Persamaan Diferensial Orde Satu (2)

Persamaan Diferensial Orde Satu
Oleh Dessy Irmawati

Kompetensi
• Mengidentifikasi tipe persamaan iferensial
biasa orde satu
• Menentukan teknik penyelesaian persamaan
diferensial dengan metode:
1. separable variable (variabel terpisah)
2. Homogeneous (homogen)
3. linear
4. exact (eksak)

Kompetensi(2)
• Mengurangi persamaan diferensial untuk
persaamaan dengan tipe-tipe di atas
menggunakan substitusi dan penyelesaian
• Permasalahan model fisika dalam bentuk
persamaan diferensial biasa orde pertama dan
penyelesaiannya

I. Introduction
• Bentuk umum persamaan diferensial biasa
orde satu:
dy
dx

 f ( x, y)

jika f(x,y) = -M(x,y)/N(x,y), maka persamaan
dapat ditulis
M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

Introduction(2)
• Contoh
dy
dx

 2 y  sin x dan 2x

dy

 (1  x) y  x 2
dx

persamaan tersebut dapat dituliskan

dy x 2  (1  x) y
 2 y  sin x dan

dx
dx
2x

dy

atau
(2y +sinx) dx – dy = 0 dan [x2 – (1 – x)y]dx -2x dy = 0

II. Separable Equation
• Metode identifikasi
bentuk umum persamaan diferensial orde satu

dy
atau
 f ( x, y)
(2.1)
dx

f(x,y) = u(x) v(y)
(2.2)
dengan subtitusi persamaan (2.2) ke (2.1) maka
dy
dx

 u ( x)v( y)

Definisi 2.1 (Separable Equation)
• Persamaan diferensial
dy

 f ( x, y)

dx
Disebut separable equation dan dapat dituliskan
dy
v( y)

 u ( x)dx

(2.3)

Contoh 2.1
• Tentukan persamaan berikut apakah separable
equation atau tidak?
dy
(a)
 xy  x
dx

dy
(b)
 xe y  x

dx

dy
(c) sin y cos x
 cos y sin x  0
dx

dy
(d) x
 x - 2y
dx

solusi
dy
 x y
dx
dy
pisahkan variable, sehingga
 xdx
1 y

maka persamaan tersebut adalah separable (dapat dipisahkan)

(a) persamaan dapat dituliskan

Solusi (2)
(b) persamaan dapat dituliskan

dy
 xe y e - x
dx

pemisahan variabel e - y dy  xe  x dx

jadi persamaan tersebut adalah persamaan yang dapat dipisahkan
(c) persamaan dapat dituliskan sin y cos x

dy
 cos y sin x
dx

sin y
sin x
dy 
dx
cos y
cos x
jadi persamaan adalah dapat dipisahkan (separable)

pemisahan variabel

(d) variabel x dan y tidak dapat dipisahkan

Solusi Separable Equation
• Solusi persamaan diferensial dengan tipe ini
didapatkan dengan mengintegrasi kedua sisi
persamaan (2.3)

dy
 v(y)  A1   u ( x)dx  A2
dimana A1 dan A 2 adalah konstanta, kemudian

dy

u
x
dx

A

A
(
)
2
1
 v(y) 

 v( y)   u ( x)dx  A
dy

Contoh 2.2
• Temukan penyelesaian persamaan berikut:

dy
(a) (x  2)
y
dx
(c) e

x

dy
dx

 xy  0
2

dy
 cot x
(b) cot y
dx
dy

2
 sec y
(d)
dx

x

dy
dx

 3  2( y 

Contoh 2.3

dy
dx

) dengan kondisi awal y  0 ketika x  3

solusi

p ersamaan menjadi
(x - 2)
2y  3
dy

dy
 2y  3
dx


x2
dx

 2y  3  x  2
dy



dx

1
ln 2 y  3  ln x  2  k
2
2 y  3  A( x  2) 2 , A  e 2 k

dengan memasukkan kondisi awal x  3 dan y  0, maka

3  A(3 - 2) ,
A 3

2

2y  3  3(x - 2) 2
jadi persamaan eksplisitnya adalah

3
3
2
y  ( x  2) 
2
2

Contoh
2.4 Temukan solusi persamaan diferensial
x (1  y)
2

dy
dx

 y 2 (1  x)  0, kondisi awal y  1 ketika x  1

solusi :

2.5 Menggunakan substitusi z = x+y ubahlah
dy
dx



x  y 1

x y5

contoh
tentukan penyelesaian pesamaan dengan kondisi
y(1)=1
2.6 menggunakan subtitusi z = xy ubahlah
x

dy
dx

 y  2 x 1  x2 y 2

tentukan penyelesaian persamaan

contoh
2.7 Berdasarkan hukum pendinginan Newton,
penentuan body cools adalah sebanding
antara suhu badan (body) dan lingkungan.
Misalkan  mewakili suhu badan dalam
ruangan (oC) yang mempunyai temperatur
tetap 18oC. Jika body cools dari 70oC hingga
57oC dalam waktu 5 menit, berapa lama suhu
akan turun menjadi 40oC?

soulsi
• Berdasarkan perubahan , yang sebanding
dengan beda antara  dan 18oC. Maka dapat
dirumuskan

d
dt

 k (  18), 40    70

2.8 A stone of mass m is trown vertically upward
from the ground with air resistance equals to
kv2g, where v is the velocity of the stone, k is
a constant and g is the gravitational constant.
If initial velocity of the stone is u, find the
maximum height attained by the stone.