Design and Analysis Algorithm

  Design and Analysis Algorithm Ahmad Afif Supianto, S.Si., M.Kom

Contents

Algoritma Program Dinamis

  3 Lintasan Terpendek (Shortest Path)

  1

  2 Penganggaran Modal (Capital Budgeting)

  3 1/0 Knapsack

  3

  4 TSP (Travelling Salesman Problem)

  3

  5

Program Dinamis

  

Program Dinamis (dynamic programming):



   metode pemecahan masalah dengan cara menguraikan solusi menjadi sekumpulan langkah (step) atau tahapan (stage)

  

 sedemikian sehingga solusi dari persoalan dapat

dipandang dari serangkaian keputusan yang saling berkaitan.

Program Dinamis

  

Penyelesaian persoalan dengan metode ini:



  1. terdapat sejumlah berhingga pilihan yang mungkin, 2. solusi pada setiap tahap dibangun dari hasil solusi tahap sebelumnya,

  3. kita menggunakan persyaratan optimasi dan kendala untuk membatasi sejumlah pilihan yang harus dipertimbangkan pada suatu tahap.

  Program Dinamis

Tinjau graf di bawah ini. Kita ingin menemukan

lintasan terpendek dari 1 ke 10

Prinsip Optimalitas

  

Pada program dinamis, rangkaian keputusan yang

 optimal dibuat dengan menggunakan Prinsip Optimalitas.

  Prinsip Optimalitas: jika solusi total optimal, maka  bagian solusi sampai tahap ke-k juga optimal.

  Prinsip optimalitas berarti bahwa jika kita bekerja dari  tahap k ke tahap k + 1, kita dapat menggunakan hasil optimal dari tahap k tanpa harus kembali ke tahap awal.

  

Ongkos pada tahap k +1 = (ongkos yang dihasilkan

 pada tahap k ) + (ongkos dari tahap k ke tahap k + 1)

  Karakteristik Persoalan Program

Dinamis

  1. Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap

(stage), yang pada setiap tahap hanya diambil satu

keputusan.

  2. Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan dengan tahap tersebut.

  Secara umum, status merupakan bermacam kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut. Graf multitahap (multistage graph). Tiap simpul di

dalam graf tersebut menyatakan status, sedangkan V1, V2, …

menyatakan tahap.

  1

  10

  4 V

  3 V

  2 V

  1 V

  12 V

  5

  11

  3

  9

  8

  7

  6

  4

  2

  5

  

3. Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap

ditransformasikan dari status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.

  4. Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan bertambahnya jumlah tahapan.

  

5. Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos

tahap-tahap yang sudah berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

  Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat 6. independen terhadap keputusan yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

  7. Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap status pada tahap k + 1.

  8. Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut.

Dua Pendekatan Program Dinamis

  Dua pendekatan yang digunakan dalam PD: maju 

  (forward atau up-down) dan mundur (backward atau bottom-up).

  

Misalkan x , x menyatakan peubah (variable)



  1 2 , …, x n keputusan yang harus dibuat masing-masing untuk tahap

  1, 2, …, n. Maka, 

  Program dinamis maju. Program dinamis bergerak mulai dari tahap 1, terus maju ke tahap 2, 3, dan seterusnya sampai tahap n. Runtunan peubah keputusan adalah x ,

  1 x .

  , …, x 2 n

   Program dinamis mundur. Program dinamis bergerak mulai dari tahap n, terus mundur ke tahap n

• – 1, n – 2,

  dan seterusnya sampai tahap 1. Runtunan peubah

  keputusan adalah x , x .

  , …, x n n-1

  1

Langkah-langkah Pengembangan Algoritma Program Dinamis

  

  1. Karakteristikkan struktur solusi optimal.

  2. Definisikan secara rekursif nilai solusi optimal.

  3. Hitung nilai solusi optimal secara maju atau mundur.

  4. Konstruksi solusi optimal.

  Lintasan Terpendek Shortest Path

Lintasan Terpendek (Shortest Path)

Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke simpul 10:

  5

  14

  

4

  2

  

3

  4

  6

  4

  1

  4

  6

  3

  3

  3

  1

  3

  3

  1

  3

  4

  2

  7

  10

  9

  8

  7

  6

  5

  4

  2

  4

  Penyelesaian dengan Program

Dinamis Mundur

   Misalkan x1, x 2, …, x4 adalah simpul-simpul yang dikunjungi pada tahap k (k = 1, 2, 3, 4).

   Maka rute yang dilalui adalah

  1 x1x2x3x4 , yang dalam hal ini x4 = 10.

  Pada persoalan ini,  Tahap (k) adalah proses memilih simpul tujuan berikutnya (ada 4 tahap).

