3.Menerapkan Konse - Limit Fungsi dan Fungsi Turunan

  

  

  3 3 . . M M e e n n e e r r a a p p k k a a n n K K o o n n s s e e p p L L i i m m i i t t F F u u n n g g s s i i d d a a n n T T u u r r u u n n a a n n F F u u n A . Tujuan A khir

  Setelah mempelajari Kegiatan belajar pada Modul 16 ini diharapkan siswa dapat : 1. Menjelaskan secara intuitif arti limit fungsi di suatu titik dan di titik tak hingga.

  2. Menggunakan sifat-sifat limit fungsi untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

  3. Mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi sebagai turunan fungsi secara definitif.

  4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.

  5. Memahami tafsiran geometri dari turunan fungsi.

  6. Mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turunan menggunakan aturan turunan.

  7. Menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenisnya.

  Kegiatan Belajar 1. A . Tujuan Kegiatan Belajar 1.

  Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. menjelaskan arti limit fungsi di satu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tertentu.

  2. menjelaskan arti limit fungsi di tak hingga melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut, dan 3. melakukan kajian pustaka tentang definisi eksak limit fungsi.

B. Uraian M ateri Kegiatan Belajar 1.

1. Pengertian Limit Fungsi

  lim lim f x L ,

  Secara umum Limit didefinisikan bahwa it f x = L dan disingkat = diartikan

  ( ) ( ) x a x a →

  → L

  bahwa jika x mendekati a dengan x a, nilai ƒ (x) mendekati . Limit Fungsi adalah nilai pendekatan di sekitar suatu titik (baik dari kiri maupun dari kanan titik itu), atau pada suatu titik tak hingga. Perhitungan nilai limit disekitar titik dapat dilakukan dengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan). Perhatikan contoh berikut :

  2 x

  9 −

  Diketahui fungsi f x , tentukan nilai ƒ (x) untuk x mendekati 3 jika dihitung

  = ( ) x

  3 − dengan pendekatan dari kiri (limit kiri) dan pendekatan dari kanan (limit kanan).

  Jawab : Pendekatan dari kiri (limit kiri) : x 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 2,95 2,99 2,999 …. ₂

  3 x −

  4 f x

  ( ) = x

  2 − 5,5 5,6 5,7 5,8 5,9 5,95 5,99 5,999 ….

  6 Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kiri), maka nilai ƒ (x)

  mendekati 6, Pendekatan dari kanan (limit kanan) : x 3,5 3,4 3,3 3,2 3,1 3,01 3,001 3,0001 …. ₂

  3 x −

  4 f x

  ( ) = 6,4 x

  2 − 6,5 6,3 6,2 6,1 6,01 6,001 6,0001 ….

  6

  

  Dari tabel tersebut terlihat bahwa jika x mendekati 3 (didekati dari kanan), maka ƒ

  

  mendekati 6,

  2 x

  

9

−

  Sehingga dapat ditulis bahwa : = 6 (baik dari kiri maupun dari kanan)

  f x =

  ( ) x

  

3

−

  Catatan : a. Nilai limit ada jika nilai limit kiri sama dengan limit kanan.

b. Nilai limit tidak ada jika nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan.

2. Limit fungsi di titik tak hingga ( ~ )

  Untuk memberikan gambaran perhatikan contoh berikut :

1 Diketahui fungsi f x , tentukan nilai fungsi (x) untuk x mendekati tak hingga

  ( ) = ƒ x ( x ~ ).

  Jawab :

  x

  1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 … ~ .

  1 … f x

  = ( )

  1 0,1 0,1 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 x .

  Dari tabel terlihat bahwa jika x mendekati tak hingga, maka nilai ƒ (x) mendekati 0, dan dapat

  1

  ditulis : lim

  = x

  → ∞ x

C. Lembar Kerja Siswa 1 Jawablah dengan singkat dan benar !

  Tentukan nilai limit kiri dan limit kanan dari fungsi ƒ (x) berikut ini : 1. ƒ (x) = 2x + 3 ( untuk x mendekati 2 ) 2. (x) = 3x + 3 ( untuk x mendekati 2 )

  ƒ

  2 x

  4 −

  3. ( untuk x mendekati 2 )

  f x ( ) = x

  2 −

  2 x

  25

  −

  4. f x = ( untuk x mendekati 5 )

  ( ) x −

  5

  2 x − x −

  6 5. f x ( untuk x mendekati 3 )

  = ( ) x

  3

  −

  Tentukan nilai fungsi (x) untuk x mendekati tak hingga (x ~ ) dari beberapa fungsi berikut

  ƒ

  :

  1

  6. f x

  = ( ) x −

  1

  8 7. f x =

  ( )

  2 x

• 2

  2 x 8. f x =

  ( ) 4 x −

  3 x

  9. f x =

  ( )

• x

  5

   ^{2 x −}

  5

  

  10.

  f x = ( )

  5 x Kegiatan Belajar 2.

