BAB 17 Vektor fixs (1)

BAB 17
VEKTOR
Pada bab ini akan dibahas mengenai operasi aljabar vektor, sudut – sudut pada
vektor, proyeksi skalar, dan proyeksi vektor.
A.

PENGERTIAN VEKTOR
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Penulisan vektor
biasanya pakai huruf kecil, misalnya :

uur uur uur
AB,BC ,AC

r rr
u,v ,t dst. Atau dengan huruf

besar ,misalnya :
dst. Besar vektor artinya panjang vektor. Arah
vektor artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif
Perhatikan gambar !

uur
AB

B

r
u

A
Gambar tersebut menunjukkan sebuah vektor dengan keterangan sebagai
berikut :
 Titik A sebagai titik pangkal vektor
 Titik B sebagai titik ujung vektor
r
uur
 Vektor tersebut dinotasikan / ditulis dengan vektor AB atau vektor u .
uur
AB artinya B – A

B.

PANJANG VEKTOR

uur
Panjang suatu vektor dinotasikan dengan | |. Misalnya panjang vektor AB ,
uur
maka ditulis | AB |
Panjang vektor ada 2 rumus :
 Vektor di R2
r
Misal diketahui vektor u = (x,y), maka berlaku rumus :

r
u  x2  y2

Misal diketahui titik A (x1,y1) dan titik B(x2,y2), maka berlaku rumus:

uur
AB 



 x2  x1  2   y 2  y 1  2

Vektor di R3

199

r
Misal diketahui vektor u = (x,y,z), maka berlaku rumus :

r
u  x2  y2  z2

Misal diketahui diketahui titik A (x 1,y1,z1) dan titik B(x2,y2,z2), maka
berlaku rumus:

uur
AB 

C.

 x 2  x1 

2

  y2  y1    z2  z1 
2

2

VEKTOR BASIS DAN ATURAN PENULISAN
Basic concept :

r
r
u   a,b 
Misalkan vektor
terletak di R2, maka vektor basis u = ai + bj.
r

r
v   a,b,c 
Sedangkan vektor
terletak di R3, maka vektor basis u = ai+ bj +
ck. Penulisan vektor bisa dalam bentuk vektor basis, atau dalam bentuk
matriks.



D.

Vektor

r
u   a,b 

Vektor

r
v   a,b,c 

atau



r a
u b

a
r ��
v  ��
b
��
c
��
atau

OPERASI HITUNG PADA VEKTOR
Ada beberapa operasi hitung pada vektor yaitu :
 Operasi Penjumlahan

Operasi penjumlahan bisa menggunakan dua aturan yakni aturan
segitiga dan aturan jajar genjang (secara geometris)
1. Aturan segitiga
Perhatikan gambar berikut !
u v

v

u
2. Aturan jajar genjang
Perhatikan gambar berikut :

ab

b

200
a

Operasi penjumlahan vektor pada R2 secara non geometris adalah :

Misal

diketahui

vektor

   



r a
u b

r r a
c
a c
u  v  b  d  b d

dan

vektor



r c
v d

,

maka

Operasi penjumlahan vektor pada R3 secara non geometris adalah :
a
d
r ��
r ��
u  ��
b
v  ��
e

��
��
c
f
�� dan vektor
��
Misal diketahui vektor
, maka



a ��
d �
a  d�
r r ��
u  v  ��
b  ��
e �
b  e�
��

��
�c  f �
c
f
��
��
�
�
Operasi Pengurangan
Operasi pengurangan vektor pada R2 secara adalah :
r a
r c
u b
v d
Misal diketahui vektor
dan vektor
, maka
r r a
c
ac
u  v  b  d  b d



   



