BAB II PENYAJIAN DATA - Diktat Statistika Dasar
DIKTAT
STATISTIKA DASAR
Tim Dosen
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS INDRAPRASTA PGRI
2012
STATISTIKA
Demikian pentingnya peranan statistika dalam kehidupan ini, baik dalam kegiatan pemerintahan, perusahaan maupun dalam kehidupan sehari-hari, sehingga kita juga perlu mengetahui apa yang dimaksud statistika tersebut.
A. Dalam arti sempit, statistika berarti statistik yang berarti sekumpulan data. Misalnya statistik tentang penduduk, yang dimaksudkan adalah data atau keterangan berbentuk angka ringkasan mengenai penduduk (jumlahnya, rata-rata umur, distribusinya, jumlah balita, jumlah angkatan kerja, jumlah usia sekolah, distribusi pekerjaan, dsb).
B. Dalam arti luas, statistika berarti pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, penganalisaan data, serta penarikan kesimpulan dan pengambilan keputusan secara logis dan rasional tentang data tersebut. Statistik adalah perhitungan atau rumus-rumus yang digunakan dalam pengolahan data C. tersebut. Atau dapat diartikan sebagai. Sekumpulan data kuantitatif yang tersaji dalam bentuk tabel, grafik, simbol, atau ukuran-ukuran
Statistika terbagi menjadi dua :
a. Statistika deskriptif atau deduktif, adalah statistika yang kegiatannya dimulai dari pengumpulan sampai pada analisis data yang paling sederhana, bersifat memberi gambaran suatu data apaadanya dan meringkas data agar mudah dibaca.
b. Statistika inferensial atau induktif, adalah statistika yang kegiatannya dimulai dari pengumpulan data sampai pada pengambilan kesimpulan secara logis dan rasional.
Statistika ini dilakukan untuk menentukan kebijakan atau penelitian. Kegunaan statistika: 1. Memberikan cara mencatat data secara sistematis.
2. Memberikan petunjuk pada penelitian supaya berpola pikir dan bekerja secara pasti dan mantap.
3. Dapat meringkas data dalam bentuk yang mudah dianalisis.
4. Alat untuk memprediksi secara ilmiah dari suatu kejadian yang akan datang.
5. Dapat menyelesaikan suatu gejala sebab akibat yang rumit. Pengertian data dan syarat-syarat data yang baik.
Data adalah sekumpulan keterangan yang dapat menjelaskan suatu hal. Tidak mungkin ada kegiatan statistika tanpa adanya data, data tidak memiliki arti yang signifikan tanpa adanya kegiatan statistika. Atau dengan kata lain data adalah kumpulan bahan yang akan diolah dan akan menjadi informasi.
Syarat-syarat data yang baik : Data harus objektif, yaitu data harus apa adanya dan tidak adanya rekayasa.
Data harus representatif, yaitu data harus dapat mewakili dari keseluruhan objek pengamatan. Data harus reliabel, yaitu data yang memiliki kesalahan baku relatif kecil, sehingga jika membuat suatu perkiraan selisih antara perkiraan dengan sebenarnya sangat kecil. Data harus relevan, yaitu data harus sesuai dengan penelitian yang dikehendaki. Data harus up todate, yaitu data yang digunakan harus data terbaru atau terkini. Pengertian populasi dan sampel.
- Populasi, yaitu keseluruhan data yang akan diteliti, atau data dalam bentuk sampel.
Untuk keperluan praktis, pengumpulan data biasanya dilakukan dengan cara pengambilan sebagian dari populasi yangdikenal dengan sampel.
- Sampling adalah cara pengumpulan data. Macam-macam data :
1) Data menurut penyajiannya, terbagi menjadi : Data tunggal, yaitu data yang disajikan satu persatu.
Data kelompok, yaitu data yang disajikan berdasarkan interval tertentu (dikelompok-kelompokkan). 2) Data berdasarkan pengukurannya, terbagi menjadi :
Data diskrit, yaitu data yang diperoleh dari hasil menghitung, misalkan jumlah rata-rata guru setiap SMK dipulau Jawa ada 30 orang. Data kontinyu, yaitu data yang diperoleh dari hasil mengukur, misalkan rata- rata tinggi siswa SMK di DKI Jakarta adalah 160cm.
