PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU

Definisi:

Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel

independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.

Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam

persamaan tersebut. Contoh:

3' RUGHU VDWX − =

3' RUGHU GXD − =

3' RUGHU WLJD − =

Proses Pembentukan Persamaan Diferensial Contoh:

A, B =konstanta sembarang

− −

− − = − 3' RUGHU

Contoh: Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi − Solusi: − −

− −

dari persamaan diatas

− = − − − − −

3' RUGHU − =

Contoh: Bentuklah persamaan direfensial untuk − Solusi:

− −

− = −

Substitusi = −

− − −

−

Catatan: Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua Penyelesaian Persamaan Diferensial

Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh

turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.

Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung

Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan

dengan integrasi sederhana Catatan selanjutnya ditulis y ’ ditulis y “ Contoh:

− − − −

Contoh:

− − = −

−

Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan − = −

− − −

Masukkan nilai − = −

− = − −

Metode 2: Dengan pemisahan variabel

Bila persamaan yang diberikan berbentuk variabel di sisi kanan

−

menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.

Contoh:

− = −

− −

Contoh:

− −

− = −

Contoh:

− = − − = −

− = − −

−

Contoh:

− = − −

−

Contoh:

− − = −

= −

Contoh:

− − = −

−

PERSAMAAN HOMOGEN DENGAN SUBSTITUSI − Contoh:

−

Persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan sisi kanan dan sisi kiri dalam bentuk “factor

si , dimana v x” dan “factor y”. Dalam kasus ini kita menggunakan substitu − adalah fungsi dari x. didefinisikan, maka

Bila −

− = −

Sehingga

− − → − = − − −

− = − − −

− − = − − = −

Catatan:

− →

Substitusi − = −

− − − = − − −

− = − = − − = − −

Catatan:

− →

Substitusi − = −

− − − = −

− − −

Karena

− = − − = −

Contoh:

− − −

− = − − −

− = − − − = −

− = − − −

− = − = − − = −

Keujudan dan Ketunggalan

Dibagian sebelumnya kita lihat bahwa persamaan diferensial orde satu terjadi dalam

banyak model. Tentu saja model itu berguna bila persamaan diferensial yang dihasilkan

dapat diselesaikan secara eksplisit, atau paling sedikit jika kita dapat menemukan teknik

yang beraneka ragam untuk menyelesaikan suatu PD, akan sangat bermanfaat

mengetahui apakah PD itu mempunyai penyelesaian atau tidak. Yaitu, apakah PD itu

ujud? Sebagai contoh PD,

− tidak mempunyai penyelesaikan real,

karena ruas kiri selalu positif, Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah

−

Bila kita ketahui nilai pada saat , atau

−

Maka kita akan dapat mengetahui kedudukan/nilai y pada x berikutnya dan y akan

bergerak pada lintasan tunggal. Ini berarti, PD pada pers (1) mempunyai penyelesaian

yang memenuhi syarat (2), dan PD itu mempunyai hanya satu penyelesaian.

Syarat (2) disebut syarat awal; dan pers (1) dan syarat (2) disebut MASALAH NILAI AWAL

(MNA) atau Initial Value Problem.

PERSAMAAN LINEAR – Penggunaan Faktor Integrasi Tinjau persamaan

− Metode sebelumnya tidak dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.

= kalikan kedua sisi dengan − −

Merupakan turunan dari

− = − − −

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan ini disebut

− persamaan linear orde pertama.

Untuk menyelesaikan persamaan ini, kalikan kedua sisi dengan sebuah factor integrasi

. Hal ini akan mengubah sisi kiri menjadi turunan dari hasil yang selalu berbentuk kali. Dari contoh sebelumnya P = 5

− − = faktor integrasinya adalah .

Contoh:

− = − (P=-1; Q=x)

Factor integrasi = − − Jadi factor integrasi = Kalikan kedua sisi dengan

= − − = −

Integral disisi kanan dapat diselesaikan dengan integrasi perbagian.

