A. TURUNAN SUATU FUNGSI - Turunan Fungsi

  

TURUNAN FUNGSI

  A. TURUNAN SUATU FUNGSI

  1. PENDAHULUAN TURUNAN lim dy f x h (  )  f x ( ) y ' f ' ( x )

    

  Turunan y = f(x) didefinisikan dengan

  dx h  0 h

  Contoh 1 : Tentukan turunan dari y = 5x + 2 Jawab : y = f(x) = 5x + 2 f(x+h) = ... = ....

  lim f x h (  )  f x ( ) y'  h  0 h lim = ... h  0 lim = ... h  0 = ...

  LATIHAN SOAL lim f x h (  )  f x ( )

  Tentukan turunan dari fungsi berikut dengan menggunakan rumus y’ =

  h  0

₂

h

  1. y = 5 7. y = 3 x ₂

  2. y = c 8. y = 5 x ₃

  3. y = 2x - 1 9. y = x ₃

  4. y = 10x + 7 x 10. y = 2 ₂

  5. y = cx + d

  10 ₂ 11. y = 4 x  _{3 2} 6. y = x 12. y = 5 x 7 x

  

  n ax y 

  2. TURUNAN lim f x h (  )  f x ( )

  Dengan menggunakan definisi turunan y’ = , kita mencoba menentukan

  h  0 _{2 3 10 100} h y ax y ax y ax

    

  , , dan , turunan dari y = a, y = ax, y = ax maka akan diperoleh kesimpulan sebagai berikut : _{n n  1}

  y ax y ' anx

  Jika  maka  Contoh 1 : Tentukan turunan dari : ₂

  y x  4

  a. y = 3 d. ₅

  b. y = 4x x

  e. y = 2

  c. y = 5x + 1

  Jawab : a. y ’ = ...

  d. y ’ = ...

  b. y ’ = ...

  e. y ’ = ...

  c. y ’ = ... Contoh 2 : Tentukan turunan dari :

  1

  3 y x y _{ }

  

  a. y ₂ b.

  c.

  x x

  1  Jawab : a. y = …….. maka y ’ = .……. ₂

  x y  x b. = ……..maka y ’ = .……..

  3 y 

  c. = …….. maka y ’ = ..………

  x LATIHAN SOAL _n1

  Tentukan turunannya dengan menggunakan rumus y’ = anx

  2 x

  1. y = 10 8. y = _{3 4} 2. y = 8x 9. y =

  6 x

  7

  3. y = 4x + 3 10. y =

  3 x 1 1 ₂ x 7 x

  1  

  4. y = 11. y = _{3 5}

  2 2 x

  1 ₄

  4 _{3 2 2} x x 6 x 5 x

  7     ( 5 x  3 )

  5. y = 12. y =

  2

  3

  10

  5

  4

  

x

  6. y = 13. y =  _{3 3}

  x

  2 x

  5 7. y = ₄ 2 x

  3. RUMUS-RUMUS TURUNAN

  Misalkan u dan v adalah fungsi-fungsi dalam x, maka :

  1. Jika y = u  v maka y ’ = u ’  v ’

  2. Jika y = ku maka y ’ = ku’

  3. Jika y = uv maka y ’ = u ’v + uv ’

  u v ' uv ' u 

  4. Jika y = maka y ’ = ₂

  v v

  n n1

  . ' u

5. Jika y = u maka y ’ = nu Di mana k dan n suatu konstanta.

  Misal kita akan membuktikan salah satu rumus di atas, misalnya rumus ke-4 sbb : y = uv atau lengkapnya y = f(x) = u(x)v(x)

  lim f x h (  )  f x ( )

  y’ =

  h  0 h lim u x (  h v x ) (  h )  u x v x ( ) ( )

  =

  h  0 h lim u x (  h v x ) (  h )  u x v x ( ) ( )  u x v x ( ) (  h )  u x v x ( ) (  h )

  =

  h  0 h lim u x (  h )  u x ( ) v x (  h )  v x ( )

  = v x (  h )  u x ( )

  h  0 h h

  = u’(x)v(x+0) + u(x)v’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x) = u’v + uv’

  Contoh 1 : Tentukan turunan dari : _{3 2 5}

  ( 10 x  3 ) x

  4 x 5 x

  1

  d. y =

  a. y = 6   

  b. y = (2x-1)(3x+4)

  4 x 

  5

  c. y =

  x 

  1 Jawab : a. y ’ = ...

  b. y ’ = ...

  c. y ’ = ...

  d. y ’ = ...