  A . Tujuan Kegiatan Belajar 2.

  Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. menggunakan sifat-sifat limit fungsi 2. menghitung limit fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit.

  3. melakukan penghitungan limit dengan manipulasi aljabar 4. mengenal macam-macam bentuk bilangan tak tentu : 5. menghitung nilai limit bentuk tak tentu , dan 6. menghitung bentuk tak tentu fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi.

B. Uraian M ateri

  1. Sifat-sifat limit fungsi Untuk menyelesaikan permasalahan limit dengan menggunakan beberapa sifat limit berikut :

  a. lim k k ( dengan a dan k suatu konstanta) = x a

  →

  b. lim x a = x → a

  c. lim f ( x ) f ( a ) = x a

  →

  d. lim k . f ( x ) k lim f ( x ) = x a x a

  → →

  

e. ( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)

lim f ( x ) g ( x ) lim f ( x ) lim g ( x )

  [ ± ] = ± x a x a x a

  → → →

  

f. lim f ( x ). g ( x ) lim f ( x ). lim g ( x ) ( jika f dan g fungsi dari x dan a = konstanta)

[ ] = x a x a x a

  → → → lim ( ) f x

   f ( x )  x → a

  g. lim = dengan lim g ( x ) ≠   x → a x → a g ( x ) lim g ( x )

    x → a n n h. lim f ( x ) = lim f ( x )

  [ ] [ ] x a x a

  → → n n lim i. lim ( ) lim ( ) dengan catatan f x ≥ untuk n bilangan genap f x f x

  = ( ) x a x a x → a

  → →

  2. Limit Fungsi A ljabar

  Nilai limit sebuah fungsi dapat dihitung dengan cara subtitusi langsung terhadap variabelnya (sifat b). Jika hasil perhitungan dengan subtitusi langsung didapat bilangan bentuk tak tentu,

  ∞

  yaitu bentuk : , atau perhitungan nilai limit harus dengan cara lain,

  ∞ − ∞ ∞

  misalnya pemfaktoran, penyederhanaan, dikalikan sekawannya dll.

  Contoh 1 :

  Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :

  2 a. lim x x

  2 − −

  ( ) x →

   ^x

  3 x

  2

  

  b. lim

  x

  2 → − x x

  2

• 2

  − Penyelesaian :

  2

  2

  a. =

  2

  2 lim x − x − 2 − − = −

  ( ) x

  →

  2

  2 x

  3 x

  2

  2

  3

  2

  2 ( ) − ( ) + − + + +

  b. lim = (bentuk tidak tentu), selanjutnya fungsi itu dapat

  =

  2

  2 x

  2 → − x x

  2

  2

  2

  2

• − − − −

  ( ) ( )

  difaktorkan sebagai berikut :

  2 x

  3 x

  2

  1

• x

  2 x 1 x 1 −

  1 ( )( ) ( ) ( ) lim

  2 + + +

  = lim = lim dengan substitusi akan didapat =

  2 x → − 2 x 2 x

  2 → − → − x 2 x 1 x

  

1

  2

  1

  3 x x −

  2 −

  ( )( ) ( − ) ( ) + + − −

  Contoh 2 : x −

  2 Tentukan nilai dari lim

  2 x →

  2 x −

  4 Penyelesaian :

  Dengan substitusi lansung akan didapatkan bentuk tidak tentu penyelesaian dapat dilakukan dengan mengalikan factor sekawan, menjadi;

  x 2 x

  2

  1 − −

  1 = = =

  lim lim lim

  2 x 2 x 2 x

  2 → → →

  4

  4 x 2 x 2 x

  2 x − − + +

  ( )( ) Contoh 3 :

  2

  5 x

  2

  −

  Tentukan nilai dari lim

  x → ∞

  3 x 4 x

  5

• 2

  − Penyelesaian :

  ∞

  Penyelesaian dengan substitusi akan mendapatkan bilangan tidak tentu bentuk

  ∞

  selanjutnya dibagi dengan variable pangkat tertinggi, menjadi;

  2

  5 x −

  2

  2

  2

  5

  5

  − −

  2

  2

  2 5 −

  5 x x

  ∞ lim = lim = =

  =

  2 x x

  4

  5

  4

  5

  → ∞ → ∞

  3

  3

  3 x

  4 x − 5 −

  3

  3

  − − + +

  2

  

2

  2 x ∞ x ∞ x 3. Limit Fungsi Trigonometri.

a. Pengertian Limit Fungsi Trigonometri.

