Transformasi Linear - Repository UNIKOM
TRANSFORMASI LINEAR DAN MATRIKS Pertemuan : 12&13
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui definisi dan contoh-contoh transformasi linear.
2. Menggunakan definisi transformasi linear untuk memeriksa suatu fungsi merupakan suatu transformasi linear atau bukan.
3. Mengkaji sifat-sifat transformasi linear.
4. Menggunakan definisi ruang kernel dan range untuk menentukan basis dari suatu matriks transformasi
5. Menghitung dimensi dari matriks transformasi
6. Mengkaji sifat dari matriks transformasi, matriks standar pada operator linear
7. Menghitung matriks transisi P untuk menentukan matriks transformasi pada suatu basis B’
Materi :
5.1 Transformasi Linear Definisi 5.1
Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W
u v V ,
T V W
(dituliskan : ) disebut sebagai transformasi linear bila berlaku :
T u v ( ) T u ( ) T v ( )
1.
T ( u ) T u ( )
2.
T V
V
Jika V=W maka transformasi : disebut suatu operator linear pada V. T V W Transformasi : dengan ( ) 0 T u disebut transformasi nol.
T V : W T u Au
A
Transformasi dengan ( ) disebut transformasi matriks, sedangkan A disebut matriks transformasi.
I u u I :V →V Transformasi dengan ( ) disebut operator identitas pada V.
Contoh 5.1 x y
x
T x
y
2
3 y
T R : R
Diketahui dengan . Periksalah apakah T adalah transformasi linear?
Penyelesaian:
Ambil
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2 ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y x y x y x x
1
T u v T x x x x T u T v y y y y y y
1
2
1
,
x u R y
2
1
1
2
2
2
1
2
,
x x u v R y y
sembarang a.
1
2
1
1
2
2
1
2 x x x x u v y y y y
maka
1
2
1
suatu skalar sembarang sehingga
b. Ambil
1
1
2
1
1
2
2
1
1
diperoleh
dan sebarang
1 x u R y
2
2
1
Untuk sebarang
bukan merupakan transformasi linear.
2 2x x T x y y
2
Sehingga
2
x x T u x T u x y y
2 ( ) . ( ) .
1
Penyelesaian:
1
1
T u T x x x T u y y y y
( ) x y x y x y x
1 ( ) ( ) ( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
. Periksalah apakah T adalah transformasi linear?
2
2 2x x T x y y
2
: T R R dengan
3
Diketahui
Contoh 5.2
adalah transformasi linear.
x y x T x y y
Jadi dari a) dan b) terbukti bahwa
1
Latihan 5.1 a
2
T b ( abc ) ( a b x ) ( a c x )
3 c
T R : P
2
Periksa apakah dengan merupakan suatu transformasi linear Berikut ini adalah sifat-sifat transformasi linear
Teorema 5.1
Jika T :V →W adalah suatu transformasi linear, maka:
a. T (´0)=0
b. T (−´v )=−T (´v)
c. T ( ´v− ´w)=T ( ´v )−T ( ´w)
5.2 Kernel dan Range Definisi 5.2
T u u V
T V W
Diketahui transformasi linear : dengan ( ), . Kernel dari T (dinotasikan Ker(T)) adalah himpunan u sedemikian sehingga ( ) 0 T u atau
( ) 0 u T u
Ker(T)= . Ker(T) sering disebut ruang nol dari T. Himpunan semua
T u b R T
disebut range dari T atau disingkat ( ) R T . ( )
b sedemikian sehingga ( ) disebut juga dengan bayangan u oleh ( ) T u .
Definisi 5.3 T :V →W
Jika adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T dinyatakan sebagai rank dari T (notasi : rank(T)) dan dimensi dari T dinyatakan nullitas dari T (notasi:nullitas(T)).