3) Data berdasarkan sifatnya : Data kuantitatif, yaitu data yang berupa anngka atau bilangan.
Data kualitatif, yaitu data yang bukan berbentuk angka, melainkan hanya keterangan, misalkan data tentang jenis kelamin, hobi, agama, dll. 4) Data berdasarkan sumbernya :
Data internal, yaitu data yang diperoleh dari instansinya sendiri, misalkan untuk keperluan identitas pegawai suatu perusahaan, diambil data tentang personalia.
Data eksternal, yaitu data yang diperoleh dari luar instansinya sendiri. 5) Data berdasarkan cara memperolehnya : Data primer, yaitu data yang dikumpulkan langsung dari objeknya kemudian diolah sendiri. Data sekunder, yaitu data yang diperoleh dari data yang sudah dikelola pihak lain yang sudah dipublikasikan.
Cara pengumpulan data : 1. Penelitian langsung dilapangan atau laboratorium.
2. Interview (wawancara).
3. Quisioner (angket).
PENYAJIAN DATA
Cara penyajian data dalam tabel distribusi frekuensi yang digunakan untuk data kelompok adalah sebagai berikut : a. Daerah jangkauan atau range (R).
Range adalah selisih antara data terbesar dengan data terkecil dengan rumus : R = data terbesar – data terkecil b. Banyak kelompok atau kelas (K).
Untuk mengitung banyaknya kelompok atau interval kelas digunakan aturan sturges : K = 1 + 3,3 . Log n c. Panjang interval kelas (I). Dihitung dengan rumus : I=
R K
Ada beberapa istilah yang digunakan dalan tabel distribusi frekuensi : 1. Batas atas dan batas bawah kelas.
Batas atas dan batas bawah dapat diambil dari data terkecil dan dari data terbesar dari masing-masing kelas.
2. Tepi kelas atau batas kelas.
Tepi kelas dapat dihitung : Tepi bawah kelas = batas bawah kelas – 0,5 Tepi atas kelas = batas atas kelas + 0,5
3. Titik tengah atau nilai tengah kelas Titik tengah(Xi)=
batas atas+batas bawah
2 Atau Median dari kelas tersebut.
Ukuran pemusatan data
1. Mean (rata-rata)
2,
x
3 ,
x
4 ,
....... , x
n
, maka rata-rata hitung dari data tersebut adalah :
x=x 1+ ¿ x 2+ ¿ x 3+ ¿ x 4+…+ ¿ x n= ¿ ∑ xi n ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
data tunggal
Dari sekumpulan data x
1, x
x=f 1 . x
1 + ¿ f 2. x 2+ ¿ f 3. x 3+ ¿ f 4. x 4 +…+ ¿ f n.xn= ∑ ( fi ¿ . xi) ∑ fi ¿ ¿ ¿ ¿ ¿
data kelompok
2. Median (nilai tengah)
Untuk data tunggal mencari nilai tengah diurutkan dahulu dari nilai terendah sampai nilai tertinggi, jika banyak data ganjil ambil data paling tengah sebagai median. Sedangkan data genap diambil dua angka di tengah, lalu dijumlah dan dibagi dua. Contoh : 1) Tentukan median dari data 3 , 10 , 9 , 4 , 5 , 8 , 8 , 4 , 6 .
Jawab : 3 , 4 , 4 , 5 , ,8 , 8 , 9 , 10 Jadi nilai median nya adalah 6 Note : Jika jumlah n nya ganjil maka akan langsung didapan median nya. 2) Tentukan median dari data 3 , 8 , 5 , 4 , 10 , 8 , 4 , 6 , 9 , 5
Jawab : 3 , 4 , 4 , 5 , , 8 , 8 , 9 , 10 5+6 2 =5,5
Jadi nilai mediannya adalah 5,5 Note : Jika n nya genap maka nilai tengahnya terdapat di dua tempat maka dijumlahkan dan dibagi dengan dua.
Sedangkan median untuk data kelompok dengan rumus : Me=b+ p .
1 2 .n−F
f
Dengan keterangan : b = batas bawah kelas median. p = panjang interval kelas. F = jumlah frekuensi sebelum median atau F.Kum ≤ sebelum median. f = frekuensi median.
