Desain instruksional dan proses pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik pada materi menggunakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) untuk menyamakan penyebut pecahan - USD Repository

  

DESAIN INSTRUKSIONAL DAN PROSES PEMBELAJARAN

MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN REALISTIK PADA MATERI

MENGGUNAKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

UNTUK MENYAMAKAN PENYEBUT PECAHAN

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Matematika Program Studi Pendidikan Matematika

  Oleh : Felline Megaliana

  NIM : 051414050

  

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

DESAIN INSTRUKSIONAL DAN PROSES PEMBELAJARAN

MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN REALISTIK PADA MATERI

MENGGUNAKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

UNTUK MENYAMAKAN PENYEBUT PECAHAN

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Matematika Program Studi Pendidikan Matematika

  Oleh : Felline Megaliana

  NIM : 051414050

  

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  “Pada hari aku berseru, Engkau pun menjawab aku,

Engkau menambahkan kekuatan dalam jiwaku”

(Mazmur 138 : 3)

  Skripsi ini kupersembahkan untuk Tuhan Yesus, seluruh keluarga, almamater dan teman-temanku

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan di dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, 2 Juni 2010 Penulis, Felline Megaliana

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

  Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswi Universitas Sanata Dharma : Nama : Felline Megaliana Nomor Mahasiswa : 051414050

  Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kapada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul :

  

DESAIN INSTRUKSIONAL DAN PROSES PEMBELAJARAN

MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN REALISTIK PADA MATERI

MENGGUNAKAN KELIPATAN PERSEKUTUAN TERKECIL (KPK)

UNTUK MENYAMAKAN PENYEBUT PECAHAN

  beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Yogyakarta Pada tanggal : 2 Juni 2010 Yang menyatakan Felline Megaliana

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ABSTRAK Felline Megaliana, 2010, Desain Instruksional dan Proses

Pembelajaran Matematika dengan Pendekatan Realistik pada Materi

Menggunakan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) untuk Menyamakan

Penyebut Pecahan. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu

Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

  Penelitian ini bertujuan untuk membuat desain instruksional dengan pendekatan realistik pada materi menggunakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) untuk menyamakan penyebut pecahan. Penelitian dilaksanakan di SD Timbulharjo. Subyek penelitian adalah siswa-siswi kelas IV SD Timbulharjo.

  Penelitian diawali dengan melaksanakan desain instruksional di kelas selama 4 pertemuan. Pada pertemuan I, II, IV siswa diberi Lembar Kerja Siswa (LKS) sesuai pada materi yang dipelajari pada pertemuan tersebut. Setelah semua desain dapat dilaksanakan, dipilih 5 orang siswa secara acak untuk diwawancarai. Pertanyaan yang diberikan dalam wawancara, berupa soal-soal tentang KPK, penjumlahan pecahan baik dengan penyebut sama atau beda serta hal-hal yang berkaitan dengan pecahan. Setelah itu dilihat bagaimana keterlaksanaan desain pembelajaran dikelas dan bagaimana hasil LKS siswa serta hasil wawancara yang telah dilakukan.

  Hasil penelitian menunjukkan bahwa rancangan dalam desain instruksional yang disusun tidak selalu dapat membantu (memfasilitasi) pemahaman siswa. Terutama pada desain untuk pertemuan III. Hal ini mungkin dikarenakan materi pertemuan III sulit dan siswa lebih cenderung untuk menghafal. Untuk keterlaksanaan desain adalah sebagai berikut desain pembelajaran terlaksana dengan baik pada pertemuan I dan II, pada pertemuan III walaupun dengan menggunakan bantuan gambar, siswa masih merasa kesulitan. Sedangkan untuk pertemuan IV sebagian besar rancangan dapat terlaksana dengan baik walaupun pada awalnya siswa masih bingung dalam menyamakan penyebut dengan bantuan KPK. Dalam kegiatan pembelajaran dan hasil LKS terlihat beberapa siswa cenderung hafalan dalam menyamakan penyebut pecahan. Ada juga siswa yang dalam menjumlahkan pecahan baik penyebut sama atau beda, langsung menjumlahkan penyebut dengan penyebut dan pembilang dengan pembilang. Selain itu dalam menentukan hubungan dari dua pecahan (membandingkan pecahan), beberapa siswa yang diwawancarai hanya melihat dari penyebut dan pembilang mana yang memiliki nilai yang lebih besar. Dari hasil ini diharapkan dalam semua kegiatan pembelajaran matematika lebih ditekankan lagi tentang pemahaman konsep.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  ABSTRACT Felline Megaliana, 2010, Instructional Design and Mathematics

Learning Process Using Realistic Approach on the Materials of Using Least

  Common Multiple (LCM) to Equalize Fraction Denominator.

  Mathematics Education Study Program, Department of Mathematics

and Science Education, Faculty of Teacher Training and Education, Sanata

Dharma University, Yogyakarta.

  This research was aimed to make an instructional design using realistic

approach on the materials of using Least Common Multiple (LCM) to equalize

fraction denominator. The research was conducted at SD Timbulharjo

(Timbulharjo Elementary School). The subjects of this research were grade 4

students of Timbulharjo Elementary School.

