Bidang Matematika dan Informatika

  

Bidang Matematika dan Informatika Bidang Matematika dan Informatika

  

Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan Bidang MIPA BKS PTN Wilayah Barat

Tahun 2013 Bandar Lampung, 10 – 12 Mei 2013

ISBN 978-602-98559-2-0

  Dewan Penyunting Warsito Sutopo Hadi Tati Suhartati Simon Sembiring Mulyono Muslim Ansori Mustofa Usman Kurnia Muludi Endang Linirin W Sumardi Buhani Suripto Dwi Yuwono Jani Master Sugeng Sutiarso Abdurrahman Nismah Nukmal Penyunting Pelaksana Heri Satria Kamisah D Pandiangan Elly Lestari Febriandi Hasibuan Rifqi Almusawi R Diterbitkan oleh FMIPA Universitas lampung Bandar Lampung Penyunting: Warsito dkk.

  ISBN 978-602-98559-2-0 Cetakan Pertama, Tahun 2013 ©copyright FMIPA Unila

KATA PENGANTAR

  Alhamdulilla ahirobbil ‘aalamiin, segala puji bagi Allah SWT akhirnya Prosiding

ini dapat terselesaikan. Prosiding ini merupakan kumpulan artikel yang telah

dipresentasikan pada kegiatan Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Wilayah

Barat Bidang MIPA tahun 2013 yang diselenggarakan di FMIPA Universitas

Lampung pada tanggal 10

• – 12 Mei 2013.

  Prosiding ini terdiri dari 425 artikel yang terbagi ke dalam empat bidang, yaitu:

  Bidang Biologi, Bidang Kimia, Bidang Fisika, dan Bidang Matematika dan

  Informatika. Tiap bidang ilmu terdiri dari artikel di bidang sains dan

  kependidikan.

  Pada kesempatan ini, secara umum atas nama Panitia dan secara khusus atas nama

  Dewan Penyunting mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah

  

membantu terselesaikannya prosiding ini dan mohon maaf atas segala kesalahan.

  Bandar Lampung, Juni 2013 Dewan Penyunting

i

  

DAFTAR ISI

Halaman i

  KATA PENGANTAR ii

  DAFTAR ISI PEMBENTUKAN RING FAKTOR PADA RING DERET PANGKAT 1-5

  TERITLAK MIRING Ahmad Faisol PENGARUH PENDEKATAN RME DAN KEMANDIRIAN BELAJAR

  7-14 TERHADAP KEMAMAMPUAN MATEMATIS SISWA Ahmad Fauzan dan Yerizon ESTIMASI TINGKAT KEMATIAN BAYI DAN HARAPAN HIDUP BAYI PROVINSI LAMPUNG TAHUN 2005 DENGAN

  15-20 MENGGUNAKAN METODE TRUSSEL Ahmad Iqbal Baqi PENGOLAHAN CITRA DIJITAL PENYAKIT TANAMAN PADI

  21-24 MENGGUNAKAN METODE MAKSIMUM ENTROPY Aidil fitriansyah TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM

  25-28 LIKELIHOOD Arisman Adnan, Eka Meri Kristin, Sigit Sugiarto PENERAPAN ALGORITMA GENETIKA PADA PERINGKASAN TEKS

  29-34 DOKUMEN BAHASA INDONESIA Aristoteles GRAF LOBSTER BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT

  35-38 Asmiati PENGGUNAAN METODE ARIMA UNTUK MERAMALKAN JUMLAH WISATAWAN MANCANEGARA YANG DATANG KE

  39-46 SUMATERA UTARA MELALUI FASILITAS BANDARA

  INTERNASIONAL POLONIA MEDAN Atus Amadi Putra, Arija Ardial METODE FINITEDIFFERENCE

  INTERVAL UNTUK 47-54

  MENYELESAIKAN PERSAMAAN PANAS Aziskhan, Mardhika W.A, Syamsudhuha

  INVESTIGASI NILAI BARISAN INTEGRAL DARI PELL DAN PELL- 55-60

  LUCAS POLINOMIAL Baki Swita MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA SISWA KELAS XSMA ADIGUNA BANDAR

  61-68 LAMPUNG MELALUI MODELPEMBELAJARAN INVESTIGASI KELOMPOK Buang Saryantono FILTERKALMAN DETERMINISTIK PADA INTERVAL SEMI- 69-72

  INFINITE Budi Rudianto, Narwen TEOREMA JACOBSON DENSITY

  73-82 Budi Santoso, Fitriani, Ahmad Faisol SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN NONLINIERDENGAN

  83-88 MENGGUNAKAN METODE HOMOTOPY Bukti Ginting

  ISOMETRI TERHADAP GEOMETRI INSIDENSI TERURUT 89-94

  Damay Lisdiana, Muslim Ansori, Amanto PERBANDINGAN PERHITUNGAN JUMLAH PENDUDUK TAHUNAN DENGAN INTERPOLASI SPLINE DAN SIMULASI

  95-100 ASUMSI GOMPERTZ Des Alwine Zayanti KETERHUBUNGAN SUATU GRAF DIPANDANG DARITEOREMA

  101-108 WHITNEY DAN TEOREMA MENGER Devi Octaria Siahaan, Wamiliana, dan Fitriani

  IDENTIFIKASI GAYA BELAJAR DAN PENGARUHNYA TERHADAP HASI BELAJAR SISWA PADA MATERI KUBUS DAN 109-114

  BALOK DI KELAS VIII SMPN 2 KERINCI Dewi Iriani, Mutia Len PENGGUNAAN VEDICS MATHEMATICS DALAM OPERASI

  115-120 PEMANGKATAN BILANGAN Dewi Murni , Vivi Angriani PENGGUNAAN MICROSOFT POWERPOINT UNTUK MENGAKTIFKAN MAHASISWA PADA MATA KULIAH

  121-126 KALKULUS INTEGRAL PROGRAM PAGMIPABI Dewi Rahimah, S.Pd., M.Ed.

