Tabel “ dot product” vektor satuan dalam
S.K. Karrtesian dengan vektor satuan … …
dalam S.K.Bola
ar
i
j
k
.
.
sin θ cos φ
sin θ sin φ
cos θ
aφ
aθ
cos θ cos φ
cos θ sin φ
- sin θ
- sin φ
cos φ
0
Contoh : Nyatakan medan vektor
W = (x - y) aY dalam koordinat
bola
12
Jawaban :
W = (x - y) ay
W = Wr ar + Wφ aφ + Wθ aθ
Wr = (x - y) aY ● ar = (x - y) sin θ sin φ
Wφ = (x - y) aY ● aφ = (x - y) cos θ sin φ
Wθ = (x - y) aY ● aθ = (x - y) cos φ
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
x – y = r sin θ (cos φ - sin φ ) →
13
.
W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ ar +
cos θ aφ ) + cos φ aθ ]
14
Rangkuman :
1. Sistem koordinat Kartesiaan
. - Elemen garis diferensial , ∆L :
.
dL2 = dx2 + dy2 + dz2
. - Elemen diferensial volum , dV :
.
dV = dx dy dz
2. Sistem koordinat silinder (tabung)
Z
x = r cos φ
• P (r, φ, Z )
Y
θ
X
r
y = r sin φ
z=z
15
- Elemen garis diferensial , ∆L
..
∆L2 = dr 2 + (rdφ)2 + z2
..
- Elemen diferensial
volum ,dV
...
dV = r dr
dφ dz
Transformasi koordinat silinder :
ar
aφ
i
j
k
cos φ
sin φ
0
aZ
- sin φ
cos φ
0
0
0
1
16
3. Sistem koordinat bola
Z
φ
θ
r
X = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin
φ
z
= r cos θ
• P(r,φ,θ)
Y
X
- Elemen garis diferensial ,dL
.
dL2 = dr 2 + (rdθ)2 + (r sinθ dφ)2
- Elemen volum diferensial , dV
17
4. Transformasi koordinat bola :
ar
i
j
k
sin θ cos φ
sin θ sin φ
cos θ
aφ
aθ
cos θ cos φ
cos θ sin φ
- sin θ
- sin φ
cos φ
0
18
Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini ,
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan
analisa vektor ,khususnya yang terkait dengan
bidang sistem komputer.
19
Materi
1
Macam-macam sistem koordinat
- Sistem loordinat Kartesian
- Sitem koordinat silinder
- Sistem koordinat Bola
Materi 2
Transformasi koordinat
- Contoh soal
2
Pertemuan
ini membahas tentang penggunaan
sistem koordinat Kartesian, sistem koordinat
silinder, sistem koordinat bola, transformasi
koordinat dan contoh-contoh soal-soal.
Aplikasi dari analisa vektor ini terdapat dalam
bidang listrik dan gelombang, mekanika, mekanika
teknik, mekanika zat alir dan lain-lain. Setelah
menyelesaikan dengan baik marei.
3
1. Macam-macam sistim koordinat
1.1 Sistim koordinat Kartesian
Z
z
• P(x,y,z) Titik P koordinat
Y
nya x , y dan z
X
Elemen volum di titik P : dV = dx dy dz
Z dz
dx
dy
P
Y
2
2
4
2
2
1.2 Sistim koordinat Silinder
Z
z • P (r ,φ , z)
x = r cos φ
Y y = r sin φ
φ
X
Z
r
dφ
dz
.
P dr
φ
X
z=z
r
r dφ Elemen volum diferen
sial : dV = r dr dφ dz
Y
Elemen garis diferensial dL adalah diagonal
5
k
• Vektor satuan ar , aφ dan az =
. ..
Z
az aφ
r
z
ar
y
φ
X
ar ┴ a φ ┴ a Z
• Hubungan koordinat Kartesian
dengan
.. … koordinat silinder :
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
r = √( x2 + y2) ; r ≥ 0
φ = atan (y/x)
z=z
6
1.3.Sistim koordinat bola
ar
θ P•
aφ
Koordinat titik M
..
Θ’ r
aθ
..
.. …
adalah r , φ dan θ’
•
M (r, φ,
θ’)
φ
..