  Limit fungsi trigonometri adalah nilai pendekatan untuk sudut tertentu pada suatu fungsi trigonometri, untuk menghitung nilai limit fungsi trigonometri dapat dilakukan dengan cara

  ∞

  subtitusi langsung, jika didapat bentuk tak tentu ( , , atau ), maka perhitungan nilai

  ∞ − ∞ ∞

  limit fungsi trigonometri harus dengan cara lain.

  Contoh 4 :

  Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut :

  a. lim sin x ₁

  x → ₃ π sin

  2 x

  b. lim

  x → sin x

  Penyelesaian : a. x x sin lim

  2 − + −

  = 4. x

  1 sin 2 sin

  2

  1 . cos

  2

  3. x x x

  π = 180º 2. sin² x + cos² x = 1

  1. Jika π diikuti oleh fungsi trigonometri, nilai

  Catatan :

  − → x x x x

  3

  1

  2

  3 2 lim

  1

  ( )

  → → x x x x x x

  6 . 6 tan lim = = =

  6

  6 lim

  1 . 6 tan

  6

  2

  2 1 x

b. Rumus dasar penyelesaian limit fungsi terigonometri

  1 .

  2.

  → ax ax x tan lim

  1 =

  → x x x tan lim atau

  1 =

  4.

  = → ax ax x sin lim

  1

  → x x x sin lim atau

  1 =

  → ax ax x tan lim

  2 sin cos

  1 =

  → x x x tan lim atau

  1 =

  3.

  → ax ax x sin lim

  1 =

  atau

  1 = → x x x sin lim

  1.

  − = 5. sin 2x = 2.sin x.cos x 6. cos 2x = 1 – 2.sin² x

  1

  6

  π ₃ ¹ →

  →

  

2

  2

  =

  →

  2

  x x x sin sin lim

  (bentuk bilangan tidak tentu) untuk menyelesaikan dapat dilakukan dengan mengubah sin 2x dengan kesamaan trigonometrinya menjadi

  = sin . sin

  2

  =

  2

  2 = = =

  x x x sin sin lim

  1 b.

  2

  3

  60 sin =

  o

  =

  1 sin

  3

  = π

  2

  → → cos cos lim sin cos sin lim x x x x x x

  1

  6 6 sin lim

  6

  =

  6 tan lim →

  x x x

  = (bentuk bilangan tak tentu), penyelesaian dapat dilakukan;

  6 tan lim →

  → → → x x x x x x x x x b. x x x

  6 sin lim = = = =

  6 . 6 sin lim

  6

  6 .

  Rumus-rumus limit fungsi trigonometri untuk x mendekati 0 :

  1

  

1

  6 6 .

  (bentuk bilangan tak tentu), penyelesian dengan rumus dasar

  6 sin lim = → x x x

  Penyelesaian : a.

  6 tan lim →

  6 sin lim → b. x x x

  x x x

  Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut : a.

  Contoh 5 :

C. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan singkat dan benar !

1. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini : a.

  2 3 x

  

  b. lim

  x → x

  2 x 5 x

  −

  c. lim

  x →

  5 x

  5 −

  2 x

  25

  −

  d. lim

  x

  5 → x

  5

  −

  3 x

  8 −

  e. lim

  x →

  2 x

  2 −

  2. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berkut ini !

  x

  1

  −

  a. lim

  x

  1 → x

  1

  −

  2 x

  3 − b. lim x →

  3 x

  3 −

  16 x

• 16 x

  − −

  c. lim

  x →

  3 x

  3. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :

  2 5 x −

  7 a. lim

  → ∞ 2 x

• x

  1

  9 b. lim

• 4 x

  2 x

  → ∞ 5 − 2 x

  2 x

  9 − c. lim

  → ∞ x 3 x

  1

  − ( )( )