  ANALISIS TINGKAT KEPUASAN MAHASISWA TERHADAP PELAYANAN BIMBINGAN TUGAS AKHIR DI JURUSAN 127-130

  MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS SRIWIJAYA Dian Cahyawati S., Sugandi Yahdin, Yulia Puspitasari PEMBENTUKAN HAMILTONIAN CYCLE PADA DOUBLE 131-140 LOOP NETWORKS Dina Fitri Aliana, Wamiliana dan Fitriani APLIKASI HOMOTOPY ANALYSIS METHOD (HAM) PADA PDB

  141-144 SEDERHANA Dorrah Azis PERANCANGAN PROTOTIPE AWAL MODEL PEMBELAJARAN

  145-160 GEOMETRI BERBASIS PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK Dr. Edwin Musdi, M.Pd SIMULASI MODEL POPULASI NYAMUKDENGAN FUNGSI

  161-166 KARAKTERISASI HABITAT Efendi PERANCANGAN SISTEM

  INFORMASI GEOGRAFIS (SIG) BERBASIS WEB UNTUK PENYEDIAAN INFORMASI FASILITAS 167-172

  DAN PERSONALIA DI UNIVERSITAS LAMPUNG Eko Priyanto, Kurnia Muludi dan Anie Rose Irawati

  MODEL PERTUMBUHAN BENEFITASURANSI JIWA BERJANGKA 173-178

  MENGGUNAKAN DERET MATEMATIKA Endang Sri Kresnawati MODEL SPASIAL BAYES DALAM PENDUGAAN AREA KECIL

  179-184 DENGAN PEUBAH RESPON BINER Etis Sunandi, Khairil A Notodiputro, Anik Djuraidah KLUSTERING DATA EKSPRESI GEN DENGAN METODA- METODA BERBASIS DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

  185-192 STUDI KASUS: DATA EKSPRESI GEN KANKER PARU Evi Noviani, Yoga Satria Putra, Kuntjoro Adji Sidarto ANALISA ALGORITMA PEMAHAMAN KALIMAT PADA ALICE CHATBOT DENGAN MENGGUNAKAN ARTIFICIAL INTELLIGENCE

  193-202 MARKUP LANGUAGE (AIML) Evfi Mahdiyah, Yanti Andriyani METODE ORDINARY KRIGING BLOK PADA PENAKSIRAN KETEBALAN CADANGAN BATUBARA (STUDI KASUS : DATA

  203-208 KETEBALAN BATUBARA PADA LAPANGAN EKSPLORASI X) Fachri Faisal PROSES DATA MINING DALAM MENINGKATKAN SISTEM PEMBELAJARAN PADA PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH

  209-216 PERTAMA Fatayat , Joko Risanto SISTEM PENCARIAN DATA TEKS DENGAN MENGGUNAKAN METODE

  217-224 KLASIFIKASI ROCCHIO(STUDI KASUS:DOKUMEN TEKS SKRIPSI) Favorisen Rosyking Lumbanraja PENGARUH PENDEKATAN PENDIDIKAN REALISTIK MATEMATIKA DALAMMENINGKATKAN KEMAMPUAN

  225-238 KOMUNIKASI MATEMATISSISWA SEKOLAH DASAR Fitriana Rahmawati SYARAT PERLU SUATU MODUL MERUPAKAN MODUL DISTRIBUTIF LEMAH DAN RING ENDOMORFISMA DARI

  239-246 MODUL DISTRIBUTIF LEMAH Fitriani PENAKSIR MAKSIMUM LIKELIHOOD DENGAN METODE

  247-252

  ITERASI NEWTON - RAPHSON Haposan Sirait dan Rustam Efendi ASURANSI PENSIUN NORMAL PADA STATUS HIDUP

  253-256 GABUNGAN Hasriati, Aziskhan, Miftahul Jannah EFEKTIVITAS PENERAPAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL DALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN

  257-264 MASALAH MATEMATIKA SISWA KELAS VIII SMPN 9 PADANG Hastuti Febrianti, Armiati, Mukhni MODEL REGRESI LOGISTIK KELAS LATEN PADAPERFORMA

  265-274 STUDI PENERIMA BEASISWA Henry Kurniawan PENDUGA DATA HILANG PADA RANCANGAN BUJUR 275-282

  SANGKAR LATIN DASAR Idhia Sriliana KETAKBIASAN DALAM MODEL CFA (CONFIRMATORY FACTOR ANALYSIS) PADA METODE ESTIMASI DWLS (DIAGONALLY

  293-290 WEIGHTED LEAST SQUARES ) UNTUK DATA ORDINAL Indah Permata Sari, Eri Setiawan, Nusyirwan PENGHITUNGAN SUBSET