3. Modus (Mo) Modus dari suatu data adalah data yang sering muncul atau data yang mempunyai frekuensi tertinggi.
a. Modus data tunggal
6 5,6 Contoh : Tentukan modus dari data dibawah ini :
a) 3 , 4 , 4 , 5 , 5 , 5 , 6 , 7
b) 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8
c) 5 , 5 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7 , 7 , 7 Jawab :
a) Modus datanya adalah 5 b)Modus datanya adalah 6 dan 7 c) Tidak mempunyai modus
b. Modus data kelompok Untuk mempermudah mengingat, rumus disederhanakan sebagai berikut :
b 1 Mo=b+ p . b 1+ b 2
Dengan keterangan : b = batas bawah pada kelas modus (kelas dengan frekuensi tertinggi) p = panjang interval kelas b1 = selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sebelumnya b2 = selisih antara frekuensi modus dengan frekuensi sesudahnya
4. Quartil (Q) Quartil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi empat bagian yang sama, setelah bilangan-bilangan itu diurutkan.
Cara perhitungan quartil adalah sebagai berikut :
a. Data tunggal Quartil ke-1 = 1(n+1)
4 Quartil ke-2 = 2(n+1)
4 Quartil ke-3 = 3(n+1)
4
b. Data kelompok Untuk data kelompok yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi, digunakan rumus sebagai berikut :
1 4 n−F
Q 1=b+ p . f
2 4 n−F
Q 2=b+ p . f
3 4 n−F
Q 3=b +p . f
b = batas bawah kelas kuartil p = panjang interval kelas. F = jumlah frekuensi sebelum median atau F.Kum ≤ sebelumnya. f = frekuensinya.
c. Jangkauan quartil (JQ) dan simpangan (Qd) atau jangkauan semi interquartil rumusnya adalah sebagai berikut : Jangkauan quartil = Q3 – Q1
1 Simpangan quartil = 2 (Q 3−Q1)
5. Desil (D)
a. Desil data tunggal Kumpulan data yang dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama, maka diperoleh sembilan pembagi dan tiap pembagi dinamakan desil.
Desil 1, desil 2, ... , desil 9 dan untuk menyederhanakan disingkat dengan D1, D2, ... , D9. Untuk mendapatkan desil-desil digunakan langkah- langkah sebagai berikut :
1) Susunlah data menurut urutan nilai 2) Tentukan letak desilnya 3) Hitung nilai desilnya Letak desil ke-i dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut : Letak Di = i(n+1) dengan i = 1, 2, ..., 9.
10 Contoh : 3 , 4 , 4 , 5 ,5, 6, 8 , 8 , 9 , 10 Tentukanlah Deseil ke 3 dan Desil ke 6 Jawab :
3(11) Posisi D = 3(10+1)
3 = = 3,3
10
10 Maka nilai D
3 = X 3 + 0,3 (X
4 – X
3 )= 4 + 0,3(5-4) = 4 + 0,3 = 4,3
b. Desil data kelompok Data yang disajikan dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dihitung dengan rumus sebagai berikut :
i
10 n−F Di=b+ p .
f
6. Presentil (P) Kumpulan data yang dibagi menjadi seratus bagian yang sama, maka diperoleh sembilan puluh sembilan pembagi dinamakan presentil yaitu, presentil 1, presentil 2, ..., presentil 99. Dan untuk menyederhanakan disingkat dengan P1, P2, ..., P99. Dan untuk mendapatkan presentil digunakan langkah sebagai berikut :
a. Susunlah data menurut urutan nilainya
b. Tentukan letak presentilnya
c. Hitung nilai presentilnya Letak persentil ke-i dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut : Letak Pi = i(n+1) dengan i = 1, 2, ..., 99.
100 Contoh : 3 , 4 , 4 , 5 ,5, 6, 8 , 8 , 9 , 10 Tentukanlah Persentil ke 20 dan Persentil ke 75 Jawab :
20(11) Posisi P = 20(10+1)
20
= = 2,2
100 100 Maka nilai P = X + 0,2 (X – X )
20
2
3
2
= 4 + 0,2(4-4) = 4
Dengan rumus sebagai berikut :
i
100 n−F Pi=b+ p .