  The research was started by carrying out the instructional design for 4

(four) sessions in the classroom. In the first, second and fourth sessions, the

students were given worksheets related to the materials they were learning in

those sessions. Five students were chosen randomly for interwiews. The given

questions were about Least Common Multiple (LCM), fraction addition using the

same or different denominator and the problems related to fraction.

  The result of the research shows that the planning of instructional design

does not always help facilitate the student’s understanding, especially the lesson

design in the third session. The instructional designs were carried out successfully

in the first and second sessions. In the third session the students still found

difficulties although they were helped by giving them pictures as learning aids. In

the fourth session the learning design was carried out quite well although in the

beginning the students got confused to equalize the denominator using Least

Common Multiple (LCM). Some students had tendency to memorize when

equalizing fraction denominator. Some students directly added denominator and

denominator, numerator and numerator. In comparing 2 (two) fractions, some

interviewed students only looked at the greater denominator and numerator.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan pada Tuhan Yesus Kristus atas berkat yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul :

  

“Desain Instruksional dan Proses Pembelajaran Matematika dengan

Pendekatan Realistik pada Materi Menggunakan Kelipatan Persekutuan

Terkecil (KPK) untuk Menyamakan Penyebut Pecahan”.

  Tujuan dari penyusunan skripsi ini adalah untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

  Dalam penyusunan skripsi ini, peneliti mendapat bantuan dari beberapa pihak. Oleh karena itu peneliti menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

  1. Bapak Prof. Dr. St. Suwarsono selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika dan Dosen Pembimbing yang telah bersedia membimbing dan memberikan pengarahan sampai skripsi ini terselesaikan.

  2. Ibu Domesia Novi Handayani, S.Pd., M.Sc yang telah membantu dan memberikan pengarahan pada penulis.

  3. Bapak Drs. Sukardjono, M.Pd dan Bapak Drs. Th. Sugiarto, M.T selaku dosen penguji yang telah memberikan masukan yang berguna bagi penulis.

  4. Para Dosen Pendidikan Matematika yang telah memberikan pengetahuan yang berguna bagi masa depan penulis.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  5. Bapak Muh. Thoyib, S.Pd selaku Kepala Sekolah dan Bapak Mukija, S.Pd.

  SD selaku guru kelas IV SD Timbulharjo.

  6. Siswa-siswi kelas IV SD Timbulharjo yang telah berpartisipasi dalam penelitian.

  7. Mama, mami, adek-adekku Mario dan Tata, tante-tante dan om ku yang selalu memberikan doa, pengorbanan, kesabaran, kepercayaan dan dukungan kepada peneliti.

  8. Saudara Eva dan Made atas pinjaman handycam saat penelitian dan saudara Maria Fransisca atas pinjaman printer.

  9. Teman-teman kos Dini, Lesti, Fani, Kristin, Desi, Prapti, Eni, Nita, Ita, Sisil, Kak Oktaf dan Sesi yang telah mendukung dan memberikan semangat pada peneliti.

  10. Dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu demi satu.

  Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu peneliti mengharapkan saran, kritik dan masukan yang bersifat membangun dari pembaca.

  Harapan penulis, semoga skripsi ini dapat memberikan sumbangan manfaat bagi dunia pendidikan dan ilmu pengetahuan.

  Yogyakarta, 2 Juni 2010 Penulis,

  Felline Megaliana

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL.............................................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING.................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN.............................................................................. iii HALAMAN PERSEMBAHAN............................................................................ iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA................................................................ v LEMBAR PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS............................................................................. vi ABSTRAK............................................................................................................ vii ABSTRACT........................................................................................................ viii KATA PENGANTAR.......................................................................................... ix DAFTAR ISI......................................................................................................... xi DAFTAR LAMPIRAN........................................................................................ xv

  BAB I PENDAHULUAN...................................................................................... 1 A. Latar Belakang.................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah................................................................................ 3 C. Tujuan Penelitian...................................................................................3 D. Pembatasan Masalah............................................................................ 3

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  F.

  Manfaat Penelitian.............................................................................. 4

  BAB II LANDASAN TEORI.............................................................................. 5 A. Desain Pembelajaran.......................................................................... 5 B. Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI)........................ 8 C. Pemahaman Siswa............................................................................. 13 D. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)............................................. 16 1. Mendaftar Kelipatan..................................................................... 18 2. Menggunakan Tabel..................................................................... 19 3. Menggunakan Faktorisasi Prima.................................................. 20 E. Ekuivalensi 2 Pecahan....................................................................... 21 F. Menyamakan Penyebut Pecahan........................................................ 23 a. Menjumlahkan Dua Pecahan dengan Penyebut Berbeda............ 23 b. Membandingkan Dua Buah Pecahan........................................... 31 BAB III METODE PENELITIAN............................................................... 31 A. Jenis Penelitian.................................................................................. 33 B. Subyek Penelitian.............................................................................. 33 C. Tempat dan Waktu Penelitian........................................................... 31 D. Bentuk Data dan Metode Pengumpulan Data................................... 34 E. Instrumen Penelitian.......................................................................... 35 F. Cara Penganalisisan Data.................................................................. 36 BAB IV DESAIN INSTRUKSIONAL....................................................... 37 A. Kegiatan 1 : Mengingat kembali KPK.............................................. 37

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  B.