  VISIBILITAS PADA SUATU 291-296

  ORTHOGONAL POLYHEDRON Jefri Marzal MOMEN AKUMULASI DARI SUATU ANUITAS AWAL DENGAN

  297-300 TINGKAT BUNGA EFEKTIF Johannes Kho dan Ari Fatmawati

  IDENTIFIKASI DAN KUMULASI PILIHAN JAWABAN RESPONDEN PADA KERTAS LEMBAR JAWABAN 301-306

  MENGGUNAKAN METODA TEMPLATE MATCHING Joko Risanto dan Zaiful Bahri APLIKASI METODE RECURSIVE LEAST SQUARE (RLS)NDALAM MEMODELKAN ESTIMASI PEMAKAIAN

  307-312 LISTRIK DENGAN BANTUAN PAKET PROGRAM R (STUDI KASUS : PELANGGAN PLN KOTA BENGKULU) Jose Rizal, Pepi Novianti HUBUNGAN KEKONGRUENAN DALAM GEOMETRI TERHINGGA

  313-318 Lina Ardila Sari, Suharsono, Muslim Ansori MODEL MATEMATIKA ALIRAN FLUIDA LAPISAN BATAS

  319-322 TERHADAP TERHADAP PELAT MENDATAR Leli Deswita, Syamsudhuha & Endang Lili

  IMPLEMENTASI PRAKTEK

  INOVASI PEMBELAJARAN MATEMATIKA (PIPM) DALAM MPMBS SMP, SMA DAN SMK DI 323-332

  MAHASISWA ANGKATAN 1 PROGRAM S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA JPMIPA FKIP UNIB TAHUN 2012 Drs. M. Fachruddin. S M.Pd PENGELOMPOKAN BANK DI INDONESIA BERDASARKAN

  VARIABEL KEUANGAN DENGAN MENGGUNAKAN ANALISIS 333-338

  FAKTOR DAN ANALISIS GEROMBOL BERHIRARKI Maiyastri, Izzati Rahmi, Vina Fakhri Malayudi dan Budi Rudianto KARAKTERISTIK PENDUGAAN EMPERICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA PENDUGAAN AREA

  339-344 KECIL M. Adi Sidauruk, Dian Kurniasari, Widiarti PARADOKS PADA PERSOALAN TRANSPORTASI

  345-348 M. D. H. Gamal, T. P. Nababan dan Endang Lily KAJIAN METODE LINDSTEDT-POINCARE DAN VAN DER POL

  349-352 PADA SOLUSI MASALAH OSILASI NON LINEAR Media Rosha PENGEMBANGAN BAHAN AJAR MATEMATIKA BERBASIS MASALAH UNTUK MEMFASILITASI PENCAPAIAN

  353-360 KEMAMPUAN PENALARAN DAN PEMAHAMAN KONSEP SISWA Prof. Dr. Mukhtar, M.Pd. KELEBIHAN DAN KEKURANGAN HOMOTOPY ANALYSIS METHOD (HAM) DAN HOMOTOPY PERTURBATION METHOD 361-366

  (HPM) Muslim Ansori dan Suharsono S ANALISIS PROFIL POPULASI PENDUDUK PULAU JAWA

  367-374 BERDASARKAN KELOMPOK UMUR Mutiara Hati Agustia, Mustofa Usman, dan Widiarti PENGGUNAAN MACROMEDIA FLASH 8 PADA PEMBELAJARAN

  375-382 GEOMETRI DIMENSI TIGA Nilawasti Z.A ,Suherman, Noris Putra Utama PEMODELAN TINGKAT KEPUASAN MAHASISWA TERHADAP PELAYANAN PROSES PEMBELAJARAN DI JURUSAN

  383-386 MATEMATIKA FAKULTAS MIPA UNIVERSIAS SRIWIJAYA Ning Eliyati, Dian Cahyawati S.

  MODEL REGRESI DUMMY DALAM MEMPREDIKSI PERFORMANSI AKADEMIK MAHASISWA JURUSAN 387-392

  MATEMATIKA FMIPA UNP Nonong Amalita, Yenni Kurniawati REPRESENTASI TURNAMEN ROUND-ROBIN DENGAN

  393-402 MENGGUNAKAN GRAF HAMILTONIAN DAN MATRIKS Novenza Harisman, Wamiliana, dan Fitriani ANALISIS TINGKAT KEPUASAN MAHASISWA TERHADAP KUALITAS PELAYANAN AKADEMIK MENGGUNAKAN

  403-408 ANALISIS FAKTOR Novi Rustiana Dewi PENERAPAN ACTIVE LEARNING DENGAN MENGGUNAKAN “BLOK ALJABAR” UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR

  409-416 MAHASISWA PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIB PADA MATERI PERSAMAAN KUADRAT Nurul Astuty Yensy.B, S.Si, M.Si PENERAPAN METODE TWOSTEP CLUSTER ANALYSIS (TCA) PADA PENGELOMPOKAN MAHASISWA MATEMATIKA FMIPA UNSRI

  417-422 BERDASARKAN CARA BELAJAR Oki Dwipurwani OPERATOR 3-JOIN PADA DUA GRAF YANG MASING-MASING

  423-428 ADALAH 1-EDGE FAULT- TOLERANT HAMILTONIAN GRAF Perti susanti, Wamiliana, dan Fitriani KAJIAN PERENCANAAN SISTEM ZONE TARIF DALAM