f
Dari sekumpulan data yang mempunyai P10 dan P90 dapat dihitung dengan - jangkauan presentil (JP). JP = P90 – P10
7. Varian dan Simpangan Baku (Deviasi Standar) / Simpangan Standar (S) Barang kali ukuran simpangan yang paling banyak digunakan adalah simpangan baku atau deviasi standar, karena mempunyai sifat-sifat matematik (mathematical property) yang sangat penting dan berguna untuk pembahasan teori dan analisis
x
statistik. Selanjutnya, untuk sekumpulan data x 1, 2, x 3 , x 4 , ....... , x n yang
1− x 2− x
mempunyai rata-rata x dan nilai kuadrat simpangan tiap data (x ¿ ¿ )² , (x ¿ ¿ )² , (
x 3− ¿ x ¿ 4− ¿ x ¿ n− ¿ x ¿
)² , (x )² , ... , (x )² , Varian dirumuskan sebagai berikut :
2 ∑ f x
( ) i . i
2 ∑ f xi
− i . untuk data kelompok
n S ²= n−1
2
2 S = ∑ X untuk data tunggal
− ¿ ¿ ¿ Sedangkan untuk menacari Standar Deviasi atau Simpangan Baku adalah dengan rumus Akar dari Varian.
2 ∑f x
( ) 2 i . i
∑ f xi
− i . S = Untuk data kelompok
n n−1 √
2 S = Untuk data tunggal
∑ X − ¿¿ ¿ ¿ √
Catatan : Rumus diatas jika kita menghitung varian dan simpangan baku dari sampel. Jika kita menghitung untuk populasi maka kita menggunakan pembaguinya cukup dengan n bukan dengan n-1.
8. Histogram dan Poligon Histogram adalah grafik yang berbentuk empat persegi panjang yang saling berhimpitan, sedangkan Poligon adalah grafik yang menyerupai diagram garis yang diambil datanya dari titik tengah (x i )
9. Kurva ogive Kurva ogive dibagi menjadi dua macam, yaitu :
a. Ogive positif, yaitu kurva yang digambar dari frekuensi kumulatif ≤ yang diambil dari tepi atas kelas, dengan garis dari bawah ke atas.
b. Ogive negatif, yaitu kurva yang digambar dari frekuensi kumulatif ≥ yang diambil dari tepi bawah kelas, dengan garis dari atas ke bawah.
10. Skewnes / Kemencengan Koefisien kemencengan (skewness) dapat ditentukan dengan rumus yaitu :
3
( Xi− ´x )
∑
α = Untuk data tunggal
3
3 n . S
3 fi (Xi−´x)
∑
α
3 = Untuk data kelompok
3 n . S
TINGKAT KEMENCENGAN (SKEWNESS):
- TK = 0 kurva simetris
- TK > 0 kurva positif (menceng/landai ke kanan)
- TK < 0 kurva negatif (menceng/landai ke kiri) Jika -2 < TK < 2 maka distribusi Normal
BAB III KURTOSIS / KERUNCINGAN
Momen Dari nilai momen inilah ukuran lain dapat diturunkan. Momen m r
3
) =
3 (
15 100 )
= 0,45 m
2 '=i
2 (
∑ f i . e i
2 n
) =
2 (
∑ f i. e i
97 100 ) = 8 ,73 m
3 '=i
3 (
∑ f i. e i
3 n
) =
3
3 (
33 100 )
1 n
1 (
= ∑
1
( x i
− x ) r n m r = momen ke- r sekitar rata-rata m r
'=i r
( ∑ f i . e i r n
) i = interval kelas e i = variabel sandi
Harga m r untuk beberapa harga r dapat ditentukan berdasarkan hubungan : m 2 = m 2 ’ – (m 1 ’) 2 m 3 = m 3 ’ – 3m 1 ’ m 2 ’ + 2(m 1 ’) 2 m 4 = m 4 ’ - 4m 1 ’ m 3 ’ + 6(m 1 ’) 2
m
2 ’ - 3(m 1 ’) 4 Contoh : Data f i e i f i .e i f i .e i 2 f i .e i 3 f i .e i 4 60 – 62 5 -2 -10 20 -4080 63 – 65 18 -1 -18 18 -18
18 66 – 68 42 69 – 71
27
27
1 '=i
27
27
27 72 – 74
8
2
16
32 64 128 100
15
97 33 253 m
= 8,91
f e
4 i.
