11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit - II-2 Turunan Perkalian Fungsi

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  

11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi,

Fungsi Rasional, Fungsi Implisit

11.1. Fungsi Yang Merupakan Perkalian Dua Fungsi

  Misalkan kita memiliki dua fungsi x, dan , dan kita hendak mencari turunan terhadap x dari (x ) (x )

  v w

  fungsi . Misalkan nilai x berubah sebesar ∆x, maka fungsi w berubah sebesar ∆w, fungsi v

  y vw =

  berubah sebesar ∆v, dan fungsi y berubah sebesar ∆y. Perubahan ini terjadi sedemikian rupa sehingga setelah perubahan sebesar ∆x hubungan tetap berlaku, yaitu

  y vw =

• + + + ( y ∆ y ) = ( v ∆ v )( w ∆ w )

  (11.1)

• = + ( vw v ∆ w w ∆ v ∆ w ∆ v )

  Dari sini kita dapatkan

  y ( y y ) y ( wv v w w v w v ) vw ∆ + + + + ∆ − ∆ ∆ ∆ ∆ − = = x x x

  ∆ ∆ ∆

  (11.2)

  w v v w ∆ ∆ ∆ ∆ v w

  = + + x x x

  ∆ ∆ ∆

  v w

  ∆ ∆ Jika ∆x mendekati nol maka demikian pula ∆v dan ∆w, sehingga juga mendekati nol.

  x

  ∆

  Persamaan (11.2) akan memberikan dy d ( vw ) dw dv

  (11.3)

  = =

• v w

  dx dx dx dx Inilah formulasi turunan fungsi yang merupakan hasilkali dari dua fungsi.

  5 Contoh: Kita uji kebenaran formulasi ini dengan melihat suatu fungsi mononom yang kita

  y 6x

  =

  4

  tahu turunannya adalah . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian dua fungsi y ′ = 30x

  3

  2

  dengan dan . Menurut (11.3) turunan dari y menjadi

  2x 3x y = vw v = w =

  3

  2

  d (

  2 x 3 x ) ×

  3

  2

  2

  4

  4

  4

  y

  2 x 6 x

3 x

6 x 12 x 18 x 30 x ′ = = × × = = + +

  dx Ternyata sesuai dengan apa yang diharapkan.

  d ( uvw )

  Bagaimanakah jika u, v, w ketiganya adalah fungsi x. Kita aplikasikan (11.3) secara bertahap

  dx seperti berikut.

  d ( uvw ) d ( uv )( w ) dw d ( uv )

  = =

• ( uv ) w

  dx dx dx dx dw  dv du  (11.4)

  ( uv ) w u v = + +  

  dx  dx dx  dw dv du

  

( uv ) ( uw ) ( vw )

=

+ +

  dx dx dx

  5 Contoh: Kita uji formula ini dengan mengambil fungsi penguji sebelumnya, yaitu yang kita

  y 6x

  =

  4

  tahu turunannya adalah . Kita pandang sekarang fungsi y sebagai perkalian tiga fungsi y ′ 30 x

  =

  2

  u

  2 x v 3x w x

  dengan = , = , dan = . Menurut (11.9) turunan dari y adalah y uvw

  =

  dy d ( uvw )

  

2

  2 ( 2 x

3 x )(

1 ) ( 2 x x )( 6 x )

  = = × ×

• 2

  dx dx

  2

  4

  4

  4

  4 (3x x )( 4 x ) 6 x 12 x 12 x 30 x

  × = =

+ + +

Ternyata sesuai dengan yang kita harapkan.

  11.2. Fungsi Yang Merupakan Pangkat Dari Suatu Fungsi n

  dy Yang dimaksud di sini adalah bagaimana turunan jika y = v dengan v adalah fungsi x, dan n dx

  6

  3

  2 adalah bilangan bulat. Kita ambil contoh fungsi dengan v merupakan fungsi x.

  y v v v v

  = = × ×

  

1

Jika kita aplikasikan formulasi (11.4) akan kita dapatkan

  

2

  3 dy

dv dv dv

  1

  3

  2

  3

  2 ( v v ) ( v v ) ( v v )

  = + + dx dx dx dx

  2     dv dv dv dv dv

  5

  4

  3

  2    

v v v v v v v

  = + + + +   dx  dx dx  dx dx

     

dv dv dv dv dv

  5

  5

  5

  4   v 2 v v v v v

  =

+ + + +

dx dx dx  dx dx  dv

  5 6 v

  = dx

  Contoh ini memperlihatkan bahwa

  6

  6

  dv dv dv dv

  5 = = 6 v

  dx dv dx dx yang secara umum dapat kita tulis

  n

  dv dv

  

n −

  1

  (11.5) nv

  =

  dx dx Contoh: Kita ambil contoh yang merupakan gabungan antara perkalian dan pangkat dua fungsi.