  Kegiatan 2 : Melakukan operasi penjumlahan dan pembandingan pecahan dengan penyebut sama........................................................ 41 C.

  Kegiatan 3 : Menyamakan penyebut pecahan ................................. 48 D.

  Kegiatan 4 : Menggunakan KPK untuk menyamakan penyebut pecahan............................................................................................. 57

  BAB V DESKRIPSI KEGIATAN PEMBELAJARAN..................................... 64 A. Deskripsi Kegiatan Pembelajaran Rabu, 7 Oktober 2009................ 64 B. Deskripsi Kegiatan Pembelajaran Kamis, 8 Oktober 2009.............. 75 C. Deskripsi Kegiatan Pembelajaran Selasa, 13 Oktober 2009............ 85 BAB VI ANALISIS DAN PEMBAHASAN DARI PROSES PEMBELAJARAN.............................................................................................. 97 A. Hasil Penelitian Lembar Kerja Siswa................................................ 97 B. Hasil Penelitian pada Kegiatan Pembelajaran................................. 101 C. Hasil Penelitian pada Wawancara................................................... 106 D. Pembahasan Hasil Penelitian Lembar Kerja Siswa (LKS)............. 108 1. Pemahaman Siswa tentang KPK................................................ 106 2. Pemahaman Siswa tentang Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Sama............................................................................................ 111 3. Pemahaman Siswa tentang Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Berbeda....................................................................................... 118 E. Keterlaksanaan Desain Instruksional di Dalam Kelas (Kesesuaian Desain Instruksional)....................................................................... 128 1. Kegiatan 1 : Mengingat kembali KPK........................................ 128

  2. Kegiatan 2 : Melakukan operasi penjumlahan dan pembandingan pecahan dengan penyebut sama................................................... 130

  3. Kegiatan 3 : Menyamakan penyebut pecahan ............................ 134 4.

  Kegiatan 4 : Menggunakan KPK untuk menyamakan penyebut pecahan....................................................................................... 139 F.

  Pembahasan Wawancara.................................................................. 144 1.

  Pemahaman Siswa Mengenai KPK............................................ 144 2. Pemahaman Siswa Mengenai Pecahan dengan Penyebut Sama..151 3. Pemahaman Siswa Mengenai Pecahan dengan Penyebut

  Berbeda....................................................................................... 165

  BAB VII KESIMPULAN DAN SARAN.......................................................... 187 A. Kesimpulan....................................................................................... 187 B. Saran................................................................................................. 189 DAFTAR PUSTAKA........................................................................................ 192 PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  LAMPIRAN-LAMPIRAN Lampiran 1 : Transkrip Hari Pertama................................................................. 193 Lampiran 2 : Transkrip Hari Kedua.................................................................... 196 Lampiran 3: Transkrip Hari Ketiga..................................................................... 211 Lampiran 4 : Transkrip Hari Keempat................................................................ 228 Lampiran 5 : Transkrip Wawancara dengan SG................................................. 246 Lampiran 6 : Transkrip Wawancara dengan SX................................................. 253 Lampiran 7 : Transkrip Wawancara dengan SZ................................................. 259 Lampiran 8 : Transkrip Wawancara dengan SL................................................. 269 Lampiran 9 : Transkrip Wawancara dengan SAA.............................................. 277 Lampiran 10 : Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) pertemuan 1............ 283 Lampiran 11 : Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) pertemuan 2............ 288 Lampiran 12 : Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) pertemuan 3............ 293 Lampiran 13 : Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) pertemuan 4............ 298 Lampiran 14 : Soal Lembar Kerja Siswa (LKS) tentang KPK........................... 304

  PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Lampiran 15 : Soal Lembar Kerja Siswa (LKS) tentang Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Sama................................................................ 305 Lampiran 16 : Soal Lembar Kerja Siswa (LKS) tentang Penjumlahan Pecahan dengan Penyebut Berbeda........................................................... 306 Lampiran 17 : Dokumentasi Kegiatan Pembelajaran.......................................... 307 Lampiran 18 : Hasil Lembar Kerja Siswa........................................................... 309 Lampiran 19 : Surat Izin Permohonan Penelitian............................................... 335 Lampiran 20 : Surat Keterangan Telah Melaksanakan Penelitian...................... 336

