Statistika Matematika I Dan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan
2 Statistika
Matematik a I Dan Aplikasinya Dalam Bidang Pendidikan Team Dosen Ripai, S.Pd., M.Si
INTRUKSIONAL BAHAN AJAR STATISTIKA MATEMATIKA No TOPIK BAHASAN
01
1. Kontrak Belajar
2. Percobaan, Titik Sampel, Ruang Sampel, Variabel Random,
Fungsi Peluang, Fungsi Peluang Gabungan, Fungsi Peluang Marginal, Fungsi Peluang Bersyarat, Fungsi Peluang Kumulatif dan Sifat Stokastik.02
3. Ekspektasi dan Teorema Ekspektasi
4. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi
mengunakan Definisi dan Teorema Ekspektasi03
5. Moment, Momen Disekitar Pusat dan Moment Disekitar Rataan
6. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi
mengunakan Definisi Moment04
7. Fungsi Pembangkit Moment dan Teoremanya
8. Menentukan rataan, varians, kovarians dan korelasi
mengunakan Fungsi Pembangkit Moment05
9. PDF dan CDF Bernouli, Binomial, Binomial Negatif,
Multinomial.
10. Rataan dan Varians PDF Bernouli, Binomial, Binomial Negatif,
Multinomial.06
11. PDF dan CDF Geometriks, Hipergeometriks, Poisson, Seragam
12. Rataan dan Varians PDF Geometriks, Hipergeometriks,
Poisson, Seragam07
13. Diskusi permasalahan nyata terkait Topik PDF diskrit
08 UJIAN TENGAH SEMESTER
09
14. Definisi Fungsi Gamma, PDF dan CDF Normal Umum dan
Normal Baku
15. Aplikasi Fungsi Gamma untuk membuktikan PDF Normal
Umum Suatu fungsi Peluang16. Identifikasi data populasi terdistribusi normal atau tidak dan aplikasinya untuk menyelesaikan permasalahan nyata.
10
17. Bukti dan aplikasi dari X x ~ N ( x , , ) Z ~ N ( z , ,
1 )
18. Teorema 1.
n
19. Teorema 2.
X
2
1
2
x , x ~ N ( x , , ) Z ~ N ( z , ,
1 )1 X
1
2
2
2
1
2
n n
1
2
11
20. Definisi PDF dan CDF Gamma, Chi-Kuadrat dan Eksponensial
2 x
2 x ~ N ( x , , ) y ~ ( 1 )
21. Bukti teorema 3. dan aplikasinya untuk membuktikan teorema 4.
22. Bukti teorema 4. n
2
x
i
2
x ~ N ( x , , ) Y ~ . ( n )
dan
i 1 aplikasinya untuk membuktikan teorema 5.
23. Bukti teorema 5.
2
( n
1 ) S
2
dan x ~ N ( x , , ) V ~ ( n 1 )
2
aplikasinya untuk membuktikan keragaman sampel tunggal
terhadap populasinya12
24. Definisi PDF dan CDF Fhiser
25. Bukti teorema 6. x
1
n
2
2
1
x ~ ( n ) dan x ~ ( n ) F ~ F ( n , n )
1
1
2
2
1
2
x
2
n
2 dan aplikasinya untuk membuktikan teorema 7.
26. Bukti Teorema 7
2
2 S
1
2
x ~ N ( x , , ) dan x ~ N ( x , , ) F ~ F ( n 1 , n 1 )
1
1
1
1
2
2
2 2 1 2
2
2 S 2
1
dan aplikasinya untuk membuktikan keragaman varians populasi dua buah sampel
13
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
~
1
2
) , , ( ~ , ) , , ( ~
1
1
1
2
2
2
2
2
33. Bukti dan aplikasi dari teorema 34. Teorema 13.
38. Diskusi analisis hubungan dengan korelasi, regresi linier dan
koefesien determinasi dan regresi non linier16
37. Diskusi uji beda rataan untuk data sampel yang tidak
terdistribusi normal
36. Diskusi uji Normalitas data sampel dengan statistic Chi-
Kuadrat15
1
1
1
2
2
2
35. Teorema 14. z B p n x dan p n B x ) , ( ~ ) , ( ~
) , 1 , ( ~ ) , ( ~ z N n q p np p B z p n x o
14
1
X X t
n n s n n s n s n s t n s n s
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
27. Definisi PDF dan CDF Student’s
30. Teorema 10.
2
2
2
2
1
2
2
2
N maka dan x x x N x
31. Teorema 11.
X
X N t x
n t n s
) ~ 1 ( ) , , ( ~
X
1
n t s x N t x
) ~ 1 ( ) , , ( ~
29. Teorema 9.
X X T n X dan x N X
n t n
1
1
2
2
1
2
) ( ~ ) ( ~ ) , 1 , ( ~
8.