  429-434 OPTIMASI TRANSPORTASI PUBLIK Drs. Putra BJ Bangun, M.Si, Sisca Octarina, M.Sc KETAKBIASAN DALAM MODEL ANALISIS FAKTOR KONFIRMATORI (CFA) PADA METODE PENDUGAAN KUADRAT

  435-440 TERKECIL TERBOBOTI (WEIGHTED LEAST SQUARE) UNTUK DATA ORDINAL Rachmah Cahaya Rizky, Eri Setiawan, Nusyirwan ANALISIS HASIL BELAJAR MAHASISWA PROGRAM STUDI 441-448

  TADRIS MATEMATIKA ANGKATAN 2010 BERDASARKAN PENDEKATAN MATCHED CASE-CONTROL Rini Warti, Ali Murtadlo SIFAT-SIFAT SEMIGRUP BEBAS DAN MONOID BEBAS DALAM

  449-454 BENTUK HIMPUNAN WORD Rolan Pane, Sri Gemawati, Novia Yumitha sarie, Firdaus PEMBELAJARAN INKUIRI PADA MATERI TRIGONOMETRI UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR DAN AKTIFITAS

  455-460 SISWA KELAS X2 SMAN 1 KOTA BENGKULU Rusdi, Della Maulidiya, Edi Susanto PENGENALAN POLA TANDA TANGAN DENGAN METODE

  461-464 MOMENNT INVARIANT DAN EUCLIDEAN DISTANCE Roni Salambue MENENTUKAN PENAKSIR RASIO OPTIMUM PADA SAMPLING

  465-468 RANDOM SEDERHANA BERPERINGKAT Rustam Efendi, Haposan Sirait, dan Fenny Susianti

  IDENTIFIKASI KARAKTERISTIK HAZARD RATE DISTRIBUSI 469-472

  GAMMA DENGAN MENGGUNAKAN TEOREMA GLASER Selvi Nila Puspita, Warsono, dan Widiarti PENGGUNAAN DEKOMPOSISI QR DALAM ESTIMABILITAS

  473-480 PARAMETER-PARAMETER MODEL LINIER Sigit Nugroho KETAKBIASAN DALAM MODEL ANALISIS FAKTOR KONFIRMATORI PADA METODE PENDUGAAN KUADRAT

  481-488 TERKECIL TAK TERBOBOTI (UNWEIGHTED LEAST SQUARE) UNTUK DATA ORDINAL Sinda Maryamma, Eri Setiawan, dan Nusyirwan PENERAPAN PENDEKATAN PMRI UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN KONSEP GEOMETRI MAHASISWA PGSD

  489-504 UNIVERSITAS JAMBI Dra. Sofnidar, M.Si., Drs. Husni Sabil, M.Pd., Sri Winarni, S.Pd., M.Pd.

  STUDI TENTANG PENCAPAIAN HASIL BELAJAR MAHASISWA 505-510

  JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNP MENURUT JALUR MASUK Suherman, S.Pd. M.Si MENETUKAN LINTASAN TERPENDEK FUZZY DENGAN

  511-516 METODA RANGKING FUZZY Sukamto dan Harison ANALISA KOMPUTASI METODE DUA LANGKAH BEBAS TURUNAN UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN

  517-522 NONLINEAR Supriadi Putra, M.Si KORELASI DISIPLIN DAN PRESTASI MAHASISWA DENGAN MENGGUNAKAN METODE STRUCTURAL EQUATION MODELING

  523-530 (SEM) Syahrul Akbar MEMANFAATKAN TEORI UNTUK PENINGKATKAN 531-536

  KEBERMAKNAAN KITA TERHADAP PENGEMBANGAN BERPIKIR SISWA Syaiful OPTIMISASI TERPADU PERSOALAN

  INVENTORI DAN PERSOALAN TRANSFORTASI DENGAN METODE

  ITIO 537-544

  (INVENTORY TRANSFORTATION INTEGRATED OPTIMIZATION) T.P.Nababan, Sukamto , Karinda Puspita N KETAKBIASAN DALAM MODEL ANALISIS FAKTOR KONFIRMATORI PADA METODE PENDUGAAN MAXIMUM

  545-550 LIKELIHOOD UNTUK DATA ORDINAL Wiwik Sudestri, Eri Setiawan dan Nusyirwan ANALISIS PEMIKIRAN MATEMATIKA DAN NILAI KARAKTER

  551-556 PADA PERMAINAN RAKYAT (BESIMBANG) DAERAH RIAU Yenita Roza, Syarifah Nur Siregar, Titi Solfitri PENINGKATAN KEMANDIRIAN BELAJAR MAHASISWA

  557-564 MELALUI PENGGUNAAN PENDEKATAN MODIFIKASI APOS Yerizon PERBANDINGAN PROGRAM DINAMIS DAN ALGORITMA GREEDY DALAM MENYELESAIKAN MASALAH CHINESE

  565-570 POSTMAN PROBLEM Yudhi P M, Wamiliana dan Fitriani.