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika adalah mata pelajaran yang dianggap sulit oleh kebanyakan

  siswa. Bahkan dari SD matematika dianggap sebagai momok yang menakutkan hal ini tampak dari tak sedikit siswa yang merasa gelisah ketika mengikuti pelajaran matematika. Dari pengalaman peneliti ketika mengikuti pelajaran matematika di sekolah dasar, materi matematika kelas IV, V, VI adalah materi yang mulai sulit diikuti dan ketika mengikuti pelajaran matematika siswa merasa takut dan gugup. Terlebih ketika peneliti mendapat materi yang baru di kelas IV Sekolah Dasar, seperti KPK dan materi pecahan. Dalam materi pecahan ini terdapat persoalan yang sulit yaitu membandingkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Hal yang sama mungkin juga dirasakan oleh siswa lain saat ini. Hal ini dilatarbelakangi oleh kurang terampilnya siswa dalam menyamakan penyebut pecahan. Menyamakan penyebut digunakan sebagai dasar untuk membandingkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Selain itu juga diperlukan dalam melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut beda. Kurangnya pemahaman siswa terhadap konsep menyamakan pecahan dapat disebabkan strategi pembelajaran yang digunakan oleh guru kurang sesuai. Kebanyakan guru masih menggunakan metode konvensional dalam kegiatan pembelajaran.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  Dari latar belakang yang pernah dihadapi peneliti dan mungkin juga siswa lain inilah, maka peneliti berusaha membuat rancangan atau desain pembelajaran yang diharapkan dapat memberi masukkan bagi guru. Dalam hal ini peneliti membuat desain pembelajaran dengan pendekatan realistik pada materi menggunakan KPK untuk menyamakan penyebut pecahan. KPK adalah kelipatan persekutuan terkecil, dimana dapat mempermudah siswa dalam menyamakan penyebut pecahan dan menyederhanakan pecahan. Menyamakan penyebut pada pecahan sangat dibutuhkan sebagai dasar operasi penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Masalah yang sering dihadapi pada penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda adalah siswa langsung menjumlahkan atau mengurangkan pecahan tanpa menyamakan penyebut terlebih dahulu. Selain itu menyamakan penyebut juga dibutuhkan dalam membandingkan pecahan. Karena tidak semua siswa sekolah dasar mampu membandingkan pecahan secara langsung.

  Desain instruksional ini dibuat menggunakan pendekatan realistik, dengan tujuan siswa dapat terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran. Selain itu juga diharapkan dapat meningkatkan pemahaman siswa. Pendekatan relistik di Indonesia dikenal dengan PMRI (Pendidikan Matematika Realistik Indonesia). Salah satu karakteristik dari PMRI adalah murid aktif, guru aktif oleh karena itu diharapkan siswa dapat mengikuti kegiatan pembelajaran secara aktif (Marpaung, 2007 : 9). Karakteristik lain PMRI adalah pembelajaran sedapat mungkin dimulai dengan masalah-masalah yang kontekstual atau realistik bagi siswa. Contoh masalah kontekstual yang

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  berkaitan dengan pecahan adalah membagi sebuah kue menjadi beberapa bagian. Karena penyampaian materi dimulai dari masalah yang kontekstual atau nyata diharapkan siswa dapat lebih memahami materi yang disampaikan guru. Oleh karena itu peneliti berusaha membuat desain instuksional dengan pendekatan realistik dengan tujuan dapat memberi masukkan untuk guru. Agar siswa dapat dengan nyata memahami materi yang disampaikan oleh guru yakni mampu membandingkan pecahan, terlebih lagi dapat meningkatkan pemahaman siswa.

  B. Rumusan Masalah 1.

  Bagaimanakah desain instruksional matematika dengan pendekatan realistik subbab menggunakan KPK untuk menyamakan penyebut pecahan dapat membantu (memfasilitasi) pemahaman siswa? 2. Bagaimanakah proses pembelajaran matematika yang dilaksanakan berdasarkan desain tersebut?

  C. Tujuan Penelitian

  Membuat desain instruksional dengan pendekatan realistik pada materi menggunakan KPK untuk menyamakan penyebut pecahan.

  D. Pembatasan Masalah

  Desain instruksional dan hasil penelitian hanya berlaku di kelas IV SD Timbulharjo

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

E. Penjelasan Istilah 1.

  Desain instruksional merupakan rancangan yang memuat rangkaian proses pembelajaran, yang merumuskan tujuan pembelajaran, strategi, materi, teknik dan media agar tujuan pembelajaran dapat tercapai.

  2. Pendekatan Realistik dalam pembelajaran adalah pendekatan yang menggunakan konteks nyata, siswa aktif dan siswa diberi kesempatan untuk mengerjakan soal sesuai dengan cara dan kemampuan masing- masing.

3. KPK merupakan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan atau lebih.

F. Manfaat Penelitian 1.

  Dengan adanya penelitian ini, diharapkan dapat memberikan masukkan bagi guru bagaimana desain instruksional dengan pendekatan realistik pada subbab menggunakan KPK untuk menyamakan penyebut pecahan.

2. Bagi penulis, diharapkan dapat menjadi pengalaman dan pengetahuan yang berguna bagi seorang calon guru.

  3. Bagi pembaca, diharapkan penelitian ini menambah referensi pengetahuan tentang dunia pendidikan

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

BAB II LANDASAN TEORI A. Desain Pembelajaran Dalam kegiatan pembelajaran dibutuhkan suatu desain pembelajaran,

  dengan tujuan memfasilitasi proses belajar. Menurut Reigeluth (Dewi Salma Prawiradilaga, 2007 : 15), desain pembelajaran adalah kisi-kisi dari penerapan teori belajar dan pembelajaran untuk memfasilitasi proses belajar seseorang.