  2

  3

  3

  2

  1 ) ( x 1 )

= −

Kita gabungkan relasi turunan untuk perkalian dua fungsi dan pangkat suatu fungsi.

• y ( x

  3

  2

  3 dy d ( x 1 ) d ( x 1 )

  −

• 2

  2

  3

  3

  2 = ( x 1 ) ( x − + + 1 ) dx dx dx

  2

  3

  

2

  3

  2

  2

  2 ( x 1 ) 2 ( x 1 )( 3 x ) ( x 1 ) 3 ( x 1 ) 2 x

  = − − + +

• 3

  2

  3

  3

  3

  2

  2

  2 6 x ( x 1 ) ( x 1 ) 6 x ( x 1 ) ( x 1 )

  = − − + +

• 2

  2

  2

  3

  1 )( x 1 ) ( 2 x x 1 ) = − −

• 6 x ( x
• 3

  11.3. Fungsi Rasional

  Fungsi rasional merupakan rasio dari dua fungsi v

  (11.6) y

  =

  w Tinjauan atas fungsi demikian ini hanya terbatas pada keadaan w . Kita coba memandang fungsi

  ≠

  ini sebagai perkalian dari dua fungsi:

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic

  1 −

  (11.7) y vw

  =

  Kalau kita aplikasikan (11.3) pada (11.7) kita peroleh

  

1

  1 − − dy   d ( vw ) d v dw dv

  1 −

  v w = = =

dx dx  w  dx dx dx

dv dv v dv

•  

  1 dv

  2

1 −

− −

  = − + =

• vw w

  2 dx dx dx w dx w

    1 dv dw  

  = w − v

  2   dx dx w

   

  dv dw

   w v  −

   

  d v  dx dx  atau (11.8)

    =

  2

  dx  w  w Inilah formulasi turunan fungsi rasional. Fungsi v dan w biasanya merupakan polinom dengan v mempunyai orde lebih rendah dari w. (Pangkat tertinggi peubah x dari v lebih kecil dari pangkat tertinggi peubah x dari w).

  Contoh:

  2

  x

  3 − 1).

  y

  =

  3

  x

  3

  2

  2 ( 2 ) ( 3 )( 3 ) dy x x − x − x

  =

  6 dx

x

  

4

  2

  2 2 x ( 3 x 9 x ) x

  9 − − − = =

• 4

  

6

  4 x x

  1

  y x

  =

• 2 2).

  2

  x

  2

  dy x

  1 2 x

  2 × − ×

  

2 x =

+ = 2 x −

  3

  dx

  4

  x

  2

  1

• x

  2

  3). (agar penyebut tidak nol) y = ; dengan x ≠

  1

  2

  x

  1 −

  2

  2

  1 )

2 x ( x

1 ) 2 x − − =

• dy ( x

  2

  2 dx

  ( x 1 )

−

  3

  3

  2

  2

  

2

  2

  4 x − x − x − x − x

  = =

  2

  2

  2

  2 ( x 1 ) ( x 1 )

  − −

11.4. Fungsi Implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak.

  Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit. Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x. Kita akan mengambil beberapa contoh.

  Contoh:

  2

  2

  1). . Fungsi implisit ini merupakan sebuah persamaan. Jika kita melakukan operasi x xy y

  8

• =

  matematis di ruas kiri, maka operasi yang sama harus dilakukan pula di ruas kanan agar kesamaan tetap terjaga. Kita lakukan diferensiasi (cari turunan) di kedua ruas, dan kita akan peroleh

  dy dx dy 2 x x y

+ + +

2 y = dx dx dx dy

  2 y ) 2 x y = − − dx

• ( x

  ( x 2 y ) ≠

• Untuk titik-titik di mana kita peroleh turunan

  2 x y

= −

• dy

  2 y

• dx x

  Untuk suatu titik tertentu, misalnya [1,2], maka

  2 .

