Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi Nonparametrik

APLIKASI

SPLINE TRUNCATED

DALAM

REGRESI NONPARAMETRIK

SKRIPSI

FIKA KHAIRANI

120823020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

APLIKASI

SPLINE TRUNCATED

DALAM

REGRESI NONPARAMETRIK

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat

mencapai gelar Sarjana Sains

FIKA KHAIRANI

120823020

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2015

PERSETUJUAN

Judul : Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi Nonparametrik

Kategori : Skripsi Nama : Fika Khairani Nomor Induk Mahasiswa : 120823020

Program Studi : Sarjana (S1) Matematika Ekstensi Departemen : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara

Diluluskan di Medan, Agustus 2015

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2, Pembimbing 1,

Dr. Open Darnius, M.Sc Prof. Dr. Tulus, M.Si

NIP. 19641041 199103 1 004 NIP. 19620901198803 1 002

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM

REGRESI NONPARAMETRIK

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dari ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, Agustus 2015

Fika Khairani 120823020

PENGHARGAAN

Tiada kata yang pantas diucapkan sebagai pembuka, selain ucapan syukur Penulis kepada Allah SWT. Segala puji hanya bagi-Nya yang senantiasa memberikan kesehatan dan nikmat kepada semua manusia, termasuk Penulis, sehingga penyusunan skripsi dengan judul Aplikasi Spline Truncated dalam Regresi Nonparametrik ini dapat diselesaikan dengan baik.

Terimakasih Penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dosen pembimbing 1 sekaligus Ketua Departemen di FMIPA USU dan Bapak Dr. Open Darnius, M.Sc selaku dosen pembimbing 2 yang telah banyak membantu dan meluangkan waktunya selama penyusunan skripsi ini. Terimakasih

kepada Bapak Dr. Faigiziduhu Bu’ulolo, M.Si dan Bapak Dr. Pasukat Sembiring,

M.Si selaku dosen penguji. Terimakasih juga kepada Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si selaku Sekretaris Departemen Matematika di FMIPA USU, Bapak Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA USU, Pembantu Dekan FMIPA USU, seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU, serta Pegawai FMIPA USU. Mudah-mudahan Allah SWT senantiasa membalas kebaikan-kebaikan mereka.

Teruntuk keluarga tercinta, Ibunda Khairiyani, Ayahanda Sofian, adinda Nurlia Hafni, Uswatun Khairi, Mifta Khairina, Muhammad Syafriansyah, dan Muhammad Syafriandi, serta sahabat-sahabat terbaik Penulis, PS.Poemer, terimakasih atas doa dan dukungan yang senantiasa diberikan sampai saat ini. Mudah-mudahkan keberkahan, keridhoan, serta hidayah-Nya senantiasa melimpahi kita semua.

Medan, Agustus 2015 Penulis,

APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK

ABSTRAK

Regresi spline truncated merupakan salah satu model dengan pendekatan nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polinomial tersegmen. Bentuk estimator spline sangat dipengaruhi oleh nilai parameter penghalus λ yang pada hakekatnya adalah penentuan lokasi titik-titik knot. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penggunaan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks dalam menentukan estimator regresi spline linier dua titik knot, serta menentukan metode yang terbaik sebagai kriteria dalam penentuan titik knot yang optimal, yakni MSE dan GCV. Dari hasil analisis dan pembahasan didapat bahwa estimator regresinya dapat diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan matriks. Penggunaan metode kuadrat terkecil mengasumsikan bentuk fungsi

spline dan memberikan kemudahan interpretasi melalui model statistik.

Sedangkan dari hasil perhitungan data tegangan output sensor polimer diketahui bahwa pemilihan model regresi spline terbaik dengan menggunakan metode

MSE(λ) sebesar 0,760617 dan GCV(λ) sebesar 1,188464. Setiap trial error hasil minimal kedua metode bersama-sama secara konstan menunjukkan letak titik knot yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua metode memiliki efektivitas yang sama dalam menetukan letak titik knot yang optimal. Namun, jika dilihat dari nilai yang dihasilkan, nilai MSE(λ) adalah nilai yang paling minimum dan bisa dianggap sebagai metode yang terbaik karena efisien dan lebih mudah penggunaanya dalam regresi spline linier.

SPLINE TRUNCATED APPLICATION IN NONPARAMETRIC REGRESSION

ABSTRACT

Spline truncated regression is one of the nonparametric approach model that has been modified from segmented polynomial .The estimator form of spline is being strongly influenced by λ as the value of smoothing parameter which is essentially determining the location of knots. This research aims to examines the usage of the least squares method with a matrix approach in order to determines estimator the spline linear regression two knots well as to recognize the best method as the criteria for the optimal knots, specifically MSE and GCV. As the result of this research, it shows if the regression estimator can be solved with the least squares method through a matrix approach. The usage of the least squares method assume the form of spline functions and provide the easier interpretation way through statistical models. Meanwhile from the data output voltage cencorship polymer, it discovered that the selection of the best spline regression model using MSE (λ) is equal to 0.760617 and GCV (λ) is equal to 1.188464. The minimum result of both methods constantly showed the same knot point location in every trial error. It is indicated if the result shows that both methods have the same effectiveness in determining the optimal location of the point knots. However, refering to the value result, the value of MSE (λ) is the minimum value and it could be recognized as the best method since it is quite efficient and easier to be used in spline linear regression.

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN i

PERNYATAAN ii

PENGHARGAAN iii

ABSTRAK iv

ABSTRACT v

DAFTAR ISI vi

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR ix

DAFTAR LAMPIRAN x

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1 Latar Belakang 1 1.2 Rumusan Masalah 3 1.3 Batasan Masalah 3 1.4 Tujuan Penelitian 3 1.5 Manfaat Penelitian 4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5

2.1 Analisis Regresi 5 2.2 Regresi Nonparametrik 6 2.3 Fungsi Spline P olynomial Truncated 7 2.4 Fungsi Spline Linier 8

2.5 Regresi Spline 8

2.6 Pemilihan Model Regresi Spline dengan yang Optimal 9 2.7 Metode Kuadrat Terkecil 11

2.8 Matriks 12

2.8.1 Defenisi Matriks 12 2.8.2 Trace Matriks 13 2.8.3 Tranpos Matriks 13 2.8.4 Matriks Identitas 14 2.8.5 Matriks Idempoten 14 2.8.6 Matriks Simetri 14 2.8.7 Invers Matriks 15 2.8.8 Matriks Invertible 15

BAB 3 METODE PENELITIAN 16

3.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik 16 3.2 Menerapkan Model Spline pada Datauntuk Estimasi Pola

Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas 17

BAB 4 ANALISIS DAN PEMBAHASAN 18 4.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik 18

4.1.1 Persamaan Regresi Spline Linier

dengan Penurunan Terhadap 21 4.1.2 Persamaan Regresi Spline Linier

dengan Penurunan Terhadap 22 4.1.3 Pendekatan metode kuadrat terkecil

dengan metode matriks 24 4.1.4 Optimasi dengan MSE 25 4.1.5 Optimasi dengan GCV 26 4.2 Menerapkan Model Spline pada Data Simulasiuntuk

Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan

Variabel Bebas 27

4.2.1 Plot Antara Variabel Terikat dan Variabel Bebas 27 4.2.2 Estimasi Regresi Spline Linier 28 4.2.3 Pemilihan Model Regresi Spline Linier Terbaik 30 4.2.4 Pengujian Model Regresi Spline Linier Terbaik 31 4.2.5 Interpretasi Model Regresi Spline Truncated Linier 33

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 35

5.1 Kesimpulan 35

5.2 Saran 36

DAFTAR PUSTAKA

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

4.1 Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Satu Titik Knot 28 4.2 Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot 29 4.3 Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Dua Titik Knot 29 4.4 Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot 30 4.5 Titik Knot Optimum Satu dan Dua Titik Knot 30 4.6 Analisis Variansi Model Spline Linier Dua Titik Knot 32

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

2.1 Fungsi Spline Linier dengan Satu Titik Knot pada 8 4.1 Plot Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan (mv) 27 4.2 Plot Normalitas Residual 32 4.3 Kurva Estimasi Regresi Spline Linier dengan Dua Titik Knot 33

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

Lampiran

1 Data Pengamatan Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan

Output Sensor Polimer (milivolt) 38

2 Program Regresi Spline dengan Software Aplikasi Matlab

R2007b. 39

3 Nilai MSE dan GCV dari Percobaan Sebanyak p 45 4 Uji Simultan Model Regresi Spline Truncated Linier Terbaik dengan Menggunakan SPSS 16.0 48 5 Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov 50

APLIKASI SPLINE TRUNCATED DALAM REGRESI NONPARAMETRIK

ABSTRAK

Regresi spline truncated merupakan salah satu model dengan pendekatan nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polinomial tersegmen. Bentuk estimator spline sangat dipengaruhi oleh nilai parameter penghalus λ yang pada hakekatnya adalah penentuan lokasi titik-titik knot. Penelitian ini bertujuan untuk mengkaji penggunaan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks dalam menentukan estimator regresi spline linier dua titik knot, serta menentukan metode yang terbaik sebagai kriteria dalam penentuan titik knot yang optimal, yakni MSE dan GCV. Dari hasil analisis dan pembahasan didapat bahwa estimator regresinya dapat diselesaikan dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan matriks. Penggunaan metode kuadrat terkecil mengasumsikan bentuk fungsi

spline dan memberikan kemudahan interpretasi melalui model statistik.

