Makalah Eleven - Makalah
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI
KONVEKS)
11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton
Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik
pada H apabila untuk setiap x, y ∈ H dengan x < y berlaku
f (x) ≤ f (y).
Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f naik sejati pada H.
Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H.
Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Fungsi yang naik dan turun sekaligus
pada H mestilah konstan pada H.
Contoh 1. (i) Fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f (x) = x3 merupakan
fungsi naik sejati pada R.
(ii) Fungsi g : (0, ∞) → R yang didefinisikan sebagai g(x) =
turun sejati pada (0, ∞).
1
x
merupakan fungsi
Proposisi 2. Jika f naik pada [a, b], maka f mencapai nilai minimum di a dan nilai
maksimum di b.
Bukti. Misalkan a < x < b. Maka menurut definisi kita mempunyai
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b).
Jadi f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b.
Sekarang kita akan membahas limit fungsi monoton. Untuk itu, kita perkenalkan notasi
f (c−) = lim f (x)
x→c−
69
70
Hendra Gunawan
Gambar 11.1(i) Grafik fungsi f (x) = x3
Gambar 11.1(ii) Grafik fungsi g(x) =
1
x
dan
f (c+) = lim+ f (x),
x→c
asalkan kedua limit ini ada.
Contoh 3. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai
x, x ≤ 1;
f (x) =
3
2, x > 1
71
Pengantar Analisis Real
Maka, f (1−) = 1 = f (1), sedangkan f (1+) = 23 .
Teorema 4. (i) Jika f naik dan terbatas di atas pada (a, b), maka
f (b−) = sup f (x).
x∈(a,b)
(ii) Jika f naik dan terbatas di bawah pada (a, b), maka
f (a+) = inf f (x).
x∈(a,b)
Bukti. (i) Misalkan M = sup f (x). Diberikan ǫ > 0 sembarang, kita harus mencari
x∈(a,b)
suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b − δ < x < b, maka |f (x) − M | < ǫ atau
M − ǫ < f (x) < M + ǫ.
Ketaksamaan f (x) < M + ǫ selalu terpenuhi karena M merupakan batas atas
untuk f pada (a, b). Selanjutnya, karena M − ǫ bukan merupakan batas atas untuk
f pada (a, b), maka terdapat suatu y ∈ (a, b) sedemikian sehingga M − ǫ < f (y).
Namun f naik pada (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku
M − ǫ < f (y) ≤ f (x).
Jadi, pilihlah δ = b − y.
(ii) Serupa dengan (i).
Akibat 5. Misalkan f naik pada (a, b). Jika c ∈ (a, b), maka f (c−) dan f (c+) ada,
dan
f (x) ≤ f (c−) ≤ f (c) ≤ f (c+) ≤ f (y)
untuk a < x < c < y < b.
Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 4 bagian (ii). Mulai dengan memisalkan m = inf f (x).
x∈(a,b)
2. Buktikan jika f turun dan terbatas di bawah pada (a, b), maka
f (b−) = inf f (x).
x∈(a,b)
72
Hendra Gunawan
Gambar 11.2 Kasus f (c−) < f (c) < f (c+)
3. Buktikan jika f dan g naik (sejati) pada H, maka f + g naik (sejati) pada H.
4. Diketahui f (x) > 0 untuk setiap x ∈ H, dan g :=
(sejati) pada H, maka g turun (sejati) pada H.
1
f.
Buktikan jika f naik
5. Diketahui f naik sejati pada A. Buktikan bahwa f merupakan korespondensi
1-1 antara A dan B := f (A), sehingga f −1 ada. Buktikan bahwa f −1 naik sejati
pada B.
11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan
Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki kemonotonan suatu fungsi melalui turunannya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan.
Persisnya, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 6. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).
(i) Jika f ′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f ′ (x) > 0 untuk
tiap x ∈ (a, b), maka f naik sejati pada [a, b].
(ii) Jika f ′ (x) ≤ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f ′ (x) < 0
untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun sejati pada [a, b].
73
Pengantar Analisis Real
Bukti. (i) Misalkan x dan y bilangan sembarang di [a, b] dengan x < y. Maka f
memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, y] dan karenanya
f ′ (c) =
f (y) − f (x)
y−x
untuk suatu c ∈ (x, y). Jika f ′ (t) ≥ 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f ′ (c) ≥ 0 dan
karenanya f (x) ≤ f (y). Jadi f naik pada [a, b].
