Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi Nonparametrik
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
SKRIPSI
FIKA KHAIRANI
120823020
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
FIKA KHAIRANI
120823020
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi
Nonparametrik
Skripsi
Fika Khairani
120823020
Sarjana (S1) Matematika Ekstensi
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Agustus 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Open Darnius, M.Sc
NIP. 19641041 199103 1 004
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901198803 1 002
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901198803 1 002
PERNYATAAN
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
Fika Khairani
120823020
PENGHARGAAN
Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur Penulis
kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagi-Nya yang senantiasa memberikan
kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk Penulis, sehingga
penyusunan skripsi dengan judul Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi
Nonparametrik ini dapat diselesaikan dengan baik.
Terimakasih Penulis sampaikan kepada Bapak
Prof. Dr. Tulus, M.Si
selaku dosen pembimbing 1 sekaligus Ketua Departemen di FMIPA USU dan
Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc selaku dosen pembimbing 2 yang telah banyak
membantu dan meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih
kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring,
M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih juga kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si
selaku Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman,
M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf
Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta Pegawai FMIPA USU.
Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa membalas kebaikan-kebaikan mereka.
Teruntuk keluarga tercinta, Ibunda Khairiyani, Ayahanda Sofian, adinda
Nurlia Hafni, Uswatun Khairi, Mifta Khairina, Muhammad Syafriansyah, dan
Muhammad Syafriandi, serta sahabat-sahabat terbaik Penulis, PS.Poemer,
terimakasih atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini.
Mudah-mudahkan
keberkahan,
keridhoan,
serta
hidayah-Nya
senantiasa
melimpahi kita semua.
Medan,
Penulis,
Agustus 2015
Fika Khairani
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
ABSTRAK
Regresi spline truncated merupakan salah satu model dengan pendekatan
nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polinomial tersegmen.
Bentuk estimator spline sangat dipengaruhi oleh nilai parameter penghalus λ yang
pada hakekatnya adalah penentuan lokasi titik-titik knot. Penelitian ini bertujuan
untuk mengkaji penggunaan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks
dalam menentukan estimator regresi spline linier dua titik knot, serta menentukan
metode yang terbaik sebagai kriteria dalam penentuan titik knot yang optimal,
yakni MSE dan GCV. Dari hasil analisis dan pembahasan didapat bahwa estimator
regresinya dapat diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan
matriks. Penggunaan
metode kuadrat terkecil mengasumsikan bentuk fungsi
spline dan memberikan kemudahan interpretasi melalui model statistik.
Sedangkan dari hasil perhitungan data tegangan output sensor polimer diketahui
bahwa pemilihan model regresi spline terbaik dengan menggunakan metode
MSE (λ) sebesar 0,760617 dan GCV(λ) sebesar 1,188464. Setiap trial error hasil
minimal kedua metode bersama-sama secara konstan menunjukkan letak titik knot
yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua metode memiliki efektivitas yang
sama dalam menetukan letak titik knot yang optimal. Namun, jika dilihat dari nilai
yang dihasilkan, nilai MSE (λ) adalah nilai yang paling minimum dan bisa
dianggap sebagai metode yang terbaik karena efisien dan lebih mudah
penggunaanya dalam regresi spline linier.
Kata kunci : Regresi nonparametrik, spline truncated , kuadrat terkecil, MSE, GCV
SPLINE TRUNCATED APPLICATION IN NONPARAMETRIC
REGRESSION
ABSTRACT
Spline truncated regression is one of the nonparametric approach model that has
been modified from segmented polynomial .The estimator form of spline is being
strongly influenced by λ as the value of smoothing parameter which is essentially
determining the location of knots. This research aims to examines the usage of the
least squares method with a matrix approach in order to determines estimator the
spline linear regression two knots well as to recognize the best method as the
criteria for the optimal knots, specifically MSE and GCV. As the result of this
research, it shows if the regression estimator can be solved with the least squares
method through a matrix approach. The usage of the least squares method assume
the form of spline functions and provide the easier interpretation way through
statistical models. Meanwhile from the data output voltage cencorship polymer, it
discovered that the selection of the best spline regression model using MSE (λ) is
equal to 0.760617 and GCV (λ) is equal to 1.188464. The minimum result of both
methods constantly showed the same knot point location in every trial error. It is
indicated if the result shows that both methods have the same effectiveness in
determining the optimal location of the point knots. However, refering to the
value result, the value of MSE (λ) is the minimum value and it could be
recognized as the best method since it is quite efficient and easier to be used in
spline linear regression.