• x

  2 2 x

  2 −

  ( )

  d. lim

  → ∞ 4 x

  6

• x

  2

  e. lim x

  2 x 6 x

  10 − − −

• x → ∞

  ( ) { }

  4. Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini : a.

  lim cos ₁ 2 x x → π ₃

  1 b. lim sin 2 x

  − π

  3 ( ) x

  → π

  2

  c. lim sin ₁ 2 x

  x → ₆ π

  2

  2

  d. lim sin x cos x

  − ₁ ( ) x

  → π ₄

  5. Tentukan nilai limit dari fungsi-fungsi berikut ini :

  sin 2 x

  a. lim

  x →

  3 x

  1 π

  2

  b. lim

  x → sin 2 x tan

  2 x c. lim x →

  3 x

   ^{sin 3 x}

  

  d.

  lim x

  → tan 5 x cos

  2 x −

  1

  e. lim

  2 x

  → 3 x Kegiatan Belajar 3.

  A . Tujuan Kegiatan Belajar.

  Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. mengenal konsep laju perubahan nilai fungsi dan gambaran secara geometris 2. merumuskan pengertian turunan fungsi 3. menghitung turunan fungsi aljabar 4. menentukan sifat-sifat turunan 5. menentukan berbagai turunan fungsi aljabar dan trigonometri; serta 6. menentukan turunan fungsi dengan menggunakan aturan rantai.

B. Uraian M ateri

  Konsep dan A turan Turunan Fungsi f

  Laju perubahan rata-rata nilai fungsi (x) atau derivatif fungsi atau biasa disebut turunan fungsi dapat dituliskan sebagai berikut :

  ( ) ( ) − + f x h f x f ' x lim

  ( ) = h

  → h

  Jika limit tersebut ada untuk x = a, dikatakan bahwa f’ ( a ) diferensial atau turunan f ( x ) terhadap x untuk x = a .

  y = f(x)

  Notasi untuk menyatakan turunan fungsi dari dapat menggunakan salah satu

  dy df

  berikut ini : y’ atau atau f ’ (x) atau

  dx dx Contoh 1: f(x)

  Tentukan turunan fungsi = 3x² – 2x + 2 dengan rumus definisi turunan

  Penyelesaian : f x h f x

• f ' x lim

  − ( ) ( )

  ( ) = h

  → h

  2

  2 3 x h 2 x h

  2 3 x 2 x

  2 − − − + + + +

  ( ) ( ) { } { }

  ' lim f x

  = ( ) h

  → h

  2

  2

  2 3 x 6 xh 3 h 2 x 2 h

  2 3 x 2 x

  2

− − − −

+ + + + f ' x lim

  = ( ) h

  → h

  f x =

  6 x 3 h − 2 dengan substitusi akan didapat

• ' lim

  ( ) h

  → f ' x

  6 x

  2

  ( ) = −

  

  

  Dari rumus definisi di atas dapat kita temukan rumus-rumus turunan fungsi aljabar seb berikut :

  1. jika f x k , maka f ' x untuk k = konstanta ( ) = ( ) =

  Jika f x x , maka f ' x

  1

  2. = = ( ) ( ) n n

  −

  1 Jika f x a . x , maka f ' x na . x , untuk a dan n real 3. = =

  ( ) ( ) ∈ f x k . u f ' x k . u ' u

  4. Jika = , maka = di mana adalah fungsi dalam x ( ) ( )

  5. Jika f x u v , maka f ' x u ' v ' , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x ( ) = ± ( ) = ±

  6. Jika f x = u v , maka f x = u v u v , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x ( ) ( )

• . ' '. . '

  '. . ' u v − u v u

  Jika f x , maka f ' x , di mana u dan v masing-masing fungsi dalam x

  7. ( ) = = ( )

  2 v v

  Contoh 2 :

  Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  a. f(x) = 4

  d. f(x) = 3x² + 3x + 3 b . f(x) = 3x e. f(x) = 3. x c . f(x) = 3x²

  Penyelesaian :

  a. , maka berdasar sifat pertama f ' x

  f x 4 = = ( )

  ( )

  1

  b. , maka berdasar sifat ke-3

  f x 3 x 3 x f ' x 1 . 3 x

  3 = = = =

  ( ) ( )

  2

  c. f x = 3x , maka berdasar sifat ke-3 f ' x 6 x

  

( ) =

( )