28. Bukti dan aplikasi dari teorema Teorema
2
1
1
2
2
2
2
N maka dan x x x N x
X X t 32. . Teorema 12.
n n t n n n n s n s n
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
)
) 1 ( 1 (1
1
) ~ 2 (
) , , ( ~ , ) , , ( ~
39. Diskusi analisis kebebasan dengan koefesien kontigensi
1 ariabel andom dan ungsi
1 V R F eluang P
ungsi eluang istribusi
9
9 F P D ormal N
9.1 Pengertian Distribusi Normal
Soal : Apa yang dimaksud dengan distribusi normal..? Jawab : Distribusi normal merupakan suatu keadaan dimana fakta alam kejadiannya sesuai dengan kebiasaan pada umumnya kejadian tersebut terjadi
Soal : Apa contohnya fakta alam yang terdistribusi normal..? Jawab : Diantara contohnya adalah sebagai berikut:
1. Hujan turun disebut normal apabila distribusi turunnya mengikuti pola kebiasaan umumnya hujan terjadi, yaitu dari kondisi tidak hujan, gerimis, agak lebat, lebat, agak lebat, gerimis, tidak hujan. Jika dilukiskan dalam bentuk kurva InsyaAllah kurang lebih akan berpola seperti berikut:
2. Hasil belajar siswa dalam suatu kelas, umumnya yang biasanya terjadi adalah, proporsi siswa yang pintar selalu sedikit ekivalen dengan siswa yang bodoh/. Sedangkan siswa yang berkemapuan sedang umunya lebih banyak.
Jika dilukiskan akan mengikuti pola berikut ini: Soal : Apa contoh pakta alam yang tidak terdistribusi normal Jawab : Contohnya adalah : 1. keadaan hujan yang turun tiba-tiba langsung lebat dan cuaca tidak mendung, atau gerimis terus tanpa berhenti dalam kondisi yang sangat lama. Kondisi ini disebut tidak normal karena pada umumnya tidak demikian kejadiannya.
2. Hasil belajar siswa menunjukkan, dari 30 peserta tes 29 orang mendapat 90 dan 1 orang mendapat nilai 70.
Kondisi ini disebut tidak normal karena kejadiannya tidak umum terjadi atau tidak biasanya terjadi. Bisa jadi kejadian tersebut disebabkan karena soal tes yang tidak memenuhi syarat mutu (valid, reliabel, pembeda) atau terjadi penyontekan masal dan lainnya diluar kontrol. Soal : Apakah setiap data yang tidak terdistribusi normal berarti data tersebut jelek atau buruk.? Jawab : Data yang tidak normal bukan berarti data tersebut buruk, akan tetapi bisa berarti sangat baik. Karena konsep normal atau tidaknya terkait dengan kebiasaan pada umumnya fakta tersebut terjadi tidak terkait baik dan buruknya.
Soal : Bagaimana contoh kasus data yang tidak terdistribusi normal berkategori baik.? Jawab : Contoh misalnya data hasil evaluasi belajar mahasiswa mendapat nilai A semua, berarti hal tersebut kondisi yang tidak biasanya terjadi (tidak normal) tetapi bersifat baik.
Dengan catatan bahwa kondisi siswa benar tidak menyontek, soal memnuhi syarat mutu (bersifat valid, reliabel dan memiliki daya beda yang baik serta teknik skorsing dan penilai benar sesuai kaidahnya).
Soal : Teladan 1 Misalkan dimiliki data hasil belajar siswa kelas III MA NW Senyiur sebagai berikut: 92 72 67 82 72 91 80 73 80 70 85 87 75 85 83 75 79 89 80 61 76 78 65 80 79 75 76 66 80 85 73 68 86 84 70 71 88 68 83 77
78 76 75 79 84 76 88 87 100 50 68 73 72 58 65 95 96.