Sedangkan dari hasil perhitungan data tegangan output sensor polimer diketahui bahwa pemilihan model regresi spline terbaik dengan menggunakan metode

MSE(λ) sebesar 0,760617 dan GCV(λ) sebesar 1,188464. Setiap trial error hasil minimal kedua metode bersama-sama secara konstan menunjukkan letak titik knot yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua metode memiliki efektivitas yang sama dalam menetukan letak titik knot yang optimal. Namun, jika dilihat dari nilai yang dihasilkan, nilai MSE(λ) adalah nilai yang paling minimum dan bisa dianggap sebagai metode yang terbaik karena efisien dan lebih mudah penggunaanya dalam regresi spline linier.

SPLINE TRUNCATED APPLICATION IN NONPARAMETRIC REGRESSION

ABSTRACT

Spline truncated regression is one of the nonparametric approach model that has been modified from segmented polynomial .The estimator form of spline is being strongly influenced by λ as the value of smoothing parameter which is essentially determining the location of knots. This research aims to examines the usage of the least squares method with a matrix approach in order to determines estimator the spline linear regression two knots well as to recognize the best method as the criteria for the optimal knots, specifically MSE and GCV. As the result of this research, it shows if the regression estimator can be solved with the least squares method through a matrix approach. The usage of the least squares method assume the form of spline functions and provide the easier interpretation way through statistical models. Meanwhile from the data output voltage cencorship polymer, it discovered that the selection of the best spline regression model using MSE (λ) is equal to 0.760617 and GCV (λ) is equal to 1.188464. The minimum result of both methods constantly showed the same knot point location in every trial error. It is indicated if the result shows that both methods have the same effectiveness in determining the optimal location of the point knots. However, refering to the value result, the value of MSE (λ) is the minimum value and it could be recognized as the best method since it is quite efficient and easier to be used in spline linear regression.

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam Statistika, analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel bebas terhadap variabel terikat. Sebelum melakukan analisis lebih lanjut harus dilihat terlebih dahulu pola hubungan variabel tersebut. Hal ini dapat dilakukan melalui dua pendekatan yaitu pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik. Pendekatan parametrik atau biasa disebut dengan regresi parametrik digunakan apabila diasumsikan bahwa bentuk model sudah ditentukan atau pola data sudah diketahui bentuknya. Namun pada kenyataannya tidak semua data diketahui pola hubungannya secara jelas atau bentuk model belum ditentukan. Apabila teknik pendekatan parametrik tetap digunakan sebagai model pola data, maka akan diperoleh hasil yang menyesatkan, sehingga pendekatan alternatif yang digunakan adalah pendekatan nonparametrik atau biasa disebut regresi nonparametrik. Regresi nonparametrik merupakan pendekatan regresi yang sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuknya, atau bisa dikatakan tidak terdapat informasi apapun tentang bentuk dari fungsi regresi. Pendekatan nonparametrik juga lebih fleksibel, hal ini dikarenakan tidak dibatasi oleh asumsi-asumsi seperti halnya pada pendekatan parametrik.

Pada umumnya statistik nonparametrik sering digunakan pada uji-uji hipotesis dan penggunaannya pada analisis regresi juga tidak dibahas secara khusus, padahal banyak teknik estimasi yang bisa digunakan untuk mengestimasi parameter-parameter model regresinya. Maka dalam hal ini dirasa perlu untuk mempelajari penggunaan teknik estimasi dalam menentukan model regresi nonparametrik. Salah satu teknik estimasi dalam regresi nonparametrik adalah estimator spline. Spline adalah salah satu jenis piecewise polinomial, yaitu polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Kelebihan sifat tersegmen ini

memberikan fleksibilitas lebih dari polinomial biasa, sehingga memungkinkan untuk menyesuaikan diri secara lebih efektif terhadap karakteristik lokal suatu fungsi atau data. Spline juga mempunyai keunggulan dalam mengatasi pola data yang cenderung naik/turun secara tajam, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus.

Spline truncated adalah basis fungsi dalam spline yang merupakan model polinomial yang tersegmen atau terbagi pada suatu titik fokus yang disebut knot. Untuk memperoleh regresi spline yang optimal maka perlu dipilih lokasi knot yang optimal pula. Masalah yang dihadapi dalam estimasi kurva adalah dalam memilih parameter λ (pemulus) yang pada hakekatnya memilih lokasi titik-titik knot juga.

Untuk nilai λ yang sangat besar akan menghasilkan bentuk kurva regresi yang sangat halus. Sebaliknya untuk nilai λ yang kecil akan memberikan bentuk kurva regresi yang sangat kasar, akibatnya pemilihan parameter penghalus optimal merupakan hal yang sangat penting dalam regresi nonparametrik. Tujuan dari pendekatan regresi nonparametrik, yakni ingin mendapatkan kurva mulus yang mempunyai λ optimal menggunakan data amatan sebanyak n, maka diperlukan ukuran kinerja atas estimator yang dapat diterima secara universal. Ada banyak metode untuk menentukan parameter pemulus, beberapa di antaranya adalah MSE (Mean Square Error) dan GCV (Generalized Cross Validation). Titik knot optimal diperoleh dari nilai MSE dan GCV yang paling minimum. MSE

merupakan metode pemulus optimal yang paling sederhana, meskipun begitu penggunaan MSE sangat jarang digunakan secara khusus untuk memilih titik knot yang optimal, sedangkan GCV merupakan modifikasi dari CV (Cross Validation) dan merupakan metode yang paling banyak dipakai dan disukai karena kelebihannya yaitu memiliki sifat optimal asimtotik (Wahba, 1990, dalam Oktaviana dan Budiantara, 2011).

Pada penelitian ini akan dibahas tentang penggunaan estimasi spline

truncated dalam menentukan model terbaik regresi nonparametrik dengan

penyelesaian optimal dan pemilihan parameter penghalus dengan menggunakan metode MSE dan metode GCV.

1.2 Rumusan Masalah

Sesuai dengan latar belakang masalah yang telah diuraikan maka yang menjadi pokok permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana cara penggunaan estimator spline dengan basis truncated dalam menentukan model regresi dengan menggunakan MSE dan GCV sebagai metode pemulus optimal dalam menentukan model regresi terbaik dan melihat metode mana yang menghasilkan nilai yang paling minimum, serta penerapannya pada data.

1.3 Batasan Masalah

Dalam menentukan estimator spline digunakan basis fungsi truncated, dan untuk menentukan nilai parameter-parameternya digunakan metode kuadrat terkecil dengan pendekatan matriks, sedangkan metode yang dipakai untuk menentukan parameter penghalus adalah metode MSE dan GCV. Adapun data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari Laboratorium Terpadu Departemen Fisika Universitas Sumatera Utara, yakni pengaruh lama waktu (menit) yang diberikan sebagai variabel bebas terhadap perubahan tegangan output sensor polimer (mv) sebagai variabel terikat dan hanya akan mencari model regresi

spline linier terbaik dengan satu titik knot, dan dua titik knot menggunakan metode MSE dan GCV. Untuk mengetahui apakah parameter penghalus memiliki pengaruh terhadap model yang didapat atau tidak, digunakan uji hipotesis yaitu uji simultan dan uji normalitas Kolmogorov-Smirnov.

1.4 Tujuan Penelititan

Sesuai dengan rumusan masalah yang dikemukakan sebelumnya, tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengkaji bentuk estimator spline dengan basis

truncated dalam menentukan model regresi dengan menggunakan MSE dan GCV

menentukan metode terbaik dalam menghasilkan nilai yang paling minimum, serta penerapannya pada data.