  2

  d. , maka berdasar sifat 1, 2, 3 dan 5 atau

  f x 3 x 3 x

  3 f ' x 6 x

  3 = −

  ( ) = − ( ) f ' x 6 x

  3 = −

  ( ) _{1 1}

  1

  3

  3 ₂ − ₂ e. f x

  3 x 3 x , maka berdasar sifat ke-3 f ' x

  3 . x

  ( ) = = ( ) = = = ₁

  2 ² 2 x 2 x

  Rumus- Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

  Rumus-rumus turunan fungsi trigonometri :

  Catatan :

  1

  sin

  x =

  cos

  ec x

1. Jika f(x) = sin x, maka f ’ (x) = cos x

  2. jika f(x) = cos x, maka f ’ (x) = -sin x

  1

  cos

  x =

  sec

  x

  sin x tan

  x =

  cos x Contoh 3 :

  Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  cos x cot

  an x =

  sin x f(x f(x)

  a. ) = 5.cos x

  c. = -3. sin x + 4.cos x

  5 sin² x + cos² x = 1

  b. f(x) = 4.sin x

  d. f(x) =

  

2 x sin x

−

cos 2x = cos² x = sin² x son 2x = 2.sin x.cos x

  

  

  a. f(x ) = 5.cos x

  f ’ (x

  ) = 5.(-sin x) = -5.sin x

  b. f(x ) = 4.sin x

  f ’ (x

  ) = 4.(cos x) = 4.cos x

  c. f(x ) = -3.sin x + 4.cos x

  f ’ (x

  ) = -3.cos x + 4.(-sin x) = -3.cos x – 4 sin x

  5 f(x

  d. ) =

  2 x sin x −

  4 f ' x 10 x cos x

  = − ( )

  Turunan Fungsi Tersusun (D alil Rantai)

  Jika f(x) = u {v(x)} merupakan fungsi majemuk dari u(x), turunan dari f(x) dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut : f ’ (x) = u ’ {v(x)}. v ’ (x)

  Contoh 4 :

  Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  2

  1

  2  

  a. f x x

  3 ( ) = −

   

  2  

  2 f x sin x

  b. =

  ( )

  c. f x cos 3 x

  ( ) = ( − π ) Penyelesaian :

  2

  1

  2  

  a. f x x

  

3 maka turunan pertama dapat dicari sebagai berikut

( ) = −

   

  2  

  1

  1

  2     f ' x 2 x 3 . x 2 x x 3 (coba cek kembali jawaban ini secara aljabar)

  = − = − ( )    

  2

  2    

  2

  b. f x sin x

  = ( ) f ' x

  2 sin x cos x sin 2 x

  ( ) = = cos

  c. f x = 3 x −

  ( ) ( π ) f ' x sin 3 x .

  3 3 sin 3 x

  ( ) = − ( − π ) = − ( − π )

C. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan singkat dan benar !

  1. Tentukan turunan pertama dari fungsi f(x) berikut ini dengan menggunakan rumus

• f x h f x

  −

  ( ) ( )

  definisi lim , jika :

  x → h

  a. f(x) = 2x - 7

  b. f(x) = x² + 2x – 1

  f(x)

  c. = 2x² - 3x + 7

  2. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  a. f(x) = 2x + 7

  f(x)

  b. = x² - 4x + 5

  c. f(x) = (2x + 1) (x - 5)

  x −

  1 d. f x =

  ( )

  3 x

• 2

  

  3. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  

  a. f(x) = 5.sin x

  b. f(x) = 2x.cos x

  f(x)

  c. = 2.cos x.sin x d.

  f x = cos ec x ( )

  e. f x sec x

  = ( )

  4. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  f(x)

  a. = 3x - 2.sin x

  b. f(x) = 4.sin x – 3.cos x

  c. f(x) = 3.Sin x.cos x d.

  f x = 5 . cos x − 2 x ( )

  5. Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ini :

  6 a. f x 3 x

  1 = −

  ( ) ( )

  5

  b. f x

  3 2 x = −

  ( ) ( )

  2 sin

  c. f x = x −

  ( ) ( π )

  2

  2

  d. f x

  3 cos 2 x = −

  ( ) ( π )

  2

  2

  6. Tentukan dari

  8

  2 f '

  2 , f ' − 2 , f ' k f x x

  ( ) ( ) ( ) = − ( ) ( )

  Kegiatan Belajar 4 A . Tujuan Kegiatan Belajar.