Ke tiga vektor satuan saling tegak lurus ,
ar ┴ a φ ┴ a θ
x = r sin θ cos φ ; r = √( x2 + y2 + z2 ); r ≥ 0
7
Elemen garis diferensial , dL
Z
dr
r sin θ dφ
θP
dθ
Y
φ
X
r dθ
dL2 = dr2 + (r dθ)2 + (r sin θ dφ)2
Elemen volum diferensial , dV
dV = r2 sin θ dr dθ dφ
8
2. Transformasi koordinat
…
2.1 Transformasi S.K.Kartesian ke S.K.Silin- ..
der
…
…
Dengan mempergunakan tabel di bawah ..
ini , hasil dari perkalian titik antara dua ..
vektor satuan .
ar
i
j
k
cos φ
sin φ
0
aφ
aZ
- sin φ
cos φ
0
0
0
1
Vektor A dalam koordinat Kartesian
A = AX i + A Y j + AZ k
9
Vektor A dalam koordinat silindris
A = Ar ar + Aφ aφ + Az az
Cara mencari komponen vektor silindris
adalah dengan melakukan “dot product “
antara vektor dalam koordinat Kartesian
dengan salah satu vektor satuan dalam
koordinat silindris .
Sebagai contoh mencari komponen Ar :
Ar = (Ar ar + Aφ aφ + AZ aZ ) ● ar
Ar = (AX i + AY j + AZ k ) ● ar
= AX i ● ar + AY j ● ar + AZ k ● ar
Menurut tabel : I ● a = cos φ
10
sehingga komponen silindris Ar memberikan
Ar = AX cos φ + AY sin φ
Cara yang sama dihasilkan Aφ dan AZ
Aφ = - AX sin φ + AY cos φ
AZ = AZ
Contoh : Transformasikan ke koordinat
tabung vektor B = yi – xj + zk
Jawaban :
Br = B • ar
Br = (yi – xj + zk) • ar = y cos φ - x sin φ = 0
B = (y i – x j + z k) • a = (y i – x j) • a = - r
11
2.2 Transformasi S,K.Kartesian ke S.K.Bola
…
…..
Tabel “ dot product” vektor satuan dalam
S.K. Karrtesian dengan vektor satuan … …
dalam S.K.Bola
ar
i
j
k
.
.
sin θ cos φ
sin θ sin φ
cos θ
aφ
aθ
cos θ cos φ
cos θ sin φ
- sin θ
- sin φ
cos φ
0
Contoh : Nyatakan medan vektor
W = (x - y) aY dalam koordinat
bola
12
Jawaban :
W = (x - y) ay
W = Wr ar + Wφ aφ + Wθ aθ
Wr = (x - y) aY ● ar = (x - y) sin θ sin φ
Wφ = (x - y) aY ● aφ = (x - y) cos θ sin φ
Wθ = (x - y) aY ● aθ = (x - y) cos φ
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
x – y = r sin θ (cos φ - sin φ ) →
13
.
W = r sin θ (cos φ - sin φ ) [sin φ (sin θ ar +
cos θ aφ ) + cos φ aθ ]
14
Rangkuman :
1. Sistem koordinat Kartesiaan
. - Elemen garis diferensial , ∆L :
.
dL2 = dx2 + dy2 + dz2
. - Elemen diferensial volum , dV :
.
dV = dx dy dz
2. Sistem koordinat silinder (tabung)
Z
x = r cos φ
• P (r, φ, Z )
Y
θ
X
r
y = r sin φ
z=z
15
- Elemen garis diferensial , ∆L
..
∆L2 = dr 2 + (rdφ)2 + z2
..
- Elemen diferensial
volum ,dV
...
dV = r dr
dφ dz
Transformasi koordinat silinder :
ar
aφ
i
j
k
cos φ
sin φ
0
aZ
- sin φ
cos φ
0
0
0
1
16
3. Sistem koordinat bola
Z
φ
θ
r
X = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin
φ
z
= r cos θ
• P(r,φ,θ)
Y
X
- Elemen garis diferensial ,dL
.
dL2 = dr 2 + (rdθ)2 + (r sinθ dφ)2
- Elemen volum diferensial , dV
17
4. Transformasi koordinat bola :
ar
i
j
k
sin θ cos φ
sin θ sin φ
cos θ
aφ
aθ
cos θ cos φ
cos θ sin φ
- sin θ
- sin φ
cos φ
0
18
Setelah mengikuti dengan baik mata kuliah ini ,
mahasiswa diharapkan sudah mampu menyelesaikan masalah-masalah yang berkaitan dengan
analisa vektor ,khususnya yang terkait dengan
bidang sistem komputer.
19