1.5 Manfaat Penelitian

Penelitian ini dilakukan untuk menambah pengetahuan serta memperkaya literatur mengenai analisis regresi nonparametrik sehingga dapat menjadi referensi untuk penelitian selanjutnya, baik dalam penentuan estimator model regresi nonparametrik ataupun penerapannya pada data rill.

BAB 2

LANDASAN TEORI

Dalam bab ini diuraikan beberapa tinjauan pustaka sebagai landasan teori pendukung penulisan penelitian ini.

2.1 Analisis Regresi

Suatu pasangan peubah acak seperti (tinggi, berat) mempunyai suatu sebaran peluang dua peubah (bivariate probability distribution). Bila ditaruh perhatian pada ketergantungan suatu peubah acak Y terhadap suatu besaran atau kuantitas X

yang bervariasi namun bukan merupakan peubah acak, maka suatu persamaan yang menghubungkan Y dan X disebut persamaan regresi (Draper dan Smith, 1966).

Analisis regresi merupakan metode yang banyak digunakan untuk mengetahui hubungan antara sepasang variabel atau lebih. Misalkan Y adalah variabel terikat dan X adalah variabel bebas, maka hubungan variabel X dan Y

dalam bentuk linier dapat dinyatakan sebagai berikut:

(2.1)

atau dapat ditulis dalam bentuk umum dengan lebih dari satu variabel :

(2.2)

keterangan: = variabel terikat = variabel bebas = parameter model

artinya, untuk suatu nilai X tertentu, nilai Y padanannya terdiri atas nilai ditambah besaran yang membuat nilai menyimpang dari garis regresinya.

2.2 Regresi Nonparametrik

Regresi nonparametrik merupakan metode pendekatan regresi yang sesuai untuk pola data yang tidak diketahui bentuk kurva regresinya atau tidak terdapat informasi masa lalu yang lengkap tentang bentuk pola data. Menurut Eubank (1988) dalam Tripena (2011) bentuk model regresi nonparametrik adalah sebagai berikut:

(2.3)

dengan adalah variabel terikat sedangkan fungsi merupakan kurva regresi yang tidak diketahui bentuknya, dan adalah variabel bebas, serta diasumsikan berdistribusi . Pendekatan regresi nonparametrik memiliki fleksibilitas yang tinggi, karena data yang diharapkan mencari sendiri bentuk estimasi kurva regresinya tanpa dipengaruhi oleh faktor subyektifitas peneliti.

Ada beberapa teknik estimasi dalam regresi nonparametrik antara lain pendekatan histogram, estimator spline, estimator Kernel, estimator deret ortogonal, analisis Wavelet dan lain-lain. Spline adalah salah satu jenis piecewise

polinomial, yaitu polinomial yang memiliki sifat tersegmen. Sifat tersegmen ini memberikan fleksibilitas lebih dari polinomial biasa, sehingga memungkinkan untuk menyesuaikan diri secara lebih efektif terhadap karakteristik lokal suatu fungsi atau data. Pendekatan estimator spline ada bermacam-macam antara lain

spline original, spline type M, spline relaxed, spline terbobot dan lain-lain. Pendekatan spline mempunyai suatu basis fungsi. Basis fungsi yang biasa dipakai antara lain spline truncated dan B-spline (Lyche dan Morken, 2004, dalam Budiantara, 2006). Spline mempunyai kelemahan pada saat orde Spline tinggi, knot yang banyak dan knot yang terlalu dekat akan membentuk matrik dalam

perhitungan yang hampir singular, sehingga persamaan normal tidak dapat diselesaikan (Schuemaker, 1981, dalam Budiantara, 2006).

Pengunaan spline difokuskan kepada adanya perilaku atau pola data, yang pada daerah tertentu, mempunyai karakteristik yang berbeda dari daerah lain. Pencocokan data dapat dilakukan dengan melihat titik-titik pada data yang mengalami suatu perubahan ekstrim pada suatu daerah sehingga pola data pada masing-masing daerah mengalami perbedaan.

2.3 Fungsi Spline Polynomial Truncated

Bentuk fungsi spline yang biasa dipergunakan adalah fungsi basis spline

polinomial truncated. } merupakan basis untuk ruang spline berorde m (Budiantara, 2001, dalam Stepanus, 2011) dengan fungsi sepenggal (truncated) adalah sebagai berikut:

(2.4)

Secara umum, fungsi spline berorde m adalah sembarang fungsi yang dinyatakan sebagai berikut:

(2.5)

keterangan: s(x) = potongan polinomial berorde m pada subinterval (Kr, Kr+ 1) m = orde

N = banyaknya knot

β = konstanta riil

x = variabel bebas

Kr = knot ke-r yang memperlihatkan pola perubahan perilaku dari fungsi pada sub-sub interval yang berbeda

Berdasarkan bentuk matematis fungsi spline, dapat dikatakan bahwa spline

merupakan model polinomial yang sepotong-sepotong (piecewise polynomial) dan

spline masih bersifat kontinu pada knot-knotnya. Knot diartikan sebagai suatu titik fokus dalam fungsi spline, sehingga kurva yang dibentuk tersegmen pada titik tersebut dan untuk setiap fungsi m, titik knot dapat dinyatakan dengan kombinasi linier. Fungsi spline merupakan suatu gabungan fungsi polinomial dimana penggabungan beberapa polinomial tersebut pada knot-knot dengan suatu cara yang menjamin sifat kontinuitas. Spline adalah potongan polinomial mulus yang masih memungkinkan memiliki sifat tersegmen (Eubank, 1988, dalam Tripena, 2011).

2.4 Fungsi Spline Linier

Fungsi spline linier merupakan fungsi spline dengan satu orde. Fungsi spline linier dengan satu titik knot ( ) dapat disajikan dalam bentuk:

Fungsi ini dapat pula disajikan menjadi (Tripena, 2005, dalam Tripena, 2011):

Grafik spline linier satu titik knot pada dapat disajikan sebagai berikut:

2.5 Regresi Spline

Menurut Eubank (1988) dalam Tripena (2011), estimasi terhadap adalah yakni estimator yang mulus. Dengan mempertimbangkan sifat-sifat fungsi

spline yang merupakan modifikasi dari regresi polinomial, maka untuk mendapatkan model estimasi dari digunakan regresi spline.

Regresi spline adalah suatu pendekatan kearah pengepasan data dengan tetap memperhitungkan kemulusan kurva. Regresi spline memungkinkan untuk berbagai macam orde sehingga dapat dibentuk regresi spline linier, kuadrat, kubik maupun orde m. Regresi spline linier biasanya diaplikasikan pada data dengan pola yang masih sederhana sedangkan spline kuadrat dan kubik biasanya diaplikasikan pada data dengan pola yang lebih kompleks.

Namun, dalam penyelesaiannya masalah utama menentukan model regresi

spline terbaik adalah letak titik knot yang optimal. Sasmitoadi (2005) dalam Tripena (2011) menyebutkan bahwa terdapat 2 strategi untuk menyelesaikan permasalahan yaitu pertama memilih banyaknya knot yang relatif sedikit, sedangkan strategi yang kedua adalah kebalikannya, yakni menggunakan knot yang relatif banyak.

2.6 Pemilihan Model Regresi Spline dengan yang Optimal

Pada pendekatan nonparametrik fitting kurva regresi dilakukan dengan memperhatikan peubah dependen (y) secara terbatas di sekitar x pada selang tertentu, tidak pada keseluruhan pengamatan x. Pada spline pendekatan dilakukan pada segmentasi x untuk membangun fungsi s(x) dengan membagi pengamatan x

berdasarkan titik-titik x yang disebut knot. Pendekatan ini merupakan piecewise polynomial, yaitu polinomial yang memiliki sifat tersegmen pada selang x yang terbentuk oleh titik-titik knot (Wang dan Yang, 2009, dalam Herawati, 2011 ).

Dalam fungsi spline terdapat titik knot yang merupakan titik perpaduan yang menunjukkan perubahan perilaku kurva pada selang berbeda, sehingga kurva terbentuk tersegmen pada titik tersebut (Hardle, 1990, dalam Ismi, 2011).