  Setelah mempelajari uraian pada kegiatan belajar ini, diharapkan siswa dapat : 1. mengenal tafsiran secara geometris dari turunan fungsi, 2. menentukan persamaan garis singgung fungsi, 3. mengidentifikasikan fungsi naik dan fungsi turun menggunakan aturan turunan, 4. menentukan titik stasioner suatu fungsi beserta jenis ekstrimnya, 5. memahami kecepatan sesaat suatu benda bergerak sebagai turunan fungsijarak tempuhnya.

B. Uraian M ateri

  1. Tafsiran geometris dari turunan fungsi

  Turunan pertama dari sebuah fungsi merupakan gradient garis singgung kurva itu. Dengan kata lain : Gradient garis singgung kurva y = f(x) di titik A dengan absis x = a adalah f ‘ (a).

  Contoh 1;

  y x

  6 =

• 2 Tentukan persamaan garis singgung kurva pada titik yang berabsis 2.

  Penyelesaian :

  Untuk y x

  6 maka y ‘ = 2x =

• 2

  Di titik yang berabsis 2 artinya x = 2 Untuk x = 2 titik yang dilalui kurva itu adalah (2, 10) dan gradiennya m = 2x = 4 Persamaan garis melalui (2, 10) dengan gradient m = 4 adalah y – 10 = 4 ( x – 2) y = 4x + 2 atau 4x – y + 2 = 0

  2. Fungsi N aik dan Fungsi Turun

  Suatu fungsi f(x) yang terdefinisi dalam suatu interval dapat dikatakan fungsi naik atau turun dengan hasil turunan pertamanya, yaitu sebagai berikut : a. Fungsi f(x) naik jika f ’(x) > 0

  b. Fungsi f(x) turun jika f ’(x) < 0

  

  

  Diketahui fungsi f(x) = x² - 4x – 5 Tentukan interval x ketika fungsi f(x) naik dan fungsi turun.

  y Penyelesaian : f(x)

  = x² – 4x – 5

  f ’ (x) = 2x – 4 x

  2

  2x – 4 > 0

• 1

  5

  2x > 4 x > 2 fungsi f(x) naik pada interval x > 2

  f ’ (x)

  = 2x – 4 2x – 4 < 0

  tu

  2x < 4 ru

  ik n a n

  x < 2 Fungsi f(x) turun pada interval x < 2 Perhatikan gambar di samping

  (2, - 9)

  3. N ilai Stasioner dan Titik Stasioner

  Jika sebuah fungsi y = f(x) kontinu dan diferensiabel di x = a dan f ’ (a) = 0, maka f(a) merupakan nilai stationer f(x) di x = a. Titik P(a, f(x)) yang terletak pada grafik fungsi y = f(x) disebut sebagai titik stationer atau titik ekstrem atau titik kritis. Nilai x yang menyebabkan f(x) mempunyai nilai stationer dapat ditentukan dari syarat f ’ (x) = 0.

  Contoh 3 :

  Tentukan titik stationer dan nilai staionernya jika diketahui fungsi f(x) = x² - 4x – 5

  y Penyelesaian : f(x) = x² – 4x – 5 f ’ (x) = 2x – 4 syarat stasioner adalah f ’ (x) = 0 x

  2

  2x – 4 = 0

• 1

  5

  2x = 4 x = 2

  2 untuk x = 2 diperoleh . f

  2

  2

  4

  2

  5

  

9

( ) = − − = −

  jadi titik stasionernya adalah (2, - 9) dengan nilai stasioner = - 9 perhatikan kembali gambar di atas

  Titik stasioner (2, - 9)

  4. Titik Stasioner dan Jenisnya.

  Keadaan titik stasioner suatu fungsi f(x) di titik P(a, f(x), mempunyai tiga jenis, yaitu titik balik maksimum, titik balik minimum, dan titik belok, dengan ketentuan sebagai berikut : a. Titik balik maksimum terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda positif (fungsi naik) menjadi tanda negarif (fungsi turun) dari kiri ke kanan.

  b. Titik balik minim terjadi jika di sekitar titik x = a terjadi perubahan tanda dari tanda negative (fungs turun) menjadi tanda positif (fugsi naik) dari kiri ke kanan.

  c. Titik belok terjadi jika di sekitar titik x = a tidak ada perubahan tanda.