Operasi penjumlahan vektor pada R3 secara non geometris adalah :
a
d
r ��
r ��
u  ��
b
v  ��
e
��
��
c
f
��
��
Misal diketahui vektor
dan vektor
, maka



a
d �
a  d�
��
r r ��
u  v  ��
b  ��
e �
b  e�
��
��
�c  f �
c
f
��
��
�
�
Perkalian Skalar dengan Vektor



r c
v d

Jika k dan m adalah skalar (bilangan) dan
dan
, maka
r ka
r mc
ku  kb
mv  md
dan
Dot Product
r a
r c
u b
v d
Jika diketahui vektor
dan vektor
, maka dot product

 





r a
u b

 



u gv = ab + cd

201







Vektor yang segaris/kolinear
Diketahui titik A (x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), dan C(x3,y3,z3) segaris, maka
berlaku :
uur
uur
uur
uur
uur
uur
AB  n AC atau BA  n BC atau CA  n CB
Vektor yang saling tegak lurus
r
r
Jika vektor u tegak lurus dengan vektor v , maka dot product

r r
u gv  0

Contoh :

r
r
Diketahui vektor u = (2,3,k) dan vektor v = (-1,2,2), maka nilai k yang
memenuhi adalah…
Jawab :
r r
syarat 2 vektor saling tegak lurus u gv  0
� 2  6  2k  0
� 2k   4 � k   2
E.
SUDUT PADA VEKTOR
Basic concept : sudut pada vektor
a gb
cos  
ab

2



2

a �b 2  a  b �2 a b cos 

 a  b  a  b  a  b
b  a  b   a b cos   b
2





F.


2

2

Jika diketahui titik A(x,y,z), B(d,e,f) dan C(k,l,m) maka mencari sudut

uur
uur
BA
dan
BC
ABC adalah : (karena B ditengah maka cari
)

PANJANG PROYEKSI DAN PROYEKSI VEKTOR
Metode supertrik :
Panjang proyeksi vektor/proyeksi skalar = hasilnya bilangan
panjang proyeksi vektor
a gb
c
b

a pada b adalah c

202

panjang proyeksi vektor
a gb
d
a


b pada a adalah d

Proyeksi vektor atau orthogonal vektor
vektor
a gb
c  2 �b
b

a pada b adalah c : hasilnya

PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN
1.

UN 2010
Diketahui segitiga PQR dengan P (1,5,1), Q (3,4,1), dan R (2,2,1). Besar sin
PQR adalah…
1
A. 1
D. 2
1
3
B. 2
E. 0
1
2
C. 2
Pembahasan :
Metode supertrik :
QP dan QR .
Yang ditengah adalah Q maka cari
QP dan QR
QP  P  Q   2,1,0 
QR  R  Q   1, 2,0 
QP gQR 2 2  0
cos � QP,QR 

5 5
QP QR
0
 0
5
Maka besar � QP,QR  90 0













 sin � QP,QR  sin 900  1

203

2.

Jawaban:A
UN 2010
Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A (2, - 1, - 1), B( - 1, 4, - 2), C (5,
AB pada AC adalah…
0, - 3). Proyeksi vektor
r
r
r
1
3i  j  2k
A. 4
3 r r r
3i  j  2k
B. 14
1 r r r
 3i  j  2k
7
C.
3 r r r

3i  j  2k
14
D.
3 r r r
 3i  j  2k
7
E.
Pembahasan :
AB pada AC :
Proyeksi vektor
AB  B  A   3,5, 1 
AC  C  A   3,1, 2 
AB gAC
9  5  2
AC 
AC
2
2
AC
14
2
1

AC   AC
14
7
Jawaban:C
UN 2011
Diketahui titik A (5,1,3), B (2, - 1, - 1), dan C (4,2, - 4). Besar sudut ABC
adalah…


A.
D. 6

B. 2
E. 0

C. 3
Pembahasan :
Metode supertrik :























3.



204

BA dan BC
Yang ditengah adalah B maka cari
.
BA  A  B   3,2,4 
BC  C  B   2,3, 3 
BA gBC 6  6  12
cos � BA,BC 

29 22
BA BC
0

0
29 22

Maka besar � BA,BC  90 0 atau
2







4.