Pemilihan λ (pemulus) optimal dalam Regresi spline pada hakekatnya merupakan pemilihan lokasi titik knot. Pemilihan knot pada Regresi Spline

dilakukan secara trial error. Pemilihan knot ini sangat penting karena fungsi

spline sangat tergantung pada titik knot (Ismi, 2011)

Sesuai tujuan dari pendekatan regresi nonparametrik, yakni ingin didapatkan kurva mulus yang mempunyai λ optimal menggunakan data amatan sebanyak n, maka diperlukan ukuran kerja atas estimator. Ukuran kinerja atas penduga kurva regresi dapat ditentukan dari MSE, fungsi loss dan fungsi resiko, serta GCV. MSE merupakan ukuran kinerja yang paling sederhana, yaitu:

(2.6)

keterangan: MSE = Mean Square Error λ =

n = banyak data

y = variabel dependen = estimator pemulus

Menurut Wahba (1990) dan Wang (1998) dalam Oktaviana (2011), salah satu metode yang paling banyak dipakai dan disukai karena kelebihan yang dimilikinya adalah GCV. Dibanding metode lain, misal CV (Cross Validation), metode GCV mempunyai sifat optimal asimtotik (Wahba, 1990). Sementara menurut Budiantara (2005, dalam Tripena, 2011), GCV merupakan modifikasi dari Cross-Validation (CV) adalah metode untuk memilih λ yang meminimumkan.

Fungsi GCV sebagai berikut:

keterangan: GCV = Generelized Cross Validation MSE = Mean Square Error

λ =

n = banyak data

tr = trace

I = matriks identitas

= bersifat simetris dan idempoten

Kriteria dan diharapkan memiliki nilai yang minimum, sehingga model regresi spline dapat dikatakan memiliki nilai yang optimal.

2.7 Metode Kuadrat Terkecil

Pada umumnya spline adalah suatu estimator yang diperoleh dengan meminimumkan kuadrat terkecil terpenalti (penalized least square). Namun penyelesaian optimasi ini secara matematika relatif sulit. Untuk mengatasi hal ini maka digunakan optimasi kuadrat terkecil (least square) (Budiantara, 2007, dalam Oktaviana dan Budiantara, 2011).

Metode kuadrat terkecil merupakan metode yang sangat lazim dipergunakan dalam regresi linier. Metode ini digunakan untuk memperoleh parameter koefisien dari persamaan regresi. Prinsip metode ini adalah meminimumkan kuadrat residual.

Misalkan terdapat persamaan (2.1) dengan estimasi persamaan regresinya sebagai berikut:

(2.8)

Keterangan: = penduga titik bagi = penduga titik bagi = penduga titik bagi

Nilai dan diperoleh dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Metode kuadrat terkecil merupakan satu cara memperoleh dan dengan meminimumkan jumlah kuadrat sisa.

(2.9)

syarat optimum adalah:

(210)

(2.11)

dari dua persyaratan optimum diperoleh persamaan normal sebagai berikut:

(2.12) (2.13)

2.8 Matriks

2.8.1 Defenisi Matriks

Sianipar (2008) menyatakan bahwa, matriks ialah susunan berbentuk empat persegi panjang dari elemen-elemen (bilangan-bilangan) yang terdiri dari beberapa baris dan kolom dibatasi dengan tanda kurung, seperti bentuk:

Matriks A disebut matriks tingkat , atau disingkat matriks , karena terdiri dari m baris dan n kolom. Setiap disebut elemen (unsur) dari matriks itu, sedang indeks i dan j berturut-turut menyatakan baris dan kolom. Jadi elemen terdapat pada baris ke-i, kolom ke-j. Pasangan bilangan (m, n) disebut dimensi (ukuran atau bentuk) dari matriks itu. Suatu matriks tidak mempunyai harga numerik. Biasanya tanda kurang dapat dipakai seperti:

atau

Pada umumnya matriks disingkat dan dinyatakan dengan huruf besar, sedang elemen-elemen matriks dengan huruf kecil. Untuk membeda-bedakan matriks ditulis dengan atau misalnya untuk matriks

.

2.8.2 Trace Matriks

Jika , matriks disebut kuadrat atau disingkat n. Dalam hal ini elemen-elemen disebut elemen pada. Jumlah elemen-elemen pada diagonal suatu matriks disebut trace dari matriks itu yang disingkat dengan , jadi:

2.8.3 Tranpos Matriks

Jika baris-baris dan kolom-kolom dari suatu matriks dipertukarkan (baris pertama dengan kolom pertama dan seterusnya), maka diperoleh suatu matriks yang disebut transpos yang disingkat atau . Jadi, bilamana:

2.8.4 Matriks Identitas

Hakim (1994) menyatakan bahwa suatu matriks bujur sangkar berordo n x n

dikatakan matriks identitas apabila elemen diagonalnya bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol. Matriks identitas berordo disimbolkan dengan In.

Beberapa matriks identitas adalah sebagai berikut:

,

Matrik identitas dapat pula dituliskan dalam bentuk sebagai berikut:

k, j= 1,2, …, n

2.8.5 Matriks Idempoten

Suatu matriks dikatakan matriks idempoten bila atau

2.8.6 Matriks Simetri

Matriks yang berukuran disebut matriks simetri jika dan hanya jika untuk semua dan . teorema-teorema di bawah ini berhubungan dengan transpos matriks.

1. .

2.

3. .

4. .

5. untuk r> 0.

6. Jika adalah matriks bujur sangkar, maka adalah matriks simetri. 7. Untuk sembarang matriks , maka dan adalah matriks simetri.

2.8.7 Invers Matriks

Jika adalah matriks yang berukuran , maka invers matriks adalah matriks yang berukuran yang disimbolkan dengan dengan sifat bahwa:

dan jelas bahwa adalah matriks identitas berukuran .

2.8.8 Matriks Invertible

Matriks disebut matriks invertible jika mempunyai invers.

BAB 3

METODE PENELITIAN

Adapun metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah menggunakan metode kepustakaan, yaitu dengan mengumpulkan dan membaca informasi-informasi serta literatur yang berkaitan. Data yang digunakan dalam penelitian ini berupa data sekunder yang diperoleh dari Laboratorium Terpadu Departemen Fisika Universitas Sumatera Utara, yakni pengaruh lama waktu (menit) yang diberikan sebagai variabel bebas terhadap perubahan tegangan output sensor polimer (mv) sebagai variabel terikat. Sesuai dengan tujuan penelitian yang telah dikemukakan, maka dalam metode penelitian ini terdapat dua pokok pembahasan, yaitu kajian tentang penggunaan estimator spline dalam regresi nonparametrik dan penerapannya pada data simulasi. Berikut akan dijelaskan langkah-langkah yang dilakukan dalam metode penelitian ini.

3.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik

Dalam mengkaji penggunaan estimator spline dalam regresi nonparametrik digunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membuat model regresi nonparametrik

2. Mendekati kurva regresi dengan fungsi spline truncated

3. Membuat model univariabel dengan K1, kombinasi (K1 dan K2),

dalam bentuk matriks

4. Membuat model regresi spline truncated nonparametrik dalam bentuk matriks

5. Menentukan persamaan normal untuk nilai estimasi parameter-parameter dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan matriks

6. Membuat fungsi estimasinya

7. Pemilihan parameter pemulus dengan MSE

3.2. Menerapkan Model Spline pada Data untuk Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas

Dalam menerapkan model spline pada data untuk estimasi pola hubungan variabel dependen dan independen digunakan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Membuat scatter plot antara variabel dependen dan independen.

2. Memodelkan variabel dependen dan variabel independen dengan menggunakan spline linear (m= 1) dan dengan menggunakan satu titik knot, dan dua titik knot.

3. Memilih model spline terbaik dengan memilih titik knot optimum dilihat dari nilai MSE atau GCV yang paling minimum.

4. Berdasarkan model spline terbaik langkah berikutnya adalah membuat persamaan regresi spline dan fungsi potongan (truncated).

5. Menguji signifikansi parameter model terbaik dengan uji hipotesis simultan dan melakukan uji Kolmogorov-Smirnov untuk mengetahui normalitas dari error random .

6. Membuat kurva estimasi regresi spline dan interpretasi model.

Dalam proses pengolahan data digunakan software aplikasi Matlab R2007b dan SPSS 16.0

BAB 4

ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan disajikan hasil analisis dari tujuan penelitian, yaitu mengenai cara penggunaan estimator spline truncated. penggunaan MSE dan GCV sebagai metode pemulus optimal serta penerapannya pada data.

4.1 Estimasi Model Spline dalam Regresi Nonparametrik

Misalkan adalah variabel terikat dan adalah variabel bebas, dengan banyak data sebanyak maka hubungan variabel dan dalam regresi nonparametrik dapat dinyatakan dalam bentuk umum sebagai berikut:

bentuk kurva regresi diasumsikan tidak diketahui, dimana saling bebas dengan rata-rata nol dan variansi .

Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.5) jika dalam model kurva regresi didekati dengan fungsi spline truncated, maka secara umum model regresi nonparametrik spline truncated dengan derajat m dan N titik knot dapat ditulis sebagai berikut:

(4.1)

Untuk memudahkan, fungsi spline truncated yang digunakan diasumsikan univariabel, berorde satu dengan satu, dan dua titik knot, maka persamaan (2.5) menjadi sebagai berikut:

apabila persamaan (4.2) diekspansi dengan menggunakan data sebanyak n dapat disajikan sebagai berikut:

maka bentuk matriksnya dapat ditulis sebagai berikut:

fungsi spline satu titik knot (4.3)

dengan,

; ; ;

dan

Spline linier dengan 2 titik knot,

; untuk (4.4)

apabila persamaan (4.4) diekspansi dengan menggunakan data sebanyak n dapat disajikan sebagai berikut:

maka bentuk matriksnya dapat ditulis sebagai berikut:

dengan,

; ; ;

dan

persamaan (4.3), dan (4.5) juga dapat disederhanakan secara umum menjadi:

(4.6)

dengan,

dan

Berdasarkan persamaan (4.2), dan (4.4) masing-masing regresi splinenya dapat ditulis sebagai berikut:

(4.7)

(4.8)

Dengan menguraikan fungsi f dan memisahkan antara parameter dengan variabel maka persamaan-persamaan tersebut secara umum berdasarkan persamaan (4.6) dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut:

(4.9)

dengan,

maka untuk memperoleh estimator pada persamaan (4.9), dilakukan optimasi persamaan kuadrat dengan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan matriks. Pada materi matematika untuk meminimasi suatu fungsi terlebih dahulu harus mencari turunan pertama dari fungsi tersebut, lalu dibuat sama dengan nol. Dalam hal ini persamaan tersebut diturunkan terhadap .

4.1.1 Persamaan Regresi Spline Linier dengan Penurunan Terhadap

Penurunan terhadap :

⇔

⇔

penurunan terhadap :

Dari langkah-langkah penurunan dengan terhadap didapat tiga persamaan yang dikenal sebagai persamaan normal, yaitu:

1. (4.10)

2. (4.11)

3.

(4.12)

4.1.2 Persamaan Regresi Spline Linier dengan Penurunan Terhadap

Penurunan terhadap :

⇔

penurunan terhadap :

penurunan terhadap :

Dari langkah-langkah penurunan dengan terhadap didapat empat persamaan normal, yaitu:

1. (4.13)

2.

3.

(4.15) 4.

(4.16)

Untuk menentukan fungsi estimasi terlebih dahulu harus diperoleh nilai estimator , maka dilakukan pendekatan menggunakan metode kuadrat terkecil dengan metode matriks.

4.1.3 Pendekatan metode kuadrat terkecil dengan metode matriks

Dari persamaan normal yang telah diperoleh dapat dibentuk suatu persamaan matriks sebagai berikut:

Untuk alasan kesederhanaan berlaku untuk semua , sesuai persamaan (4.9) persamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai berikut:

misalkan , maka:

(4.17)

keterangan: = estimator

Berdasarkan persamaan (4.17) diperoleh estimasi parameter-parameter dengan menggunakan adalah matriks yang berukuran dan matriks yang invertibel, dengan kata lain dapat dicari dengan menggunakan dan yakni matriks yang merupakan transpose dari matriks kofaktor .

(4.18)

atau secara umum dan ringkas persamaan normal dengan dan dapat ditulis dengan algoritma matriks dari persamaan (4.9) estimasi koefisien menggunakan metode kuadrat terkecil dilakukan dengan meminimumkan terhadap . Untuk dengan menurunkan terhadap dan menyamakan dengan nol sehingga diperoleh estimator:

(4.19)

sehingga diperoleh fungsi estimasinya, yaitu:

(4.20)

maka estimasi model regresinya, menjadi:

(4.21)

Memilih parameter penghalus merupakan hal yang sangat penting dalam

regresi nonparametrik. Pemilihan λ optimal dalam regresi spline pada hakekatnya merupakan pemilihan lokasi titik knot.

4.1.4 Pemilihan Parameter Pemulus dengan MSE

Ukuran kinerja atas estimator yang sederhana adalah kuadrat dari sisaan yang dirata-rata. Berdasarkan persamaan (2.6) nilai MSE didapat setelah menyubsitusi

ke persamaan tersebut, dengan cara uji coba (trial error) titik-titik yang berada di daerah pengamatan di sekitar x yang dijadikan sebagai dengan memerhatikan titik-titik terdekat dengan daerah ekstrim. Hal ini berarti terdapat nilai MSE sebanyak p untuk perlakuan . Sementara itu untuk dua titik knot, yakni dan nilai . Nilai MSE yang didapat sebanyak kombinasi yang

mungkin. Kemudian dari nilai MSE sebanyak p dicari MSE yang paling minimum sebagai letak titik knot yang optimal dan sebagai penentu model regresi spline

terbaik.

keterangan: MSE = Mean Square Error λ =

= uji coba t=1,2,…,p n = banyak data

y = variabel dependen = estimator pemulus

4.1.5 Pemilihan Parameter Pemulus dengan GCV

Berdasarakan persamaan (2.7) nilai-nilai GCV diperoleh dari pembagian nilai-nilai MSE dengan . bersifat simetris dan idempoten. diperoleh dari fungsi estimasi pada persamaan (4.19),

Keterangan: GCV = Generelized Cross Validation MSE = Mean Square Error

λ =

= uji coba t=1,2,…,p n = banyak data

tr = trace

I = matriks identitas

4.2 Menerapkan Model Spline pada Data Simulasi untuk Estimasi Pola Hubungan Variabel Terikat dan Variabel Bebas

Untuk menguji rumus-rumus dalam menentukan model regresi spline linier terbaik yang telah dipaparkan sebelumnya, maka diperlukan data dalam pengolahannya. Data yang digunakan adalah data sekunder yang diperoleh dari Laboratorium Terpadu Departemen Fisika Universitas Sumatera Utara, yakni pengaruh lama waktu (menit) yang diberikan sebagai variabel bebas terhadap perubahan tegangan output sensor polimer (mv) sebagai variabel terikat.

4.2.1 Plot Antara Variabel Terikat dan Variabel Bebas

Penyebaran data pengaruh lama waktu (menit) yang diberikan sebagai variabel bebas terhadap perubahan tegangan output sensor polimer (mv) sebagai variabel terikat dapat dilihat dari bentuk pola yang disajikan pada Gambar 4.1.

Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa pola data mengalami kecenderu-ngan naik secara tajam pada menit pertama (menit ke-5 sampai ke-25). Namun, pada menit selanjutnya pola data mengalami kenaikan dan penurunan yang tidak signifikan bila dibandingkan dengan beberapa menit pertama, meskipun penurunan pola data terjadi hingga menit terakhir dan terdapat data yang konsisten di beberapa menit. Hal ini menunjukkan bahwa, ada kecenderungan perubahan waktu terhadap tegangan output sensor polimer untuk membentuk pola tertentu.

4.2.2 Estimasi Regresi Spline Linier

Dicobakan model spline linier dengan satu titik knot adalah:

Uji cobayang dilakukan dalam mencari titik knot menghasilkan titik knot optimal yang bersesuaian dengan nilai MSE dan GCV minimum untuk model

spline linier dengan satu titik knot diberikan dalam tabel berikut:

Tabel 4.1. Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Satu Titik Knot

No Titik Knot MSE GCV

1 _{26 9,898791 13,70075} 2 _{27 9,360139 12,95521}

3 _{28 9,351772 12,94363}

4 _{29 9,758915 13,50715} 5 _{31 10,068514 13,93566}

Berdasarkan Tabel 4.1 menunjukkan bahwa nilai MSE dan GCV yang minimum untuk model spline linier dengan satu titik knot masing-masing sebesar 9,351772 dan 12,94363 yang berada pada titik knot K1= 28. Estimasi model

Tabel 4.2. Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot

Parameter Estimasi

281,4679 2,0891 -2,2178

Sehingga diperoleh estimasi model regresi spline linier dengan satu titik knot K1= 28 yaitu:

Estimasi model regresi spline linier dengan satu titik knot dapat disajikan pula dalam bentuk fungsi sepenggal (truncated) sebagai berikut:

Kemudian dicobakan model spline linier dengan dua titik knot adalah:

Titik knot optimal yang bersesuaian dengan nilai MSE dan GCV minimum untuk model spline linier dengan dua titik knot diberikan dalam tabel berikut:

Tabel 4.3. Ringkasan Nilai MSE dan GCV untuk Dua Titik Knot

No Titik Knot MSE GCV

1 _{18 57 0,820099 1,281405}

2 _{18 48 0,760617 1,188464}

3 _{18 49 0,767362 1,199004} 4 _{18 51 0,881851 1,377892} 5 _{18 52 0,994521 1,553939}

Berdasarkan Tabel 4.3 menunjukkan bahwa nilai MSE dan GCV yang minimum untuk model spline linier dengan dua titik knot masing-masing sebesar 0,760617 dan 1,188464 yang berada pada titik knot K1= 18 dan K2=48. Estimasi

model regresi spline linier dengan dua titik knot dapat disajikan pada Tabel 4.4.