   Status (s) yang berhubungan dengan masing- masing tahap adalah simpul-simpul di dalam graf.

  

Relasi rekurens berikut menyatakan lintasan terpendek

dari status s ke x pada tahap k:

  4 f s c

  ( )  (basis)

  4 sx

  4 f s c f x , (rekurens)

  ( )  min {  ( )} k sx k  _k 1 k x _k k = 1, 2, 3

  Keterangan: a. x : peubah keputusan pada tahap k (k = 1, 2, 3). k c

  b. : bobot (cost) sisi dari s ke x k sx _k

  c. f (s, x ) : total bobot lintasan dari s ke x k k k

  d. f (s) : nilai minimum dari f (s, x ) k k k

  

Tujuan program dinamis mundur: mendapatkan f (1)

  1 dengan cara mencari f (s), f (s), f (s) terlebih dahulu.

  4

  3

  2

  16

  4

  3

  2

  4

  3

  1

  3

  4

  5

  3

  3

  10

  6

  4

  1

  4

  6

  4

  3

  2

  7

  9

  Tahap 4: ₄ ) (

  Solusi Optimum f

  7

  6

  5

  4

  2

  3

  1

  4 sx  c s f s

  8

• 8
• adalah nilai x

  4

  9

  10

  3

  4

  4 (s) x

  k

  (s, x k ).

  k yang meminimumkan f k

  4

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10

  7

  2

  4

  3

  1

  4

  3

  5

  3

  3

  3

  6

  4

  1

  4

  6

  4

  3

  2

  2

  1

• f

  3 s

  Tahap 3: )} ( { min ) (

  3

  4

  3 _{3 3} x f c s f sx x

    f

  3 (s, x

  3 ) = c s ,x3

  4 (x

  3 ) Solusi Optimum x

• 5

  8

  7

  8

  6

  7

  6

  7

  9

  7

  4

  9

  6

  8 9 f

  3 (s) x

  3

  18

  8

  4

  7

  2

  5

  1

  4

  3

  2

  4

  8

  6

  3

  6

  4

  2

  1

  3

  6

  10

  3

  9

  4

  3

  4

  3

  1

  4

  3

  4

  7

  5 Tahap 2:

  f ( s ) min { c f ( x )}   sx

  2

  3

  2

  2 x

  2 x f (s, x ) = c + f (x ) Solusi Optimum

  2

  2 2 s ,x2

  3

  2

• s

  5

  6 7 (s) f x

  2

  2

  2

  11

  11

  12 11 5 atau 6

  3

  7

  9

  10

  7

  5

  4

  8

  8

  11 8 5 atau 6

  19

  4

  5

  8

  9

  10

  7

  2

  4

  3

  1

  3

  4

  3

  6

  3

  3

  6

  4

  1

  4

  6

  4

  3

  2

  7

  5

• f

  2 (x

  Tahap 1: )} ( { min ) (

  1

  2

  1

  1

  1 x f c s f sx x

    f

  1 (s, x

  1 ) = c s

  ,x1

  1 ) Solusi Optimum x

  4

  1 s

  2

  3 4 f

  1 (s) x

  1

  13

  11

  11 11 3 atau 4

  1

  3

  2

• 1

Solusi optimum dapat dibaca pada tabel di bawah ini: x x x x Panjang Lintasan

  1

  2

  3

  3

  5

  8

  10

  11

  1

  5

  8

  10

  11

  4

  6

  9

  10

  11 Jadi ada tiga lintasan terpendek dari 1 ke 10, yaitu 1  3  5  8  10 1  4  5  8  10 1  4  6  9  10

  Panjang ketiga lintasan tersebut sama, yaitu 11.

  21

  Penganggaran Modal Capital Budgeting

  Penganggaran Modal (Capital Budgeting)

  Sebuah perusahaan berencana akan  mengembangkan usaha (proyek) melalui ketiga buah pabrik (plant) yang dimilikinya. Setiap pabrik diminta mengirimkan proposal (boleh lebih dari satu) ke perusahaan untuk proyek yang akan dikembangkan. Setiap proposal memuat total biaya yang dibutuhkan (c) dan total keuntungan (revenue) yang akan diperoleh (R) dari pengembangan usaha itu. Perusahaan menganggarkan Rp 5 milyar untuk alokasi dana bagi ketiga pabriknya itu.