  SISTEM PENGENALAN NOMOR PLAT KENDARAAN BERBASIS FOTO DIJITAL DENGAN METODE MOMENT INVARIANT DAN 571-582

  JARINGAN SYARAF TIRUAN MENGGUNAKAN ALGORITMA BACKPROPAGATION Zaiful Bahri, Sukamto dan Joko Risanto EFEKTIVITAS PENERAPAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL DALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN PEMECAHAN

  583-590 MASALAH MATEMATIKA SISWA KELAS VIII SMPN 9 PADANG

  , Mukhni Armiati, Hastuti Febrianti, KEEKSISTENSIAN DAN KETUNGGALAN FUNGSI SINUS DAN

  591-594 COSINUS Yundari dan Helmi ANALISIS KESULITAN SISWA BERDASARKAN KEMAMPUAN PEMAHAMAN DALAM MENYELESAIKAN SOAL CERITA PADA

  595-606 MATERI KUBUS DAN BALOK DI KELAS VIII SMP NEGERI 30 MUARO JAMBI Nizlel Huda, Angel Gustina Kencana KEUJUDAN DAN KETUNGGALAN SOLUSI DARI ITERASI

  607-610 PICARD Agus Sutrisno Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Barat 2013

  

Identifikasi Karakteristik Hazard Rate Distribusi Gamma Dengan

Menggunakan Teorema Glaser

Selvi Nila Puspita, Warsono, dan Widiarti

  

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung

Jl. Prof. Dr. Sumantri Brojonegoro No. 10 Bandar Lampung 35145

Email : cime_raykad@yahoo.com

  

Abstrak. Waktu kelangsungan hidup adalah data yang mengukur waktu untuk kejadian tertentu. Distribusi dari waktu

  kelangsungan hidup biasanya digambarkan atau digolongkan oleh tiga fungsi yaitu : fungsi kelangsungan hidup(Survival

  

Function ), fungsi kepekatan peluang (fkp) dan fungsi Hazard. Laju kegagalan (hazard rate) mempunyai bentuk-bentuk kurva

  yang telah diketahui, yaitu Increasing (I), Decreasing (D), Bathtub ( ∪),Upside-down Bathtub (∩) dan konstan. Dengan demikian tujuan dari penelitian ini adalah mengkaji karakteristik laju kegagalan (hazard rate) pada distribusi Gamma dengan menggunakan

  Teorema Glaser. Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa pola atau bentuk laju hazard dapat diduga oleh ߟ′(ݐ) = 0 dan tanda dari koefisien-koefisiennya dan karakteristik hazard rate distribusi gamma adalah konstan, Increasing, dan Decreasing.

  Kata kunci: Distribusi Gamma, Survival Function, Hazard Rate. berdistribusi Gamma dengan parameter

  ߙ dan ߚ jika

  1. PENDAHULUAN

  dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk : Analisis data kelangsungan hidup merupakan salah

  షೣ ଵ

  satu teknik statistika yang berguna untuk melakukan ఈିଵ

  ഁ

  ݂(ݔ) = ݔ Ǥ ݁ Ǣ ߙǡ ߚǡ ݔ ൐ Ͳ

  ఉഀ.Γሺఈሻ

  pengujian tentang kelangsungan hidup. Analisis Fungsi Gamma yang dinotasikan

  Γ(n) untuk setiap n terhadap data waktu hidup yang salah satunya adalah > 0 , didefinisikan : laju kegagalan (hazard rate) diperlukan untuk

  ∞ ௡ିଵ ି௬

  Ǥ ݁ ݀ݕ ǡ ݑ݊ݐݑ݇ ݊ ൐ Ͳ mengetahui apakah distribusi dari data dalam fungsi Γ(݊) = ∫ ݕ

  ଴

  kelangsungan hidup yang diasumsikan telah menggambarkan keadaan yang sesungguhnya. Laju Menurut Elisa T. Lee [3] waktu kelangsungan hidup kegagalan adalah perbandingan antara fungsi adalah data yang mengukur waktu untuk kejadian kepekatan peluang (fkp) dengan fungsi kelangsungan tertentu. Distribusi dari waktu kelangsungan hidup hidup (S(t)). Laju kegagalan mempunyai bentuk- biasanya digambarkan atau digolongkan oleh tiga bentuk kurva yang telah diketahui, yaitu Increasing fungsi:

  1. Fungsi Kelangsungan Hidup (I), Decreasing (D), Bathtub (

  ∪),Upside-down

  Bathtub (

  2. Fungsi Kepekatan Peluang (fkp) ∩) dan konstan. Tujuan dari penelitian ini

  3. Fungsi Hazard adalah mengkaji karakteristik laju kegagalan (Hazard

  

Rate) distribusi Gamma Fungsi kelangsungan hidup (Survival Function)

  dinotasikan dengan ܵ(ݐ), didefinisikan sebagai peluang suatu individu yang bertahan lebih dari t:

  ∞

  ܵ(ݐ) ൌ ܲሺܶ ൐ ݐሻ = ∫ ݂(ݐ)݀ݐ

  2. Distribusi Gamma dan Fungsi ௧

  Dari definisi fungsi distribusi kumulatif ܨ(ݐ) dari T,

  Hazard

  maka Menurut Hogg and Tanis [2] Distribusi Gamma

  ܵ(ݐ) ൌ ͳ െ ܨሺݐሻ merupakan salah satu dari keluarga distribusi

  eksponensial dengan dua parameter

  ߙ dan ߚ. Dimana Seperti beberapa peubah acak kontinu lainnya, waktu

  ߙ merupakan parameter bentuk (shape) dan ߚ kelangsungan hidup T mempunyai fungsi kepekatan parameter skala (scale). Peubah acak X dikatakan peluang (fkp) yang didefinisikan sebagai limit dari