Definisi Dasar Logaritma

Gunakan rumus

− = − − −

Solusi: bagi kedua sisi dengan x

−

Contoh:

− − − −

− − − − − −

− −

−

− −

Turunan dari

−

Faktor integral − −

− ; dimana P&Q fungsi dari x

Tinjau

−

− −

− = GLLQWHJUDONDQ WHUKDGDS [

− − − − − − − − −

Contoh:

−

Selesaikan persamaan diferensial tersebut

− = − − −

− − − − − − = −

− = − −

Contoh: Selesaikan PD berikut

−

Solusi: Bagi kedua sisi dengan

− = − − − − − −

− = − − −

−

Contoh: selesaikan persamaan diferensial berikut

−

Solusi:

− = − = − −

− − − − − − −

− = − − − = −

Contoh: carilah penyelesaian masalah nilai awal (MNA) atau Initial Value Problem

− −

Solusi:

− = − − − − −

− − − −

− = − − = − = −

−

Contoh: selesaikan PD berikut:

−

Solusi: kita bagi kedua sisi

− = − − − −

− − − − = − −

−

Contoh: selesaikan persamaan

− jika diketahui −

untuk − Solusi: bagi kedua sisi

− − − −

− − − − − −

− − − = −

− − = − = − −

PERSAMAAN BERNOULLI Persamaan Bernoulli: P & Q fungsi dari x

−

Bagi kedua sisi dengan

−

Masukkan − = − Jika persamaan (1) dikalikan dengan menjadi

−

; dimana adalah fungsi dari x. selanjutnya dapat

− diselesaikan dengan menggunakan sebuah factor integrasi.

Contoh: Selesaikan

−

Solusi: bagi kedua sisi dengan didapat

−

Bila − − −

− = − − −

Maka persamaan (*) menjadi

− = − − = −

− − = → → − − −

− = − − − → − −

= −

Bila kita cek kembali untuk melihat apakah y menyelesaikan persamaan asal

− = → − − − −

− − −

− =sesuai dengan soal

Contoh: selesaikan persamaan berikut

−

Solusi: = solusi dasar − Bagi kedua sisi dengan menghasilkan

−

Bagi kedua sisi dengan

−

Misal − − = − − Kalikan persamaan (*) dengan -3; maka

− = −

Selesaikan persamaan dengan metode

− − − − − − −

− = − − −

maka Karena − −

− = − −

Contoh: selesaikan

−

Solusi: bagi kedua sisi dengan merupakan bentuk dasar

− −

Bagi kedua sisi dengan

− − − − −

Kalikan dengan

= − = −

Selesaikan dengan factor integral; − −

− − − − − = − −

− karena − − = − −

− Aplik asi PDB Order Satu

3.1 Masalah Dalam Mekanik

4 Misal adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama

₄ x

waktu maka kecepatan rata-rata dide nisikan

_{4 ;}

_{B A} _r x x x

v = = :

_{4 ;}

_{B A} t t t

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah ₄

x v = lim v = lim _{4!0 4t!0} ₄ t

dx v = ( m=dt ) : dt ₂ dv

= ( )

v m=dt

Hukum ini juga disebut hukum Kelemba-

Hukum 3.1.1 (Hukum Newton I)

man Newton yang berbunyi ' setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam

atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya-gaya yang bekerja pada benda itu'.

Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya

Hukum 3.1.2 (Hukum Newton II)

yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus (sebanding) dengan besar gaya itu, dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu. Se- cara matematis dapat ditulis sebagai a = F=m atau F = ma dimana F adalah gaya dan m suatu massa.

Analog dengan hukum Newton II ini, gerak jatuh bebas suatu benda dengan berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah

W = mg:

F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a = g , sehingga bisa kita tulis

mg = W ma = F

= F

mdvdt dx

mdv = F

dx dt

mvdv = F

adalah model dari PDB order satu.

Contoh 3.1.1 Benda dengan berat 8 newton dijatuhkan dari suatu ketinggian

tertentu, yang bearawal dari keadaan diam. Jika kecepatan benda jatuh itu v ,

₂

= 10 _;

dan kecepatan gravitasi bumi adalah g m=dt , serta gaya gesek udara adalah

2 v . Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu.