LATIHAN SOAL

  Tentukan turunannya dengan menggunakan rumus-rumus turunan

  2 ₃

  1 _{2 6} y x x 4 x

  5     4 2 ( x  1 ) 1.

  7. y =

  3

  2

  4

  3

  2. y = (4x+2)(2x+5) 8. y = x  3. y = (-x+1)(3-x) 9. y = 4 5  x

  x

  1

  1 

  4. y = 10. y =

  x 2 2 3

  1  x 

  2 x

  3  ⁵ ( 2 x 1 ) ( x 4 )

  5. y = 11. y =  

  5 x 

  3 ( x 1 ) x

  

  6. y = 12. y =

  x  3 3 x

  4 

4. TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Kita akan mencoba menentukan turunan dari y = sin x dengan menggunakan rumus turunan .

  y = f(x) = sin x f(x+h) = sin(x+h)

  lim f x h (  )  f x ( )

  y’ =

  h  0 h lim

  sin( x  h )  sin x =

  h  0 h x  h  x x  h  x lim

  2 cos sin

  =

  2

  2 h  0 h

  1

  1 lim

  2 cos( x h ) sin h 

  =

  2

  2 h  0 h

  1 sin h lim

  1

  2 cos( x h ) 

  =

  1 h  0

  2 h

  2

  1 cos( . ). 0 1 x 

  =

  2

  = cos x Dengan cara yang sama akan di dapat jika y = cos x maka y’ = -sin x.

  Jadi turunan fungsi sinus dan cosinus dapat digambarkan sbb:

  sin x cos x sin x cos x sin x      

  Contoh 1: Tentukan turunan dari : ₂

  a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x

  b. f(x) = x sin x Jawab : a. f(x) = 2 sin x - 3 cos x f ’(x) = …… = …… ₂

  b. f(x) = x sin x f ’(x) = …. (gunakan rumus y = uv)

LATIHAN SOAL

  Tentukan turunannya dari : 1. f(x) = cos x + sin x 9. f(x) = (4x+2) sin x ₂

  ( 3 x 5 ) cos x

  2. f(x) = -2 sin x + 5 cos x 10. f(x) = 

  sin x

  3. f(x) = 3 cos x - 2 sin x 11. f(x) =

  x 1  _{2 2} x

  5 x 3 12. f(x) = 

  4. f(x) = cos x 

  cos x

  ₃ sin x x

  6 sin x 5 13. f(x) = 5. f(x) = 4  

  cos x cos x

  6. f(x) = x sin x 14. f(x) =

  sin x 2 x 4 

  7. f(x) = sin x cos x 15. f(x) = ₃ sin x

  x cos x

  8. f(x) = 2

  B. TAFSIRAN GEOMETRIS TURUNAN

  1. PERSAMAAN GARIS SINGGUNG KURVA

  Perhatikan gambar di bawah ini : y = f(x) Y g f(x+h) Q Garis g memotong kurva y = f(x) di titik P dan Q P f(x)

  0 x x+h X

  f x h (  )  f x ( )

  Seperti kita ketahui, gradien garis g adalah m =

  h

  Jika garis g kita putar dengan titik P sebagai titik putarnya, sehingga titik Q yang memotong kurva y = f(x) bergerak. Pada saat h mendekati 0 ( h  0) , maka titik P dan Q akan berimpit sehingga akan di dapat suatu garis singgung di titik P. Jadi gradien garis singgung pada y = f(x) di titik P adalah :

  lim f x h (  )  f x ( )

  m = atau m = f ’(x)

  h  0 h ₂ Contoh 1 : Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x

  2 x

  3 ₂   di titik (3,4)

  y  x  2 x 

  3 Jawab : y ’= ….

  Gradiennya di titik (3,4) adalah m = f’(3) = …. Persamaan garis singgung kurva dengan gradien 4 dan melalui titik (3,4) adalah :

  y y m ( x x )

     _{1 1} …………….

  ……………. ₂ yang tegak lurus garis y-2x = 1 Contoh 2 : Tentukan persamaan garis singgung kurva y = x Jawab : Gradien 2 garis yang saling tegak lurus adalah saling berlawanan berkebalikan

  1 m   ₁ Atau m ₂ m ......

