Lingkaran dan Lingkaran Singgung

  asimtot.wordpress.com

  

  Informasi yang ada yaitu : Suatu lingkaran yang berpusat di

  (0, 0). Mempunyai jari-jari 4 cm. Sebuah titik (4, 0) dan (−4, 0) terletak pada lingkaran. Sebuah garis yang menghubungkan titik B dengan titik

  (0, −4) akan dilukis pada lingkaran tersebut. Sudut disebut sudut pusat lingkaran. Sudut disebut sudut keliling lingkaran.

  Gambar yang dihasilkan dari informasi yang ada adalah sebagai berikut:

  

B O A

• 4

  4 C

• 4

• 4
• 4
• 4
• 4

  2

  A O B D E C

  1 5. Hitung luas daerah yang diarsir

  Tunjukkan bahwa =

  , perpanjangan garis dan perpanjangan garis . adalah jari- jari lingkaran dalam segitiga

  , perpanjangan garis dan perpanjangan garis . adalah jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi

  4. Jika merupakan jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi , perpanjangan garis dan perpanjangan garis . adalah jari-jari lingkaran yang menyinggung sisi

  ) 3. Apakah Luas ∆ = Luas ∆ ? (Diketahui mempunyai tali busur dan sebuah sudut yang sama)

  ∆ ? (Luas

  Pertanyaan dari kelompok Enik dkk. adalah sebagai berikut :

  ) 2. Berapakah luas dari sebuah lingkaran yang menyinggung sisi , dan sebuah lingkaran dalam

  1

  Berapakah jari-jari lingkaran dalam segitiga ? (Jari-jari

  2 1.

  1 L

  4 L

  A O B C

  4 Komentar dan Jawaban : 1.

  Komentar : Soal ini sangat bagus. Dari segi kejelasan pertanyaan sudah sangat jelas.

  Singkat, padat dan jelas. Apalagi soal nomor 1 ini dilengkapi dengan gambar. Sehingga dengan satu kali membaca soal saja sudah bisa dimengerti apa maksud dari soal tersebut. Bobot pertanyaan masuk ke dalam kelompok sedang. Karena soal ini dapat diselesaikan dengan hanya beberapa langkah. Mencari panjang sisi yang belum diketahui, luas segitiga, dan kemudian mencari setengah keliling segitiga. Setelah itu sudah dapat ditemukan jari-jari lingkaran yang dimaksud. Sangat bagus jika yang ditanyakan adalah luas lingkarannya. Atau luas daerah di dalam segitiga ABC kecuali lingkaran.

  Jawaban :

  O B A

• 4

  4 L

  

2

L

  1

• 4 C

  Kita akan mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga dengan menggunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga, yaitu :

  = : jari-jari lingkaran dalam : luas segitiga : setengah keliling dari segitiga adalah diameter lingkaran. Sehingga, panjang adalah 8 .

  = 8 Panjang BC dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras dengan BC sebagai sisi miringnya, BO dan CO sebagai sisi yang lain.

  2

  2

  2

• =

  2

  2

  2

  = 4 + 4

  2

  = 32 = 4 2

  Segitiga adalah segitiga siku-siku. Tepatnya siku-siku di C. Sehingga,

  1 Luas ∆ dapat dicari dengan rumus segitiga dasar. Yaitu .

  2

  1

  × ∆ = ×

  2

  1

  × 4 ∆ = 2 × 4 2

  2

  2

  ∆ = 16 adalah setengah keliling lingkaran.

  1

  = 8 + 4 2 + 4 2

  2

  = 4 + 4 2 Untuk mencari jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC, kita gunakan rumus yang ada di atas. Diperoleh,

  =

  16

  = ≈ 1,657

  4+4

  2

  16 ∴ Jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah . 4+4

  2 2.