UN 2011



r r r r
r r r r
a

4i

2j

2k
dan
vektor
b
2i  6j  4k .
vektor

Diketahui
orthogonal vektor a pada vektor b adalah…
r r r
A. i  j  k
r r r
B. i  3j  2k
r r r
C. i  4j  4k
r r r
D. 2i  j  k
r r r
E. 6i  8j  6k

Jawaban:B
Proyeksi

Pembahasan :

a gb
�b
2
r
r
b
a pada b
Proyeksi vektor
=
r r r
8  12  8
28 r r r r r r

� 2i  6j  4k 
2i  6j  4k  i  3j  2k
4  36  16
56



5.







Jawaban:B

UN 2012
�p �
�4 �
�2 �
v
v
� �
� �
� �
a  �2 �; b  �
3 �; c  �
1 �
. Jika a tegak lurus b,
�
�6 �
�3 �
1 �
�
�
� �
� �
Diketahui vektor
maka
hasil dari
A. 171
B. 63

 a  2b  � 3c 

adalah . . .
D. -111
E. -171

205

C. -63
Pembahasan :
r r r r
Karena a  b � a �
b0
�p ��4 �
� �� �
� �2 �
�
�3 � 0
�
�
�
1 ��
�
�6 �
�
�



4p  6  6  0
p3

� 3  8 ��6 �
r r
r �
�� �
a  2b �3c  �2  (6) �
�
3 �
�
�
��9 �

1

12
�
�� �

5
6
� �� �
� �� �
� 8 �
�
3 �
�
�
�
�
13 ��9 �
�
�

 

 30  24  117
 171
6.

Jawaban:E
UN 2012
�2 �
�3 �
a�
3 �dan b  �
2 �
�3 �
�4 �
�
�
�
�. Sudut antara vektor a dan b
Diketahui vektor
adalah…
A. 1350
D. 600
0
B. 120
E. 450
0
C. 90
Pembahasan :
r r
r r
a gb 6  6  12
cos � a,b  r r 
22 29
ab
0

0
22r r29
maka besar � a,b  90 0

 

 

Jawaban:C
7.

UN 2012

206

a  5i  6j  k dan b  i  2j  2k
Diketahui vektor
. Proyeksi
a pada b
vektor
adalah…
A. i + 2j + 2k
B. i + 2j – 2k
C. i – 2j + 2k
D. – i + 2j + 2k
E. 2i + 2j – k
Pembahasan :
a gb
�b
2
r
r
b
a pada b
Proyeksi vektor
=
5 12  2
9

�b 
�b
2
9
1 4  4



8.



orthogonal

 i  2j  2k
Jawaban:D

UN 2012

r r r r r r r r
r r r r
a

i

2j

xk
,
b

3i

2j

k
,
dan
c
 2i  j  2k
Diketahui vektor
r
r
r r r r
a tegak lurus c, maka a  b �a  c
adalah . . .
A. -4
D. 2
B. -2
E. 4
C. 0
Pembahasan :







207

. Jika

r r r r
Karena a  c � a �
c0
2
�1 ���
� ���
� �2 �
�
1
�� 0
�
�
x ���
2
�
��
� 2  2  2x  0
�
x 2



�1  3 ��1  2 �
r r r r �
��
�
a  b �a  c  �2  2 �
�
�2  1 �
�
�
2  1 �
2  2 �
�
��
�
4

1
� �� �
� �� �
 �0 �
�
�1 �
�
�
1 ��
4 �
�
�
�





 4  0  4  0
Jawaban:C
9.