  

  y - 2x = 1  y = 2x + 1 maka ¹

  m  _{1 } 2 m ..... m ₂ Karena maka ^{2 ( gradien garis singgung)} m  y '  ₂ 2 x  2 x  ...... ₂ x ......

   x ....... .........

  sehingga y =  

  Jadi persamaan garis singgungnya : y  y ^{1  m x (  x 1 )} …………..

  …………..

LATIHAN SOAL

  1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva berikut di setiap titiknya : _{3 2}

  y x y 3 x

  1   

  a. di titik (2,8) ₂

  c. dengan absis 2 ₂

  y x x y x 2 x

  8     

  b. di titik (-1,2)

  d. dengan ordinat -9

  2. Tentukan persaman garis singgung kurva : _{2 2}

  y x y 3 x

  2   

  a. di titik (1,1) _{2 3}

  e. di x = 3 ₂

  y 3 x x   y ( x 2 )

  b. di titik (2,4)

  f.   di x = 1 ₂

  y x _{ y x}

  1  

  c. di titik (4,2)

  g. di y = 5

  2

  1

  2 ( , ) y

   2 

  d. y di titik ₂

  h. di y = 3

  2 x x ₂ y x x

  

3

  

  3. Tentukan persamaan garis singgung yang bergradien 5 _{3 o}

  y x 

  4. Tentukan persamaan garis singgung dengan yang membentuk sudut 45 sumbu X ₂

  y  x  2 x

  5. Tentukan persamaan garis singgung yang sejajar garis 3x-y+1=0 ₂

  y  3 x  2 x 

  1

  6. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis x+4y-5=0

2. FUNGSI NAIK DAN TURUN

  Perhatikan gambar berikut ini : Y B A C D

  0 X Untuk membaca sebuah kurva ada aturannya, yaitu dari kiri ke kanan. Pada gambar di atas, dari titik A ke titik B dikatakan kurva dalam keadaan naik, sedangkan dari titik B ke titik C kurva dalam keadaan turun

  Kurva Naik

  Pada kurva dalam keadaan naik dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar (

   y

  x  0) dan harga y juga semakin besar ( y  0) . Karena gradien (m) = dan m = y’ maka

  x   y

  ' 

  syarat kurva naik jika (karena )

   Kurva Turun

  Pada kurva dalam keadaan turun dari kiri ke kanan, maka terlihat bahwa harga x semakin besar (

  y 

  x  0) dan harga y semakin kecil ( y  0) . Karena gradien (m) = dan m = y’ maka syarat

  x  

  )

  kurva turun jika y ’ < 0 (karena

   _{3 2} Contoh 1 : Tentukan interval di mana fungsi f(x) = x

  3 x 9 x

  5   

  a. naik ₃

  b. turun ₂ Jawab : f(x) = x 3 x 9 x

  5    f’(x) = ....

  ... = 0 (:3) ₂

  x

  2 x 3 0   

  ( ... )( ... ) = 0 x = ...atau x = ... Dengan bantuan garis bilangan sebagai berikut :

• ... ...

  Berdasarkan gambar di atas disimpulkan : Kurva naik pada interval ... atau ... Kurva turun pada interval ...

  LATIHAN SOAL

  1. Tentukan interval kurva naik dan turun dari fungsi berikut : ₂

  f x ( )  x 4 x

  a.  ₂

  b. f x ( )  x 

  6 x  ₂

  7 f x ( )  8 x x

  c.  ₃

  f x ( )  x 12 x

  d. 

  1 _{3 2} f x x 3 x 8 x

  4 ( )    

  e.

  3 _{3 2} f x ( )  2 x x 4 x

  1

  f.    _{4 3 2}

  f x ( )  x 4 x 4 x

  g.   _{3 2}

  f x ( )  x 6 x 20 x

  1

  2. Tunjukkan bahwa fungsi    selalu naik ₃

  f x ( )   3 x

  5

  3. Tunjukkan bahwa fungsi  tidak pernah naik

  1 f x

  ( ) 

  4. Tunjukkan bahwa fungsi selalu turun

  x

• jika + lalu - maka ( , ) x y
_{1 1} titik balik mak
• jika - lalu + maka ( , ) x y
_{1 1} titik balik mi
• jika - lalu - atau + lalu + maka ( , ) x y
_{1 1} titik belok
• jika f’’( x
1<
• jika f’’( x _{1 ) }
• jika f’’(

  ... ...