Teorema 5.2 n m
Jika A adalah suatu matriks mxn dan T :R → R adalah perkalian dengan A,
A
maka :
¿
a. Nullitas(T = Nullitas(A)
A T ¿
b. Rank(( = Rank (A)
A ¿ ¿
c. Rank((T + Nullitas(T =n
A A Contoh 5.3
( )
A A
Tentukan basis dan dimensi dari Ker T dan ( ) R T dari transformasi linear
1
1
2
A
3
2
2
2
4
A A u R
3 T R : R T u Au
dengan ( ) , dengan dan
Penyelesaian :
a. Kernel
T u Au
( )
A A Ker T adalah ruang nol dari ( ) maka t 2 s
1
2 u t 1 t s
1
1
2 1 1 2
s
1
2
2
4
sehingga
1
2
Ker T ( ) 1 , 0 T ¿
A
A
1
( ) 2
Ker T A
Jadi basis dan Rank(( = dim
b. Range ( )
A A ´u=b
A R T merupakan himpunan dari ´b dengan maka R(T ) adalah ruang
1
T A R(T ) ¿ A
A
2
kolom dari . Sehingga basis dari adalah dan Nullitas( =
T =
dim R
( A ) 1.
Latihan 5.2
1. Tentukan Nullitas (T) berdasarkan informasi berikut ini
5
7
a. punya rank (T) =3
T : R → R → P
b. T : P punya rank(T) =1
4
3
6
3
2
c. Daerah hasil dari adalah
T : R → R R
4
3
2. Diketahui transformasi matriks T :R → R memiliki matriks transformasi
A 1 0
1
2
A 2 2
1
1 Ker (T R(T
) )
A A
0 2
3
3 . Tentukan basis dan dimensi dari dan .
2
2 → R adalah operator linear yang ditentukan dari
3. Anggap T : R
T ( x , y )=(2 x− y ,−8 x +4 y )
a. Tentukan basis dari ruang Kernel dan ruang Rangenya
b. Periksa apakah vektor (5,0) dan vektor (-3,12) berada pada R(T)
c. Periksa apakah vektor (3,2) dan vektor (5,10) berada pada Ker(T)
5.3 Matriks Transformasi Definisi 5.4
Diketahui ruang V,W dengan dimensi ruang vektor berturut-turut n dan m dan transformasi linear T :V →W dengan fungsi T ( ´x ), ´x ∈ V . Jika B merupakan
’
basis V, dan B adalah basis dari W . Jika A adalah matriks standar maka
∀ ´x ∈V dapat ditentukan dengan ' A[ ´x ] = [ T (´x) ]
B B ’
A disebut matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B
T= transformasi V ke W T A A matriks transformasi yang memetakan ke
' u , ´u , … , ´ u
´
v ´ , ´v , … , ´ v
Diasumsikan B= adalah basis pada ruang V dan B =
{
1 2 n } 1 2 m
{ }
adalah basis pada ruang W, maka untuk mengkonstruksi matriks A dapat diperoleh dengan cara mentransformasi basis-basis di B lalu menentukan koordinat vektor dari setiap hasil transformasi matriks terhadap basis-basis
’ B . Dapat dituliskan
A T u ( ) T u ( ) ... T u ( ) T T u ( ) T u ( ) ... T u ( ) 1 ' 2 ' n ' 1 ' 2 ' n '
B B ', B B B B B B
' ' ' atau
B B , B B
= [ T (´x) ] [ T ] [ ´ x ] = [ T (´x) ] Sehingga A[ ´x] B dapat dituliskan menjadi B .
' [ T ]
Notasi subscript kanan adalah suatu basis untuk daerah asal T,
B , B sedangkan subscript kiri adalah suatu basis untuk ruang bayangan dari T. ' [ T ]
Jadi untuk notasi basis dari daerah asal adalah B dan basis untuk ruang
B , B ’ bayangan adalah B .
' ' ' T x ] T (´x)
[ ] [ ´ = [ ]
persamaan B dapat dituliskan menjadi Jika V=W maka B=B B , B B [ T ] [ ´ x] = [ T (´x) ] .
B B B Contoh 5.4 x
2 x
1
2
3
= − 5 x 13 x
- 2 )
→ R dengan T
1 2 .