Keyword: Nonparametric regression, spline truncated, least square, MSE, GCV
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
x
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi
2.2 Regresi Nonparametrik
2.3 Fungsi Spline Polynomial Truncated
2.4 Fungsi Spline Linier
2.5 Regresi Spline
2.6 Pemilihan Model Regresi Spline dengan
2.7 Metode Kuadrat Terkecil
2.8 Matriks
2.8.1 Defenisi Matriks
2.8.2 Trace Matriks
2.8.3 Tranpos Matriks
2.8.4 Matriks Identitas
2.8.5 Matriks Idempoten
2.8.6 Matriks Simetri
2.8.7 Invers Matriks
2.8.8 Matriks Invertible
BAB 3
BAB 4
1
1
3
3
3
4
yang Optimal
5
5
6
7
8
8
9
11
12
12
13
13
14
14
14
15
15
METODE PENELITIAN
3.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik
3.2 Menerapkan Model Spline pada Data untuk Estimasi Pola
Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas
16
16
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik
18
18
17
4.1.1
4.2
BAB 5
Persamaan Regresi Spline Linier
dengan Penurunan Terhadap
4.1.2 Persamaan Regresi Spline Linier
dengan Penurunan Terhadap
4.1.3 Pendekatan metode kuadrat terkecil
dengan metode matriks
4.1.4 Optimasi dengan MSE
4.1.5 Optimasi dengan GCV
Menerapkan Model Spline pada Data Simulasi untuk
Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan
Variabel Bebas
4.2.1 Plot Antara Variabel Terikat dan Variabel Bebas
4.2.2 Estimasi Regresi Spline Linier
4.2.3 Pemilihan Model Regresi Spline Linier Terbaik
4.2.4 Pengujian Model Regresi Spline Linier Terbaik
4.2.5 Interpretasi Model Regresi Spline Truncated Linier
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
21
22
24
25
26
27
27
28
30
31
33
35
35
36
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
4.1
Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Satu Titik Knot
28
4.2
Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot
29
4.3
Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Dua Titik Knot
29
4.4
Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot
30
4.5
Titik Knot Optimum Satu dan Dua Titik Knot
30
4.6
Analisis Variansi Model Spline Linier Dua Titik Knot
32
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1
Fungsi Spline Linier dengan Satu Titik Knot pada
4.1
Plot Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan (mv)
27
4.2
Plot Normalitas Residual
32
4.3
Kurva Estimasi Regresi Spline Linier dengan Dua Titik Knot
33
8
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Judul
Halaman
Lampiran
1
2
Data Pengamatan Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan
Output Sensor Polimer (milivolt)
Program Regresi Spline dengan Software Aplikasi Matlab
R2007b.
39
3
Nilai MSE dan GCV dari Percobaan Sebanyak p
45
4
Uji Simultan Model Regresi Spline Truncated Linier Terbaik
5
dengan Menggunakan SPSS 16.0
48
Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov
50
38
REGRESI NONPARAMETRIK
SKRIPSI
FIKA KHAIRANI
120823020
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
FIKA KHAIRANI
120823020
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PERSETUJUAN
Judul
:
Kategori
Nama
Nomor Induk Mahasiswa
Program Studi
Departemen
Fakultas
:
:
:
:
:
:
Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi
Nonparametrik
Skripsi
Fika Khairani
120823020
Sarjana (S1) Matematika Ekstensi
Matematika
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Diluluskan di
Medan, Agustus 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2,
Pembimbing 1,
Dr. Open Darnius, M.Sc
NIP. 19641041 199103 1 004
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901198803 1 002
Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU
Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si
NIP. 19620901198803 1 002
PERNYATAAN
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa
kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan,
Agustus 2015
Fika Khairani
120823020
PENGHARGAAN
Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur Penulis
kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagi-Nya yang senantiasa memberikan
kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk Penulis, sehingga
penyusunan skripsi dengan judul Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi
Nonparametrik ini dapat diselesaikan dengan baik.