  Jawab : f ’(x) = 0 ... = 0 (:3) ... = 0 ( ... )( ... ) = 0 x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...) x = ... maka y = ..., titik stasionernya (...,...) Jenisnya : Cara I ... ... ...

  1   

  9

  6

  Contoh 1 : Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari f(x) = x x x ^{3 2}

  ( , ) x y _{1 1 titik belok}

  maka

  x ₁ ) 

  titik balik minimum

  maka ( , ) x y _{1 1} titik balik maksimum

  )  maka ( , ) x y _{1 1}

  II. Dengan menggunakan turunan kedua

  I. Dengan uji kiri kanan titik stasioner

  Misal titik stasionernya ( , ) x y _{1 1} , maka:

  Jadi syarat titik stasioner pada kurva y = f(x) jika y ’= 0 Untuk menentukan jenis titik stasioner tersebut bisa digunakan uji kiri kanan pada titik stasioner tersebut, atau bisa juga dengan menggunakan turunan kedua.

  0 X Pada gambar di atas terlihat bahwa gradien pada titik-titik stasioner berupa garis lurus yang mendatar. Pada titik stasioner, keadaan ini kurva tidak naik dan juga tidak turun.

  B Titik A disebut titik balik maksimum Titik C disebut titik balik minimum C Titik B disebut titik belok/titik belok horisontal

  Perhatikan gambar berikut ini Y A Titik A dan B disebut titik-titik stasioner/ titik ekstrem/titik puncak.

  3. NILAI STASIONER

  Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

  Cara II _{3 2} 6 x 9 x

  1 f(x) = x    f ’(x) = ... f ’’(x) = ... Untuk x = 1 maka f ’’(1) = ... Untuk x = 3 maka f ’’(3) = ...

  Jadi (...,...) merupakan ... (...,...) merupakan ...

  LATIHAN SOAL

  Tentukan nilai stasioner dan jenisnya dari : ₂

  1 f ( x ) x f ( x )

  2 x 3 x 1  

  1.    6. _{2 2} x ₂ f ( x )

  9 4 x x f ( x ) ( 4 )

  2.    ₃ 7.  x  _{4 3} 3. f ( x )  x  ₃ 12 x ₂

  8. f ( x )  x  ₅ 4 x ₃

  f ( x ) x 6 x f ( x ) x 5 x

  4.   9.   _{3 2 3}

  48 f ( x )  x  f ( x ) x

  6 x 12 x

  5.    10.

  x

  4. NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM PADA SELANG TERTUTUP

  Perhatikan gambar berikut ini : Y E B A C D

  X

  x x _{1 2}

x x x

_{1  }

₂ Pada gambar di atas terlihat, pada selang kurva mencapai nilai maksimum pada titik E

  dan mencapai nilai minimum pada titik D. Jadi dari gambar di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa nilai stasioner pada selang tertutup belum tentu nilai ekstrimnya (maksimum/minimum).

  a x b  

  Cara menentukan nilai maksimum dan minimum pada selang tertutup pada kurva y = f(x) adalah sebagai berikut :

  1. Tentukan nilai-nilai ujung interval

  2. Tentukan nilai-nilai stasionernya

  3. Bandingkan masing-masing nilai untuk menentukan nilai maksimum dan minimum _{3 2}

  f ( x ) 2 x 15 x 36 x

  Contoh 1 : Tentukan nilai maksimum dan minimum dari    pada interval

  1 x

  5  

  Jawab : f(1) = ... f(5) = ...

  3 ² f x ( )  2 x 15 x 36 x

   

  f ’(x) = 0 ... = 0 ...

  ... x = ... maka y = ... x = ... maka y = ... Jadi nilai maksimum = ... dan nilai minimum = ...

  LATIHAN SOAL

  Tentukan nilai maksimum dan minimum dari :

  2 _{3 2} f x

  ( )  1 x

1 f x ( )  x

3 x

  5

  1. untuk    6.   untuk   

  2 1 x

  x _{2 4 2} f x ( )  x x 6 6 x

5 f x ( )  x

3 x

  4

  2.   untuk    ₂ 7.   untuk    _{3 2}

  6 2 x

  3

  3.  untuk   _{3 2} 8.    untuk   _{4 3} 4. f x ( )  x 

  f x ( )  3 x x 1 x

5 f x ( ) 

4 x 15 x 12 x 5 x

  3

  9. f x ( ) 