_{P en y elesaian} _3.1.1 P ₁ Hukum newton mengatakan F = ma atau F = ma . ₂ Dalam hal ini f = W = 8 newton (gaya kebawah), dan F =gaya gesek udara _; = 2 v (gaya keatas) sehingga

= F F

mdvdt

8 dv _; = 8 2 v 10 dt

1 _; dt 8 2 vdv = 108

Karena benda berawal dari keadaan diam maka v (0) = 0, sehingga model PDB sekarang adalah

1 _; dt 8 2 vdv

= 108

v (0) = 0

Integralkan kedua ruasnya didapat _{; ;}

1 ₁ 2 v ) + c t c + 2 ln(8 = 108 _{; ;}

5 ₂ ln(8 2 v ) = t c + _; _{; t+c}

2 ₂ ₅ ₂ (8 2 ) =

v e _; _{; t} ₂ ₅

2 = + 8

v Ce _; _{; t} ₅ ₂ v Ce )

= 12(8 Dengan memasukkan nilai awal (0) = 0 maka = 4 sehingga ekspresi kecepatan

v c

adalah _; _{; t} ₅ ₂ ( ) = 4

v t e :

_dx

_dt

Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah ( ) kedalam =

v t v sehingga model PDB sekarang adalalah _{; t} ₅

dx _; ²

= 4 2 e

dt x (0) = 0

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu adalah ₅ _t _;

4 ²

x ( t ) = 4 t e

3.2 Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika Q menunjukkan jumlah, kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t , maka perubahan (bertambah=pertumbuhan atau berkurang=peluruhan) yang _dQ _dt disimbulkan dengan berbanding lurus dengan kuantitas Q , dengan kata lain

= rQ pertumbuhan

dt dQ _;

= rQ peluruhan

3.2.1 Pertumbuhan Populasi

Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t , k adalah konstanta proportionalitas atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

= ky

y ( t ) = y

3. berapa jumlah populasi terbesar untuk t > 1980

(

2 tahun 1980

x ² Bila tahun 1980 jumlah populasinya 100,000 maka 1. berapa besar populasi tahaun 2000 2. tahun berapa jumlah populasi akan menjadi

1 (10) ⁸

= 1 100

3.1.

PDB ini dikenal dengan persamaan ^{V erh ulst} atau persamaan ^Logistik . Solusi kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar

) =

r a y

Selanjutnya bila k berubah-ubah maka dapat kita ganti dengan h ( y ) yang dapat dipilih h ( y ) = r ^;

y dimana K

)

y K

(1 ^;

ay ) y dy dt

= ( r ^;

ay maka model pertumbuhan menjadi ^dy ^dt

3 -2 _-1

_y(x)

_-1

_-0.5

^0.5

^1.5

^2.5

^x _{Asymptotic solution} Gambar 3.1: Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi. _{Con toh} _3.2.1 Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut dx dt P en y elesaian ^3.2.1 _x Bila tahun 1980 jumlah populasi 100,000 maka dapat dikatakan (1980) = 100 000 sehingga model PDB sekarang adalah _dx ₂ _{x ; x}

1 ₈ _dt = 1 _{x t x} 100 (10) ( ) =

Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah _{;2 ;8} _{x ; x}

1 _{2 =} _{dx dt} (10) (10)

Integralkan kedua ruasnya _{Z Z} _{;2 ;6}

1 _{dx dt} _{x ; x} = (10) (1 (10) ) _{Z Z} _;6

1 _{dx dt} 100 + (10) ;6 = _{x ; x} _; _{x ; ; x c t c} 1 (10) _;6 ₁ 100 ln ln(1 (10) ) = _{x t} + + _c ₂ ln ;6 = _{; x} 1 (10) 100 + _{; x} _{x t} _{;6 =} _e ₁₀₀ _+c ₂ 1 (10) _{; x} _{x t} _{;6 =} _ce ₁₀₀ 1 (10) _x _ce ₁₀₀ _t _t = _;6 _ce ₁₀₀ _{x c} 1 + (10) _9e ₍₁₀₎ _19:8 ₆ Terapkan nilai awal (1980) = 100 000 didapat = sehingga ₆ _{x t}

10 ( ) = 19:8;t=100 (3.1) _e 1 + 9

Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut _{t t} 1. jumlah populasi tahun 2000 artinya = 2000. Substitusikan nilai ini _x kedalam persamaan 3.1 didapat = 119 495. Dengan demikian jumlah populasi tahun 2000 adalah 119,495 orang.

2. jumlah populasi 2 tahun 1980, berarti ^x = 200 000. Substitusikan nilai _x ini kedalam persamaan 3.1 didapat ^t = 2061. Dengan demikian jumlah populasi akan dua kali lipat tahun 1980 dicapai pada tahun 2061.

3. Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas ( ^{t !} ¹ ) berarti _x = lim _t!1

10 ⁶ 1 + 9 ^e ^19:8;t=100 _x = lim _t!1

10 ⁶ 1 + 9 ^e ^19:8 ^e ^t=100 _x = 10 ⁶ = 1 000 000

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak terbatas adalah satu juta orang. _{3.2.2 P eluruhan Radioaktif} Con toh ^3.2.2 Radioaktif isotop Thorium-234 meluruh pada tingkat yang seband-

ing dengan jumlah isotop. Jika 100 mg dari material meluruh menjadi 82.04 mg

2. tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari

_{P en y elesaian}

_3.2.2

_dQ

_dt

= ^{;r Q} _Q (0) = 100 Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh _{Q t e} _{;r t} ( ) = 100

Kemudian terapkan sarat kedua, yakni dalam satu minggu (7 hari) isotop men- _{Q : r} jadi 82.04 mg artinya (7) = 82 04 mg akan didapat nilai , sedemikian hingga ekspresi jumlah terhadap waktu (hari) adalah _{Q t e :} _;0:02828t

( ) = 100 Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan- pertanyaan diatas. (Teruskan sebagai latihan.)

3.3 Hukun P endinginan Newton Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya. Dengan _{x x} _s demikian bila Suhu benda itu adalah dan suhu sekitarnya itu adalah maka _t proses pendinginan Newton terhadap waktu digambarkan dengan _dx _{k x ; x k >} _s _k _dt = ( ) _{Con toh} dimana adalah konstanta tingkat pendinginan. _{3.3.1 C} _o

80 _o _{C t} Suatu benda dengan suhu diletakkan diruangan yang bersuhu _o _C 50 = 0

pada saat . Dalam waktu 5 menit suhu benda tersebut menjadi , maka 1. tentukan fungsi suhu pada saat tertentu 2. tentukan besarnya suhu benda pada 10 menit terakhir

3. kapan suhu menjadi _3.3.1

60 Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses pendinginan dapat ditulis sebagai _dx _{k x ;} _{x dan x} _dt = ( 50) (0) = 80 (5) = 70

o _C _{P en y elesaian}

Solusi dari persamaan itu adalah ln( 50) + = ^{x ; c k t c} _{x ; ce} _{k t} ¹

( 50) = _{x ce} _{k t} _c

= 50 + Masukkan nilai awal maka nilai = 30 sehingga persamaan menjadi _{x e} _{k t}

= 50 + 30 Dan masukkan kondisi kedua didapat _k _; ₅ ₁ _e

2 =

3 sehingga ekspresi terakhir menjadi _; ₅ _t _{x t}

2 ( ) = 50 + 30

3 Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini.

3.4 Campuran

Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu- _Q ran lain dengan konsentrasi berbeda. Bila menunjukkan jumlah bahan pada dQ _dt saat tertentu, maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan . Kemudian bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang keluar, dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka

dQ _;

IN OUT _{v =r liter/min} dt k =s gram/liter _{K= L liter} v =r liter/min Q(0) = Q_0 gram

Gambar 3.2: Proses campuran dalam tangki. Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka

IN = kv = sr gram=liter

Q Qr

_{Con toh}

_3.4.1

Suatu tangki mula-mula berisi 200 liter larutan yang mengandung 100 gram garam.

Larutan (lain) yang mengandung garam dengan konsentrasi 1 gram/liter masuk

kedalam tangki dengan laju 4 liter/menit dan bercampur dengan sempurna, ke-

1. Formulasikan masalah nilai awal tersebut

_{P en y elesaian} 2. Tentukan jumlah garam Q setiap saat. _3.4.1 Formula campuran adalah dQ _;

IN OUT: dt

Diketahui s = 1 gram=liter r = 4 liter=menit L = 200 liter dan Q (0) = 100 didapat

IN = kv = s gram=liter r liter=menit = 4 gram=liter

Q Q Q

OUT = = r liter=menit = 4 gram=liter

Kv K gram=liter 200

Sehingga

1. Model PDBnya adalah

dQ Q Q _{; ;}

= 4

dt 200 = 4

50 (0) = 100

2. Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat _; _;t=50 ( ) = 200 100

Q t e

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA ORDE SATU