Jika f ′ (t) > 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f ′ (c) > 0 dan karenanya f (x) < f (y).
Jadi f naik sejati pada [a, b].
(ii) Serupa dengan (i).
Contoh 7. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = x(1 − x). Turunannya
adalah
f ′ (x) = 1 − 2x.
Jadi f ′ (x) ≥ 0 untuk x ≤ 21 dan f ′ (x) ≤ 0 untuk x ≥
pada (−∞, 21 ] dan turun pada [ 12 , ∞).
1
2.
Dengan demikian f naik
Soal Latihan
1. Misalkan n ∈ N. Buktikan bahwa fungsi f : [0, ∞) → R yang didefinisikan
sebagai
f (x) = (x + 1)1/n − x1/n
merupakan fungsi turun pada [0, ∞).
2. Misalkan f mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I. Buktikan bahwa f ′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Jika f naik sejati pada I, apakah
dapat disimpulkan bahwa f ′ (x) > 0 untuk tiap x ∈ I? Jelaskan.
11.3 Invers Fungsi Monoton
Menurut Soal 11.1 No. 5, fungsi f yang naik sejati pada A mendefinisikan suatu
korespondensi 1-1 antara A dan B := f (A). Dalam hal ini f akan mempunyai invers
f −1 . Lebih jauh, f −1 naik sejati pada B.
74
Hendra Gunawan
Dalam kasus di mana f kontinu dan daerah asal f merupakan interval, sebutlah
I, maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J = f (I) (Teorema
10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 8. Misalkan f : I → J dengan I interval dan J = f (I). Jika f naik sejati
dan kontinu pada I, maka f −1 : J → I kontinu pada J.
Bukti. Andaikan f −1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan
titik ujung J. Maka, mengingat f −1 naik sejati pada J, f −1 (d−) dan f −1 (d+) ada,
dan f −1 (d−) < f −1 (d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga
f −1 (d−) < c < f −1 (d+) dan c 6= f −1 (d).
Karena itu f (c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan
hipotesis bahwa f terdefinisi pada I.
Teorema 9. Misalkan I dan J interval, I ◦ dan J ◦ interval terbuka yang mempunyai
titik ujung sama dengan titik ujung I dan J. Misalkan f : I → J kontinu dan
J = f (I). Jika f mempunyai turunan pada I ◦ dan f ′ (x) > 0 untuk tiap x ∈ I ◦ , maka
f −1 : J → I ada dan kontinu pada J. Lebih jauh, f −1 mempunyai turunan pada J ◦
dan
1
(f −1 )′ (y) = ′
f (x)
untuk tiap y ∈ J ◦ dan x = f −1 (y).
Catatan. Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2].
Soal Latihan
1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = 1 + x + x3 . Tunjukkan bahwa
f mempunyai invers dan hitunglah nilai (f −1 )′ (−1).
2. Berikan sebuah contoh fungsi f : A → R yang naik sejati dan kontinu pada A,
tetapi f −1 tidak kontinu pada B = f (A). (Petunjuk. Himpunan A tentunya
bukan suatu interval.)
Pengantar Analisis Real
75
11.4 Fungsi Konveks*
Misalkan I ⊆ R suatu interval. Fungsi f : I → R dikatakan konveks pada I
apabila untuk setiap t ∈ [0, 1] dan x1 , x2 ∈ I berlaku
f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ).
Catat bahwa untuk x1 < x − 2, titik (1 − t)x1 + tx2 bergerak dari x1 ke x2 ketika t
bergerak dari 0 ke 1. Jadi jika f konveks pada I dan x1 , x2 ∈ I, maka ruas garis yang
menghubungkan titik (x1 , f (x1 )) dan (x2 , f (x2 )) berada di atas grafik fungsi f (lihat
Gambar 11.3).
Gambar 11.3 Grafik fungsi konveks
Sebuah fungsi konveks tidak harus mempunyai turunan di setiap titik. Sebagai
contoh, f (x) = |x| merupakan fungsi konveks pada R tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Namun, dapat ditunjukkan jika f konveks pada interval terbuka I, maka
f mempunyai ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ di setiap titik dalam I. Sebagai
akibatnya, setiap fungsi konveks pada interval terbuka merupakan fungsi kontinu.