Tabel 4.4. Estimasi Model Regresi Spline Linier dengan Satu Titik Knot

Parameter Estimasi

274,38 2,852 -2,3082 -0,8153

Sehingga diperoleh estimasi model regresi spline linier dengan dua titik knot K1= 18 dan K2=48 yaitu:

Estimasi model regresi spline linier dengan dua titik knot dapat disajikan pula dalam bentuk fungsi sepenggal (truncated) sebagai berikut:

4.2.3 Pemilihan Model Regresi Spline Linier Terbaik

Dari kedua hasil trial error diambil knot yang optimum yang memiliki nilai MSE

dan GCV minimum. Nilai MSE dan GCV minimum untuk satu dan dua titik knot disajikan pada Tabel 4.5.

Tabel 4.5. Titik Knot Optimum Satu dan Dua Titik Knot

Jumlah Knot Titik Knot MSE GCV

2 18 48 _{0,760617 1,188464}

Berdasarkan Tabel 4.5 didapat titik knot (K) yang paling optimal dengan nilai MSE dan GCV minimum masing-masing sebesar 0,760617 dan 1,188464 terletak pada K1 = 18 dan K2 = 48, sehingga model terbaik adalah model regresi

spline linier dengan dua titik knot sebagai berikut:

dengan fungsi sepenggalnya (truncated):

Model regresi spline linier dengan dua titik knot ini memiliki nilai koefisien determinasi (R2) sebesar 0,995. Hal ini berarti bahwa variabel bebas pemberian waktu tertentu mampu menerangkan sebesar 99,5% terhadap perubahan tegangan output sensor polimer.

4.2.4 Pengujian Model Regresi Spline Linier Terbaik

Uji hipotesis untuk pemeriksaan model digunakan uji simultan, dengan rumus hipotesis sebagai berikut:

H0 : (variabel bebas tidak mempengaruhi variabel terikat)

H1 : , paling tidak ada satu j di mana

dengan : H0 ditolak jika Fhitung≥ Ftabel, berarti H1 diterima H1 ditolak jika Fhitung < Ftabel, berarti H0 diterima

dengan menggunakan software SPSS 16.0 dilakukan analisis variansi dan didapatkan hasil sebagai berikut:

Tabel 4.6. Analisis Variansi Model Spline Linier Dua Titik Knot Sumber Variasi Derajat Bebas Jumlah Kuadrat Rata-Rata

Jumlah Kuadrat F-hitung

Regresi 3 3259,588 1086,529

1142,788 Residual 16 15,212 0,951

Total 19 3274,800

Tabel 4.6 menunjukkan bahwa H0 ditolak pada taraf nyata karena

statistik uji > F(0,05,3,16) atau Fhitung ≥ Ftabel. Berarti model regresi spline linier

dengan dua titik knot (knot ke-18 dan 48) terdapat minimal satu koefisien regresi yang memberikan pengaruh terhadap model dan cukup memadai sebagai model pendekatan untuk data pengaruh waktu terhadap tegangan output sensor polimer.

Sedangkan untuk mengetahui bahwa error random berdistribusi normal atau tidak, maka digunakan uji Kolmogorov-Smirnov sebagai uji asumsi dengan hipotesis sebagai berikut:

H0 : error random berdistribusi normal

H1 : error random tidak berdistribusi normal

dengan menggunakan . Dari hasil output software SPSS 16.0 diperoleh nilai Asimp. Sig(2-tailed) sebesar level of signifikan( ). Jadi H0

diterima dan H1 ditolak. Berarti error random berdistribusi normal. Plot

Gambar 4.2. Plot Normalitas Residual

4.2.5 Interpretasi Model Regresi Spline Truncated Linier

Model regresi spline linier terbaik adalah dengan dua titik knot :

dengan fungsi sepenggalnya (truncated):

model spline disajikan dalam Gambar 4.2 berikut:

Gambar 4.3. Kurva Estimasi Regresi Spline Linier dengan Dua Titik Knot

Dari Gambar 4.3 terlihat bahwa kurva mempunyai slope baru pada titik-titik amatan awal. Kurva regresi spline linier dengan dua titik knot sudah cukup mampu membentuk pola yang sesuai dengan tingkat kemulusan kurva. Sedangkan, dari model dapat diinterpretasikan bahwa pada percobaan kurang dari 18 menit,

maka jika terjadi penambahan waktu sebesar satu menit maka tegangan akan naik sebesar 2,852 mv. Apabila percobaan berada pada penambahan waktu lebih dari atau sama dengan sebesar 18 menit dan di kurang 48 menit, maka jika terjadi penambahan waktu sebesar satu menit maka tegangan akan naik sebesar 0,5438 mv. Sementara percobaan yang berada pada waktu lebih dari atau sama dengan 48 menit jika terjadi penambahan waktu sebesar satu menit maka tegangan akan turun sebesar 0,2715 mv sampai dengan waktu tertentu.

BAB 5

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1. Kesimpulan

Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab sebelumnya, maka dapat diperoleh kesimpulan:

1. Masalah utama pada regresi nonparametrik adalah adanya komponen nonparametrik merupakan fungsi yang tidak diketahui bentuknya, yakni:

Penggunaan metode kuadrat terkecil mengasumsikan bentuk fungsi spline truncated dan memberikan kemudahan interpretasi melalui model statistik. 2. Estimasi parameter model regresi nonparametrik spline linier dengan menggunakan metode kuadrat terkecil melalui pendekatan matriks diperoleh:

3. Penentuan lokasi knot yang berbeda, akan menghasilkan model regresi

spline linier yang berbeda dan dengan nilai MSE dan GCV yang berbeda pula.

4. Dari hasil pengolahan data tegangan output sensor polimer diketahui bahwa pemilihan model regresi spline terbaik dengan menggunakan metode MSE(λ) sebesar 0,760617 dan GCV(λ) sebesar 1,188464. Setiap

trial error hasil minimal kedua metode bersama-sama secara konstan menunjukkan letak titik knot yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa kedua metode memiliki efektivitas yang sama dalam menetukan letak titik knot yang optimal. Namun, jika dilihat dari nilai yang dihasilkan, nilai

metode yang terbaik karena efisien dan lebih mudah penggunaannya untuk model regresi spline linier dengan satu dan dua titik knot.

5. Model regresi spline linier terbaik dari satu dan dua titik knot adalah dengan dua titik knot K1 = 18 dan K2 = 48 yaitu:

dengan fungsi sepenggalnya:

6. Dari uji hipotesis pada data dapat diambil kesimpulan bahwa model regresi spline linier dengan titik knot K1 = 18 dan K2 = 48 cukup memadai sebagai model pendekatan untuk data pengaruh waktu terhadap tegangan

output sensor polimer.

6.2. Saran

Karena keterbatasan peneliti dalam hal memperoleh referensi dan pemrograman untuk perhitungan, pada penelitian ini masih banyak permasalahan yang belum dikaji secara mendalam dan rinci. Oleh karena itu, beberapa hal yang dapat disarankan pada penelitian selanjutnya adalah:

1. Pada penelitian ini hanya terbatas pada penggunaan regresi spline truncated linier (orde satu) dan dua titik knot. Untuk penelitian selanjutnya perlu dikaji lagi model regresi nonparametrik spline dengan orde kuadratik, kubik atau polinomial derajat m, dengan penambahan knot lebih dari dua serta dengan berbagai kombinasinya.

2. Pada penelitian ini data sekunder yang digunakan adalah univariabel. Untuk penelitian selanjutnya perlu dikaji lagi regresi nonparametrik spline

dengan model yang lebih rumit seperti multivariabel dan semiparametrik. 3. Untuk penelitian selanjutnya dapat dibuat suatu program untuk mencari

digunakan, agar memudahkan perhitungan ketika menggunakan knot yang banyak serta kombinasinya.

DAFTAR PUSTAKA

Budiantara, I.N. 2002. Aplikasi Spline Terbobot. Jurnal Teknik Industri, PETRA. Surabaya

Draper,N.R. dan H.Smith. 1992. Analisis Regresi Terapan. Jakarta: PT. Gramedia Utama

Ratno, D.S. dan Mustadjab, H.K. 1992. Analisis Regresi. Yogyakarta: Andi Offset

Herawati, Netty. 2011. Regresi Spline untuk P emodelan Bidang Kesehatan: Studi

Tentang Knot dan Selang Kepercayaan. Jurnal Jurusan

Matematika, FMIPA. Universitas Lampung.