  Rothwell dan Kazanas merumuskan desain pembelajaran terkait dengan peningkatan mutu kinerja seseorang dan pengaruhnya bagi organisasi. Selain itu Gagne, Briggs, dan Wager (2007) mengembangkan konsep desain pembelajaran dengan menyatakan bahwa desain pembelajaran membantu proses belajar seseorang, di mana proses belajar itu sendiri memiliki tahapan dan jangka panjang. Proses belajar terjadi karena adanya kondisi-kondisi belajar, internal maupun eksternal. Kondisi internal adalah kemampuan dan kesiapan pebelajar, sedangkan yang dimaksud kondisi eksternal adalah pengaturan lingkungan yang didesain. Penyiapan kondisi ekternal belajar inilah yang disebut sebagai desain pembelajaran. Proses belajar yang terjadi secara internal dapat ditumbuhkan dan diperkaya jika faktor ekternal yaitu pembelajaran dapat didesain dengan efektif.

  Menurut Gentry (2007), desain pembelajaran adalah suatu proses yang menentukan tujuan pembelajaran, stretegi, teknik, dan media agar tujuan umum tercapai. Menurut Reiser (2007) desain pembelajaran berbentuk

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  6 rangkaian prosedur sebagai suatu sistem untuk pengembangan program pendidikan dan pelatihan dengan konsisten dan teruji. Desain pembelajaran juga sebagai proses yang rumit tapi kreatif, aktif, dan berulang-ulang. Definisi Reiser bermakna sistem, pelatihan yaitu yaitu pendidikan organisasi, serta proses yang teruji dan dapat dikaji ulang, penerapannya.

  Dick, Carey & Carey (2007) menjelaskan bahwa penggunaan konsep pendekatan sistem sebagai landasan pemikiran suatu desain pembelajaran.

  Menurut mereka pendekatan sistem terdiri atas analisis, desain, pengembangan, implementasi dan evaluasi.

  Desain pembelajaran mencakup empat komponen yakni siswa, tujuan, materi, metode, dan evaluasi, serta ditambah dengan analisis topik (2007).

1. Siswa (Peserta Didik)

  Desain pembelajaran dibuat agar tujuan utama pembelajaran dapat tercapai dan peserta didik dapat merasa nyaman serta termotivasi dalam proses belajar. Faktor fisik maupun mental dapat mempengaruhi peserta didik dalam belajar, baik sebelum dan selama belajar. Banyak faktor fisik yang menjadi kendala bagi siswa untuk belajar seperti kelelahan secara fisik, mengantuk, bosan, atau jenuh dapat mengurangi konsentrasi. Kelelahan mental juga dapat mengurangi daya tangkap siswa dalam memahami materi ajar. Selain itu tampilan materi ajar juga dapat mempengaruhi mutu belajar siswa. Sebagai contoh tampilan buku atau modul yang menarik dapat menimbulkan minat belajar. Pengolahan serta penyajian isi yang menarik dapat menimbulkan rasa ingin tahu yang besar bagi siswa. Peran

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  7 guru juga dapat memberikan pengaruh terhadap keberhasilan siswa. Hal ini dapat terlihat dari bagaimana cara atau strategi guru dalam menyampaikan materi, gaya bicara, penampilan guru dan masih banyak hal yang dapat mempengaruhi keberhasilan siswa.

  2. Tujuan Pembelajaran Setiap kegiatan pembelajaran mempunyai tujuan pembelajaran. Tujuan pembelajaran dikembangkan berdasarkan kompetensi yang harus dimiliki oleh peserta didik jika selesai belajar. Seandainya tujuan pembelajaran atau kompetensi dirasakan masih terlalu sulit, maka dapat dibuat lebih sederhana menjadi kompetensi yang mudah dicapai.

  3. Materi Pembelajaran Materi pembelajaran disampaikan dalam kegiatan pembelajaran. Secara garis besar terdiri dari pengetahuan, ketrampilan, dan sikap yang harus dipelajari siswa dalam rangka mencapai standar kompetensi yang telah ditentukan.

  4. Metode Metode merupakan strategi pembelajaran yang sebaiknya dirancang agar proses pembelajaran dapat berjalan dengan lancar. Metode merupakan cara atau teknik yang dianggap sesuai untuk menyampaikan materi ajar. Metode merupakan hal yang penting karena menentukan situasi belajar yang sesungguhnya. Metode sebagai strategi pembelajaran biasa dikaitkan dengan media dan waktu yang tersedia untuk belajar.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  8 5.

  Evaluasi (Penilaian) Penilaian hasil belajar peserta didik sangat penting. Indikator keberhasilan pencapaian suatu tujuan belajar dapat diamati dari penilaian hasil belajar ini. Penilaian dapat diukur dengan kemampuan menjawab dengan benar sejumlah soal-soal objektif, tetapi penilaian juga dapat dilakukan dengan menggunakan instrumen pengamatan, wawancara, dan sebagainya. Dari definisi menurut para ahli, maka peneliti menyimpulkan bahwa desain pembelajaran merupakan rangkaian proses pembelajaran yang merumuskan tujuan pembelajaran, strategi, teknik dan media agar tujuan pembelajaran dapat tercapai.

B. Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI)

  Pendekatan pembelajaran matematika dengan realistik berkembang pesat di Belanda. Realistic Mathematics Education (RME) adalah suatu teori pembelajaran matematika yang khusus dikembangkan dalam dunia pendidikan matematika di negera Belanda. Teori ini dikembangakan sejak tahun 1969 oleh Freudenthal.

  Dalam pelaksanaannya, RME memiliki prinsip-prinsip. Seperti disebutkan dalam Suwarsono (2001 : 3), Gravemeijer mengungkapkan prinsip-prinsip RME sebagai berikut : a.

  Reinvensi Terbimbing dan Matematisasi Progresif (Guided Reinvention

  and Progressive Mathematization )

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  9 Yang berarti dalam mempelajari matematika, perlu diupayakan agar siswa bisa mempunyai pengalaman dalam menemukan sendiri berbagai konsep, prinsip matematika, dan lain-lain, dangan bimbingan orang dewasa, dengan melalui proses matematisasi horizontal dan matematisasi vertikal seperti yang dulu pernah dialami oleh para pakar yang pertama kali menemukan atau mengembangkan konsep-konsep atau meteri-materi tersebut.

  b.

  Fenomena Didaktis (Didactial Phenomenology) Dalam mempelajari konsep-konsep, prinsip-prinsip, dan materi- materi lain dalam matematika, para siswa perlu bertolak dari masalah- masalah (fenomena-fenomena) kontekstual, yaitu masalah-masalah yang berasal dari dunia nyata, atau setidak-tidaknya dari masalah-masalah yang dapat dibayangkan sebagai masalah-masalah yang nyata.

  c.

  Mengembangkan Model-model Sendiri (Self-Developed Models) Dalam mempelajari konsep-konsep dari materi-materi matematika yang lain, dengan melalui masalah-masalah yang kontekstual, siswa perlu mengembangkan sendiri model-model atau cara-cara menyelesaikan masalah-masalah tersebut. Model-model tersebut dimaksudkan sebagai wahana untuk mengembangkan proses berpikir siswa, dari proses yang paling dikenal oleh siswa, tang mungkin masih bersifat intuitif ke arah proses berpikir yang lebih formal.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  10 Selain Gravemeijer, de Lange (dalam Suwarsono, 2001) juga mengungkapkan ciri dari pendidikan matematika realistik menjadi 5, yakni: a.

  Digunakannya konteks nyata (real context) untuk dieksplorasi b. Digunakannya instrumen-instrumen vertikal

  Siswa diajarkan menemukan model-model, skema-skema, diagram- diagram, simbol-simbol dan sebagainya untuk menjadi jembatan antara level pemahaman yang satu ke level pemahaman berikutnya.

  c.

  Digunakannya proses yang konstruktif dalam pembelajaran Siswa mengkonstruksi sendiri proses penyelesaian soal atau masalah kontekstual yang dihadapi, yang menjadi awal dari proses matematisasi berikutnya.

  d.

  Terdapat interaksi Interaksi ini dapat terjadi antara siswa yang satu dengan siswa yang lain atau juga antara siswa dengan pembimbing, mengenai proses konstruksi yang dilakukan oleh masing-masing beserta hasil dan konstruksi tersebut, sedemikian sehingga setiap siswa mendapat manfaat positif dari interaksi tersebut.

  e.

  Terdapat banyak keterkaitan (intertwining) diantara berbagai bagian dari materi pembelajaran Gagasan pendekatan pembelajaran realistik ini mempengaruhi kerja para pendidik matematika di bagian di dunia. Beberapa penelitian pendahuluan di beberapa negara menunjukkan bahwa pembelajaran menggunakan pendekatan realistik, sekurang-kurangnya dapat membuat :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  11

• Matematika lebih menarik, relevan dan bermakna, tidak terlalu formal dan tidak terlalu abstrak.
• Mempertimbangkan tingkat kemampuan siswa.
• Menekankan belajar matematika pada “learning by doing”.
• Memfasilitasi penyelesaian masalah matematika dengan tanpa menggunakan penyelesaian (algoritma) yang baku.
• Menggunakan konteks sebagai titik awal pembelajaran matematika (Suherman, 2001).

  Pengembangan pembelajaran matematika dengan pendekatan realistik merupakan salah satu usaha meningkatkan kemampuan siswa memahami matematika. Dalam pembelajaran yang menggunakan pendekatan realistik tidak hanya dibutuhkan dominasi guru dalam kegiatan pembelajaran, tetapi juga dibutuhkan interaksi sesama siswa, kerja individual, kerja kelompok, diskusi kelas, presentasi hasil pekerjaan siswa, presentasi guru, dan aktivitas lainnya sehingga hasil yang diperoleh maksimal.

