Lenny Magdalena Sinaga.doc

  

D

  

I

S

U

S

U

N

OLEH :

Nama : Lenny Magdalena Sinaga Npm :06.053.111.004 Jur : Pend. Fisika UNIVERSITAS DARMA AGUNG FAKULTAS KEGURUAN DAN

ILMU PENDIDIKAN MEDAN

  

2010/2011

BAB I PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG

1.1 PERMUTASI

  Permutasi dari sekumpulan objek adalah banyaknya susunan objek-objek berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada objek yang diulang dari objek-objek tersebut  Misalkan H adalah himpunan dengan n objek  Misalkan k ≤ n, permutasi k objek dari himpunan H adalah susunan objek-objek

  berbeda dalam urutan tertentu yang terdiri dari k objek anggota himpunan H

   Lambang permutasi adalah huruf P

  permutasi n objek dari n objek yang berbeda situasi: ada n objek yang satu sama

  lain berbeda

  masalah: menentukan banyaknya susunan terurut terdiri dari n objek yang ada _{n n n} P P ( n , n ) P _n notasi:

  Rumus: n(n-1)(n-2)(n-3) …2 • 1 = n! _{n n = n!} P

  Contoh:

  Dari empat calon pengurus kelas, berapa banyak susunan yang dapat terjadi untuk menentukan ketua, wakil ketua, sekretaris dan bendahara?

  Solusi:

  Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 4 objek dari 4 objek ₄ P _{4    Jadi ada 24 susunan calon pengurus kelas} 4 ! 4 . 3 . 2 .

  1

24 Permutasi k objek dari n objek yang berbeda, k ≤ n

  situasi: ada n objek yang satu sama

  lain berbeda

  masalah: menentukan banyaknya

  susunan terurut terdiri dari k objek dari n objek yang ada, k ≤ n _{n n k} P

  P ( n , k ) P notasi: k

  n !

  Rumus: n(n-1)(n-2)(n-3) …(n – k + 1) =

  ( n k )!  n ! _{n k } P

  ( n k )!  Contoh: Tentukan banyak susunan presiden dan wakil presiden jika ada enam calon.

  Solusi:

  Masalah tersebut merupakan masalah permutasi 2 objek dari 6 objek sehingga ada:

  6 ! 6 ! ₆ P _{2     }

  6

  5

  30 ( 6 2 )! 4 ! 

  susunan presiden dan wakil presiden

  Permutasi n objek dari n objek dengan beberapa objek sama situasi:

  ada n objek yang beberapa diantaranya sama. Misal ada sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n

  masalah: menentukan banyak susunan terurut terdiri dari n objek _{n ( n , n ,......... .. n )} P _{1 2 k} notasi:

Permutasi n objek dari n objek yang terdiri dari sejumlah n1 objek q1, sejumlah n2 objek

q2, … nk objek qk, dengan n1+n2+…+nk = n n ! P _{n ( n 1 , n 2 ,......... .. n k )}  n ! n !... n ! _{1 2 k}

  Contoh: Berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat dibentuk dari

  kata MATEMATIKAWAN?

  Solusi: Terdapat 13 huruf pada kata MATEMATIKAWAN, terdiri dari 2 huruf M, 4

  huruf A, 2 huruf T, 1 huruf I, 1 huruf E, 1 huruf K, 1 huruf W, 1 huruf N Banyak susunan huruf yang dapat dibuat adalah

  13 ! 13 . 12 .

11 .

10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 ! _{13 (} P    64864800 _{2 , 4 , 2 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 )} 2 ! 4 ! 2 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 ! 1 !

1 .

2 . 1 . 2 . 4 !

  Permutasi siklis

  Pada permutasi siklis yang akan dihitung adalah banyak susunan terurut yang mungkin dari sejumlah n objek yang berbeda ditempatkan secara melingkar. Contoh : Dengan berapa cara 3 orang duduk mengelilingi meja bundar? Jawab : Jika 3 orang tsb duduk berderet dalam satu baris maka ada 3! = 6 cara Untuk menentukan susunan duduk mengelilingi meja bundar. Satu orang kita tentukan dahulu letaknya misal A, kemudian 2 orang yang lain.

  A A

  Jadi banyaknya permutasi siklis dari 3 orang tsb adalah 2! = (3 – 1)!

  C B B C

1.2 KOMBINASI

  Istilah kombinasi dalam ng mementingkan urutan objek.

  Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

  Sebagai contoh, misalkan terdapat suatu kumpulan buah: apel, jeruk, mangga, pisang. Maka {apel, jeruk} dan {jeruk, mangga, pisang} adalah merupakan kombinasi dari kumpulan tersebut. Seluruh himpunan bagian yang mungkin dibentuk dari kumpulan buah tersebut adalah:

   tidak ada buah apa pun 

  satu buah:

  o apel o jeruk o mangga o pisang

  

  dua buah:

  o apel, jeruk o apel, mangga o apel, pisang o jeruk, mangga o jeruk, pisang o mangga, pisang

   tiga buah: o apel, jeruk, mangga o apel, jeruk, pisang o apel, mangga, pisang o jeruk, mangga, pisang 

  empat buah:

  o apel, jeruk, mangga, pisang

  Kombinasi r dari sebuah himpunan S, berarti dari himpunan S diambil elemen sebanyak r untuk dijadikan sebuah himpunan baru. Dalam hal kumpulan buah di atas, himpunan {apel, jeruk,

  

pisang} adalah sebuah kombinasi 3 dari S, sedangkan {jeruk, pisang} adalah sebuah kombinasi

2 dari S.

  Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus

  Fungsi dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi . Sebagai contoh, tanpa harus mengetahui elemen himpunan {apel, jeruk, mangga, pisang}, banyaknya kombinasi 3 dari himpunan tersebut dapat dihitung:

  Sifat rekursif dari Kombinasi

  Kombinasi dapat dibentuk dari dua kombinasi sebelumnya. Ini mengakibatkan banyaknya kombinasi juga bersifat rekursif:

1.3 PELUANG

  Probabilitas/peluang secara umum dapat diartikan sebagai ukuran matematis terhadap kecenderungan akan munculnya sebuah kejadian. Secara matematis peluang memiliki kisaran nilai dari 0 hingga 1. Seperti terlihat pada gambar di bawah, nilai peluang 0 berarti bahwa munculnya kejadian tersebut sangat tidak mungkin, dan nilai peluang 1 berarti kejadian tersebut pasti muncul. Sebagai contoh, peluang manusia akan hidup selamanya adalah 0 karena tidak ada mahasiswa yang abadi dan peluang bahwa manusia akan mati suatu saat adalah 1 artinya manusia pasti akan mati suatu saat. Nilai peluang juga bisa berada diantara dua nilai absolut diatas, atau dengan kata lain nilai peluang akan mucul diantara hasil yang diharapkan dan hasil yang tidak diharapkan  Sebuah koin dengan sisi muka dan sisi belakang. Peluang mendapat sisi muka pada pelemparan koin tersebut satu kali adalah 1/2 = 0.5  Sebuah dadu dilempar satu kali. Peluang mendapat sisi dengan gambar 4 adalah 1/6  Dua buah dadu dilempar satu kali. Berapakah peluang mendapat jumlah mata dadu sembilan.  Mata dadu yang memberikan jumlah sembilan adalah:

  (3+6), (4+5), (5+4), (6+3) dari 36 kombinasi yang ada, sehingga peluangnya adalah 4/36 atau 1/9.

  Ruang sampel o Kumpulan dari semua hasil dari percobaan statistik, dinyatakan dengan notasi S o Contoh : Percobaan pelemparan mata uang

  Kejadian  Dari setiap percobaan kita mungkin ingin mengetahui munculnya elemen-elemen dari ruang sampel yang mempunyai ciri tertentu. Sekelompok titik sampel itu membentuk himpunan bagian dari S

   Contoh : Percobaan pelemparan 3 koin Operasi dengan kejadian

   Definisi 1 : Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang unsurnya termasuk A dan B.

   Gambar diagram Venn

   Contoh : Tentukan irisan antara A = {1,2,3,4,5} dan B ={2,4,6,8}  A∩ B= {2,4}  Definisi 2

  Dua kejadian A dan B saling terpisah bila A ∩ B = 0 Contoh : Sebuah dadu dilantunkan. A menyatakan kejadian bahwa bilangan genap muncul di sebelah atas dan B kejadian bahwa bilangan ganjil yang muncul di sebelah atas.

   Definisi 3 Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A B ialah kejadian yang

  ∪ mengandung semua unsur yang termasuk A dan B

• Contoh : Tentukan gabungan dari kejadian A ={1,2,3,4,5} dengan B = {2,4,6,8}

   Definisi 4 Komplemen suatu kejadian A terhadap S ialah himpunan semua unsur S yang tidak termasuk Komplemen A dinyatakan dengan lambang A'.

  Contoh : Q menyatakan kejadian bahwa seorang karyawan yang dipilih secara acak dari suatu pabrik adalah seorang perokok. Nyatakan kejadian komplemen Q ? Menghitung Titik Sampel

   Teorema 1 : Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1cara, bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara.

• Contoh : Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel sepasang dadu dilantunkan satu kali.

   Teorema 2 Bila suatu operasi dapat dikerjakan dengan n1 cara, dan bila untuk setiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara , dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebuat operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, dan seterusnya, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2…nk cara.

• Contoh : Berapa macam hidangan dapat disajikan jika masing-masing hidangan dapat terdiri dari sop, nasi goreng, bakmi, dan soto bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goreng, 5 macam bakmi, dan 4macam soto. Definisi 5
• Suatu permutasi ialah suatu susunan urutan yang dapat dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.
• Contoh : Ambil tiga huruf a, b dan c.

   Teorema 3

• Banyak permutasi n benda yang berlainan adalah n!
• Contoh : Permutasi empat huruf a,b,c, dan d adalah 4!=24

   Teorema 4

• Banyak permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah nPr = n !

  (n-r)!

• Contoh : Dari 20 lotere, dua diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang S.

   Teorema 5

• Banyak permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n-1)!
• Contoh : Dalam suatu permainan bridge ada empat pemain duduk melingkar. Berapa susunan duduk yang berlainan dalam permainan tersebut?

   Teorema 6

• Banyak permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua,…, nk berjenis ke k adalah
• Contoh : Suatu pohon natal dihias dengan 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila tiga diantaranya berwarna merah, empat kuning dan dua biru?

   Teorema 7  Banyaknya cara menyekat n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 elemen dalam sel pertama, n2 dalam sel ke dua dst, adalah:

  Dengan n1 + n2 + n3 … + nk = n.  Contoh : Berapa banyak cara untuk menampung tujuh petinju dalam tiga kamar hotel, bila satu kamarbertempat tidur tiga sedangkan dua lainnya mempunyai dua tempat tidur ?

   Teorema 8