Ismi, NS. 2011. P enerapan Spline Terboboti untuk Mengatasi Heteroskedastisitas

pada Regresi Nonparametrik. Jurnal Jurusan Matematika, FMIPA.

Universitas Brawijaya Malang.

Sianipar, Pangeran. 2008. Aljabar Linier. Medan: USU Press

Stefanus, N.T. dan Budiantara. 2011. Uji Hipotesis dalam Regresi Nonparametric Spline. Jurnal Jurusan Statistika, ITS.

Oktaviana, Dhina dan Budiantara, I.N. 2011. Regresi Spline Birespon untuk Memodelkan Kadar Gula Darah P enderita Diabetes Melitus.

Jurnal Jurusan Statistika. ITS.

Santosa, R. Gunawan. 2008. Aljabar Linier Dasar. Yogyakarta : Penerbit Andi

Tripena, A. 2011. Analisis Regresi Spline Kuadratik. Jurnal Jurusan MIPA, Fakultas Sains dan Teknik, UNSOED

Lampiran 1. Data Pengamatan Pengaruh Waktu (menit) Terhadap Tegangan

Output Sensor Polimer (milivolt)

Pengamatan X Y

1 5 288

2 10 304

3 15 317

4 20 325

5 25 331

6 30 333

7 35 335

8 40 337

9 45 340

10 50 341 11 55 340 12 60 340 13 65 337 14 70 335 15 75 335 16 80 335 17 85 332 18 90 331 19 95 329 20 100 327

Variabel Keterangan

X Waktu (menit)

Y Tegangan output sensor polimer (mv)

Diketahui oleh Peneliti,

Muhammad Balyan

Lampiran 3. Nilai MSE dan GCV dari Percobaan Sebanyak p

1. Nilai MSE dan GCV untuk

Knot MSE GCV Knot MSE GCV

6 62,03474 85,86123 33 10,52358 14, 56550 7 62,03474 85,86123 34 11,25642 15,57982 8 62,03474 85,86123 36 12,24826 16,95261 9 62,03474 85,86123 37 12,59683 17,43505 11 48,71128 67,42046 38 13,24802 18,33635 12 40,88988 56,59499 39 14,160778 19,599693 13 36,44235 50,43923 41 15,618948 21,617922 14 33,93042 46,96251 42 16,223246 22,454320 16 26,29977 36,40106 43 17,084076 23,645780 17 22,2521 30,79876 44 18,175443 25,156322 18 19,75504 27,34261 46 20,272874 28,059342 19 18,32365 25,36146 47 21,315255 29,502082 21 14,54342 20,1293 48 22,582488 31,256039 22 12,597 17,4353 49 24,057049 33,296954 23 11,51147 15,93283 51 26,943135 37,291537 24 11,06932 15,32086 52 28,384272 39,286190 26 9,898791 13,70075 53 30,033874 41,569376 27 9,360139 12,95521 54 31,88007 44,12467

28 9,351772 12,94363 61 44,74032 61,92431

29 9,758915 13,50715 79 78,763442 109,01514 31 10,068514 13,935659 97 108,6386 150,3648 32 10,10538 13,98668 99 108,6386 150,3648

2. Nilai MSE dan GCV untuk

Knot MSE GCV Knot MSE GCV

28, 29 9,297203 14,52688 30, 45 7,79563 12,18067 28, 30 9,297209 14,52689 30, 50 7,086836 11,07318 28, 35 8,609646 13,45257 30, 54 6,917464 10,80854 28, 40 7,24489 11,32014 30, 55 6,917027 10,80786 28, 45 5,86668 9,166688 30, 60 7,029729 10,98395 28, 46 5,644039 8,81881 30, 70 7,900534 12,34458 28, 50 5,06282 7,910656 30, 90 9,214444 14,39757 28, 51 4,983144 7,786162 35, 36 12,20014 19,06272 28, 52 4,927494 7,699209 35, 45 11,77062 18,39159 28, 53 4,893864 7,646662 35, 54 11,23578 17,5559 28, 54 4,879945 7,624915 35, 55 11,21786 17,52791 28, 55 4,883221 7,630033 5, 54 singular singular 28, 56 4,879963 7,624942 10, 54 12,56436 19,63182 28, 57 4,895349 7,648982 15, 54 3,889296 6,077025 28, 58 4,928154 7,700241 20, 54 1,675202 2,617503 28, 59 4,976841 7,776314 25, 54 3,017021 4,714095 28, 60 5,039599 7,874373 30, 54 6,917464 10,80854 28, 65 5,592334 8,738022 35, 54 11,23578 17,5559 28, 70 6,104124 9,537693 40, 54 15,28099 23,87655 28, 75 6,409327 10,01457 45, 54 18,79471 29,36673 28, 80 6,706496 10,4789 50, 54 22,94303 35,84849 28, 85 7,282747 11,37929 16, 54 2,469418 3,858465 28, 90 7,810804 12,20438 17, 54 1,691417 2,642838 28, 95 8,467155 13,22993 18, 54 1,391625 2,174414 29, 30 9,297203 14,52688 19, 54 1,424361 2,225563 29, 35 9,262144 14,4721 21, 54 1,408944 2,201475 29, 40 8,064914 12,60143 22, 54 1,471329 2,298952 29, 45 6,787402 10,60532 23, 54 1,8011 2,814219 29, 50 6,025279 9,414498 24, 54 2,335583 3,649349 29, 54 5,841572 9,127457 10, 25 10,48525 16,38321 29, 60 5,963493 9,317958 10, 75 34,90787 54,54355 29, 65 6,456309 10,08798 20, 21 11,03221 17,23782 29, 70 6,905782 10,79028 27, 30 9,297204 14,52688 29, 75 7,158316 11,18487 27, 54 4,067791 6,355924 29, 80 7,402987 11,56717 55, 59 29,41953 45,96801 29, 85 7,912564 12,36338 18, 19 17,36507 27,13293 29, 90 8,376887 13,08889 18, 20 17,36507 27,13293 29, 95 8,962803 14,00438 18, 25 10,86507 16,97667 30, 31 10,03304 15,67663 18, 30 7,556591 11,80717 30, 35 10,03304 15,67663 18, 35 4,905509 7,664858 30, 40 8,976886 14,02638 18, 40 2,737569 4,277451

Knot MSE GCV Knot MSE GCV

18, 45 1,166259 1,82228 17, 56 2,239646 3,499447 18, 46 0,953165 1,489321 17, 61 4,085548 6,383668 18, 47 0,820099 1,281405 17, 66 6,490843 10,14194

18, 48 0,760617 1,188464 19, 44 1,542564 2,410256

18, 49 0,767362 1,199004 19, 46 1,159343 1,811473 18, 50 0,832516 1,300806 19, 47 1,011839 1,580998 18, 51 0,881851 1,377892 19, 48 0,934225 1,459727 18, 52 0,994521 1,553939 19, 49 0,919416 1,436587 18, 53 1,166193 1,822177 19, 51 0,990924 1,548319 18, 54 1,391625 2,174414 21, 44 2,01813 3,153329 18, 55 1,664974 2,601522 21, 48 1,271026 1,985978 18, 60 3,129685 4,890132 21, 49 1,203431 1,880361 18, 65 5,295891 8,27483 21, 51 1,168547 1,825855 18, 70 7,393356 11,55212 21, 52 1,203927 1,881137 18, 75 9,094503 14,21016 21, 53 1,285529 2,00864 18, 80 10,74159 16,78373 21, 58 2,019348 3,155231 18, 85 12,83809 20,05952 22, 44 2,325936 3,634276 18, 90 14,81428 23,14731 22, 48 1,515191 2,367485 18, 95 17,00132 26,56456 22, 51 1,332038 2,081309 16, 44 1,494867 2,335729 22, 52 1,338755 2,091805 16, 46 1,279263 1,998849 22, 58 1,932688 3,019825 16, 47 1,21626 1,900406 23, 44 2,794305 4,366101 16, 48 1,24048 1,938251 23, 48 1,956167 3,05651 16, 51 1,644091 2,568892 23, 52 1,715002 2,67969 16, 52 1,849394 2,889678 23, 58 2,163695 3,380774 16, 53 2,126546 3,322728 24, 44 3,389111 5,295486 16, 56 3,150378 4,922466 24, 48 2,549413 3,983458 16, 59 4,385161 6,851814 24, 58 2,637102 4,120473 16, 63 6,419073 10,0298 26, 44 4,603941 7,193657 17, 44 1,266005 1,978133 26, 48 3,778402 5,903754 17, 46 0,962125 1,50332 26, 54 3,43777 5,371515 17, 47 0,855381 1,336533 26, 58 3,598719 5,622998 17, 48 0,82777 1,29339 27, 44 5,270571 8,235268 17, 49 0,871426 1,361603 27, 48 4,465654 6,977585 17, 51 1,05797 1,653079 27, 54 4,067791 6,355924 17, 52 1,206776 1,885588 27, 58 4,15795 6,496797