  

2

+ dy

  ,

  8 = − = −

  

1

• dx

  4 Inilah kemiringan garis singgung di titik [1,2] pada kurva fungsi y bentuk implisit yang sedang kita hadapi.

  4

  3

  4

  x

  4 xy 3 y

  4 − =

• 2). . Fungsi implisit ini juga merupakan sebuah persamaan. Kita lakukan

  diferensiasi pada kedua ruas, dan kita akan memperoleh

  3

  4

dy d (

4 x ) d ( 3 y )

  3

  

3

4 x 4 x y

• − =

  dx dx dx dy dy

  3

  2

  3

  3 4 x 4 x ( 3 y ) 4 y 12 y

• − =

  dx dx dy

  

3

  3

  3 ( 12 xy 12 y ) 4 ( x y )

  − = − dx

• 2

  2

3 Di semua titik di mana kita dapat memperoleh turunan

  ( xy − y ) ≠

  3

  3

  

−

=

• dy ( x y )

  2

  3 dx

  3 ( xy − y )

11.5. Fungsi Berpangkat Tidak Bulat

  n

  Pada waktu kita mencari turunan fungsi yang merupakan pangkat dari suatu fungsi lain, y = v , kita syaratkan bahwa n adalah bilangan bulat. Kita akan melihat sekarang bagaimana jika n merupakan p sebuah rasio dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠ 0, serta v adalah fungsi yang bisa n

  =

  q diturunkan.

  p / q

  (11.9) y = v

  Fungsi (11.9) dapat kita tuliskan

  q p

  (11.10) y v

  =

  yang merupakan bentuk implisit fungsi y. Jika kita lakukan diferensiasi terhadap x di kedua ruas (11.10) kita peroleh

  dy dv q

1 p

  1

− −

qy pv

  

=

dx dx

  Jika y ≠ 0, kita dapatkan

  p / q p −

  1

dy d ( v ) pv dv

  (11.11)

  = = q

  1 −

dx dx dx

qy

  Akan tetapi dari (11.9) kita lihat bahwa

  

q −

  1 q 1 p / q p ( p / q )

  

− −

  y v v

  = = ( )

  sehingga (11.11) menjadi

  Nopember 2013 www.darpublic.com Darpublic p / q p −

  1

  dy d ( v ) pv dv

  = = p ( p / q )

  −

  dx dx dx qv p dv

  ( p − + 1 ) − p ( p / q )

  (11.12)

  = v

  q dx p dv

  ( p / q ) −

  1 = v

  q dx Formulasi (11.12) ini mirip dengan (11.5), hanya perlu persyaratan bahwa v ≠ 0 untuk p/q < 1.

  11.6. Kaidah Rantai

  Apabila kita mempunyai persamaan

  x f ( t ) dan y f ( t ) = = (11.13)

  maka relasi antara x dan y dapat dinyatakan dalam t. Persamaan demikian disebut persamaan

  

parametrik , dan t disebut parameter. Jika kita eliminasi t dari kedua persamaan di atas, kita dapatkan

  persamaan yang berbentuk (11.14)

  (x )

y = F

dy

  Bagaimanakah dari (11.14) ber-relasi dengan

  F ′ (x ) = dx dy dx

  ?

  

= g ′ ( t ) dan = f ′ ( t )

dt dt Pertanyaan ini terjawab oleh kaidah rantai berikut ini.

  Jika dapat diturunkan terhadap x dan dapat diturunkan terhadap t,

  y = F (x ) x = f (t )

  maka dapat diturunkan terhadap t menjadi

  y F f ( t ) g ( t ) = =

  ( ) dy dy dx

  (11.15)

  

=

dt dx dt Relasi ini sudah kita kenal.

