Pertemuan 10 : Transformasi Citra - Repository UNIKOM

  Pertemuan 10 : TRANSFORMASI CITRA Andriyan B. Suksmono

  John Adler KK-Komputasi dan Kecerdasan Buatan Sistem Komputer Universitas Komputer Indonesia-UNIKOM Pendahuluan

  1. Transformasi Ruang

  2. Transformasi Fourier

  3. Transformasi Fourier 1D

  4. Transformasi Fourier 2D

1. Transformasi Ruang

  Yaitu merupakan proses perubahan citra dari

• suatu ruang atau domain ke domain yang lainnya. Contoh : dari ruang spasial ke ruang
• frekuensi [Kuliah Matriks & Transformasi linier tentang basis & ruang. Contoh : ruang vektor]

2. Transformasi Fourier

  Tahun 1822, Joseph Fourier, ahli matematika

• dari Prancis menemukan bahwa setiap fungsi periodik (sinyal) dapat dibentuk dari penjumlahan gelombang-gelombang sinus/ cosinus (disebut Fourier Series). Contoh : sinyal kotak merupakan
• penjumlahan fungsi-fungsi sinus

2. Transformasi Fourier (2)

  function sinyalkotak(n) t = 0:pi/200:8*pi; kot = sin(t); for i = 3 : 2 : n kot = kot + (sin(i*t))/i; end plot(kot)

2. Transformasi Fourier (3)

  Fungsi sinyal yang tidak periodik dapat ditulis ulang sebagai integral dari sinus dan cosinus yang dikalikan dengan fungsi pembobot.

  Fourier Transform. disebut

• Fourier series atau Fourier Transform dapat dibentuk ulang secara lengkap melalui proses

  inverse tanpa kehilangan informasi. Sehingga kita

  dapat bekerja pada “domain Fourier” dan kemudian

  kembali ke domain fungsi asli tanpa ada informasi

  yang hilang

3. Transformasi Fourier 1D

   Rumus Fourier Transform kontinyu 1D : dimana j = √-1  Invers Fourier Transform kontinyu 1D :  Rumus Fourier Transform diskrit 1D :  Invers Fourier Transform diskrit 1D :

3. Transformasi Fourier 1D (2)

  dengan formula euler : & dan substitusikan ke persamaan DFT-1D :

Domain nilai u terhadap F(u) : domain frekuensi

karena u merupakan frekuensi dari komponen transformasi. Tiap nilai M yang

memberikan nilai F(u) : komponen frekuensi

3. Transformasi Fourier 1D (3)

  Magnitude atau spektrum dari FT : Sudut fasa : Power spektrum : Karena fungsi Fourier mengandung bilangan imajiner, maka fungsi tidak dapat digambarkan dalam bentuk diagram tapi menggunakan nilai besaran/spektrum.

3. Transformasi Fourier 1D (4)

  Contoh Transformasi fungsi spasial 1D ke fungsi Fourier jika diketahui f(x) untuk x=0,1,2,3 : f(0)=2; f(1)=3; f(2)=4; f(3)=4. Banyaknya data fungsi spasial N=4 ? , maka fungsi Fourier untuk : a. u=0 :

  b. u=1

3. Transformasi Fourier 1D (5)

  Dengan cara yang sama untuk : U=2, didapatkan F(2)=-0,25 U=3, F(3)=-0,5-0,25j Jadi Fourier spektrumnya :

  |F(0)|=3,25 |F(0)|=0,25 Transformasi Ortogonal & Uniter 2-D Transformasi citra: mengacu ke sekumpulan matriks uniter untuk

• merepresentasikan citra. Citra dinyatakan sebagai kombinasi dari citra basis. Untuk citra u(m, n)
• berdimensi NN, ekspansi dinyatakan sbg:

  N

1 N

  1   v k l , u m n a , m n , k l N ,

  1    

k l ,

          m n

    N

1 N

  1   u m n , v k l a * , m n , m n N ,

  1     k l ,

          k l

    dimana {a (m, n)} adalah himpunan lengkap dari fungsi basis _k,l ortonormal, disebut juga sbg transformasi citra, yg memenuhi syarat- syarat: ortonormal dan lengkap Sifat Ortonormal & Lengkap N

1 N

  1  

  Ortonormal :

• a m n a , m n , k k l l ', '    

  

k l , k l ', '

     

    m n

    N

1 N

  1  

• Lengkap :

  a * m n a , m n ', ' m m n n ', '     k l , k l ,

          k l

    

  Elemen v(k, l) disebut sebagai koefisien transformasi dan V  {v(k, l)} adalah citra (hasil) transform. Sifat ortonormal menjamin bahwa penggalan dari ekspansi berbentuk

