Persamaan Diferensial Orde Satu (3)

PERSAMAAN DEFERENSIAL
ORDE SATU
HOMOGENOUS EQUATION
Oleh Dessy Irmawati

2.2 Homogeneous Equation


Pada pembahasan ini akan dibahas pers
diferensial biasa orde satu dimulai dengan
cara mengidentifikasi persamaan

2.2.1 Metode Identififkasi


Bentuk umum persamaan diferensial orde
pertama

dy
 f ( x, y)
dx

f (x, y)  f ( x, y)
 untuk semua bilangan real

persamaan disebut homogen jika

Definisi 2.2 (Pers Homogen)


Persamaan diferensial

dy
 f ( x, y)
dx

disebut persamaan homogen jika
f(x, y)=f(x,y), untuk setiap nilai real .

Contoh 2.1


Tentukan apakah persamaan di bawah ini
adalah homogen
dy
xy
dy
y

x
(a)
(b) dx  x2  y 2

dx

(c)

y x

dy
 x y

dx

(d)

dy
y
 x(ln y  ln x)
dx

solusi
(a)

dy y  x

dx y  x
f ( x, y) 

y x
y x

cek untuk homogenita s

y - x
f(x, y) 
y  x
y-x

yx
 f ( x, y)

jadi persamaan tersebut homogen

(b)

xy
dy
 2
dx x  y 2

xy

f(x, y)  2
x  y2
cek homogenita s

(x)(y)
f (x, y) 
(x) 2  (y) 2
xy
 2
x  y2
 f(x, y)

(c)

dy
x-y
dx
f(x, y)  x - y
cek homogenita s,

f(x, y)  x - y

  (x - y)

persamaan tidak homogen

(d)

dy
y
 x(ln y  ln x)
dx
dy x
 (ln y  ln x)
dx y

x
f ( x, y)  (ln y  ln x)
y

cek

f (x, y) 

x  y 
ln  
y  x 

x  y
 ln  
y  x
 f(x, y)

Solusi persamaan homogen

y
y  xv atau v 
x

dy

dv
 v x
dx
dx

Teknik mencari solusi pers.
homogen


Yakinkan bahwa persamaan homogen
 Subtitusi y = xv dan dy  v  x dv ke dalam
dx
dx
persamaan awal
 Pisahkan variabel x dan v
 Integralkan kedua sisi
 Jika ada kondisi awal, maka subtitusikan

contoh


Cari penyelesaian dari persamaan
diferensial
dy
xy
 2
dengan kondisi awal y(0) = 2
dx x  y 2
dy
xy
Penyelesaian:

dx

x2  y 2

f ( x, y) 

xy

x2  y 2

cek

f (x, y) 



xy
(x) 2  (y) 2

xy
x 2  y2
 f(x, y)

Untuk menyelesaikannya perlu subtitusi y =
xv
2



1
v
dx

dv
x( xv)
 3 dv  
 2
v x
x
 v 
dx x  ( xv) 2
dx
 1 1
v
 3  dv  

2
v
v
x


1 v
dx
 1 1
v
dv
 3  dv   


v
x

x
v v
dx 1  v 2
1
v3
 2  ln v   ln x  k
2v
2
1 v

1
ln v  ln x  k  2
2v
1
ln xv  k  2
2v
subtitusi v  y/x,
x2
ln y  k  2
2y

y  Ae

x 2 / 2 y2

kondisi awal x  0, dan y  2
2  Ae 0
A 2

y  2e

, A  ek

x2 / 2 y 2



Temukan penyelesaian persamaan berikut
2
2
2
2

dy
x
y
dy
x

y
1)
2)


dx

3)

xy  x2

dy x  y

dx x  y

dx

4)

xy

dy
2 y2
 2
dx x  y 2

5) Dengan x = X dan y = Y+2, cari solusi
pers berikut:
dy x  y  2

dx x  y  2

Persamaan Linear


Definisi
persamaan diferensial

dy
a ( x)
 b ( x) y  c ( x)
dx

di mana a(x), b(x), dan c(x) fungsi kontinyu dari x
atau disebut sebagai pers linear orde pertama

contoh
(a)

dx
x  2 y  x 1
dy

dy
1



(
1
x
)
x
(
y
sin
x)
(b)
dx
2

(c)
(d)

dy
x
2
 y e
dx
dy
2x
 xe y  sin x
dx
2

Teknik penyelesaian pers. linear
1.

dy
 p ( x) y  q ( x)
dx

 p ( x)dx

2. Cari p(x) dan menilai

3. Atur faktor integrasi

p ( x ) dx

 e

4. Kalikan (1) dengan faktor integrasi ,
sehingga
d
[ y]  q ( x)
dx
5. Integralkan kedua sisinya kemudian temukan
y.
6. Jika ada kondisi awal, maka gunakan untuk
mendapatkan nilai konstanta.

e

ln f(x)

 f(x), for f(x)  0

contoh
Temukan penyelesaian dari pers diferensial
berikut:
1) dy  y tan x  cos x , dengan y(0) = 1
dx

1
dy
(1  x )  xy 
1  x2
dx
2

2)
3) Dengan z=y2 , ubah pers. Diferensial
dy
x y
 xy 2  1
dx
2

ke pers. Linear dalam z. Cari penyelesaian
pers. Awal dengan y(1)=1

Persamaan Bernoulli


Contoh
dy
 p ( x) y  q ( x) y n , n  1
dx

yang mengurangi pers. Linear dengan
subtitusi z = y1-n
persamaan ini dinamakan James Bernoulli
(1654 -1705).



Tunjukkan jika z = sin y, pers. Diferensial

dy tan y sec y

 2
dx
x
x

dz z 1
  2
pers. dirubah menjadi
dx x x

solusi




Diberikan z = sin y, maka
dz
dy
 cos y
dx
dx
dy
dz
 sec y
dx
dx
Subtitusikan ke pers. Awal
dz tan y sec y
 2
sec y 
dx
x
x

dz sin y 1

 2
dx
x
x

dz z 1
  2
dx x x

Dengan persamaan llinear z. Maka dapat ditunjukkan
faktor integrasi adalah
(x) = x
Pers. Dapat dituliskan
xz  

1
d
[ xz ] 
dx
x

 d [ xz]  

dx
x

dx
x

xz  ln x  A

Subtitusikan kembali, sehingga x sin y = ln x +A

contoh
A simple electrical circuit consist of s constant
resistant R (in Ohm), a constant inductant L (in
henrys) and an electromotive force E(t) (in volts).
According to Kirchoff’s second law, the current i (in
amperes) in the circuit satisfies the equation.
di
L  Ri  E (t )
dt

Solve the diffrential equation with the following
conditions.
(a) E(t) = Eo is a constant and i = io when t = 0.
describe the current i when t  
(b) E(t) = 110 sin 120t, L=3 henrys, R = 15 Ohm
and i = 0 when t =0