∑ 253
4 i
4 m '=i 3 204 ,93
= =
4 n 100
( ) ( )
Sehingga dengan menggunakan hubungan diatas : 2 m 2 = m 2 ’ – (m 1 ’) 2 = 8,73 – (0,45) = 8,53 2 m 3 = m 3 ’ – 3m 1 ’ m 2 ’ + 2(m 1 ’) 3 = 8,91 – 3(0,45) (8,53) + 2(0,45) = -2,69 2 4 m 4 = m 4 ’ - 4m 1 ’ m 3 ’ + 6(m 1 ’) m 2 ’ - 3(m 2
1 ’)
3 = 204,93 – 4(0,45) (8,91) + 6(0,45) (8,73) – 3(0,45) = 199,38 2 Dari hasil ini didapat varians (s ) = m 2 = 8,53 KemiringanKita sudah mengenal kurva halus yang bentuknya bisa positif, negative atau
simetris. Kurva positif terjadi bila kurva mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah
kanan. Kurva negative jika ekornya memanjang ke sebelah kiri. Untuk mengetahui
derajat taksimetri digunakan ukuran kemiringan.Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama :
2 rata − mod us simpanganbaku
Kemiringan = Koefisien kemiringan Pearson tipe kedua :
2 3(rata − median) simpanganbaku
Kemiringan = Contoh : x
Dalam nilai ujian 80 mahasiswa menghasilkan = 76,62 Me =77,3 Mo = 77,17
dan simpangan baku s = 13,0776,62−77,17 =− 0,04 13,07
Kemiringan = Kemiringan negative dan dekat kepada nol maka kurva sedikit miring kekiri.
Kurtosis
Pada kurva model normal (simetris), tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk
kurva disebut kurtosis.Mesokurtik : kurva yang tidak terlalu runcing dan tidak terlalu datar Leptokurtik : kurva yang runcing Platikurtik : kurva yang datar mesokurtik platikurtik leptokurt ik
Koefisien kurtosis :
2 m
4 a =
4 m
( 2 ) Jika a 4 = 3 distribusi mesokurtik
Jika a 4 > 3 distribusi leptokurtik Jika a 4 < 3 distribusi platikurtik
Untuk menyelidiki apakah distribusi normal ayau tidak, sering pula dipakai koefisien
kurtosis persentil, diberi symbol k1 − k )
3
1 SK 2(k k= = p − p p − p
90
10
90
10 Keterangan : SK = simpangan kuartil K 1 = kuartil 1 K 3 = kuartil 3 P 10 = persentil ke 10 P 90 = persentil ke 90
Contoh :
1. Diketahui nilai m 2 = 6,53 m 3 = -2,69 dan m 4 = 199,38
2
2 m
4 199,38
a 2,74
= = =
4 m 8,53
( ) ( )
2 Koefisien kurtosis =
Kurvanya cenderung platikurtik
2. Dari data upah pegawai diperoleh hasil K 1 = 68,25 K 3 = 90,75 P 10 = 58,12 dan P 90 = 101,0
1
1
( )
− k ) 90,75−68,25
3
1
2( k
2 k= = = 0,262 p − p 101,0−58,12
90
10 Koefisien kurtosis persentil =
Ditinjau dari sudut kurtosis, upah pegawai dapat didekati oleh distribusi model
normal (simetris)4
( Xi− ´x )
∑
α = Untuk data tunggal
4
4 n. S
4 fi (Xi−´x)
∑
α
4 = Untuk data kelompok
4 n . S
α4 > 3 kurva leptokurtis (meruncing) α4 < 3 kurva platykurtis (mendatar) α4 = 3 kurva mesokurtis (normal)
Contoh soal :
1. Suatu data diperoleh dari nilai tes statistika dasar dari 40 mahasiswa sebagai berikut :
65
60
75
61
70
80
75
80
85
60
90
92
95
84
78
66
87
83
63
72
73
94
69
66
78
89
92
66
85
67
60
75
76
77
85
73
60
89
74
77 Maka tentukanlah Range, kelas, dan panjang interval kelas ! Jawab :
Diketahui banyak data adalah 40, maka log 40 = 1,60205999 1,6021
a. Range R = data terbesar - data terkecil = 95 – 60 = 35
b. Banyak kelompok / kelas K = 1 + 3,3 . log n = 1 + 3,3 . 1,6021 = 1 + 5,28693 = 6,28693 jadi banyaknya kelas antara 6 atau 7 yang diambil 6
c. Panjang interval kelas
R
I=
K
35
¿
6 = 5,8 = 6
Kelas Interval Frekuensi
1 60-65
7 2 66-71 6 3 72-77
10 4 78-83 5 5 84-89 7 6 90-95
5
50
2. Suatu data diperoleh dari umur 45 mahasiswa Universitas Indraprasta :
18
20
22
21
18
17
19
25
19
20
23
24
22
22
25
24
18
25
24
20
20
19
18
30
45
35
33
37
28
40
42
33
29
44
31
26
28
18
17
20
22
21
25
40
39 Maka tentukanlah Range, Kelas, Panjang interval kelas, Mean, Median, Modus, Q3, D8, P40, simpangan baku, Histogram, Poligon, Kurva ogive, Varian dan Simpangan baku serta Skenees dan kurtosis dari data di atas !