  Q

  1 P 1   u , * m n v k l a , m n , P N Q N ,

    

  P Q , k l ,

          k l

    N _{ }

  1 N

  1

  2

  2 u m n , u m n ,

      

  Meminimalkan jumlah kesalahan kuadrat e P Q ,    

      m n _{ }

   Sifat lengkap menjamin kesalahan kuadrat berinlai nol saat P=Q=N. Transformasi Uniter Terpisahkan ₄ Proses komputasi untuk menentukan v(k,l) dari bentuk diatas

• memiliki kompleksitas O(N ). Perhitungan dpt dipercepat menjadi
₃ O(N ) dng memilih transformasi yg terpisahkan (separable)

  a m n , a m a n a k m b l n , ,   k l , k l

           

  dimana {a (m), k = 0, 1, …, N-1}, {b (n), l=0, 1, …, N-1} adalah _{k l} basis ortonormal satu-dimensi yang lengkap.

  

  Pemberlakuan syarat ortonormal dan lengkap mengharuskan sifat uniter dari matriks transformasi A {a(k, m)} dan B  {b(l, n)}, _{T T} jadi AA* = A A* = I. Seringkali dipilih B = A sehingga pasangan transformasi akan berbentuk

  N 

  1 N 

  1 T v k l , a k m u m n a l n , , ,

  V AUA 

           

    m n _{ } N 

  1 N 

  1 T * *

u m n , a * , k m v k l a l n , * , U A VA

    

            k  l  Transformasi Uniter Terpisahkan

• T

  Untuk citra empat-persegi-panjang berdimensi MN:

  V = A UA dan U = A* _{M N M N}

  

V A*

• Untuk matriks uniter terpisahkan, transformasi citra dpt dituliskan sebagai: _{T T T}

  V = AUA = A [AU]

  yang berarti bahwa proses transformasi dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mentransformasikan kolom dari U dan diteruskan dengan men- transformasikan setiap baris dari hasilnya. Contoh Perhitungan Transformasi

• melambangkan kolom ke-k dari A* ^T
• Misalkan a _k

• ,
• ,

  

  yang menyatakan citra U sebagai kombinasi linier dari N ² matriks A* _{k, l} , k, l = 0, 1, … , N-1 yang disebut sebagai citra basis.

  , , k l v k l  U A

   

    U

  ^{ } v k l A _{ } 

  , N N k l k l

  1

  1

   

  Maka transformasi citra dpt dituliskan:

  F G 

    

  N N m n ^{ } f m n g m n _{ }

  1 , , * ,

  1

     

  . Definisikan matriks: A* _k,l = a* _k a* ^T _l dan perkalian skalar dua matriks F dan G berdimensi NN

  Citra Basis

  Koefisien v(k, l) dari transformasi tak lain adalah perkalian skalar citra asal dengan basis ke (k, l), atau proyeksi citra ke basis (k, l). Berbagai Citra Basis

Cosinus Sinus

  Berbagai Citra Basis

Hadamard Haar

  Berbagai Citra Basis

Slant KLT

  Sifat-sifat Transformasi Uniter Sifat-1: Konservasi Energi dan Rotasi. Dalam transformasi

• uniter:
_{2 2}

  v = Au ||v|| = ||u||

  Jadi, transformasi uniter menjaga energi sinyal (atau panjang vektor u dalam ruang vektor dimensi-N). Ini juga berarti bahwa transformasi uniter hanyalah rotasi dari vektor u dalam ruang vektor dimensi-N. [Ingat teorema Parseval !]

• Untuk vektor 2-D berlaku hal yang sama, dapat dibuktikan bahwa

  N

  1 N

  1 N

  1 N

  1    

  2

  2

u m n , v k l ,

      

      m n k l

      Sifat-sifat Transformasi Uniter Sifat-2: Peng-kompak-an Energi. Kebanyakan transformasi

• uniter bertendensi mengumpulkan energi citra ke sejumlah kecil komponen dari koefisien transformasi. Karena sifat konservatifnya, koefisien transformasi lain mengandung sedikit energi.

  Sifat-3: Dekorelasi. Jika citra masukan berkorelasi tinggi, citra

• transform cenderung tak-berkorelasi. Ini berarti, elemen diluar diagonal dari R bernilai kecil dibanding yang ada di diagonal. _v

  Sifat-sifat lain:

• determinan dan nilai eigen dari matriks uniter memiliki
• – magnitude satu entropy dari vektor acak terjaga thd transformasi dng matriks
• – uniter -> kandungan informasi terjaga

DFT 2-D

• terpisahkan yang didefinisikan sbg:

  DFT 2-D dari citra {u(m, n) } berukuran NN adalah transformasi

  N

1 N

  1   km l n v k l , u m n W W , , 0 k l N ,

  1    

  N N    

    m n

    j

  2    

  W exp 

  N  

  N  

  