  11.7. Diferensial dx dan dy

  Pada pembahasan fungsi linier kita tuliskan kemiringan garis, m, sebagai y ( y y )

  

∆ −

  2

  1

  m

  = =

  x ( x x )

  

∆ −

  2

  1

  kita lihat kasus jika x mendekati nol namun tidak sama dengan nol. Limit ini kita gunakan untuk

  ∆

  menyatakan turunan fungsi y(x) terhadap x pada formulasi

  dy y

∆

lim f ′ ( x )

  = = dx x x

  ∆ → ∆

  Sekarang kita akan melihat dx dan dy yang didefinisikan sedemikian rupa sehingga rasio dy/dx , jika

  

dx 0, sama dengan turunan fungsi y terhadap x. Hal ini mudah dilakukan jika x adalah peubah bebas

≠

  dan y merupakan fungsi dari x:

  y F (x ) (11.16) =

  Kita ambil definisi sebagai berikut 1. dx , kita sebut sebagai diferensial x, merupakan bilangan nyata berapapun nilainya, dan merupakan peubah bebas yang lain selain x; 2. dy , kita sebut sebagai diferensial y, adalah fungsi dari x dan dx yang dinyatakan dengan

  dy F ' ( x ) dx (11.17) =

  Kita telah terbiasa menuliskan turunan fungsi y terhadap x sebagai

  dy f ′ (x ) = . dx Perhatikanlah bahwa ini bukanlah rasio dari dy terhadap dx melainkan turunan fungsi y terhadap x.

  Akan tetapi jika kita bersikukuh memandang relasi ini sebagai suatu rasio dari dy terhadap dx maka kita juga akan memperoleh relasi (11.17), namun sesungguhnya (11.17) didefinisikan dan bukan berasal dari relasi ini. Pengertian terhadap dy lebih jelas jika dilihat secara geometris seperti terlihat pada Gb.11.1. Di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx satuan, maka di sepanjang garis singgung di titik P nilai y akan berubah sebesar dy. Diferensial dx dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke kanan” dan negatif jika “mengarah ke kiri”. Diferensial dy dianggap bernilai positif jika ia “mengarah ke atas” dan negatif jika “mengarah ke bawah”.

  y y dy

  P dx

  P dx dy

  θ θ x x y y dy dx P

  P dx dy

  θ θ x x

  Gb.11.1. Penjelasan geometris tentang diferensial.

  dy

tan ; (tan )

  = θ dy = θ dx dx

  dy 1. adalah laju perubahan y terhadap perubahan x. dx

  2. dy adalah besar perubahan nilai y sepanjang garis singgung di titik P pada kurva, jika nilai x berubah sebesar dx skala. Dengan pengertian diferensial seperti di atas, kita kumpulkan formula turunan fungsi dan formula diferensial fungsi dalam Tabel-10.1. Dalam tabel ini v adalah fungsi x.

• ) (
• =
• =
• = 4.

  2

  − = Ada dua cara untuk mencari diferensial suatu fungsi.

  1. Mencari turunannya lebih dulu (kolom kiri Tabel-11.1), kemudian dikalikan dengan dx.

  2. Menggunakan langsung formula diferensial (kolom kanan Tabel-10.1) Kita ambil suatu contoh: cari dy dari fungsi

  6

  5

  3

  

2

  3

− + − =

  x x x y Turunan y adalah :

  5

  6

  3

  sehingga dx x x dy )

  n n

  5

  6 3 (

  2

  Kita dapat pula mencari langsung dengan menggunakan formula dalam tabel di atas: dx x x dx xdx dx x d x d x d x d dy

  )

  5

  6 3 (

  5

  6 3 ) ) 6 ( ) 5 (

  ) 3 ( (

  2

  2

  2

  1 ) (

  7. dx cnx cx d

  3

  2

  Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com

  Tabel-11.1 Turunan Fungsi Diferensial 1.

  =

  dx dc ; c = konstan

  1. = dc

  ; c = konstan 2. dx dv c dx dcv

  = 2.

  cdv dcv

  = 3. dx dw dx dv dx w v d

  3. dw dv w v d + = + ) ( 4. dx dv w dx dw v dx dvw

  wdv vdw vw d

  ) ( 5.

  w dx dw v dx dv w dx w v d

  cnx dx dcx

  − =    

   

  5.

  2

  w vdw wdv w v d

  − =    

   

  6. dx dv nv dx dv

  n n 1 −

  =

  6. dv nv dv

  n n 1 − = 7.

  1 − = n n

• − = ′ x x y
• − =

• − =

• + − = − + + − + =