Jawab :
a. Range R = data terbesar - data terkecil = 45 – 17 = 28
b. Banyak kelompok / kelas K = 1 + 3,3 . log n = 1 + 3,3 . log 45 1,653 = 1 + 5,4549 = 6,4549 jadi banyak kelas 6 atau 7
c. Panjang Interval Kelas
R I= K
28
¿
6 = 4,6 5
Kelas f F.Kum ≤ F.Kum ≥ Xi fi . Xi Xi² fi . Xi²
17 – 21 17 mo F
17 F
45 19 323 361 6137 22 – 26 13 me,
30 F
28 24 312 576 7488
P40 Q3 F 27 – 31
5
35
15 29 145 841 4205 32 – 36
3 D8
38
10 34 102 1156 3468 37 – 41
4
42
7 39 156 1521 6084 42 – 46
3
45
3 44 132 1936 5808 ∑
45 1170 33190
d. Mean
fi . xi
1170
∑ mean=
= 45 =26
fi ∑
e. Median
1
1 2 . n= 2 . 45=22,5 b = 22 – 0,5 = 21,5 p = 5 f = 13 F = 17
1 2 .n−F
Me=b+ p . f
22,5−17 ¿ 21,5+5 .
13 = 21,5 + 2,1 = 23,6
f. Modus b1 = 17 – 0 = 17 b2 = 17 – 13 = 4 b = 17 – 0,5 = 16,5 p = 5
b 1 Mo=b+ p . b 1+ b 2
17 16,5+5 .
¿
17+ 4 = 16,5 + 4 = 20,5
g. Q3
3
3 Q 3= 4 . n= 4 .45=33,75 b = 27 – 0,5 = 26,5 p = 5 F = 30 f = 5
3 4 n−F
Q 3=b +p . f
33,75−30 ¿ 26,5+5 .
5 = 26,5 + 3,75 = 30,25
h. D8
i
8 10 . n= 10 .45=36 b = 32 – 0,5 = 31,5 p = 5 F = 35 f = 3
i
10 n−F D 8=b+ p .
f
36−35 ¿ 31,5+5 .
3 = 31,5 + 1,7 = 33,2 i. P40
i
40 100 . n= 100 .45=18 b = 22 – 0,5 = 21,5 p = 5 F = 17 f = 13
40 100 n−F
P 40=b+ p . f
18−17 21,5+5 .
¿
13 = 21,5 + 0,38 = 21,88 j. Simpangan Baku 2
x ( i. i ) ∑ f x i ²− ¿ ( ) n
S ²=∑f ¿ i . n−1
2 ( 1170 )
33190−( 45 )
S ²=
45−1 33190−30420
S ²=
44 2770
S ²=
62,95 = 7,9
√
44 = 62,95 SB=
BAB IV HISTOGRAM DAN POLIGON FREKUENSI Histogram
Penyajian dalam bentuk histogram memudahkan setiap orang yang ingin membaca data dengan cepat. Hanya saja informasi yang diperoleh pembaca tidak lagi jelas dan rinci.
