Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta
LOGI KA
LOGI KA
Ratna Wardani
(2)
Bahasan
Bahasan
Operasi Penyederhanaan
Falsifikasi
Operasi Penyederhanaan
Falsifikasi
(3)
Penyederhanaan
Penyederhanaan
Penyederhanaan dilakukan menggunakan
hukum-hukum logika
Proses penyederhanaan akan berhenti
pada bentuk ekspresi logika yang paling
sederhana dan tidak mungkin
disederhanakan lagi
Perangkai
⇒
dan
⇔
dapat diganti
dengan perangkai dasar
∧
,
∨
dan
¬
Penyederhanaan dilakukan menggunakan
hukum-hukum logika
Proses penyederhanaan akan berhenti
pada bentuk ekspresi logika yang paling
sederhana dan tidak mungkin
disederhanakan lagi
Perangkai
⇒
dan
⇔
dapat diganti
dengan perangkai dasar
∧
,
∨
dan
¬
(4)
Example # 1
Example # 1
(
) (
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Identitas
Tautologi
1
f
Distributi
f
Distributi
Asosiatif
∧
∨
¬
∧
≡
∨
¬
∧
∧
≡
∨
¬
∧
∨
¬
∧
≡
∧
∨
¬
∧
≡
∧
∧
∨
¬
∧
≡
∧
∧
∨
¬
∧
C
B
A
C
B
A
C
B
B
B
A
C
B
B
A
C
B
A
B
A
C
B
A
B
A
(5)
Soal
Soal
Sederhanakan ekspresi logika berikut :
Sederhanakan ekspresi logika berikut :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
(
A
B
C
)
A
B
A
B
A
B
A
B
A
A
B
B
A
A
A
A
∧
¬
∧
¬
∨
→
¬
→
¬
→
→
→
¬
→
¬
→
¬
¬
∨
∧
¬
¬
→
¬
∧
5.
4.
3.
2.
1.
(6)
Falsifikasi
Falsifikasi
dengan menggunakan aturan if-then maka antecedent (not p) or (not q) dan consequent {not(p and q)} masing-masing haruslah bernilai true dan false yaitu :
Selanjutnya dari benarnya (not p) or (not q) kita tak dapat menyimpulkan tentang (not p) maupun (not q) sehingga kita beralih ke salahnya not(p and q) ; karena not ( p and q)= false maka (p and q), dengan aturan not,
bernilai true , seterusnya p and q berarti, dengan aturan and p dan q harus bernilai true, didapat :
(7)
Falsifikasi
Falsifikasi
Dari label terlihat bahwa p pada antecedent bernilai true, jadi (not p) bernilai false; begitu pula untuk (not q) akan bernilai false. Kesimpulan dari ini semua adalah antecedent, dengan aturan or, bernilai false. Tetapi disepan dikatakan bahwa antecedent bernilai true, sehingga terjadi kontradiksi ( tf ) yang berarti pengandaian bahwa kalimat salah adalah tidak benar, ini dapat disimpulkan bahwa kalimat E bernilai true yaitu kalimat valid.
(8)
Example
Example
E : if {(not p) or (not q)} then {not(p and q)} f
E : if {(not p) or (not q)} then {not(p and q)} f t f
E : if {(not p) or (not q)} then {not( p and q)} f t t t f t t ( E : if {(not p) or (not q)} then {not( p and q)} )
(9)
Example
Example
( E : if { ( not p) or ( not q) } then { not( p and q) } )
f f t tf f t f t t
Jadi dari pengandaian ketidak-benarnya kalimat E, mengakibatkan terjadi tf , yaitu true sekaligus false yg berarti ada kontradiksi sehingga
pengandaian diatas (bahwa kalimat E false) dicabut, yang berarti kalimat E true
(10)
Soal
Soal
1. Apakah kalimat dibawah ini valid atau tak valid : G : if {if(not p) then q}
then {if (not q) then p } and (p or q)
2. Apakah kalimat/formula dibawah ini tautologi : ( a ) (p ∧ q) → p ; (b) (p ∧ q) → q
( c ) (p ∧ ( p → q)) ⇒ q ; (d) ∼(∼p) ↔ p
( e ) (p↔q)↔((p→q)∧(q→p) ; (f) (p ∨ (∼p) ↔ (q ∨ (∼q)) 3. Buktikan bahwa : p → (q → r) ↔ (p∧q) → r ; dengan
tidak menggunakan tabelkebenaran
(11)
Soal
Soal
Tunjukan bahw a nilai kebenaran rumusan pernyata an berikut ini tak tergantung pada komponen- kom
ponennya :
a. ( p ∧ ( p → b. ( p →q) ↔ (∼p∨ q) c. ( ( p → q) ∧ ( q → r) ) → ( p →r)