Terimakasih Penulis sampaikan kepada Bapak
Prof. Dr. Tulus, M.Si
selaku dosen pembimbing 1 sekaligus Ketua Departemen di FMIPA USU dan
Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc selaku dosen pembimbing 2 yang telah banyak
membantu dan meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih
kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring,
M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih juga kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si
selaku Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman,
M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf
Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta Pegawai FMIPA USU.
Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa membalas kebaikan-kebaikan mereka.
Teruntuk keluarga tercinta, Ibunda Khairiyani, Ayahanda Sofian, adinda
Nurlia Hafni, Uswatun Khairi, Mifta Khairina, Muhammad Syafriansyah, dan
Muhammad Syafriandi, serta sahabat-sahabat terbaik Penulis, PS.Poemer,
terimakasih atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini.
Mudah-mudahkan
keberkahan,
keridhoan,
serta
hidayah-Nya
senantiasa
melimpahi kita semua.
Medan,
Penulis,
Agustus 2015
Fika Khairani
APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM
REGRESI NONPARAMETRIK
ABSTRAK
Regresi spline truncated merupakan salah satu model dengan pendekatan
nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polinomial tersegmen.
Bentuk estimator spline sangat dipengaruhi oleh nilai parameter penghalus λ yang
pada hakekatnya adalah penentuan lokasi titik-titik knot. Penelitian ini bertujuan
untuk mengkaji penggunaan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks
dalam menentukan estimator regresi spline linier dua titik knot, serta menentukan
metode yang terbaik sebagai kriteria dalam penentuan titik knot yang optimal,
yakni MSE dan GCV. Dari hasil analisis dan pembahasan didapat bahwa estimator
regresinya dapat diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan
matriks. Penggunaan
metode kuadrat terkecil mengasumsikan bentuk fungsi
spline dan memberikan kemudahan interpretasi melalui model statistik.
Sedangkan dari hasil perhitungan data tegangan output sensor polimer diketahui
bahwa pemilihan model regresi spline terbaik dengan menggunakan metode
MSE (λ) sebesar 0,760617 dan GCV(λ) sebesar 1,188464. Setiap trial error hasil
minimal kedua metode bersama-sama secara konstan menunjukkan letak titik knot
yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua metode memiliki efektivitas yang
sama dalam menetukan letak titik knot yang optimal. Namun, jika dilihat dari nilai
yang dihasilkan, nilai MSE (λ) adalah nilai yang paling minimum dan bisa
dianggap sebagai metode yang terbaik karena efisien dan lebih mudah
penggunaanya dalam regresi spline linier.
Kata kunci : Regresi nonparametrik, spline truncated , kuadrat terkecil, MSE, GCV
SPLINE TRUNCATED APPLICATION IN NONPARAMETRIC
REGRESSION
ABSTRACT
Spline truncated regression is one of the nonparametric approach model that has
been modified from segmented polynomial .The estimator form of spline is being
strongly influenced by λ as the value of smoothing parameter which is essentially
determining the location of knots. This research aims to examines the usage of the
least squares method with a matrix approach in order to determines estimator the
spline linear regression two knots well as to recognize the best method as the
criteria for the optimal knots, specifically MSE and GCV. As the result of this
research, it shows if the regression estimator can be solved with the least squares
method through a matrix approach. The usage of the least squares method assume
the form of spline functions and provide the easier interpretation way through
statistical models. Meanwhile from the data output voltage cencorship polymer, it
discovered that the selection of the best spline regression model using MSE (λ) is
equal to 0.760617 and GCV (λ) is equal to 1.188464. The minimum result of both
methods constantly showed the same knot point location in every trial error. It is
indicated if the result shows that both methods have the same effectiveness in
determining the optimal location of the point knots. However, refering to the
value result, the value of MSE (λ) is the minimum value and it could be
recognized as the best method since it is quite efficient and easier to be used in
spline linear regression.