Teorema berikut memperlihatkan kaitan antara fungsi konveks dan turunan
keduanya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan kedua. Istilah konveks dalam hal
ini setara dengan istilah ‘cekung ke atas’ yang telah kita bahas pada Bab 9.
Teorema 10. Misalkan I interval terbuka dan f : I → R mempunyai turunan kedua
pada I. Maka, f konveks pada I jika dan hanya jika f ′′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I.
76
Hendra Gunawan
Bukti. Misalkan f konveks pada I. Untuk tiap c ∈ I, kita mempunyai
f (c + h) − 2f (c) + f (c − h)
.
h→0
h2
f ′′ (c) = lim
Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c − h dan c + h ada di I. Maka, c =
1
2 [(c + h) + (c − h)], sehingga
f (c) = f
1
1
1
1
(c + h) + (c − h) ≤ f (c + h) + f (c − h).
2
2
2
2
Akibatnya, f (c + h) − 2f (c) + f (c − h) ≥ 0. Karena h2 > 0 untuk tiap h 6= 0, kita
simpulkan bahwa f ′′ (c) ≥ 0.
Sebaliknya, misalkan f ′′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Untuk membuktikan bahwa
f konveks pada I, ambil x1 , x2 ∈ I dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1 − t)x1 + tx2 .
Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga
f (x1 ) = f (x0 ) + (x1 − x0 )f ′ (x0 ) +
(x1 − x0 )2 ′′
f (ξ1 )
2
dan juga terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga
f (x2 ) = f (x0 ) + (x2 − x0 )f ′ (x0 ) +
(x2 − x0 )2 ′′
f (ξ2 ).
2
Perhatikan bahwa (1 − t)(x1 − x0 ) + t(x2 − x0 ) = (1 − t)x1 + tx2 − x0 = 0 dan
2
2
0)
0)
E := (1 − t) (x1 −x
f ′′ (ξ1 ) + t (x2 −x
f ′′ (ξ2 ) ≥ 0. Akibatnya,
2
2
(1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) = f (x0 ) + E ≥ f (x0 ) = f ((1 − t)x1 + tx2 ),
sebagaimana yang kita harapkan.
Soal Latihan
1. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈
I dengan x1 < x2 < x3 berlaku
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x2 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x2
Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
77
Pengantar Analisis Real
2. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈
I dengan x1 < x2 < x3 berlaku
f (x3 ) − f (x1 )
f (x2 ) − f (x1 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x1
Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
3. Buktikan jika f konveks pada interval terbuka I, maka
lim
h→0−
f (c + h) − f (c)
dan
h
lim
h→0+
f (c + h) − f (c)
h
ada untuk setiap c ∈ I, dan sebagai akibatnya f kontinu pada I.
4. Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka I. Buktikan f konveks
jika dan hanya jika f ′ naik pada I.
5. Misalkan I interval terbuka, f : I → R naik sejati, konveks, dan mempunyai
turunan pada I. Misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0. Konstruksi
barisan hxn i dengan x1 > c dan
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f ′ (xn )
n = 1, 2, 3, . . . .
Buktikan bahwa xn → c untuk n → ∞. (Metode penghampiran ‘akar’ f ini
dikenal sebagai Metode Newton-Raphson. Untuk f (x) = x2 − a, metode ini
menghasilkan barisan hxn i yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)
KONVEKS)
11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton
Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik
pada H apabila untuk setiap x, y ∈ H dengan x < y berlaku
f (x) ≤ f (y).
Jika ketaksamaan < berlaku, maka kita katakan bahwa f naik sejati pada H.
Definisi serupa dapat dirumuskan untuk fungsi turun dan turun sejati pada H.
Fungsi naik atau turun disebut fungsi monoton. Fungsi yang naik dan turun sekaligus
pada H mestilah konstan pada H.
Contoh 1. (i) Fungsi f : R → R yang didefinisikan sebagai f (x) = x3 merupakan
fungsi naik sejati pada R.
(ii) Fungsi g : (0, ∞) → R yang didefinisikan sebagai g(x) =
turun sejati pada (0, ∞).
1
x
merupakan fungsi
Proposisi 2. Jika f naik pada [a, b], maka f mencapai nilai minimum di a dan nilai
maksimum di b.
Bukti. Misalkan a < x < b. Maka menurut definisi kita mempunyai
f (a) ≤ f (x) ≤ f (b).
Jadi f mencapai nilai minimum di a dan nilai maksimum di b.