  

Tabel berikut meringkaskan nilai c dan R untuk  masing-masing proposal proyek. Proposal proyek bernilai-nol sengaja dicantumkan yang berarti tidak ada alokasi dana yang diberikan ntuk setiap pabrik. Tujuan Perusahaan adalah

memperoleh keuntungan yang maksimum dari pengalokasian dana sebesar Rp 5 milyar tersebut. Selesaikan persoalan ini dengan program dinamis. Peubah status yang terdapat pada tahap 1, 2, dan 3: x =

   modal yang dialokasikan pada tahap 1

  1 x =

   modal yang dialokasikan pada tahap 1 dan 2

  2 x =  modal yang dialokasikan pada tahap 1, 2, dan 3

  3 x

  3 x

  2 x

  

Kemungkinan nilai-nilai untuk x dan x adalah 0, 1, 2,

  1

  2 3, 4, 5 (milyar), sedangkan nilai untuk x adalah 5

  3

  25 Pabrik 1 Pabrik 2 Pabrik 3 Proyek c R c R c R

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  1

  2

  1

  5

  

2

  8

  1

  3

  3

  2

  6

  

3

9 - -

  4

  

4

  12 - - - -

  Penyelesaian dengan Program Dinamis

Maju

  Misalkan, R (p ) = keuntungan dari alternatif p pada k k k tahap k f (x

  ) = keuntungan optimal dari tahap 1, 2, …, k k dan k yang diberikan oleh status x k

Penyelesaian dengan PD

  Tahap (k) adalah proses mengalokasikan dana  untuk setiap pabrik (ada 3 tahap, tiap pabrik mendefinisikan sebuah tahap).

   Status (xk) menyatakan jumlah modal yang

dialokasikan pada pada setiap tahap (namun

terikat bersama semua tahap lainnya).

  Alternatif (p) menyatakan proposal proyek yang  diusulkan setiap pabrik. Pabrik 1, 2, dan 3 masing-masing memiliki 3, 4 dan 2 alternatif proposal. Relasi rekurens keuntungan optimal: f ( x )  max {R (p )} (basis)

  1

  1

  1

  1

  feasible proposal _ p

  1 {R (p ) + f (x ) } k k k -1 k -1

  (rekurens) f ( x )  max k k feasible proposal _ p k

  = 2, 3 k

  Catatan: 1. x = x (p ) k k k k

• – 1 – c c(p ) adalah biaya untuk alternatif p pada tahap k.

  k k

  k c (p ), tidak melebihi nilai status x pada tahap k. k k

  29 Relasi rekurens keuntungan optimal menjadi f ( x )  max

  {R (p )} (basis)

  1

  1

  1

  1  c ( p ) x

  1

  1

  1 f ( x )  max

  {R (p ) + f [x (p )] } (rekurens)

k k k -1 k k k

k k

• – c

  c ( p )  x k k k k

  = 2, 3

  6

  5

  2

  3

  3

  1

  8

  2

  1

  3 9 - - 4 - - 4 12 - -

  2

  1

  3

  3 R

  2 c

  2 R

Tahap 1

  1 ) Solusi Optimal x

  1 R

  1

  3 , 2 ,

  1 ) (

  1

  1

  1

  1

  1 ) max (

  1 (p

   

   p x p c x f

  {R

  1 (p

  1 )}

  R

  1 c

  

6

  5

  31

  1 p

  1 = 1 p

  1 = 2 p

  1 = 3 f

  1 (x

  1 ) p

  1

  1

  1

  5

• -

  5

  2

  2

  6

  

6

  6

  3

  5

  3 Pabrik 1 Pabrik 2 Pabrik 3 Proyek c

  6

  

6

  5

  5

  3

  6

  

6

  5

  4

  3

  3

Tahap 2

  

1

[(x

  2 R

  2 c

  3 R

  3

  1

  2

  1

  2 )]},

  2 (p

  2

  2 ) + f

  1 R

  2 (p

   p x p c x f {R

  5

  2

  8

  1

  3

  3

  2

  6

  3 9 - - 4 - - 4 12 - -

  1 c

• – c

  2 = 2 p

  2

  1 [(x

  2 ) + f

  2 (p

  R

   

  2 ) max (

  2

  

2

(p

  2

  2

  2

  1 ) (

  4 , 3 , 2 ,

  32

  2 – c

  2 )] Solusi Optimal x

• 0 + 0 = 0 - - -

  2 = 3 p

  1 2 0 + 6 = 6 8 + 0 = 8 - -

  2 = 4 f

  2 (x

  2

  1 1 0 + 5 = 5 - - -

  5

  8

  2 p

  2 3 0 + 6 = 6 8 + 5 = 13 9 + 0 = 9 -

  13

  2 4 0 + 6 = 6 8 + 6 = 14 9 + 5 = 14 12 + 0 = 12 14 2 atau 3 5 0 + 6 = 6 8 + 6 = 14 9 + 6 = 15 12 + 5 = 17