  Pendekatan pembelajaran matematika dengan realistik di Indonesia dikenal dengan Pendidikan Matematika Realistik Indonesia (PMRI). PMRI merupakan adaptasi dari RME. Karena PMRI dikembangkan di Indonesia, maka PMRI memiliki karakteristik sendiri, tetapi ketiga prinsip dalam RME tetap ada dalam PMRI. Karakteristik PMRI menurut Marpaung (2007 : 9) adalah sebagai berikut :

  1. Murid aktif, guru aktif (dalam arti yang berbeda)

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  12

  2. Pembelajaran sedapat mungkin dimulai dengan masalah-masalah yang kontekstual atau realistik bagi siswa.

  3. Guru memberi kesempatan pada siswa menyelesaikan masalah dengan cara sendiri.

  4. Siswa menciptakan suasana pembelajaran yang menyenangkan.

  5. Siswa dapat menyelesaikan masalah dalam kelompok atau secara individual.

  6. Pembelajaran tidak selalu di kelas.

  7. Guru mendorong terjadinya interaksi dan negosiasi, baik antara guru dan siswa, maupun antara siswa dan siswa.

  8. Siswa bebas memilih representasi yang sesuai dengan struktur kognitifnya sewaktu menyelesaikan masalah.

  9. Guru bertindak sebagai fasilitator.

  10. Guru menghargai pendapat siswa, termasuk pendapat itu betul atau salah. Guru menggunakan pendekatan Sani (santun, terbuka, dan komunikatif), tepa selira dan ngewongke wong dalam proses pembelajaran.

  Dalam penyusunan desain pembelajaran, peneliti menerapkan beberapa prinsip PMRI menurut Marpaung yakni murid aktif, guru aktif (dalam arti berbeda). Diharapkan dari prinsip ini, siswa dapat terlibat aktif dalam kegiatan pembelajaran jadi tidak hanya mendengarkan guru saja. Selain itu guru aktif memantau perkembangan siswa, guru diharapkan tidak terlalu sering menyampaikan materi. Tetapi membantu siswa agar siswa dapat mengerti

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  13 dengan caranya sendiri. Prinsip lain yang digunakan adalah pembelajaran sedapat mungkin dimulai dengan masalah-masalah yang kontekstual atau realistik bagi siswa. Dari prinsip ini diharapkan materi yang akan disampaikan tidak terlalu abstrak. Guru memberi kesempatan pada siswa menyelesaikan masalah dengan cara sendiri karena prinsip ini dapat mendorong kreatifitas berpikir siswa. Guru bertindak sebagai fasilitator, dalam arti kegiatan pembelajaran tidak didominasi oleh guru. Prinsip penting lain dalam PMRI yang digunakan adalah siswa diberi kesempatan untuk mengerjakan soal sesuai dengan cara (kemampuannya) masing-masing.

C. Pemahaman Siswa

  Pada tahun 1976, Richard Skemp mengajukan gagasan tentang tingkatan- tingkatan pemahaman (the levels of understanding) siswa pada pembelajaran matematika. Skemp dalam Wahyudi (2001), membagi tingkat pemahaman menjadi dua, yaitu :

1. Tingkatan pemahaman yang pertama (instrumental understanding).

  Instrumental understanding atau disebut pemahaman instruksional. Pada tingkatan ini dapat dikatakan bahwa siswa baru berada di tahap tahu atau hafal, tetapi belum atau tidak tahu mengapa hal itu bisa terjadi dan dapat terjadi. Pada tahap ini siswa juga belum atau tidak bisa menerapkan hal tersebut pada keadaan baru yang berkaitan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  14 2.

  Tingkatan pemahaman yang kedua (relational understanding) Tingkatan pemahaman yang kedua disebut pemahaman relasional. Skemp berpendapat bahwa siswa tidak hanya sekedar tahu dan hafal tentang suatu hal, tetapi dia juga tahu bagaimana dan mengapa hal itu dapat terjadi. Lebih lanjut, siswa dapat menggunakannya untuk menyelesaikan masalah- masalah yang terkait pada situasi lain.

  Byers dan Herscovics (1997, dalam Wahyudi (2001)), menganalisis dan mengembangkan lebih jauh ide Skemp yaitu, siswa terlebih dahulu berada pada tingkatan pemahaman antara, yaitu tingkatan pemahaman intuitif (intuitive understanding) dan tingkatan pemahaman formal (formal

  

understanding ). Sebelum sampai pada tingkatan pemahaman instruksional,

siswa terlebih dahulu berada intuitif.

  Tahapan pemahaman menurut Byers dan Herscovics adalah sebagai berikut :

  1. Pemahaman Intuitif (intuitive understanding) Pada tingkat ini siswa sering menebak jawaban berdasar pengalaman- pengalaman sehari-hari tanpa melakukan analisis terlebih dahulu. Ini dapat berakibat meskipun siswa dapat menjawab pertanyaan, tetapi siswa tidak dapat menjelaskan alasan dari jawaban tersebut.

  2. Pemahaman Instrmental (instrumental understanding) Pada tahap ini, siswa mampu menerapkan rumus atau aturan yang telah mereka miliki untuk memecahkan masalah, namun mereka masih belum tahu mengapa rumus atau aturan tersebut digunakan.

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  15 3.

  Pemahaman formal (formal understanding) Pada tingkatan ini, siswa sudah mampu memahamai atau menguasai simbol-simbol dan notasi-notasi yang digunakan dalam matematika atau sains kemudian menghubungkannya dengan konsep-konsep yang relevan di dalam matematika atau sains dan menggabungkannya ke dalam rangkaian pemikiran yang logis.