k. Histogram dan Poligon
18
16
14
12
10
8
6
4
2
16,5 (19) 21,5 (24) 26,5 (29) 31,5 (34) 36,5 (39) 41,5 (44) 46,5
l. Ogive positif dan negatif
Ogive Positif
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
21.5
26.5
31.5
36.5
41.5
46.5
50 Ogive Negatif
4 =
datake−2( x
2
) Nilai Q1 = 5 Letak Q2 = 2(7+1)
4 = datake−4 (x
4
) Nilai Q2 = 11 Letak Q3 = 3(7+1)
data ke−6(x
a. Data sudah diurutkan menjadi : 2, 5, 8, 11, 16, 18, 21 n = 7 Letak Q1 = 1(7+1)
6
) Nilai Q3 = 18
b. Data diurutkan menjadi : 5, 7, 12, 14, 16, 19 n = 6 Letak Q1 = 1(6+1)
4 = datake−1,75 (x
1,75
) Nilai Q1 = x
1
4 =
b. 7, 16, 5, 12, 19, 14 Jawab :
16.5
10
21.5
26.5
31.5
36.5
42.5
5
15
a. 2, 21, 11, 15, 18, 8, 16
20
25
30
35
40
45
3. Tentukanlah Q1, Q2, Q3 untuk tiap rangkaian data berikut ini :
- 0,75 ¿ = 5 + 0,75 (7-5) = 5 + 0,75 (2) = 6,5
data ke−3,5(x
= )
3,5
4
Nilai Q2 = x
3
- ¿ 0,5
= 12 + 0,5 (14 – 12) = 12 + 0,5 (2) = 13 Letak Q3 = 3(6+1)
= data ke−5,25(x )
5,25
4 0,25 ¿
- 5
Nilai Q3 = x
= 16 + 0,25 (19 – 16) = 16 + 0,25 (3) = 16,75
4. Tentukan nilai D3 dan D7 dari data berikut : 10, 8, 15, 12, 8, 13, 14, 16, 17, 12, 8, 10, 11, 14 Jawab : Data sudah diurutkan menjadi : 8, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 15, 16, 17 n = 15 Letak D3 = 3(15+1)
4,8 Letak D3 =
10 Nilai D3 = 10 Letak D7 = 7(15+1)
= 11,2 Letak D7
10 Nilai D7 = 14
5. Diketahui data tunggal sbb :
16
26
27
18
26
27
21
25
27
22
24
27
29
30
31
38
38
38 Tentukanlah :
a) Mean, media dan modus
b) Q , Q dan Q
1
2
3
c) D dan D
5
8
d) P
25 dan P
70
e) Rentangan, rentang antar kuartil dan simpangan kuartil
4
g) Skweenes (Kemencengan)
h) Kurtosis (Keruncingan) Jawab :
No
X i
X i
f) Varian dan Standar Deviasi
2 X
- - ´X (X i - ´X)
3 (X i - ´X)
22+24
)
4 =
1
(
18+1
)
4 =
4,75 Nilai Q
1
=
X 4+ X 5
2 =
2 =
=
23 Posisi Q
2 = i ( n+1 )
4 = 2 ( 18+1 )
4 =
9,5 Nilai Q
2 = X 9+X 10
2 =
27+27
2 =
27 Atau Nilai Q
2
= Median
i ( n+1
1
1 16 256 -11.220 -1412.468 15847.889
14 30 900 2.780 21.485 59.728
2 18 324 -9.220 -783.777 7226.428
3 21 441 -6.220 -240.642 1496.792
4 22 484 -5.220 -142.237 742.475
5 24 576 -3.220 -33.386 107.504
6 25 625 -2.220 -10.941 24.289
7 26 676 -1.220 -1.816 2.215
8 26 676 -1.220 -1.816 2.215
9 27 729 -0.220 -0.011 0.002
10 27 729 -0.220 -0.011 0.002
11 27 729 -0.220 -0.011 0.002
12 27 729 -0.220 -0.011 0.002
13 29 841 1.780 5.640 10.039
15 31 961 3.780 54.010 204.158
b) Posisi Q
16 38 1444 10.780 1252.727 13504.392
17 38 1444 10.780 1252.727 13504.392
18 38 1444 10.780 1252.727 13504.392
∑ 490 14008 1212.189 66236.920
a) Mean = ´X = 490 18 =27,22
Median =
1 2 n= 1 2 18=9
Nilai median nya =
X 9+X 10
i
27+27
2 =
27 Modus = 27 ada 4 kali muncul
2 =
i ( n+1 )
3 ( 18+1 ) Posisi Q3 = = = 14,25
4
4 X 14+X 15 30+31 30,5
Nilai Q3 = = =
2
2
i ( n+1 )
5 ( 18+1 )
c) Posisi D = 9,5
5 =
10 =