  Komentar : Soal ini sangat bagus. Dari ke lima soal yang ada, soal ini adalah soal yang paling rumit. Pertanyaannya pun juga sangat jelas. Dan lagi-lagi bantuan gambar yang memperjelas pertanyaannya. Bobot pertanyaan untuk soal ini termasuk sukar. Karena unsur-unsur yang nantinya akan digunakan untuk menyelesaikan soal harus dicari terlebih dahulu dengan beberapa langkah yang cukup rumit. Banyak langkah yang harus ditempuh untuk menyelesaikan soal ini. Tetapi apabila kita cukup teliti dengan keadaan, bahwa segitiga tersebut adalah segitiga sama kaki dengan salah satu sudutnya adalah 90 derajat. Sehingga nantinya kita gunakan bantuan besaran sudut untuk mengerjakannya. Dengan begitu, kita akan lebih mudah untuk mencari unsur-unsur yang nantinya akan digunakan untuk mencari jawaban soal.

  Jawaban : Agar lebih jelas, gambarnya kita perbesar = = 4 = − . = 1,657 Kita bisa mencari panjang AT dengan menggunakan rumus Pythagoras dengan AT sebagai sisi miring, TO dan AO sebagai sisi lainnya.

  2

  2

  2

• =

  2

  2

  2

  = (1,657) + 4 = 2,745 + 16 = 4,33

  Panjang AS dapat dicari dengan panjang AT dikurangi dengan jari-jari lingkaran besar.

  = − . karena = , maka = − = 4,33 − 1,657 = 2,673 Mencari panjang RA dan RS dengan bantuan trigonometri.

  Perhatikan gambar! ∠ = 45°, maka ∠ = 22,5°. Karena

  ∆ siku-siku di S. maka, untuk mencari panjang RA kita gunakan trigonometri, yaitu cos ∠ cos

  ∠ =

  2,673

  cos 22,5° =

  2,673

  =

  0,924

  = 2,893 mencari panjang RS kita gunakan sin ∠ sin

  ∠ = sin 22,5° =

  2,893

  = 0,383 × 2,893 RS = 1,107 Dengan demikian kita bisa mencari luas

  ∆ , setengah keliling dari ∆ dan jari-jari lingkaran dalam yang menyinggung ∆ .

  1 Luas ×

  ∆ = ×

  2

  1 Luas × 1,107 × 2,673

  ∆ =

  2 Luas

  ∆ = 1,48 = + = 2,893 + 1,107 = 4

  Sehingga, jari-jari lingkaran dapat dicari menggunakan rumus, =

  1,48 = ≈ 0,37

  4

2 Luas Lingkaran =

  π(0,37) Luas Lingkaran =

  π 0,1369 ∴ Luas lingkaran = π 0,1369 3.

  Komentar : Soal ini sangat konseptual. Bukan termasuk soal yang rumit. Dalam hal kejelasan soal sudah jelas. Soal juga sudah disertai gambar.

  Adanya tambahan keterangan “Diketahui mempunyai tali busur dan sebuah sudut yang sama .”, membuat kelompok kami sempat sedikit bingung. Keterangan tersebut sama sekali tidak ada hubungannya dengan luas segitiga. Apa artinya menulis sebuah keterangan yang tidak ada hubungannya dengan pengerjaan atau jawaban.

  Bobot pertanyaan termasuk mudah. Soal bisa dikerjakan tanpa menghitung. Hanya dengan menggunakan konsep luas segitiga.

  Jawaban : Apakah Luas

  ∆ = Luas ∆ ? Kita perhatikan gambar di bawah ini

  E D A

D E

  4 B O A O

• 4

4 B C

• 4
<
• 4 C

  Kedua gambar tersebut merupakan gambar yang sama. Hanya saja gambar kedua adalah hasil perputaran 45° berlawanan jarum jam dari gambar pertama. Sekarang kita perhatikan gambar kedua. Kita perhatikan

  ∆ dan ∆ . Kedua segitiga tersebut memiliki alas yang sama, yaitu BC. Tetapi kedua segitiga tersebut mempunyai tinggi yang berbeda. Bukti : Tarik garis yang sejajar dengan . Titik berada pada garis . Sedangkan titik berada di atas garis . Sehingga jarak titik ke garis lebih besar dari pada jarak titik ke garis . Maka, tinggi segitiga tidak sama dengan tinggi segitiga . Jika dua buah segitiga mempunyai alas yang sama sedangkan tinggi kedua segitiga tersebut tidak sama, maka luas kedua segitiga tersebut tidak sama.