  1 FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 Mei 2013

  ݂ሺݐሻ ൌ െ ቀ

  ቃ Ǥ ݂ሺݐሻ Menurut Glaser (1980) nilai

  ݂

  ′

  ( ݐ) ൌ ቂ ⁽

  ఈିଵ) ௧

  −

  ଵ ఉ

  ߟ(ݐ) dapat digunakan untuk melihat karakteristik fungsi hazard suatu distribusi. Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah mencari nilai dari

  ′

  ߟ(ݐ). ߟ(ݐ) = −

  ݂

  ′

  ሺݐሻ ݂ሺݐሻ

  =

  ቀഀషభ ೟ ି భ ഁቁ

  ௙ሺ௧ሻ

  ݒ ൅ ݒ′ݑ Maka diperoleh :

  ( ݐ) ൌ ݑ

  ఈିଵ ௧

  ݀ ݀ݐ ߟሺݐሻ

  ఈିଵ

  ݐ

  ଵ Γ(ఈ)ఉഀ

  Langkah awal yang harus dilakukan untuk melakukan analisis laju hazard adalah mencari turunan pertama dari fungsi kepekatan peluang distribusi Gamma. Fungsi kepekatan peluang distribusi Gamma adalah sebagai berikut: ݂(ݐ) =

  4. Analisis Karakteristik Hazard Rate Distribusi Gamma

  Selain itu, untuk mengidentifikasi karakteristik fungsi hazard digunakan teknik grafis yang dibuat dengan menggunakan bahasa R.

  ( ݐ) =

  ′

  ′

  ߟ

  ݁

  ି೟ഁ

  ต

  ௩

  Rumus turunan untuk perkalian fungsi adalah: ݂

3. Teorema Glaser untuk Identifikasi Karakteristik Hazard Rate Distribusi Gamma

  ଵ ఉ

  ௨

  Untuk mengidentifikasikan karakteristik fungsi

  (I)

  ( ݐ) > 0 untuk semua t>0, maka Increasing

  ′

  1. Jika ߟ

  nilai parameter , Glaser [1] membuat teorema sebagai berikut :

  hazard yang dipengaruhi oleh kombinasi dari nilai-

  ௙ሺ௧ሻ ଵିிሺ௧ሻ

  ′

  ℎ(ݐ) =

  ܨ(ݐ) dan fungsi kepekatan peluang ݂(ݐ):

  Fungsi hazard didefinisikan sebagai peluang gagal selama interval waktu yang sangat kecil, diasumsikan bahwa individu memiliki hidup yang lebih lama untuk awal dari interval, atau sebagai limit dari peluang individu gagal dalam interval yang sangat kecil, t ke t + ∆t per satuan waktu. Fungsi hazard dapat juga didefinisikan dalam bentuk dari fungsi distribusi kumulatif

  ο୲՜଴ ௉ሺ௦௨௔௧௨ ௜௡ௗ௜௩௜ௗ௨ ௠௔௧௜ ௗ௔௟௔௠ ௜௡௧௘௥௩௔௟ ሺ௧ǡ௧ାο௧ሻ ο௧

  peluang suatu individu yang gagal dalam interval pendek t ke t + ∆t per satuan lebar ∆t, atau peluang kegagalan dalam interval kecil per satuan waktu. Hal itu dapat dijelaskan sebagai: ݂(ݐ) = lim

  ሺఈିଵሻ ௧

  Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Barat 2013 FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 Mei 2013

  2. Jika ߟ

  ( ݐ) < 0 untuk semua t>0, maka

  , dan  Jika lim

  ′

  ଴

  ݐ ൐ ݐ

  ( ݐ) > 0 untuk semua

  ′

  ) = 0 , ߟ

  ଴

  ( ݐ

  ) , ߟ

  Decreasing (D)

  ଴

  ݐ ߳ ሺͲǡ ݐ

  ( ݐ) < 0 untuk semua

  ′

  > 0 sehingga ߟ

  ଴

  3. Misal terdapat ݐ

  ᇣᇧᇧᇤᇧᇧᇥ

• ଵ ఉ

  ௙′(௧) ௙(௧)

  ( ߟሺݐሻ)

  ௧՜଴

  ቁ ൌ െ

  2

  Menurut McDonald dan Richard [4] pola laju hazard dapat diduga oleh ߟ′(ݐ) = 0 dan tanda dari koefisien- koefisiennya. Oleh karena itu langkah selanjutnya adalah mencari turunan pertama dari

  ߟ(ݐ). Turunan pertama dari ߟ(ݐ) pada distribusi Gamma adalah:

  ߟ

  ′

  ( ݐ) =

  ݀ ݀ݐ

  =

  ݂݇݌(ݐ) = 0, maka Increasing (I)  Jika lim

  ௗ ௗ௧

  ቀ– ⁽

  ఈିଵ) ௧

  ቁ =

  ሺఈିଵሻ ௧మ

  Sehingga diperoleh nilai ߟ

  ′

  ( ݐ) adalah

  ሺఈିଵሻ ௧మ

  −

  ௧՜଴

  ݂(ݐ) ߟ(ݐ) = −

  ݂݇݌(ݐ) → ∞, maka Bathtub (∪)