  4. Pemahaman Relasional (relational understanding) Pada tingkatan ini, siswa telah mampu unuk menyimpulkan aturan atau prosedur secara spesifik dari hubungan matematika atau sains yamg lebih umum. Selain Byers dan Herscovics, Buxton (1978, dalam Wahyudi (2001)) juga menanggapi pendapat Skemp. Buxton mengembangkan dua tingkatan pemahaman dari Skemp menjadi empat, yakni : 1.

  Tingkatan pemahaman pertama Tingkatan pertama disebut pemahaman meniru (rote learning). Pada tingkatan ini siswa dapat mengerjakan soal tapi tidak tahu mengapa.

  2. Tingkatan pemahaman kedua Tingkatan ini disebut pemahaman observasi (observational

  understanding ). Pada tingkat ini siswa menjadi lebih mengerti setelah melihat adanya suatu pola (pattern) atau kecenderungan.

  3. Tingkatan pemahaman ketiga Tingkatan ini sebagai tingkatan pemahaman pencerahan (insightful

  understanding ). Sebagai ilustrasi, siswa mampu menjawab soal-soal

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  16 dengan tepat dan baik, tetapi baru kemudian menyadari mengapa dan bagaimana dia dapat menyelesaikannya setelah berdiskus ulang atau mempelajari ulang materinya.

4. Tingkatan pemahaman keempat

  Tingkatan pemahaman keempat adalah pemahaman relasional. Pada tingkatan ini menurut Buxton siswa tidak hanya tahu tentang penyelesaian suatu masalah, melainkan juga dapat menerapkannya pada situasi yang lain, baik yang relevan maupun yang lebih kompleks.

  Dari penjelasan para ahli di atas, peneliti berpendapat bahwa pemahaman siswa pada pembelajaran matematika memiliki beberapa tingkatan. Tingkat paling rendah tingkat dimana siswa baru mampu menebak tanpa melakukan analisis, kemudian tingkat meniru apa yang sudah dilihat, tingkat mampu menerapkan rumus atau aturan yang ada tapi tidak tahu mengapa aturan tersebut digunakan. Tingkat yang lebih tinggi adalah siswa tidak hanya sekedar tahu dan hafal saja, tapi juga tahu mengapa dan bagaimana hal itu bisa terjadi.

D. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

  Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) erat hubungannya dalam kehidupan sehari-hari. KPK dapat digunakan untuk menentukan kapan suatu peristiwa dapat terjadi bersama. Misalnya kapan lampu dapat menyala bersama, kapan siswa dapat mengikuti les bersama-bersama, kapan bus berangkat bersama dari waktu yang ditentukan, dll. Selain itu KPK juga dapat

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  17 digunakan untuk menyamakan penyebut pecahan. Berikut contoh penggunaan KPK dalam kehidupan sehari-hari.

  Rudi mengikuti les matematika setiap 6 hari sekali. Tono mengikuti les matematika setiap 4 hari sekali. Suatu saat Rudi dan Tono mengikuti les matematika bersamaan pada tanggal 1 Agustus 2009. Pada tanggal berapakah Rudi dan Tono dapat les bersama lagi?

  Jawab : Rudi les setiap 6 hari, ini berarti setiap 6 hari sekali Rudi mengikuti les.

  6 hari pertama, 6 hari kedua, 6 hari ketiga dan seterusnya. Atau dapat dinyatakan 6, 6+6, 6+6+6,… Dapat ditulis 6, 12, 18… . jadi, tiap hari ke 6, ke 12, ke 18, dst… Rudi mengikut i les matematika.

  Tono les setiap 4 hari, ini berarti setiap 4 hari Tono mengikuti les. 4 hari pertama, 4 hari kedua, 4 hari ketiga dan seterusnya.

  Atau dapat dinyatakan 4, 4+4, 4+4+4,… Dapat ditulis 4, 8, 12… . jadi, tiap hari ke 4, ke 8, ke 12, dst… Tono mengikut i les matematika.

  Dari data di atas Rudi mengikuti les setelah hari ke 6 , , 18, 24, 30,

  12

  36, dst… atau dapat ditulis sebagai berikut :

  7 Agustus 2009, 13 Agustus 2009, 19 Agustus 2009, 25 Agustus 2009, 31 Agustus 2009, 6 September 2009, dst...

  Tono mengikuti les setelah hari ke 4, 8, , 16 , 20, 24, 28, 32, 36,

  12 dst… atau dapat ditulis sebagai berikut :

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

  18

  5 Agustus 2009, 9 Agustus 2009, 13 Agustus 2009, 17 Agustus 2009,

  21 Agustus 2009, 25 Agustus 2009, 29 Agustus 2009, 2 September 2009, 6 September 2009...

  Terlihat bahwa Rudi dan Tono pada 13 Agustus 2009, 25 Agustus 2009, 6 September 2009 mengikuti les matematika bersama.

  Jadi, tampak bahwa Rudi dan Tono dapat mengikuti les matematika secara bersama setelah 12 hari, 24 hari atau 36 hari dari 1 Agustus 2009.