Diketahui transformasi linear T : R
x (
( )
− 7 x 16 x +
1
2 ( )
T T
2 u , ´u
´ = ¿ Jika A =
1 2 {(3,1) ,(5,2) dan { } } adalah basis dari R
T T T
3
´ v , ´v , ´v
B= ={(1,0,-1) ,(-1,2,2) ,(0,1,2)
1
2 3 }adalah dari R .
{ } a. Tentukan matriks T terhadap basis A dan B.
T [ x ´ ]
b. Untuk ´x=(2,1) Tentukan
( A ) Penyelesaian: u u
´ ´
a. Pertama dihitung nilai T dan T (dengan kata lain bayangan dari ´u
( 1 ) (
2 )
1 u ´
dan ) yaitu
2
1
2
3
5 T u ´ = T = ´ u = T =
1
2 dan T
1
1
( ) − ( )
1
2
( ) ( ) ( ) ( )
3
( ) ( )
− 5 −
3
3 u ´ u ´ ´ v , ´v , ´v
Karena T (
1 ) dan T ( 2 ) berada di R dan B=
1
2 3 adalah basis dari R { }
T u ´ T u ´
maka masing (
1 ) dan ( 2 ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari v , ´v , ´v
´ , sehingga
1
2
3 T u α v α v α v T u β v β v β v
´ + = + ´ ´ ´ ´ = ´ ´ + + ´
1
1
1
2
2
3 3 dan
2
1
1
2
2
3
3 ( ) ( )
Maka dengan OBE diperoleh vektor koordinat ´u
1 dan ´u 2 terhadap basis B
yaitu ¿ ¿ dan ¿ ¿ .
1
3
[ T ] =
Jadi matriks transformasi B , A 1 .
− 2 −1
( )
[ x ´ ]
b. Mula-mula dicari maka
A ´ x=α + u ´ α u ´
1
1
2
2
−
1
x x
[ ´ ] [ ´ ]
Sehingga diperoleh A = lalu untuk mendapatkan T ( A ) digunakan
(
1 )
1
3
2
1 −
´ x
[ T ] [ ] =
1 =
1 matriks transformasi B , A sehingga T ( A )
(
1 ) 2 −1
1 −
( ) ( )
Latihan 5.3
3
3
2 v ´ , ´v , ´v
Misal memiliki
{
1
2 3 } merupakan basis R . Transformasi linear T : R → P T v w
´ = = (1,1,−1) , ´ v = (0,1 ,−1) , ´ v = (0,0 ,−1) ,
fungsi dengan ´v
( i ) i
1
2
3
2
2
2 p ( x )=1−x +x , q ( x )=1+2 x , r ( x )=2 x−x .
A ´v = w
a. Tentukan matriks transformasi A sedemikian sehingga i i
b. Tentukan bayangan (1,2,1) dari transformasi tersebut
5.4 Matriks baku/standar
Jika T adalah suatu transformasi linear, maka matriks standar untuk T bisa didapatkan dari bayangan vektor-vektor basis standar. Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan oleh bayangan sebarang vektor-vektor basis.
Definisi 5.5 n m e e , ,..., e
1 2 n T x Ax
T R R Misalkan : dengan ( ) memiliki basis standar S = .
A T e ( ) T e ( ) .... T e ( )
1 2 n
Maka matriks standar untuk T adalah .
Contoh 5.5
2 x +2 y
x x− y
3
4
=
y
dengan T Diketahui transformasi matriks T : R → R
x +z z ( ) y +z
( ) Tentukan matriks standar untuk T.
Penyelesaian:
2.1+2.0 2 2.0+2.1
2
1 1−0 1 0−1 −
1 T ´ e = T = = , T e ´ = T = =
1
( 1 ) ( 2 )
1+0 1 0+0
( ) ( )
0+0 1+0
1
( ) ( ) ( ) ( ) 2.0+2.0 0−0
´ T e = T = =
( )
3 0+1
1
1 ( )
0+1
1 ( ) ( )
2 2 2 x+2 y
x
1 −1 0 x− y
y = Jadi matriks standar T = A= dengan A .