  ( ݐ) =

  ′

  Dimana : ݂

  ݂݇݌(ݐ) → ∞, maka Decreasing (D)

  ௧՜଴

   Jika ݈‹

  ݂݇݌(ݐ) = 0, maka Upside- down Bathtub ( ∩)

  ௧՜଴

  dan  Jika lim

  ଴

  ݐ ൐ ݐ

  ( ݐ) < 0 untuk semua

  ′

  ߟ

  ݐ ߳ ሺͲǡ ݐ ଴ ),

  ( ݐ) > 0 untuk semua

  ′

  > 0 sehingga ߟ

  ଴

  4. Misalkan terdapat ݐ

• ଵ ఉ

  ௗ ௗ௧ Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Barat 2013

  ᇱ

  Fungsi kelangsungan hidup dari distribusi gamma ( ߙ ൌ ͳ maka ߟ ݐ) = 0

  ᇱ

  dapat ditentukan dengan terlebih dahulu mencari ( ߙ ൌ ʹ maka ߟ ݐ) = 1

  ᇱ

  fungsi distribusi kumulatif. Fungsi distribusi ( ߙ ൌ ͵ maka ߟ ݐ) = 2

  ᇱ

  kumulatif distribusi Gamma adalah: (

  ߙ ൌ Ͷ maka ߟ ݐ) = 3

  ௧ ᇱ ᇱ

  ( ( Karena

  ߟ ݐ) bernilai (+) atau ߟ ݐ) > 0 maka ܨ(ݐ) = ∫ ݂(ݔ)݀ݔ

  ଴ Increasing

  ௧ ଵ ఈିଵ ିೣഁ

  = ݔ ݁ ݀ݔ

  ∫

  ଴ ୻ሺఈሻఉഀ ᇱ ௧

  2. Jika ( ߟ ݐ) < 0 untuk semua ݐ ൐ Ͳ maka

  ܨ(ݐ) ൌ ܫ ሺ ǡ ߙሻ

  ఉ Decreasing

  Dimana

  ( Ͳ ൏ ߙ ൑ ͳ, maka ߟ ݐ) < 0 untuk semua ݐ ൐ Ͳ

  ᇱ ܫ adalah fungsi gamma yang tidak lengkap.

  Setelah mendapatkan fungsi distribusi kumulatif ᇱ (

  ߙ ൌ Ͳǡͳ maka ߟ ݐ) = −0,9 distribusi Gamma, maka langkah selanjutnya adalah

  ᇱ

  ( ߙ ൌ Ͳǡʹ maka ߟ ݐ) = −0,8 mencari fungsi kelangsungan hidup dari distribusi

  ᇱ

  ( ߙ ൌ Ͳǡ͵ maka ߟ ݐ) = −0,7

  Gamma , yang dituliskan sebagai berikut: ᇱ

  ( ߙ ൌ ͲǡͶ maka ߟ ݐ) = −0,6

  ᇱ ᇱ

  ܵ(ݐ) ൌ ͳ െ ܨ(ݐ) ( (

  Karena ߟ ݐ) bernilai (-) atau ߟ ݐ) < 0 maka

  ௧

  ൌ ͳ െ ܫ ሺ ǡ ߙሻ

  Decreasing ఉ

  ᇱ

  > 0 sehingga (

  3. Misalkan terdapat Langkah selanjutnya adalah mencari fungsi hazard ݐ ߟ ݐ) < 0

  ଴ ᇱ ᇱ

  untuk semua ) ( ) ( dari distribusi Gamma.

  ݐ א (Ͳǡ ݐ ǡ ߟ ݐ ൌ Ͳǡ ߟ ݐ) > 0

  ଴ ଴ ௙ሺ௧ሻ

  untuk semua dan ݐ ൐ ݐ

  ଴

  ℎ(ݐ) =

  ௌሺ௧ሻ

  lim Jika

  ݌݂݀ (ݐ) ൌ Ͳǡ ݉ܽ݇ܽ ܫ݊ܿݎ݁ܽݏ݅݊݃

  ௧՜଴ భ ഀషభ௘ష೟Ȁഁ ౳ሺഀሻഁഀ ௧

  ଵ ఈିଵ ି೟ഁ

  = ݌݂݀ (ݐ) = ݐ ݁

  ୻ሺఈሻఉഀ ଵି ூ ሺ೟ഁǡఈሻ ଵ ଵ ௧ഀషభ

  lim = lim ݐ ݁ ݐ ݁

  ఈିଵ ఈିଵ ି೟ഁ ି೟ഁ

  ℎ(ݐ) =

  ௧՜଴ ௧՜଴ ೖ ୻ሺఈሻఉഀ ୻ሺఈሻఉഀ ഀషభ

  ఉഀቆ୻(ఈ) ∑ ௞Ǩ ቇ ି௧ ೖసబ

  ቀ೟ഁቁ ଵ ൗ

  ఈିଵ ఉ

  = [lim

  ݐ] ቂŽ‹ ݁ ቃ

  ௧՜଴ ௧՜଴ ୻ሺఈሻఉഀ ଵ

  = .0 .1 Titik kritis suatu fungsi dapat diketahui dengan cara

  ୻ሺఈሻఉഀ

  menurunkan suatu fungsi dan membuat fungsi ൌ Ͳǡ ݉ܽ݇ܽ ܫ݊ܿݎ݁ܽݏ݅݊݃ tersebut sama dengan nol, sehingga dapat dilihat bentuk dari kurvanya. Berdasarkan persamaan