Lampiran 4. Uji Simultan Model Regresi Spline Truncated Linier Terbaik dengan Menggunakan SPSS 16.0

Input data variabel dari knot optimal dan ,

Variabel diberi label X

Variabel diberi label XK

Variabel diberi label XK2

Variabel diberi label Y

 Kemudian klik Analyze > Regression > Linear sehingga muncul kotak kerja Linear Regression

 Kemudian masukkan variabel X, XK, XK2 ke dalam kotak Independent, variabel Y ke dalam kotak Dependent

 Klik Statistic sehingga muncul kotak kerja Linear Regression: Statistics

 Klik Estimates, Model Fit

Lampiran 5. Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov

Input data dari knot optimal dan ,

 Kemudian klik Analyze > Nonparametric Test > 1-Sample K-S sehingga muncul kotak kerja One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test

 Kemudian masukkan variabel e dan masukkan ke kotak kerja Test

Variable List

 Klik Normal pada kotak kerja Test Distribution

2. Nilai MSE dan GCV untuk

Knot MSE GCV Knot MSE GCV 28, 29 9,297203 14,52688 30, 45 7,79563 12,18067 28, 30 9,297209 14,52689 30, 50 7,086836 11,07318 28, 35 8,609646 13,45257 30, 54 6,917464 10,80854 28, 40 7,24489 11,32014 30, 55 6,917027 10,80786 28, 45 5,86668 9,166688 30, 60 7,029729 10,98395 28, 46 5,644039 8,81881 30, 70 7,900534 12,34458 28, 50 5,06282 7,910656 30, 90 9,214444 14,39757 28, 51 4,983144 7,786162 35, 36 12,20014 19,06272 28, 52 4,927494 7,699209 35, 45 11,77062 18,39159 28, 53 4,893864 7,646662 35, 54 11,23578 17,5559 28, 54 4,879945 7,624915 35, 55 11,21786 17,52791 28, 55 4,883221 7,630033 5, 54 singular singular 28, 56 4,879963 7,624942 10, 54 12,56436 19,63182 28, 57 4,895349 7,648982 15, 54 3,889296 6,077025 28, 58 4,928154 7,700241 20, 54 1,675202 2,617503 28, 59 4,976841 7,776314 25, 54 3,017021 4,714095 28, 60 5,039599 7,874373 30, 54 6,917464 10,80854 28, 65 5,592334 8,738022 35, 54 11,23578 17,5559 28, 70 6,104124 9,537693 40, 54 15,28099 23,87655 28, 75 6,409327 10,01457 45, 54 18,79471 29,36673 28, 80 6,706496 10,4789 50, 54 22,94303 35,84849 28, 85 7,282747 11,37929 16, 54 2,469418 3,858465 28, 90 7,810804 12,20438 17, 54 1,691417 2,642838 28, 95 8,467155 13,22993 18, 54 1,391625 2,174414 29, 30 9,297203 14,52688 19, 54 1,424361 2,225563 29, 35 9,262144 14,4721 21, 54 1,408944 2,201475 29, 40 8,064914 12,60143 22, 54 1,471329 2,298952 29, 45 6,787402 10,60532 23, 54 1,8011 2,814219 29, 50 6,025279 9,414498 24, 54 2,335583 3,649349 29, 54 5,841572 9,127457 10, 25 10,48525 16,38321 29, 60 5,963493 9,317958 10, 75 34,90787 54,54355 29, 65 6,456309 10,08798 20, 21 11,03221 17,23782 29, 70 6,905782 10,79028 27, 30 9,297204 14,52688 29, 75 7,158316 11,18487 27, 54 4,067791 6,355924 29, 80 7,402987 11,56717 55, 59 29,41953 45,96801 29, 85 7,912564 12,36338 18, 19 17,36507 27,13293 29, 90 8,376887 13,08889 18, 20 17,36507 27,13293 29, 95 8,962803 14,00438 18, 25 10,86507 16,97667 30, 31 10,03304 15,67663 18, 30 7,556591 11,80717 30, 35 10,03304 15,67663 18, 35 4,905509 7,664858 30, 40 8,976886 14,02638 18, 40 2,737569 4,277451

Knot MSE GCV Knot MSE GCV 18, 45 1,166259 1,82228 17, 56 2,239646 3,499447 18, 46 0,953165 1,489321 17, 61 4,085548 6,383668 18, 47 0,820099 1,281405 17, 66 6,490843 10,14194 18, 48 0,760617 1,188464 19, 44 1,542564 2,410256 18, 49 0,767362 1,199004 19, 46 1,159343 1,811473 18, 50 0,832516 1,300806 19, 47 1,011839 1,580998 18, 51 0,881851 1,377892 19, 48 0,934225 1,459727 18, 52 0,994521 1,553939 19, 49 0,919416 1,436587 18, 53 1,166193 1,822177 19, 51 0,990924 1,548319 18, 54 1,391625 2,174414 21, 44 2,01813 3,153329 18, 55 1,664974 2,601522 21, 48 1,271026 1,985978 18, 60 3,129685 4,890132 21, 49 1,203431 1,880361 18, 65 5,295891 8,27483 21, 51 1,168547 1,825855 18, 70 7,393356 11,55212 21, 52 1,203927 1,881137 18, 75 9,094503 14,21016 21, 53 1,285529 2,00864 18, 80 10,74159 16,78373 21, 58 2,019348 3,155231 18, 85 12,83809 20,05952 22, 44 2,325936 3,634276 18, 90 14,81428 23,14731 22, 48 1,515191 2,367485 18, 95 17,00132 26,56456 22, 51 1,332038 2,081309 16, 44 1,494867 2,335729 22, 52 1,338755 2,091805 16, 46 1,279263 1,998849 22, 58 1,932688 3,019825 16, 47 1,21626 1,900406 23, 44 2,794305 4,366101 16, 48 1,24048 1,938251 23, 48 1,956167 3,05651 16, 51 1,644091 2,568892 23, 52 1,715002 2,67969 16, 52 1,849394 2,889678 23, 58 2,163695 3,380774 16, 53 2,126546 3,322728 24, 44 3,389111 5,295486 16, 56 3,150378 4,922466 24, 48 2,549413 3,983458 16, 59 4,385161 6,851814 24, 58 2,637102 4,120473 16, 63 6,419073 10,0298 26, 44 4,603941 7,193657 17, 44 1,266005 1,978133 26, 48 3,778402 5,903754 17, 46 0,962125 1,50332 26, 54 3,43777 5,371515 17, 47 0,855381 1,336533 26, 58 3,598719 5,622998 17, 48 0,82777 1,29339 27, 44 5,270571 8,235268 17, 49 0,871426 1,361603 27, 48 4,465654 6,977585 17, 51 1,05797 1,653079 27, 54 4,067791 6,355924 17, 52 1,206776 1,885588 27, 58 4,15795 6,496797 Untuk nilai terkecil MSE dan GCV terletak pada dan

Lampiran 4. Uji Simultan Model Regresi Spline Truncated Linier Terbaik dengan Menggunakan SPSS 16.0

Input data variabel dari knot optimal dan ,

Variabel diberi label X

Variabel diberi label XK Variabel diberi label XK2 Variabel diberi label Y

 Kemudian klik Analyze > Regression > Linear sehingga muncul kotak kerja Linear Regression

 Kemudian masukkan variabel X, XK, XK2 ke dalam kotak Independent, variabel Y ke dalam kotak Dependent

 Klik Statistic sehingga muncul kotak kerja Linear Regression: Statistics  Klik Estimates, Model Fit

Lampiran 5. Uji Normalitas dengan Uji Kolmogorov-Smirnov

Input data dari knot optimal dan ,

 Kemudian klik Analyze > Nonparametric Test > 1-Sample K-S sehingga muncul kotak kerja One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test  Kemudian masukkan variabel e dan masukkan ke kotak kerja Test

Variable List

 Klik Normal pada kotak kerja Test Distribution  Klik OK