UN 2012
Diketahui titik – titik A (1,0,– 2), B (2, 1, - 1), dan C (2,0, - 3). Sudut antara
AB dan AC adalah…
A. 300
D. 900
0
B. 45
E. 1200
0
C. 60
Pembahasan :
AB  B  A   1,0,1 
AC  C  A   1,0, 1 
AB gAC 1  0  1
cos � AB,AC 

2 2
AB AC
0
 0
2
Maka � AB,AC  90 0









Jawaban:D
10. UN 2012

r r r r
r r r r
a

4i

j

3k
pada
b
 2i  j  3k adalah . . .
Proyeksi orthogonal vektor
r
r
r
13
2i  j  3k
A. 14





208

B.
C.
D.

15 r r r
2i  j  3k
14
8 r r r
2i  j  3k
7
9 r r r
2i  j  3k
7
r r r
4i  2j  6k













E.
Pembahasan :
r r
r r a�
b
Proyeksi a ke b  2 b
b


8 19



4 19

r r



2

18 r r r

2i  j  3k
14
9 r r r
 2i  j  3k
7





r

 2i  j  3k 




Jawaban:D

11. UN 2012
Diketahui vektor
maka hasil dari
A. – 20
B. – 12
C. – 10

a  i  xj  3k , b  2i  j k



2a g b  c



dan

adalah…
D. – 8
E. – 1

Pembahasan :
a  b maka a gb  0

209

c  i  3j  2k

. Jika

ab

,

a gb  0
�1 ��2 �
�x ��
g 1 � 0
�3 ��1 �
� �� �
� 2x 3  0
� x  1
2
2  1 � ��
2 �1 �
���
2a g b  c  ���
2 g 1  3 � ��
2 g�2 �
���
��
6 1  2 �
6 �
3 �
���
� ��
�
�
 2  4  18   20





Jawaban:A
12. Diketahui titik P(6,4,7), Q(2,-4,3), dan R(-1,4,2). Titik A terletak pada garis
AR
PQ sehingga PA : AQ = 3: 1. Maka nilai
=...
46
A.
D. 56
48
B.
E. 58

52
C.
Pembahasan :
PA 3
 � 1  A  P   3 Q  A 
AQ 1
6 � �2 �
�
�� � �
A �
4 � 3 �
4 �
 3A
�
� �3 �
7
�� � �

6 � �12 �
�6 � �
�3 �
� � �� � �
� �
4A  �
12 �
�
4 � �
8 �� A  �
2 �
�9 � �
�
�
�
�
�
7 � �16 �
� ��
�4 �
1 � �3 � �
4 �
�
� �� � � �
AR   R  A   �4 �
�
2 � �6 �
�2 � �4 � �
2 �
� �� � �
�
AR 

 4 

2

 62   2   56
2

Jawaban:D
13. Titik A(3,2,-1), B(1,-2,1), dan C(7,p-1,-5) segaris/ kolinear untuk nilai p
=...
A. 9
D. 12

210

B. 10
C. 11
Pembahasan :
Metode supertrik :
Ingat !

E. 13

AB  n AC
A, B, C segaris maka
(B – A)= n (C – A)
�
�1 � �3 � �
� 7 � �3 �
�
� �� � �
� �� �
��
2 �
 �2 � n �
p  1�
 �2 �
�
�
�1 � �
� 5 � �1 �
�
1 �
� ��
� �
� �� �
�
�
2 � � 4 �
�
1
� � � �
��
4 � n �
p  3 �� n  
2
�2 � � 4 �
� � � �
maka :
4  

1
 p  3 � 8  p  3
2
� p  11
Jawaban:C

a  2 , b  3, a  b  5
a dan b adalah…
14. Diketahui
maka sudut antara
A. 1500
D. 600
0
B. 135
E. 450
0
C. 120
Pembahasan :
2

2

a  b 2  a  b  2 a b cos 
�

 5   2
2

2

  3   2. 2 .3 cos 
2

� 5  2  9  6 2 cos 
6
1
� cos  

2
2
6
2
  1350
Jawaban:B
PAKET SOAL LATIHAN

211

1.

2.

3.

4.

5.

1
3 �
��
�
�1 �
a  ��
2 ,b  �
2 �
, dan c  �
2 �
��
�
�3 �
3
1 �
��
�
�
�
�, maka vektor
Diketahui vektor – vektor
d  2a  b  c  ...

A.

�2 �
�
4 �
�2 �
� �

B.