  3 x  4 x  3 untuk x

  2 _{4 2}    _{5 3}   f x ( )  2 x x 3 x 4 f x ( )  x 5 x 1 x

  6 x untuk 1 x

  1

  5.  untuk    10.  untuk   

  5. PENERAPAN NILAI MAKSIMUM DAN MINIMUM

  Dalam kehidupan sehari-hari, sering kita menjumpai hal-hal yang berhubungan dengan nilai optimum (maksimum/minimum) untuk mencapai hasil optimal yang diinginkan. Jika suatu persoalan dapat dinyatakan dalam suatu persamaan matematika berderajat lebih dari 1, maka tentu ada nilai ekstrim/stasioner dari kurva yang terbentukjnya. Dengan menggunakan y’ = 0 maka persoalan di atas dapat diselesaikan.

  Contoh 1 : Dua bilangan jumlahnya 8. Tentukan hasil kali maksimumnya ! Jawab : Misal kedua bilangan itu x dan y, maka : x + y = 8  x = ...

  Misal z = xy Substitusi x = ... ke z = xy sehingga : z = xy z = ( ... ) y = ... z’ = 0 ... = 0 y = ... maka z = ...

  LATIHAN SOAL

  1. Suatu persegi panjang kelilingnya 24 cm. Tentukan luas maksimum dan ukuran persegi panjang itu !

  2. Dua bilangan selisihnya 4. Tentukan hasil kali minimumnya ! ₂

  xy

  3. Tentukan nilai terbesar jika x + y = 48

  4. Ali memagari sepanjang tembok berbentuk persegi panjang dengan kawat. Jika panjang kawat 24 m, tentukan ukuran kandang yang harus dibuat agar luasnya maksimum, jika salah satu sisinya berupa tembok yang ada ! ₂

  h t ( )  800 t 5 t

  5. Suatu roket bergerak ke atas dengan persamaan gerak  . Tentukan tinggi maksimum yang dapat dicapai roket tersebut ! ₃ . Jika alas kotak itu berupa

  6. Ibu ingin membuat kotak tanpa tutup. Kotak itu berisi 4 dm persegi, tentukan ukuran kotak itu agar memerlukan karton seminimum mungkin !

  7. Sehelai karton persegi panjang dengan panjang 8 cm dan lebar 5 cm. Pad keempat sudut karton itu dipotong bujur sangkar yang sisinya x cm. Tentukan ukuran kotak tanpa tutup itu agar isinya maksimum

  8. Tentukan jarak terdekat dari garis y = 2x + 5 ke titik (4,3)

  9. Y Jika jari-jari lingkaran 10 cm, tentukan luas maksimum persegi panjang yang diarsir !

  X

  6. MENGGAMBAR KURVA SUKU BANYAK

  Cara menggambar kurva suku banyak y = f(x) :

  1. Tentukan titik potong dengan sumbu X syarat y = 0 (jika memungkinkan)

  2. Tentukan titik potong dengan sumbu Y syarat x = 0

  3. Tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya

  4. Gambar kurvanya (kalau perlu dengan menggunakan beberapa titik bantu) _{2 3}

  y 3 x x  

  Contoh 1 : Lukis kurva Jawab : Titik potong dengan sumbu X _{2 3}

  x x

  0 = 3  0 = ...

  x ......./ x ........ ₁   ₂ Titik potong dengan sumbu Y y = ... = ....

  Titik Stasioner dan jenisnya y’ = 0 ............... = 0 ............... = 0 x ..... y ......... ₁    ₁ x ..... y ........... ₂    ₂ Jadi titik stasionernya (....,....) dan (....,....) y’’ = f’’(x) = ... f’’(....) = ... = .... 0 f’’(....) = .... = .... 0

  Jadi (....,...) berupa .... (....,...) berrupa ....

  Gambarnya : Titik belok y’’ = 0

  ........... = 0 x = ... maka y = ... Jadi (....,....) berupa titik belok

  LATIHAN SOAL

  Lukis kurvanya ! _{2 3}

  y x x 6 y 8 x      1. ₂ 6. _{4 2} y x 8 x y x 4 x

  2.    ₃ 7.   _{4 2}

  y x y x 2 x

  8

  3.  2 _{3 2} 8.    _{5 3}

  y  x  6 x y  3 x  5 x 4. ₃ 9. _{4 2} y  3 x  x y  2 x  4 x 

  10.

  2 5.