  Dengan inverse-nya:

  N

1 N

  1   km l n v k l , u m n W W , , 0 k l N ,

  1    

  N N    

    m n

    

  Dalam notasi matriks: V = FUF dan U = F*VF*

• [F menyatakan matriks TFD 2-D uniter berukuran N
² N 2<
• Simetrik Uniter: F ^T
• Perpanjangan berkala (periodic extensions):

   

  transformasi ini ekivalen dengan 2N kali operasi DFT 1-D uniter, masing-masing dng kompleksitas O(N log

    , u m n

    

    ^{1 2} , U

   dimana menyatakan transform Fourier dari

         

  N N  

  2 , , , k l U DFT u m n v k lx

  2

     

    , u m n 

      , , , 0 , 1 u m n u m n m n N    

  Jika dan di tempat lain, maka

  m, n • Cuplikan Spektrum Fourier.

  u(m + N, n+N) = u(m, n)

  k, l

  v(k + N, l + N) = v(k, l)

  = F dan F ^–1 = F *

  ]

  Sifat-sifat DFT 2-D

• Transformasi Cepat. Karena DFT 2-D terpisahkan, maka

  2 N) via Sifat-sifat DFT 2-D Simetri Konjugasi. DFT 2-D dan DFT 2-D uniter dari citra (bernilai)

• riil memiliki simetri konjugasi, yakni,

  N N N N N    

  v k , l v k , l , 0 k l ,

•  

  1          

  2

  2

  2

  2

  2    

  atau v(k, l) = v*(N-k, N-l), 0  k, l  N-1

  Citra Basis. Citra basis diberikan oleh definisi

• 1

  km ln

•   T

   

A W , 0 m n N , 1 , 0 k l , N

  1           k l , k l N

   

  N Teorema Konvolusi Sirkuler 2-D. DFT 2-D dari hasil konvolusi

• sirkuler dua buah array adalah perkalian dari DFT 2-D keduanya:

  DFT{h(m, n)  u(m, n)} = DFT{h(m, n)}.DFT{ u(m, n)}

  Sifat lain: Matriks doubly block circulant di-diagonalisasi oleh

• operasi DFT 2-D dan operasi doubly block Toeplitz dapat dinyatakan dalam operasi DFT 2-D via T. konvolusi dan sifat doubly block
Contoh DFT

• Citra asli, log magnitude dari koef. DFT, dan citra fasa ^{50 100 150 200 250}

^{250 200 150 50 100 50 100 150 200 250 250 200 150 50 100 50 100 150 200 250 250 200 150 50 100} Contoh DFT

  Contoh DFT

• Atas: citra resolusi, bawah: citra biner
• Matriks transformasi DCT, C = {c(k, n)}, berukuran NN didefinisikan

  Q Contoh hasil tranformasi DCT

  2 k n N N c k n n k k N n N N N

                    

       

  1 r

  1

  1

  1

         

      

        

  1

  Transformasi Kosinus Diskrit (DCT)

  2 cos , 1 1, 0

  1

  2

  1 ,

      1

, 0, 0

• Sifat-sifat DCT: 1) DCT bersifat riil dan ortogonal:

  5) Vektor basis dari DCT (vektor baris dari C) adalah vektor eigen dari matriks simetrik tridiagonal Q _r 6) DCT sangat mendekati transfomasi KL (Karhunen-Loeve) untuk deretan Markov stasioner orde-1.

  2) DCT bukan bagian riil dari DFT 3) DCT merupakan transformasi cepat 4) DCT bersifat memampatkan energi.

   C ^-1 = C ^T

  C = C*

• citra asli, koefisien DCT, log magnitude koef. DCT ^{50 100 150 200 250}

^{250 200 150 50 100}

^{50 100 150 200 250 250 200 150 50 100 50 100 150 200 250 250 200 150 50 100} Transformasi Sinus Diskrit (DST)

• k

  Matriks DST berdimensi NN,  = {(k, n)}, didefinisikan sbg

  

1 n

  1 2   

  

k n , sin , 0 k n N ,

  1     

    N

1 N

  1  

  Sifat-sifat DST:

• 1) DST bersifat riil, simetrik dan ortogonal: _{T -1}

  

• =  =  =  2) DST bukan bagian riil dari DFT uniter 3) DST adalah transformasi cepat 4) Vektor basis dari DFT adalah vektor eigen dari matriks Toeplitz tridiagonal Q 5) DST juga dekat dengan KL untuk deretan Markove orde-1 stasioner

  6) DST menghasilkan algoritma KL cepat untuk deretan Markov yang nilai batasnya diberikan. Contoh transformasi DST