�2 �
�4 �
�
2 �
�
�

C.

2 �
�
�4 �
�
2 �
�
�

2�
�
�
4�
�
2�
�
�
D.
2 �
�
�4 �
�2 �
E. � �

 1 � �a �
4 �
�
�
u  �2 �
,v  �
4 �, dan w  �8 �
�3 � �
� 3 �
b�
� � �
�
� �. Jika

Diketahui vektor – vektor
2u  3v  w  0 , nilai a dan b berturut – turut adalah…
A. 2 dan – 1
D. – 2 dan 1
B. 2 dan – 3
E. – 2 dan – 1
C. 3 dan – 2
Diketahui titik A (1,2, - 1), B (3,0,2), dan C (5, - 2, a + 1) terletak pada satu
garis. Nilai a = …
A. 6
D. – 4
B. 5
E. – 6
C. 4
Diketahui vektor – vektor sebagai berikut :
a  6xi  2xj  8k ; b   4i  8j  10k ; c   2i  3j  5k . Jika vektor a
a  c  ...
tegak lurus vektor b , maka vektor
A. – 58i – 20j – 3k
D. – 62i – 23j – 3k
B. – 58i – 23j – 3k
E. – 62i – 23j – 3k
C. – 62i – 20j – 3k
Diketahui vektor
A. 169
B.
C.

p  q , p  12, dan q  5

, maka
D. 13
E. 13

105
17

212

p  q  ...

6.

Diketahui titik A (1, – 1, 2), B (4,5,2), dan C(1,0,4). Titik D terletak pada AB
uur
CD
sehingga AD : DB = 2 : 1. Maka
=…
A. 61
D. 17
B.
C.

7.

17
61

E. 3

4 �
� 2 �
�
p  � m �pada q  �4 �
�
�2 �
m 2 �
�
�
� �
Diketahui proyeksi skalar orthogonal vektor
7
adalah 3 . Nilai m yang memenuhi adalah…

A. 3
13
B. 6
C.
8.

9.

D. – 2
E. – 3

2

r
uur
Diketahui titik A (2, - 1, 3), B (5, 0, - 2), dan C (1,1,1). AB mewakili u dan
uur
r
r
r
AC mewakili v . Proyeksi vektor orthogonal u pada v adalah…
A. i + 2j + 2k
D. – i – 2j – 2k
B. i + 2j – 2k
E. – i – 2j + 2k
C. – i + 2j – 2k

Diketahui
A. 0
1
B. 2
C. 1

10. Diketahui

a  b  14

dan

a  b  i  j  4k . Hasil dari a gb  ...
D. 2
E. 4

a  3 , b  1 ,dan a  b  1

. Maka nilai
D. 6

A. 3
B.

8

C.

7

E.





ab

=…

3

a  2 , b  3, dan b �a  b  12
11. Diketahui
. Besar sudut antara kedua
vektor tersebut adalah…
A. 1500
D. 600
0
B. 120
E. 300

213

C.

900

12. Diketahui

antara vektor

A. 6
B.
C.











a  6 , a  b g a  b  0 , dan a �a  b  3

a dan b

. Besar sudut

adalah…


D. 2
2
E. 3


4

3

1
��
�2 �
a  ��
x , b  �1 �
��
�
2
1 �
��
�
�, dan panjang proyeksi a pada b
13. Diketahui vektor
2
a dan b adalah 
adalah 6 . Sudut antara
, maka cos  =…
2
2

A.

3 6

D.

B.

1
3

6
3
E.

C.

2
3

14. Diketahui vektor
proyeksi vektor
A. 2 2
B.



6

a   2i  6j  k , b  i  3j , dan c  3i  5j  4k



2a  b pada c

. Panjang

adalah…
D. 6 2
E. 7 2

4 2

C. 5 2
15. Diketahui titik A (5,1,3), B (2, - 1, - 1), dan C (4,2, - 4). Besar sudut ABC
adalah…


A.
D. 6
B.


2

E. 0

214

C.


3

215