  Tahap selanjutnya adalah membuat grafik antara

  ሺఈିଵሻ ᇱ

  , maka: fungsi hazard h(t) terhadap waktu t. Grafik fungsi ߟ ሺݐሻ ൌ

  ௧మ ₍ hazard dibuat menggunakan software R yang ఈିଵ) bertujuan untuk melihat karakteristik fungsi hazard ᇱ

  ( = 0 ߟ ݐ) =

  ௧మ dari distribusi gamma.

  ( ߙ െ ͳ) = 0

  ᇱ

   Untuk ߙ ൌ ͳ maka ߟ ሺݐሻ konstan.

  ᇱ

   Untuk ߙ ൐ Ͳ maka ߟ ሺݐሻ Increasing atau naik.

  ᇱ

   Untuk Ͳ ൏ ߙ ൏ ͳ maka ߟ ሺݐሻ Decreasing atau turun. Berdasarkan uraian sebelumnya, maka analisa dari laju hazard untuk distibusi gamma adalah sebagai berikut :

  ᇱ

  (

  1. Jika ߟ ݐ) > 0 untuk semua ݐ ൐ Ͳ maka

Gambar 4.1 Fungsi Hazard Rate Distribusi Gamma

  Increasing ᇱ

  untuk nilai 0<α<1, β = 1 (

  ߙ ൐ Ͳ, maka ߟ ݐ) > 0 untuk semua ݐ ൐ Ͳ

  3 FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 Mei 2013 Prosiding Seminar dan Rapat Tahunan BKS PTN Barat 2013 Pada Gambar 4.1 grafik fungsi hazard rate distribusi semakin tinggi waktu dari suatu sistem atau individu

  gamma

  maka laju kegagalannya (hazard rate-nya) akan untuk α = 0.5, β = 1 dan α = 0.1, β = 1 bentuk grafiknya adalah menurun (Decreasing). semakin meningkat. Artinya semakin meningkat waktu dari suatu sistem atau individu maka laju kegagalannya (hazard rate- nya) akan semakin menurun. Selain itu dapat

  5. KESIMPULAN

  disimpulkan juga untuk 0< α <1 dan β = 1 grafik Dari hasil penelitian dan pembahasan yang telah fungsi hazardnya akan selalu turun (Decreasing). dilakukan maka dapat diambil beberapa kesimpulan, yaitu :

  1. Hazard Rate berbentuk konstan untuk ߙ ൌ ͳ, ߚ ൌ ͳ untuk semua ݐ ൐ Ͳ.

  2. Hazard Rate berbentuk Increasing atau naik untuk ߙ ൐ ͳ, ߚ ൌ ͳ untuk semua ݐ ൐ Ͳ.

  3. Hazard Rate berbentuk Decreasing atau turun untuk Ͳ ൏ ߙ ൏ ͳ, ߚ ൌ ͳ untuk semua ݐ ൐ Ͳ.

  4. Hasil analisis dengan menggunakan teorema Glaser [2] ternyata sebanding dengan bentuk grafik dari hazard function dengan

Gambar 4.2 Fungsi Hazard Rate Distribusi Gamma menggunakan software R.

  untuk nilai α=1, β = 1

  5. Pola atau bentuk laju hazard dapat diduga oleh ߟ′(ݐ) = 0 dan tanda dari koefisien- koefisiennya.

Gambar 4.2 adalah grafik fungsi hazard rate untuk α

  = 1 dan β = 1. Berdasarkan grafik di atas dapat dilihat bahwa untuk α = 1 dan β = 1 grafik laju hazard rate akan berbentuk konstan. Artinya, semakin meningkat

DAFTAR PUSTAKA

  waktu dari suatu sistem atau individu maka laju [1] Glaser, R. E. (1980). Bathtub and Related kegagalannya (hazard rate-nya) akan selalu sama

  Failur Rate Characterizations. J. American atau konstan.

  Statistical Association , Vol. 75, pp 667-672.

  [2] Hogg, R.V. and Tanis, E.A. (1997).

  Probability and Statistical Inference . Sixth Edition. Pretencise-hall Inc., New Jersey.

  [3] Lee, E. T. (1992). Statistical Methods for

  Survival Data Analysis . Second Edition. John Wiley & Sons Inc., Canada.

  [4] McDonal, J. B. and Ricards, D. O. (1987).

  Hazard Rates and Generalized Beta Distributions. Transactions On Reliability, Vol.

R-36, 463-466.

Gambar 4.3 Fungsi Hazard Rate Distribusi Gamma untuk nilai α>1, β = 1

  Selanjutnya untuk grafik fungsi hazard rate distribusi

  gamma

  pada Gambar 4.3 dapat dilihat pada saat α = 2, β = 1 , α = 3, β = 1 dan α = 4, β = 1 grafik fungsi hazard akan meningkat naik (Increasing) , artinya

  4 FMIPA Universitas Lampung, 10 – 12 Mei 2013