Sekarang kita akan membahas limit fungsi monoton. Untuk itu, kita perkenalkan notasi
f (c−) = lim f (x)
x→c−
69
70
Hendra Gunawan
Gambar 11.1(i) Grafik fungsi f (x) = x3
Gambar 11.1(ii) Grafik fungsi g(x) =
1
x
dan
f (c+) = lim+ f (x),
x→c
asalkan kedua limit ini ada.
Contoh 3. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai
x, x ≤ 1;
f (x) =
3
2, x > 1
71
Pengantar Analisis Real
Maka, f (1−) = 1 = f (1), sedangkan f (1+) = 23 .
Teorema 4. (i) Jika f naik dan terbatas di atas pada (a, b), maka
f (b−) = sup f (x).
x∈(a,b)
(ii) Jika f naik dan terbatas di bawah pada (a, b), maka
f (a+) = inf f (x).
x∈(a,b)
Bukti. (i) Misalkan M = sup f (x). Diberikan ǫ > 0 sembarang, kita harus mencari
x∈(a,b)
suatu δ > 0 sedemikian sehingga jika b − δ < x < b, maka |f (x) − M | < ǫ atau
M − ǫ < f (x) < M + ǫ.
Ketaksamaan f (x) < M + ǫ selalu terpenuhi karena M merupakan batas atas
untuk f pada (a, b). Selanjutnya, karena M − ǫ bukan merupakan batas atas untuk
f pada (a, b), maka terdapat suatu y ∈ (a, b) sedemikian sehingga M − ǫ < f (y).
Namun f naik pada (a, b), sehingga untuk setiap x yang memenuhi y < x < b berlaku
M − ǫ < f (y) ≤ f (x).
Jadi, pilihlah δ = b − y.
(ii) Serupa dengan (i).
Akibat 5. Misalkan f naik pada (a, b). Jika c ∈ (a, b), maka f (c−) dan f (c+) ada,
dan
f (x) ≤ f (c−) ≤ f (c) ≤ f (c+) ≤ f (y)
untuk a < x < c < y < b.
Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 4 bagian (ii). Mulai dengan memisalkan m = inf f (x).
x∈(a,b)
2. Buktikan jika f turun dan terbatas di bawah pada (a, b), maka
f (b−) = inf f (x).
x∈(a,b)
72
Hendra Gunawan
Gambar 11.2 Kasus f (c−) < f (c) < f (c+)
3. Buktikan jika f dan g naik (sejati) pada H, maka f + g naik (sejati) pada H.
4. Diketahui f (x) > 0 untuk setiap x ∈ H, dan g :=
(sejati) pada H, maka g turun (sejati) pada H.
1
f.
Buktikan jika f naik
5. Diketahui f naik sejati pada A. Buktikan bahwa f merupakan korespondensi
1-1 antara A dan B := f (A), sehingga f −1 ada. Buktikan bahwa f −1 naik sejati
pada B.
11.2 Fungsi Monoton yang Mempunyai Turunan
Pada bagian ini kita akan membahas bagaimana kita dapat menyelidiki kemonotonan suatu fungsi melalui turunannya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan.
Persisnya, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 6. Misalkan f kontinu pada [a, b] dan mempunyai turunan pada (a, b).
(i) Jika f ′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f naik pada [a, b]. Jika f ′ (x) > 0 untuk
tiap x ∈ (a, b), maka f naik sejati pada [a, b].
(ii) Jika f ′ (x) ≤ 0 untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun pada [a, b]. Jika f ′ (x) < 0
untuk tiap x ∈ (a, b), maka f turun sejati pada [a, b].
73
Pengantar Analisis Real
Bukti. (i) Misalkan x dan y bilangan sembarang di [a, b] dengan x < y. Maka f
memenuhi hipotesis Teorema Nilai Rata-rata pada [x, y] dan karenanya
f ′ (c) =
f (y) − f (x)
y−x
untuk suatu c ∈ (x, y). Jika f ′ (t) ≥ 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f ′ (c) ≥ 0 dan
karenanya f (x) ≤ f (y). Jadi f naik pada [a, b].
Jika f ′ (t) > 0 untuk tiap t ∈ (a, b), maka f ′ (c) > 0 dan karenanya f (x) < f (y).
Jadi f naik sejati pada [a, b].
(ii) Serupa dengan (i).
Contoh 7. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = x(1 − x). Turunannya
adalah
f ′ (x) = 1 − 2x.