10 Nilai D
5 = X 9 + 0,5 (X 10 -X 9 ) = 27 + 0,5 (27-27) = 27 i ( n+1 )
8 ( 18+1 ) Posisi D
8 = = 15,2
10 =
10 Nilai D = X + 0,2 (X -X ) = 31 + 0,2 (38-31) = 31 + 1,4 = 32,4
8
15
16
15 ( ) ( ) i n+1
25 18+1
d) Posisi P = 4,75
25 =
100 = 100 Nilai P
25 = X 4 + 0,75 (X 5 -X 4 ) = 22 + 0,75 (24-22) = 22 + 1,5 = 23,5 i ( n+1 )
70 ( 18+1 ) Posisi P
70 = = 13,3
100 = 100 Nilai P = X + 0,3 (X -X ) = 29 + 0,3 (30-31) = 29 + 0,3 = 29,3
70
13
14
13
- – e) Rentang = Data tertinggi Data terendah = 38 – 16 = 22
Rentang Antar Kuartil = Q – Q = 30,5 – 23 = 7,5
3
1
1
1 Q − Q = Simpangan Kuartil = (
3
1 )
2 2 x 7,5=3,75
f) Varian
2 ∑ X )
2 (
S =
2 X − ∑
n n−1
2
( 490)
2 S = 14.008−
18 18−1
240.100 14.008−
18 =
17 14.008−13.338,89
=
17 669,11
=
17
2 S = 39,36
Jadi Varian nya adalah 39,36 Standar deviasi nya adalah akar dari varian
2 S = = 39,36 = 6,27
S √ √
Jadi Simpangan Baku atau Standar Deviasi nya adalah 6,27
g) Skweenes (Kemencengan)
3 Xi− ´x )
(
∑ α 3 =
3 n . S
1.212,189
3 α =
3
18.(6,27) 1.212,189
=
18.(246,50) 1.212,189
=
4.436,85 = 0,27
Karena TK = 0,27 dan -2 < 0,27 < 2 maka distribusi Normal
h) Kurtosis (Keruncingan)
4 Xi− ´x )
(
∑
α
4 =
4 n. S
66.236,92
4 α 4 =
18.(6,27) 66.236,92
=
18.(1.545,5) 66.236,92
=
27.819,07 = 2,38
Karena α = 2,38 dan α < 3, Maka kurva mendatar (Platykurtik)
4
4
BAB V DISTRIBUSI FREKUENSI KUMULATIF Dalam distribusi frekuensi kumulatif, frekuensi tidak lagi disajikan untuk tiap
29 80 – 89
60 Ogif 40 50 60 70 80 90 100 Data
60
5
55
5
13 90 - 99
47
8
kelas, namun disajikan secara kumulatif ke belakang atau ke depan. Dengan demikian distribusi frekuensi kumulatif dibedakan menjadi dua, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari.
Tabel distribusi frekuensi kumulatif
Data frekuensi Kurang dari Lebih dari
40 – 4916
46 70 – 79
14
17
57 60 – 69
3
11
60 50 – 59
3
31
40 50 60 70 80 90 100 Data
BAB VI ANALISIS REGRESI Setiap analisis regresi pasti ada korelasinya, tetapi korelasi belum tentu dilanjutkan
dengan analisis regresi. Analisis korelasi yang dilanjutkan dengan analisis regresi yaitu apabila korelasi mempunyai hubungan kausal (sebab-akibat) atau hubungan fungsional. Untuk menetapkan dua variabel mempunyai hubungan kausal atau tidak, harus didasarkan pada teori atau konsep-konsep tentang variabel tersebut.
Analisis regresi digunakan untuk mengetahui bagaimana pada variabel dependent (kriteria) dapat diprediksikan melalui variabel independent (prediktor) REGRESI LINIERSEDERHANA Yaitu regresi linier dengan satu variabel bebas (prediktor) Bentuk persamaan nya : ^ Y =a+bx
^
Y = variabel dependent / kriteria /yang diprediksi
a= konstanta (harga Y untuk X=0)
DAFTAR PUSTAKA
J. Supranto, MA, Statistik Teori dan Aplikasi, Erlangga, 2000 Sudjana, Metode Statistika, Tarsito, 1998 Sutrisno Hadi, Statistik, Andi Offset, 1995