1 1 x +z
z ( )
0 1 1 y +z
( ) ( )
Latihan 5.4
T : P → P
Misalkan adalah transformasi linear yang didefinisikan oleh
1
2 T p ( x ) = xp (x) ( ) .
a. Tentukan matriks untuk T berkenaan dengan basis-basis standar
'
2 B={ ´u , ´u }
={1 , x} dan B ={ ´ v , ´v , ´v } =
1 2 { 1 , x , x }
1
2
3
b. Jika p ( x)=2−3 x Tentukan T ( p (x ))
5.5 Keserupaan/Similaritas Matriks operator linear T :V →V tergantung pada basis yang dipilih untuk V .
Salah satu masalah dasar dari aljabar linear adalah memilih suatu basis untuk V yang membuat matriks T sesederhana mungkin, misalnya matriks diagonal atau matriks segitiga.
Masalah Jika B dan B’ adalah dua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi
T :V →V terhingga V, dan jika adalah suatu operator linear apa kaitan antara
T ] ' [ T ] [ B dengan .
B Teorema 5.3
Anggap T :V →V adalah suatu linear pada suatu ruang vektor berdimensi terhinggaV , dan anggap B dan B’ adalah basis-basis untuk V. Maka
1 T P T P
B ' B Dimana P adalah matriks transisi dari B’ ke B.
Contoh 5.6
2
2
didefinisikan oleh Misalkan T : R → R
x x x
- 1
2
1 T =
2 x 4 x
x − 2 (
1
2 )
( )- e , ´e
( )
¿ ´
a. Tentukan matriks T berkenaan dengan basis standar B
{
1 2 } ' '
1 ´
1 u , ´u ,
¿ =
b. Jika B’ {
1 2 } , tentukan matriks T berkenaan dengan basis 1 ( 2 )
( ) { }
' ' ´ standar B’ u , ´u .
¿ {
1 2 } ' ' [ T ] ,det [ T ] tr T [ T ]
( B ) [ ]
c. Hitunglah det ( ) , ( B ) , tr ( )
B B Penyelesaian:
T T T e ( ) T e ( )
1
2
B
a. maka
1 1 0 1 0 1
1
T e ( ) T T e ( ) T
1
1
2.1 4.0
2 1 2.0 4.1
4
dan
1
1
T T
B
2 4
Sehingga
T '
B
b. Untuk mencari maka disusun matriks transisi dari B’ ke B sehingga ' ' p p
11 12
P u 1 u
2
B B p p
21
22
' ' u 1 p e p e u 2 p e p e
11 1 21 2 12 1 22 2 dan sehingga diperoleh matriks −
1
1 1 2 −
1 P= = dan dihitung p
( 1 2 ) ( −
1 1 ) ' '
T det T T [ ] = [ ] tr [ T ] [ ]
c. Dapat ditunjukkan bahwa det ( B ) dan ( B ) =tr ( B ) ( B )
1 T P T P T
B ' B B
Secara umum dan disebut matriks yang serupa, berikut
1 T A T P T P B
B B ' B
ini diberikan definisi secara umum andaikan dan maka perhatikan definisi berikut ini.
Definisi 5.6
Jika A dan B adalah matriks-matriks bujur sangkar, B dikatakan serupa dengan A jika ada suatu matriks P yang dapat dibalik sedemikian sehingga
1 AP .
B=P −
Perhatikan bahwa A juga dapat dituliskan menjadi A=PB P −
1
sehingga A dan B disebut serupa.
Sifat-sifat matriks yang serupa Sifat Uraian
Determinan A dan
P −
1 AP
mempunyai determinan yang sama Dapat dibalik atau tidak A dapat dibalik jika dan hanya jika P
- - 1 AP dapat dibalik.
A
1
1
2
1 , ,
1 B u u
dan
2
dengan
2
3 , ,
1
4 B v v
a. Tentukan matriks dari T berkenaan dengan B
b. Tentukan matriks dari T berkenaan dengan B’
dan P −
2 → R
1 AP mempunyai rank yang
sama Nullitas A dan P −
1 AP mempunyai nullitas
yang sama Trace
A
dan P −
1 AP mempunyai trace yang
sama Latihan 5.5
T : R
2
didefinisikan oleh
1
1
2
Rank
2
2 x x x
T x x
2