Jadi f ′ (x) ≥ 0 untuk x ≤ 21 dan f ′ (x) ≤ 0 untuk x ≥
pada (−∞, 21 ] dan turun pada [ 12 , ∞).
1
2.
Dengan demikian f naik
Soal Latihan
1. Misalkan n ∈ N. Buktikan bahwa fungsi f : [0, ∞) → R yang didefinisikan
sebagai
f (x) = (x + 1)1/n − x1/n
merupakan fungsi turun pada [0, ∞).
2. Misalkan f mempunyai turunan dan naik pada suatu interval terbuka I. Buktikan bahwa f ′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Jika f naik sejati pada I, apakah
dapat disimpulkan bahwa f ′ (x) > 0 untuk tiap x ∈ I? Jelaskan.
11.3 Invers Fungsi Monoton
Menurut Soal 11.1 No. 5, fungsi f yang naik sejati pada A mendefinisikan suatu
korespondensi 1-1 antara A dan B := f (A). Dalam hal ini f akan mempunyai invers
f −1 . Lebih jauh, f −1 naik sejati pada B.
74
Hendra Gunawan
Dalam kasus di mana f kontinu dan daerah asal f merupakan interval, sebutlah
I, maka daerah nilainya juga merupakan suatu interval, sebutlah J = f (I) (Teorema
10 pada Bab 8). Lebih jauh, kita mempunyai teorema berikut.
Teorema 8. Misalkan f : I → J dengan I interval dan J = f (I). Jika f naik sejati
dan kontinu pada I, maka f −1 : J → I kontinu pada J.
Bukti. Andaikan f −1 tidak kontinu di suatu titik d ∈ J. Asumsikan bahwa d bukan
titik ujung J. Maka, mengingat f −1 naik sejati pada J, f −1 (d−) dan f −1 (d+) ada,
dan f −1 (d−) < f −1 (d+). Sekarang misalkan c ∈ I sedemikian sehingga
f −1 (d−) < c < f −1 (d+) dan c 6= f −1 (d).
Karena itu f (c) tidak terdefinisi (buatlah ilustrasinya!), dan ini bertentangan dengan
hipotesis bahwa f terdefinisi pada I.
Teorema 9. Misalkan I dan J interval, I ◦ dan J ◦ interval terbuka yang mempunyai
titik ujung sama dengan titik ujung I dan J. Misalkan f : I → J kontinu dan
J = f (I). Jika f mempunyai turunan pada I ◦ dan f ′ (x) > 0 untuk tiap x ∈ I ◦ , maka
f −1 : J → I ada dan kontinu pada J. Lebih jauh, f −1 mempunyai turunan pada J ◦
dan
1
(f −1 )′ (y) = ′
f (x)
untuk tiap y ∈ J ◦ dan x = f −1 (y).
Catatan. Bukti Teorema 9 dapat dilihat di [2].
Soal Latihan
1. Misalkan f : R → R didefinisikan sebagai f (x) = 1 + x + x3 . Tunjukkan bahwa
f mempunyai invers dan hitunglah nilai (f −1 )′ (−1).
2. Berikan sebuah contoh fungsi f : A → R yang naik sejati dan kontinu pada A,
tetapi f −1 tidak kontinu pada B = f (A). (Petunjuk. Himpunan A tentunya
bukan suatu interval.)
Pengantar Analisis Real
75
11.4 Fungsi Konveks*
Misalkan I ⊆ R suatu interval. Fungsi f : I → R dikatakan konveks pada I
apabila untuk setiap t ∈ [0, 1] dan x1 , x2 ∈ I berlaku
f ((1 − t)x1 + tx2 ) ≤ (1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ).
Catat bahwa untuk x1 < x − 2, titik (1 − t)x1 + tx2 bergerak dari x1 ke x2 ketika t
bergerak dari 0 ke 1. Jadi jika f konveks pada I dan x1 , x2 ∈ I, maka ruas garis yang
menghubungkan titik (x1 , f (x1 )) dan (x2 , f (x2 )) berada di atas grafik fungsi f (lihat
Gambar 11.3).
Gambar 11.3 Grafik fungsi konveks
Sebuah fungsi konveks tidak harus mempunyai turunan di setiap titik. Sebagai
contoh, f (x) = |x| merupakan fungsi konveks pada R tetapi tidak mempunyai turunan di 0. Namun, dapat ditunjukkan jika f konveks pada interval terbuka I, maka
f mempunyai ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ di setiap titik dalam I. Sebagai
akibatnya, setiap fungsi konveks pada interval terbuka merupakan fungsi kontinu.