Bagaimana kita memeriksa apakah data tersebut terdistribusi normal?Jawab : Buat distribusi frekuensi data tersebut, misalnya jika digunakan aturan Stugas akan diperoleh parameter distribusi sebagai berikut: Banyaknya Data (n) = 57 Banyaknya Kelas Interval (k) = 1 3 , 3 log n
= 7 Data Maksimum (max) = 100 Data Minimum (min) = 50 Rentang Data(R) = max-min = 50
R
Panjang Kelas Interval (P) = = 8
k
Kemudian kontruksi distribusi frekuensi sebagai berikut:
Distribusi IntervalFrekuensi
50
57
1
58
65
4
66
73
14
74
81
19
82
89
14
90
97
4 98 105
1 Bentuk kurva dari ditribusi frekuwensinya adalah sebagai berikut: Jika data tersebut adalah data populasi, maka dapat langsung disimpulkan bahwa data tersebut terdistribusi normal, karena kurva distribusi frekuensinya menyerupai kurva normal. Tetapi jika data tersebut data sampel, maka perlu pengujian apakah kurvanya akan tetap seperti kurva normal jika seluruhan data populasinya di masukkan dalam distribusi frekuensi.
9.2 Definisi Distribusi Normal
Soal : Bagaimana definisi matematis distribusi normal Jawab : Definisi 1. PDF Normal Peubah acak x disebut distribusi normal jika dan hanya jika
2 1 x
1 2 f ( x ) e untuk -∞ < x < ∞
2
2
2 Soal : 1 x
1 2
Apakah untuk -∞ < x < ∞ f ( x ) e
2
2 merupakan suatu fungsi peluang
Jawab : Ya, karena f(x) memenuhi syarat fungsi peluang yaitu, 1. 0 ≤ f(x) ≤ 1 dan f ( x ) dx
1
2.
Soal : Apakah bisa dibuktikan secara matematis, jika ya pengetahuan dasar apa yang harus dimiliki untuk dapat membuktikan kebenaran tersebut! Jawab : Ya, bisa dibuktikan secara matematis dan pengetahuan dasar yang harus dimiliki adalah konsep terdefinisinya bialangan real, invers fungsi, definisi fungsi gamma dan sifat fungsi gamma. Soal : Apa definisi fungsi gamma dan bagaiman sifatnya? Jawab : Definisi 2. Fungsi Gamma
1 x
( ) x e dx
dan
Sifat 1. Fungsi Gamma ( 1 )! N
( ) 1
2 Soal : Bagaimana bukkti dari sifat fungsi gamma tersebut! Jawab : Buktinya dapat dilihat di buku Pengantar statistika matematika
Penulis : Nar Herrhyanto dan Tuti Gantini pengarang Yrama Widya halaman 457. Silahkan menjadi tugas mahasiswa unutk mereview!
2 Soal : 1 x
1 2
Bagaimana bukti bahwa f ( x ) e
2
2 merupakan fungsi peluang?
1 x
2 Jawab :
1
2
disebut fungsi peluang apabila f ( x ) e
2
2 memenuhi sifat (1) 0 ≤ f(x) ≤ 1 dan (2) ( 1 )
dx x f
2
x f x
) ( ln
1 ln
2
1 ln
2
2 R x f x
) ( ln
2
1 ln
2
2
2
1 ln
) ( ln
2
2
) ( ln
2
x f x
2
x f x
2
2
x f
( 2 ) ( 2 )
( 2 )
1
2
2
2
x f x f x f
( 2 ) ( 2 )
1
2
2
1
1 ) (
x f
) ( ln
2
1 ln
2
x f
2
ln ) (
2
1 ln e x f
2
Add (1)
2
2
1
2
ln
2
1 ) ln ( ln
x x
e x f e x f
x e x f
2
2
2
1
1 ) (
2
2
1
2
2
1 ) ln ( ln
2
2
2
x f x
) ( ln
2
1 ln
2
2
2
2
1
2
1 ) ln ( ln
2
x x f
) ( ln
2
1 ln
2
1
x f x f
( 2 )
( 2 )2
1 ) (
2
2 (
2
2 )
2
2
2
1
2
1
2
du u e du u e dx x f u u
Akibatnya
2
2
1
2
du u dx
2
u x
du e u du e u u u
1
2
1
2
1
1
2
1
du u e du u e u u
2
1
2
1
2
1
2
2
x
u
1
1 ( 2 )
x f x f …….
2
) ( ( 2 )
………………….(b) dari bentuk
…….
2 x f x f
1 ) (
2
( 1 )
x f x f ………….….(a) dari bentuk
2
2
1 ) (
2
dari bentuk
2 x f
( 2 )
atau
2 x f
1 ( 2 )
x f x f
2
2
………………...(c) dari (a), (b) dan (c) diperoleh syarat (1) ( 1 ) x f terpenuhi add (2)
2
x u
1
2
2
Misal
1 ) (
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
dx e dx e dx x f x x
1
1 1
1
2 1
2
2 2
2
2 Berdasarkan hasil terakhir tersebut, maka syarat (2)
f ( x ) dx
1 terpenuhi
Jadi dengan terpenuhinya syarat (1) dan (2) maka jelas bahwa
2 1 x
1
2 untuk -∞ < x < ∞ adalah benar f ( x ) e
2
2 suatu fungsi peluang.