  

  

  Lebih jelas perhatikan gambar berikut ini : A (a, (f(a))

  y

  Titik balik maksimum Titik belok horizontal f(

  a) b x

  a - - - - - - - - - - - + + + +

  f(b) Titik balik maksimum

  B (b, (f(b))

   Contoh 4 :

  Tentukan nilai stationer , titik stasioner dan jenis titik stasionernya dari fungsi

  1

  3

  2 f x x

  2 x 21 x

  7

  ( ) = − − +

3 Penyelesaian :

  1

  3

  2 f x x = −

  2 x − 21 x

• 3

  7

  ( )

  2

  '

  4 21 syarat stasioner adalah f x x x f ' x

  ( ) = − − ( ) =

  x² – 4x – 21 = 0 (x + 3)(x – 7) = 0

  ⇔

  x = - 3 atau x = 7

  ⇔

  1

  3

  2

  nilai stasioner untuk x = - 3 adalah f

  3

  3

  2

  3

  21

  3

  7

  43

  ( ) − = ( ) − − ( ) − − ( ) − = +

  3 1 371

  3

  2

  nilai stasioner untuk x = 7 adalah

  f

  7 = 7 −

  2 7 −

  21

  7 7 = −

• 3

  ( ) ( ) ( ) ( )

  3 Jenis titik stasioner ; Untuk titik (-3, 43), merupakan titik balik maksimum

  371

  

  Untuk titik , merupakan titik balik minimum 7,

   −  

  3

   

5. N ilai Ekstreem Suatu Fungsi sebagai M odel Penyelesaian

  Nilai ekstrem fungsi (nilai maksimum atau nilai minimum) pada dasarnya sama dengan menentukan nilai stasioner suatu fungsi.

  Contoh 5 :

  Diketahui jumlah dua bilangan asli adalah 45. Jika perkalian salah satu bilangan dengan kuadrat bilangan yang lainnya mencapai nilai maksimum, tentukan bilangan-bilangan itu dan nilai maksimumnya.

  Penyelesaian :

  Misalnya, salah satu bilangan itu = x, maka bilangan yang lainnya = 45 – x

  f(x)

  = (45 – x).(x²)

  2

  3 f x 45 x x

  = − ( )

  

  

  90x – 3x² = 0 (x)(90 – 3x) = 0 x = 0 atau x = 30 Nilai x yang menyebabkan f(x) maksimum adalah x = 30, maka nilai yang lainnya = 45 – 30 = 15 Jadi, bilangan-bilangan itu sebagai berikut : 30 dan 15

  2

  3 NIlai maksimum diperoleh untuk x = 30, adalah = 27.000 f

  30 60 .

  30

  30 = −

  ( ) Contoh 6 :

  Selembar kertas karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran 24 cm X 9 cm. Kertas itu akan dibuat kotak tanpa tutup dengan tinggi kotak t cm. Tentukan ukuran kotak tersebut agar memiliki volume maksimum dan tentukan volumenya.

  t t Penyelesaian : t

  Perhatikan gambar di samping ! Miaslnya, tinggi kotak = t,

  m p c

  panjang kotak = 24 – 2t

  9

  lebar kotak l = 9 – 2 t V = p x l x t

  t t t t)

  V = (24 -2 ) (9 – 2 ) (

  24 cm

  V = 24 – 2 t )(9 t -2 t² ) V = 216t – 66t ²+ 4t³ V’ = 216 – 132t + 12t² , syarat maksimum V ‘ = 0 216 – 132 t + 12 t ² = 0

  t ² – 11 t + 18 = 0 (t t

• – 9) ( - 2) = 0

  t = 9 atau t = 2, tinggi kotak yang mungkin adalah t = 2 cm, maka

  Panjang kotak adalah p = 24 – 2(2) = 20 cm

  l

  Lebar kotak adalah = 9 – 2(2) = 5 cm Volume maksimum kotak adalah V = 20 X 5 X 2 = 200 cm³

6. M emahami Kecepatan Sesaat Suatu Benda Bergerak Sebagai Fungsi Turunan

  Kecepatan rata-rata (V t ) sebuah benda bergerak dalam selang waktu tertentu adalah perbandingan perubahan jarak ( s) dengan perubahan waktu ( t), dapat dituliskan

  ∆ ∆

  sebagai berikut :

  

s

∆ v

  = t

  

∆ t

  Jika t mendekati nol maka diperoleh hasil bagi diferensial yang disebut laju perubahan