Teorema berikut memperlihatkan kaitan antara fungsi konveks dan turunan
keduanya, bila fungsi tersebut mempunyai turunan kedua. Istilah konveks dalam hal
ini setara dengan istilah ‘cekung ke atas’ yang telah kita bahas pada Bab 9.
Teorema 10. Misalkan I interval terbuka dan f : I → R mempunyai turunan kedua
pada I. Maka, f konveks pada I jika dan hanya jika f ′′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I.
76
Hendra Gunawan
Bukti. Misalkan f konveks pada I. Untuk tiap c ∈ I, kita mempunyai
f (c + h) − 2f (c) + f (c − h)
.
h→0
h2
f ′′ (c) = lim
Kita pilih h cukup kecil sedemikian sehingga c − h dan c + h ada di I. Maka, c =
1
2 [(c + h) + (c − h)], sehingga
f (c) = f
1
1
1
1
(c + h) + (c − h) ≤ f (c + h) + f (c − h).
2
2
2
2
Akibatnya, f (c + h) − 2f (c) + f (c − h) ≥ 0. Karena h2 > 0 untuk tiap h 6= 0, kita
simpulkan bahwa f ′′ (c) ≥ 0.
Sebaliknya, misalkan f ′′ (x) ≥ 0 untuk tiap x ∈ I. Untuk membuktikan bahwa
f konveks pada I, ambil x1 , x2 ∈ I dan 0 < t < 1, dan misalkan x0 = (1 − t)x1 + tx2 .
Berdasarkan Teorema Taylor, terdapat ξ1 di antara x0 dan x1 sedemikian sehingga
f (x1 ) = f (x0 ) + (x1 − x0 )f ′ (x0 ) +
(x1 − x0 )2 ′′
f (ξ1 )
2
dan juga terdapat ξ2 di antara x0 dan x2 sedemikian sehingga
f (x2 ) = f (x0 ) + (x2 − x0 )f ′ (x0 ) +
(x2 − x0 )2 ′′
f (ξ2 ).
2
Perhatikan bahwa (1 − t)(x1 − x0 ) + t(x2 − x0 ) = (1 − t)x1 + tx2 − x0 = 0 dan
2
2
0)
0)
E := (1 − t) (x1 −x
f ′′ (ξ1 ) + t (x2 −x
f ′′ (ξ2 ) ≥ 0. Akibatnya,
2
2
(1 − t)f (x1 ) + tf (x2 ) = f (x0 ) + E ≥ f (x0 ) = f ((1 − t)x1 + tx2 ),
sebagaimana yang kita harapkan.
Soal Latihan
1. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈
I dengan x1 < x2 < x3 berlaku
f (x2 ) − f (x1 )
f (x3 ) − f (x2 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x2
Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
77
Pengantar Analisis Real
2. Buktikan f konveks pada interval I jika dan hanya jika untuk setiap x1 , x2 , x3 ∈
I dengan x1 < x2 < x3 berlaku
f (x3 ) − f (x1 )
f (x2 ) − f (x1 )
≤
.
x2 − x1
x3 − x1
Berikan interpretasi geometrisnya beserta ilustrasinya.
3. Buktikan jika f konveks pada interval terbuka I, maka
lim
h→0−
f (c + h) − f (c)
dan
h
lim
h→0+
f (c + h) − f (c)
h
ada untuk setiap c ∈ I, dan sebagai akibatnya f kontinu pada I.
4. Misalkan f mempunyai turunan pada interval terbuka I. Buktikan f konveks
jika dan hanya jika f ′ naik pada I.
5. Misalkan I interval terbuka, f : I → R naik sejati, konveks, dan mempunyai
turunan pada I. Misalkan c ∈ I sedemikian sehingga f (c) = 0. Konstruksi
barisan hxn i dengan x1 > c dan
xn+1 = xn −
f (xn )
,
f ′ (xn )
n = 1, 2, 3, . . . .
Buktikan bahwa xn → c untuk n → ∞. (Metode penghampiran ‘akar’ f ini
dikenal sebagai Metode Newton-Raphson. Untuk f (x) = x2 − a, metode ini
menghasilkan barisan hxn i yang dibahas pada Bab 3, Contoh 13.)