2. Buktikan ekuivalensi berikut ini tanpa menggunakan tabel kebenaran .
a) p→( q∨r) ≅ ( p→q) ∨ ( p→r) ; b) ( p ↔ q) ≅ ( p ∧ q) ∨ (∼p ∨ ∼q) c) ∼( p ↔ q) ≅ ( p ∧ (∼q) ) ∨ (∼p ∧ q)
Buktikan soal nomor 2 diatas dng tabel kebenaran.
Tunjukan rumusan ini merupakan tautologi :
(12)
Pohon Semantik -1
Pohon Semantik -1
1. Andaikan ingin membuktikan validitas kalimat : G : if ( If p then q)
then (if (not p) then (not q))
p memp. dua kemungkinan nilai yaitu true dan false :
p=true p = false
1
3 2
dari kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t t
(13)
Pohon Semantik -2
Pohon Semantik -2
p=false
t (true) p=true
3 2
1
kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t f t
subkalimat G : ( if (not p) then (not q)) f t
kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t t t f t
(14)
Pohon Semantik -3
Pohon Semantik -3
t (true)
q=true q=false
p=false p=true
3 2
1
5 4
Kalimat P: if (if p then q) then (if (not p) then(not q)) f f
Kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t f t f
(15)
Pohon Semantik -4
Pohon Semantik -4
Perhatikan pada Node 4
f (false) t (true)
q=false q=true
t (true)
p=false p=true
3 2
1
5 4
(16)
Pohon Semantik -5
Pohon Semantik -5
q=true q = false
3 2
1
kalimat H : if q then ( if p then q ). t ? t
kalimat H : if q then ( if p then q ). t t t ? t
(17)
Pohon Semantik -6
Pohon Semantik -6
q=true q=false
t (true)
3 2
1
t (true) t (true)
q=false q=true
3 2
1
kalimat H : if q then ( if p then q ). t f ? ? f
(1)
Pohon Semantik -1
Pohon Semantik -1
1. Andaikan ingin membuktikan validitas kalimat : G : if ( If p then q)
then (if (not p) then (not q))
p memp. dua kemungkinan nilai yaitu true dan false :
p=true p = false
13 2
dari kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t t
(2)
Pohon Semantik -2
Pohon Semantik -2
p=false
t (true) p=true
3 2
1
kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t f t
subkalimat G : ( if (not p) then (not q)) f t
kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t t t f t
(3)
Pohon Semantik -3
Pohon Semantik -3
t (true)
q=true q=false p=false
p=true
3 2
1
5 4
Kalimat P: if (if p then q) then (if (not p) then(not q)) f f
Kalimat G : if (if p then q) then ( if (not p) then (not q)) t f t f
(4)
Pohon Semantik -4
Pohon Semantik -4
Perhatikan pada Node 4
f (false) t (true)
q=false q=true
t (true)
p=false p=true
3
2
1
5
4
(5)
Pohon Semantik -5
Pohon Semantik -5
q=true q = false
3
2
1
kalimat H : if q then ( if p then q ).
t ?
t
kalimat H : if q then ( if p then q ).
t t t ?
t
(6)
Pohon Semantik -6
Pohon Semantik -6
q=true
q=false
t (true)