Keyword: Nonparametric regression, spline truncated, least square, MSE, GCV
DAFTAR ISI
Halaman
i
ii
iii
iv
v
vi
viii
ix
x
PERSETUJUAN
PERNYATAAN
PENGHARGAAN
ABSTRAK
ABSTRACT
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Batasan Masalah
1.4 Tujuan Penelitian
1.5 Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Analisis Regresi
2.2 Regresi Nonparametrik
2.3 Fungsi Spline Polynomial Truncated
2.4 Fungsi Spline Linier
2.5 Regresi Spline
2.6 Pemilihan Model Regresi Spline dengan
2.7 Metode Kuadrat Terkecil
2.8 Matriks
2.8.1 Defenisi Matriks
2.8.2 Trace Matriks
2.8.3 Tranpos Matriks
2.8.4 Matriks Identitas
2.8.5 Matriks Idempoten
2.8.6 Matriks Simetri
2.8.7 Invers Matriks
2.8.8 Matriks Invertible
BAB 3
BAB 4
1
1
3
3
3
4
yang Optimal
5
5
6
7
8
8
9
11
12
12
13
13
14
14
14
15
15
METODE PENELITIAN
3.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik
3.2 Menerapkan Model Spline pada Data untuk Estimasi Pola
Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas
16
16
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
4.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik
18
18
17
4.1.1
4.2
BAB 5
Persamaan Regresi Spline Linier
dengan Penurunan Terhadap
4.1.2 Persamaan Regresi Spline Linier
dengan Penurunan Terhadap
4.1.3 Pendekatan metode kuadrat terkecil
dengan metode matriks
4.1.4 Optimasi dengan MSE
4.1.5 Optimasi dengan GCV
Menerapkan Model Spline pada Data Simulasi untuk
Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan
Variabel Bebas
4.2.1 Plot Antara Variabel Terikat dan Variabel Bebas
4.2.2 Estimasi Regresi Spline Linier
4.2.3 Pemilihan Model Regresi Spline Linier Terbaik
4.2.4 Pengujian Model Regresi Spline Linier Terbaik
4.2.5 Interpretasi Model Regresi Spline Truncated Linier
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
21
22
24
25
26
27
27
28
30
31
33
35
35
36
DAFTAR TABEL
Nomor
Judul
Halaman
Tabel
4.1
Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Satu Titik Knot
28
4.2
Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot
29
4.3
Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Dua Titik Knot
29
4.4
Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot
30
4.5
Titik Knot Optimum Satu dan Dua Titik Knot
30
4.6
Analisis Variansi Model Spline Linier Dua Titik Knot
32
DAFTAR GAMBAR
Nomor
Judul
Halaman
Gambar
2.1
Fungsi Spline Linier dengan Satu Titik Knot pada
4.1
Plot Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan (mv)
27
4.2
Plot Normalitas Residual
32
4.3
Kurva Estimasi Regresi Spline Linier dengan Dua Titik Knot
33
8
DAFTAR LAMPIRAN
Nomor
Judul
Halaman
Lampiran
1
2
Data Pengamatan Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan
Output Sensor Polimer (milivolt)
Program Regresi Spline dengan Software Aplikasi Matlab
R2007b.
39
3
Nilai MSE dan GCV dari Percobaan Sebanyak p
45
4
Uji Simultan Model Regresi Spline Truncated Linier Terbaik
5
dengan Menggunakan SPSS 16.0
48
Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov
50
38