  ∆

  jarak terhadap waktu yang dinotasikan sebagai berikut :

  dv ∆ s Vt = –– = lim –– dt t t

  ∆ ∆

  Apabila perubahan waktu t membawa akibat perubahan kecepatan maka laju perubahan kecepatan terhadap waktu disebut percepatan yang dinotasikan sebagai berikut :

  

   dv d²s a t = –– = –– (turunan kedua dari panjang lintasan benda bergerak) dt dt²

  Contoh 7 :

  Sebuah peluru ditembakkan ke atas dengan kecepatan awal 50 m/ dt sehingga peluru melaju sesuai persamaan s =100 t – 5 t ² m, dengan s menyatakan panjang lintasan peluru saat

  t meluncur setelah detik.

  Tentukan hasil perhitungan berikut :

  a. tinggi peluru setelah 10 detik

  b. kecepatan peluru pada saat t detik

  c. waktu yang dibutuhkan hingga peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan

  d. tinggi peluru saat tidak mampu menambah kecepatan, dan e. percepatan setelah t detik.

  Penyelesaian :

  2 Panjang lintasan benda (tinggi) s t 100 t 5 t meter

  ( ) = −

  2 t

  10 5 . 10 = 500 = −

  a. Tinggi setelah = 10 detik adalah s 5 100 .

  ( ) Jadi, tinggi peluru saat 10 detik adalah 500 meter. ds

  b. Kecepatan saat t detik : v s ' t 100 10 t m/ dt

  = = ( ) = − t dt v

  c. Peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan berarti kecepatan ( ) = 0

  t

  100 – 10 = 0

  ⇔

  10 t = 100

  ⇔ t

  = 10

  ⇔ Jadi setelah melaju selama 10 detik peluru tidak lagi mampu menambah kecepatan.

  d. s(10) = 100 . 10 – 5 . 10² = 500 Jadi, tinggi peluru saat tidak menambah kecepatan adalah 500 meter.

  dv

  2 e. a = = − 10 m / dt dt

  Jadi, percepatan setelah t detik adalah – 10 m / dt ²

C. Lembar Kerja Siswa Jawablah dengan singkat dan benar !

  1. Tentukan dalam interval mana fungsi f(x) berikut ini merupakan fungsi naik dan interval mana merupakan fungsi turun.

  a. f(x) = x² - 6x + 9

  b. f(x) = x² + 3x - 5

  c. f(x) = x²– 9x + 20

  d. f(x) = 5 + 2x – x²

  e. f(x0 = 3 – 2x – 2x²

  2. Tentukan nilai sationer, titik stasioner dan jenis titik stasioner dari fungsi berikut ini :

  a. f(x) = 6 + x - x²

  b. f(x) = x² – 3x – 4

  3

  c. f(x) = x + 3x² - 5x – 5

  3

  d. f(x) = 12 – 5x – 2x² + x

  e. f(x) = 2x³ + 3x² + 12x + 6

  

  

  3. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva dan di berikut :

  y

  a. = x² - 3x – 10, melalui titik P(1, -12)

  b. y = 2x² – 5x + 6, melalui titik yang berbasis x = 2

  c. y = x³ – 5x + 4, sejajar dengan garis y = x – 3

  2

  4. Sebuah roket ditembakkan ke atas dengan persamaan h(t) = 50 t – 2t , h dalam km dan t dalam menit tentukan :

a. Waktu yang diperlukan roket mencapai tinggi maksimum, dan b. tinggi roket maksimum.

• − ∞ →

1. Hitunglah

• − − − →
• ∞ →
• −

  1

  1

  4

  − + + D. _{3 2}

  6 x x x

  1

  1

  4

  6 x x x

  1

  1

  4

  − + + E. _{3 2}

  1

  6 x x x

  1

  1

  6 x x x

  1

  1

  1

  A . _{3 2}

  3 x x x x

  2

  1

  2

  7. Turunan pertama dari f(x) = ₂

  E. 3/ 5

  6 x x x

  8. Nilai dari

  − − +

  4 x x x x

  D. 10 cos 2x + 3 sin 3x

  E. -10 cos 2x – 3 sin 3x

  C. -10 cos 2x + sin 3x

  A . 5 cos 2x – sin 3x

  C. 12 sin 3x – 8 cos 4x 11. Turunan pertama dari fungsi f(x) = 5 sin 2x – cos 3x adalah ….

  E. 4/ 3 sin 3x + ½ cos 4x