  17

  4 Pabrik 1 Pabrik 2 Pabrik 3 Proyek c

  2 = 1 p

  2 ) p Pabrik 1 Pabrik 2 Pabrik 3 Proyek c R c R c R

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  1

  2

  1

  5

  2

  8

  1

  3

  3

  2

  6

  3 9 - -

  4

  4

  12 - - - - Tahap 3 f ( x )  max {R (p ) + f [(x (p )]},

  3

  3

  2

  3

  3

  3

  3

  3

• – c

  c ( p )  x

  3

  3

  3 p  1 ,

  2

  3

  3

  2

  3

  3

  3

• – c
• x

  3 = 1 = 2 (x )

p p f p

  3

  3

  3

  3

  3 5 0 + 17 = 17 3 + 14 = 17 17 1 atau 2

  1/0 Knapsack

  Integer (1/0) Knapsack Pada persoalan ini,

  

 Tahap (k) adalah proses memasukkan barang ke

dalam karung (knapsack) (ada 3 tahap).

   Status (y) menyatakan kapasitas muat karung yang

tersisa setelah memasukkan barang pada tahap

sebelumnya.

  

Dari tahap ke-1, kita masukkan objek ke-1 ke

 dalam karung untuk setiap satuan kapasitas karung sampai batas kapasitas maksimumnya.

  Karena kapasitas karung adalah bilangan bulat, maka pendekatan ini praktis.

  Misalkan ketika memasukkan objek pada tahap  k, kapasitas muat karung sekarang adalah y .

• – w

  k Untuk mengisi kapasitas sisanya, kita

   menerapkan prinsip optimalitas dengan mengacu pada nilai optimum dari tahap sebelumnya untuk kapasitas sisa y ( yaitu

• – w

  k f (y )).

• – w

  k-1 k Selanjutnya, kita bandingkan nilai keuntungan dari objek  pada tahap k (yaitu p ) plus nilai f (y ) dengan

• – w

  k k-1 k keuntungan pengisian hanya k (y).

• – 1 macam objek, f k-1

  Jika p + f (y ) lebih kecil dari f (y), maka objek

  

• – w

  k k-1 k k-1 yang ke-k tidak dimasukkan ke dalam karung, tetapi jika lebih besar, maka objek yang ke-k dimasukkan. f (y) adalah keuntungan optimum dari persoalan  k

  0/1 Knapsack pada tahap k untuk kapasitas karung sebesar y.

   f (y) = 0 adalah nilai dari persoalan knapsack kosong (tidak ada persoalan knapscak) dengan kapasitas y, f (y) = -

   ∞ adalah nilai dari persoalan knapsack k untuk kapasitas negatif. Solusi optimum dari persoalan 0/1 Knapsack adalah f (M). n

  

TSP

Travelling Salesman Problem

TSP (Travelling Salesman Problem)

   Misalkan G = (V, E) adalah graf lengkap berarah dengan sisi-sisi yang diberi harga c > 0. ij

  Misalkan | V | = n dan n > 1. Setiap simpul diberi  nomor 1, 2, …, n.

   Asumsikan perjalanan (tur) dimulai dan berakhir pada simpul 1.

   Setiap tur pasti terdiri dari sisi (1, k) untuk beberapa k ϵ V – {1} dan sebuah lintasan dari simpul k ke simpul 1.

   Lintasan dari simpul k ke simpul 1 tersebut melalui setiap simpul di dalam V – {1, k} tepat hanya sekali.

  Prinsip Optimalitas 

   Jika tur tersebut optimal maka lintasan dari simpul k ke simpul 1 juga menjadi lintasan k ke 1 terpendek yang melalui simpul-simpul di dalam V

• – {1, k}.

  Misalkan f(i, S) adalah bobot lintasan terpendek  yang berawal pada simpul i, yang melalui semua simpul di dalam S dan berakhir pada simpul 1. Maka Nilai f(1, V

• – {1}) adalah bobot tur terpendek.

  

Misalkan J(i, S) adalah nilai yang dimaksudkan

 tersebut. Maka, J(1, {2, 3, 4}) = 2. Jadi, tur mulai dari simpul 1 selanjutnya ke simpul 2.

  

 Simpul berikutnya dapat diperoleh dari f(2, {3, 4}),

yang mana J(2, {3, 4}) = 4. Jadi, simpul berikutnya adalah simpul 4.

  Simpul terakhir dapat diperoleh dari f(4, {3}), yang  mana J(4, {3}) = 3. Jadi, tur yang optimal adalah 1, 2, 4, 3, 1 dengan bobot (panjang) = 35.

  Click to edit subtitle style