  ∴ Luas ∆ ≠ Luas ∆ 4. Komentar :

  Soal nomor 4 ini merupakan soal yang salah. Seharusnya jika kata-katanya buktikan atau tunjukkan, maka nantinya pasti harus terbukti. Mungkin maksud dari pembuat soal adalah tentukan benar atau salah, kemudian jika benar buktikan. Menurut kelompok kami seharusnya pertanyaannya seperti itu. Dalam pengerjaannya juga tidak begitu rumit. Hanya dengan menggunakan rumus-rumus yang ada.

  Jawaban :

1 Tunjukkan bahwa =

  Bukti:

  1 Misalkan kita anggap benar untuk =

  Dengan menggunakan rumus garis singgung lingkaran, =

  ( − )

  =

  ( − )

  =

  ( − )

  Diperoleh, =

  ( ( ( ₃ − ) − ) − ) =

  − − ( − ) ₃

  =

  − − ( − ) ₃

  = ₂ = ₂

  = ₂ = ₂ Ternyata =

  1 Tidak sama dengan anggapan bahwa = ₂

  1

  1 Karena untuk sebarang .

  ≠ , maka ≠ Sehingga pernyataan awal adalah salah.

  1

  = ∴ ℎ ℎ 5.

  Komentar : Bobot pertanyaannya sangat ringan. Hanya mencari luas bangun-bangun dasar. Tingkat ketelitian dan kesabaran yang diuji di sini. Karena harus mencari begitu banyak luas yang ditanyakan. Sehingga harus teliti dan sabar dalam mengerjakannya.

  Kejelasan pertanyaannya sangat bagus karena disertai gambar juga.

  Soal seperti ini dan semacamnya sebaiknya jangan diujikan pada waktu tes atau ulangan. Karena untuk menghitung satu soal ini saja menmbutuhkan waktu yang tidak sedikit. Jawaban : Hitung luas daerah yang diarsir! Ada 3 lingkaran. Yaitu, Lingkaran besar dengan

  = 4 Lingkaran sedang dengan

  = Lingkaran kecil dengan

  = = = 4 = = 2 2 = = 4 2 = 2, = 4, = 2 = = 2

  Menghitung Luas 4

  1

  2 × 4 = ∆ − .

  4

  1

  1

  2

  2 × 4 = × − ×

  2

  4

  1

  1

  2

  2 × × 4 × 4 4 = − × (2 2)

  2

  4

  2 × 4 = 8 − 2 4 = 4 − Menghitung Luas 1 + Luas 2 + Luas 4

  1

  1

  (1 + 2 + 4) = . − . − 4

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  (1 + 2 + 4) = 4 − − (4 − ) (2 2)

  2

  2

  (1 + 2 + 4) = 8 − 4 − 4 + (1 + 2 + 4) = 5 − 4

  1

  × −

  4

  2

  6 = 8 − 2 Menghitung Luas 5 5 = ∆ −

  1

  8 .

  5 =

  1

  2

  1

  1

  8

  

2

  5 =

  1

  2

  2 × 2 −

  1

  8

  2

  8

  4 × 4 −

  5 = 2 −

  −

  Menghitung Luas 3 3 =

  1

  8

  . − ∆ 3 =

  1

  8

  (2 2)

  2

  1

  2

  2

  × 3 = −

  1

  2

  2 × 2 3 = − 2 Menghitung Luas 6 6 = ∆ −

  1

  8 .

  6 =

  1

  2

2 Luas Total

  = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = 5 − 4 + − 2 + 8 − 2 + 2 −

  1

  2

  =

  7

• 4 ∴ ℎ =

  2

  7

• 4 Kesimpulan : Pertanyaan-pertanyaan seperti ini sangat bagus. Ada yang sangat susah, ada yang sedang dan ada yang cukup mudah. Tidak bagus memberikan pertanyaan yang semuanya sulit. Begitu juga sebaliknya, tidak bagus juga memberikan pertanyaan atau soal yang semuanya mudah. Kelompok kami menyimpulkan bahwa kelompok penanya sudah sangat baik. Karena soal yang diberikan adalah sangat bagus. Rata antara yang sulit dan yang mudah.

  2