50 100 150 200 250

^{250 200 150 50 100 50 100 150 200 250 250 200 150 50 100 50 100 150 200 250 250 200 150 50 100}

citra asli, koefisien DST log magnitude

koef. DST

  Transformasi Hadamard

  Elemen matriks Hadamard bernilai biner ( 1). Matriks transformasi

• hadamard H _n adalah matriks NN dimana N2n dimana nI+.
₁ Hn dibentuk dari matriks inti H dengan perkalian Kron
• H H

  1  n _{ } 1 n 1  1 1

  1   H H H

    

n n

_

  1

  

  1  

  1 H  

  H H  2 n _{ } 1 n

  1

  1

  1  

  2   

• Sifat-sifat transformasi Hadamard: _-1

  Transformasi Hadamard bersifat riil, simetrik dan ortogonal:

• – H* = H = HT = H
• – –

  T. Hadamard adalah transformasi cepat {O (N log2N )}

  T. Hadamard memiliki sifat peng-kompakan energi yang cukup baik Contoh Transformasi Hadamard

  Transformasi Haar _{k n}

  Fungsi Haar h (x) terdefinisi pada interval kontinyu x [-1,1] dan

• untuk k = 0, 1, …, N-1 dimana N=2 . Bilangan bulat k dapat dipecah _p menjadi: k = 2 + q -1. dimana 0 _p

   p n-1; q=0,1 untuk p=0 dan 1

  q

  2 untuk p0. Misal, untuk N = 4 (atau n=2) kita peroleh k

  1

  2

  3 p

  1

  1 q

  1

  1

  2 Dng menyatakan k dalam (p,q) fungsi Haar bisa ditulis sbg:

  1 h x  h x  , x  0,1 _0,0

        q 1 q 1 2 p 2  

   N

  2 , x   p p

  

  2

  2  1 q 1 2 q p 2 

   h x h x 2 , x

       k p q , p p

      

  2

  2 N  ,daerah lain untuk x 0,1 

    

   

• Transformasi Haar diperoleh dengan membuat x bernilai diskrit pada m/ N , m=0. 1, …, N-1. Untuk kasus N=2 dan N=4 adalah sbb:

      

  2

  4

  2

  2    

     

    

    

  1

  Hr 

  Sifat-sifat transformasi Haar:

  1)

  Riil dan ortogonal: Hr = Hr* dan Hr ^-1 = Hr ^T

  2)

  Transformasi yang sangat cepat. Vektor berdimensi N1 dapat di- transformasi dalam O(N) operasi.

  3)

  2

  1

  Transformasi Haar

    

  2

  1 1

  1

  1

  1

  2  

    

  1

  Hr ₈

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  Sifat peng-kompakan energinya buruk

• Transformasi Slant NN didefinisikan oleh formula rekursi

  1

  3

  1

  1

  3

  1

  5

  5

  5

  5

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  3

  3

  1

  5

  5

  5

  5          

          

       

  1

  1

  Transformasi Slant

      

          ^{1 / 2 2 / 2 2 1 / 2 2 / 2 2}

  1

  1

  1

  1

  1

  2 ^{n n n n n N N n} _{n n n n n N N} a b a b b a b a ^{  } _{  }

        

          

          

       

   S

  1

  I I S S

  I I ¹ 1 1

  1

  1

  1

  2     

     S

  dimana N=2 ⁿ dan I _M mat. Id. MM

  

  Parameter a _n dan b _n didefinisikan oleh rekursi: b _n = (1 + 4a ² _n-1 ) ^-1/2 a ₁ =1 a _n = 2b _n a _n-1

  

  Contoh untuk matriks transformasi Slant 44 dapat dilihat disamping ²

  S Transformasi Slant Sifat-sifat:

• 1 T

  1. Riil dan ortogonal: S = S* dan S = S

  2. Merupakan transformasi cepat: O(N log N)

  2

  3. Memiliki sifat peng-kompakan energi sangat baik Transformasi KL

  Karhunen dan Loeve memakai transformasi ini sbg ekspansi deret dari proses

• acak kontinyu. Hotelling meneliti metoda komponen utama yg merupakan versi diskrit dari pekerjaan KL. Maka transformasi KL juga disebut sbg transformasi Hotelling. Untuk vektor acak u berukuran N1, vektor basis dari transformasi KL
• merupakan vektor eigen yang dinormalisasi dari matriks autokorelasi R:

   R =  , 0 _{k k k}  k  N-1

  T u

• Transformasi KL dari u : v = *

  N

  1 

• Dan inverse-nya:

  u Φv v k    k

     k

   Minggu Depan.....

  Pertemuan ke-11 : QUIZ-II, pertemuan ke :

  9.Review matriks

  10.Transformasi Citra