2 Soal : 1 x
1
2
Jika untuk -∞ < x < ∞ adalah f ( x ) e
2
2 suatu funsgi peluang, maka berapa rataan dan variansnya?
Jawab Teorema 1. Rataan dan Varians PDF Normal
: Jika x peubah acak bebas yang terdistribusi normal, maka rataan x adalah x dan dan Varians X adalah
2
2 .
x
Bukti: Berdasarkan definisi rataan bahwa dM ( t ) x
E ( x ) x dengan M x (t) adalah fungsi dx t
pembangkit moment yang terdefinisi sebagai tx
M ( t ) E ( e )
maka diperoleh bahwa
x 2 1 x
1
tx tx 2
M ( t ) e f ( x ) dx e e dx x
2
2
t t t x x
2
2
2 2 t t t x xt x
sehingga diperoleh
dx e t M
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
1 ) (
2
2
2
2
2
2
2
t t t t xt x x
x x x
2
2
2
2
xt x
2
2
2
Jadi
4
2
2
2
dx e e
t x t t
2
2
2
4
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
dx e e t t t x
4
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
dx e
tx x
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
2 1
dx e tx x
1
dx e x tx
2
2
1
2
2
2
dx e tx x
2
2
1
2
4
2
t t t t x x t t t x
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 t t t t xt x x
4
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
1
Sekarang perhatikan bentuk berikut:
4
2
2
2
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2 1 x t
2
2
2 t t
t t
1
2
2
2
2
e e dx e n ( x , t , )
2
2
2
2
2
2 t t t t
2
2
e (
1 ) e
1
2
2 t t
sehingga diperoleh rataan sebagai
2 M ( t ) e
x berikut
1 2 2 t t dM ( t ) x
2 E ( x ) t e
2
x dt t t
Selanjutnya untuk mendapatkan varians, ditentukan sebagai
berikut:1 2 2
2 t t
2 d M ( t ) d
2 x
2 E ( x ) t e
2 dt dt t
t
1 2 2
1 2 2 t t t t
2
2 2
2
2 e t e t
t
1
2
2
1
2
2
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
2
2 e ( ) e ( )
2
2
sehingga diperoleh varians PDF Normal umum sebagai
2
2
2
2
2
2
2 berikut:i E ( x ) E ( x ) .
x Soal : Misalkan pada teladan 1 di atas, jika seorang siswa dipilih
untuk mengikuti olimpiade matematika, bagaimana cara
menentukan peluang siswa tersebut akan memperoleh nilai
a) Tepat sama dengan 6.5
b) Kurang dari 7
c) Lebih dari 6.5
d) Antara 6.5 sampai dengan 7
2 Jawab : Pertama tentukan staitistik rataan (µ) dan varians (σ ) sebagai berikut:
77.65
2 5 .
19 65 ,
2 08 .
1
19
6 08 .
5 .
dx e e x t
1 ) (
2
6 ) 54 . 9 (
1
) 54 . 9 (
2
77
9 65 ,
6 54 .
5 .
c) P(x>6.5) = dx e dx x f x
= …?
2
) 54 . 9 (
77 lim
2
19 65 ,
2
2
77 ) 54 . 9 (
19 65 ,
2 08 .
1
19
6 08 .
7 5 .
dx e e x
1 ) (
6 ) 54 . 9 (
= ..?
7 5 .
2
1
2
77
9 65 ,
6 54 .
7 5 .
d) P(6.5 < x < 7) = dx e dx x f x
77 lim
2 08 .
1
2
) 54 . 9 (
sehingga diperoleh a) P(x=6.5) = f(6.5) = ? ...
x e x f
1 ) (
2
2 ) 54 . 9 (
1
2
77
9 65 ,
54 .
9 65 , 77 5 .
Maka fungsi peluang untuk data sebagaimana pada teladan 1 adalah
n x n i i
2
1
9.54
dan
n x n i i
1 54 .
6
1
77
19
7 08 .
dx e e t x t
1 ) (
2
7 ) 54 . 9 (
2
1
2
9 65 ,
2
7 54 .
b) P(x<7) = dx e dx x f x
e
2
1
= ..?