teori modul materi direct sum

DIRECT SUMS (JUMLAH LANGSUNG)
M1 
M 2 
 masing-masing modul atas R (ring yang sama).
 
M n 
Bentuk cartesian product:
M 1  M 2    M n  (m1 , m2 , , mn ) mi  M i 
Karena Mi  0, i maka M 1  M 2    M n  .
Operasi + (penjumlahan) dan  (pergandaan skalar) sebagai berikut:
+ pada M 1  M 2    M n dengan definisi:
x = ( x1 , x 2 , , x n )
y = ( y1 , y 2 , , y n )
x + y = ( x1  y1 , x2  y 2 , , xn  y n )
 pada M 1  M 2    M n
R
x = ( x1 , x 2 , , x n )
x = (x1 , x 2 , , x n ) .
Sifat : M 1  M 2    M n = R-modul mterhadap operasi + dan  yang didefinisikan
seperti di atas.
Definisi : M 1  M 2    M n disebut Direct Sums (Jumlah Langsung) didefinisikan

:
n

M1  M 2    M n   M i
i 1

M = R-modul atas R
M1 
M 2 
 submodul-submodul di M, maka
 
M n 
1. Terbentuk Direct Sum

 M  ( m , m
n

i 1

i

1

2

, , m n ) m i  M i 
n

2. M 1  M 2    M n   M i
i 1


n
  mi mi  M i 

 i 1
 ( m1  m2    mn ) mi  M i .

 M submodul di M, sebab
a.  x   M

 y  M

x   y   ( x  y )  M




i

i

i

i

i

i

i

M i

M i

i

i

i

M i

b. R
 xi   M i

 xi   xi




M i

n

Pertanyaan : Kapan M   M i
i 1

Sifat :
n

Jika 1. M   M i
i 1

2. M i  ( M 1  M 2    M i 1  M i 1    M n )  0 untuk setiap 1in
maka
n

M Mi
i 1

N = R-modul
n

M
i 1

i

direct sums  ( m1 , m2 , , mn ) mi  M i .

f1 : M1  N R-hom modul
f2 : M2  N R-hom modul
.
.
.
fn : Mn  N R-hom modul
n

m  ( m1 , m2 , , mn )   M i

i 1

m1  f1(m1)  N
m2  f2(m2)  N
.
.
.
mn  fn(mn)  N

N modul
f1(m1) + f2(m2) +  + fn(mn) =

n

 f (m
i 1

i

i

) N

n

f :  M i  N dengan f ( m1 , m2 , , mn )df  f i ( mi )
i 1

Sifat : f = R-hom modul
Bukti : latihan
n

Untuk membuktikan M   M i akan digunakan definisi, yakni dengan membentuk
i 1

isomorfisma dari  M i ke M
f :  M i  M homomorfisma modul atas R, injektif dan surjektif dengan fi : Mi  M
homomorfisma modul atas R.
fi : inklusi injektif
df

fi(mi)  mi
fi = I M i

InklusipdMi

Jelas fi = I M i R-hom modul.
Jadi menggunakan sifat …. Akan terbentuk
n

f :Mi  M
i 1

n

n

i 1

i 1

dengan definisi f ( m1 , m2 , , mn )   f i ( mi )   mi yang merupakan
homomorfisma modul atas R.
Untuk selanjutnya tinggal ditunjukkan f injektif ( ker(f) = {0}) dan surjektif
(Im(f) = M).
Akan ditunjukkan f injektif ( ker(f) = {0}) :
Ambil sebarang ( m1 , m2 , , mn )  Ker ( f )
f ( m1 , m2 , , mn )  0 M

m

i

 0M

m1  m2    mn  0 M

 m1   m2  m3    mn
 
M 1

M 2  M 3  M n

 m1  M1  (M 2  M 3    M n )  {0}
m1 = 0.

 m2   m1  m3    mn
 

M 2

M 1  M 3  M n

 m2  M 2  (M1  M 3    M n )  {0}
m2 = 0.


 mn   m1  m2    mn 1
 
M n

M 1  M 2  M n 1

 mn  M n  (M1  M 2    M n 1 )  {0}
mn = 0.
 m1  m2    mn  0
 (m1, m2 ,, mn )  (0,0,,0)
ker(f) = {(0,0,,0)} .
n

Dengan diketahui M   M i …..(i)
i 1

Coba tunjukkan sendiri Im(f) = M yakni f surjektif
n

 f : M i M R-isomorfisma modul yang berakibat M   M i .
i 1

M = R-modul
M1, M2 submodul di M
M1  M 2  {(m1, m2 ) / m1  M1, m2  M 2} = R-modul

M1  M 2  {(m1  m2 ) / m1  M1 , m2  M 2} = R-submodul di M.
Kapankah M  M1  M 2 ?
Jika (1) M = M1 + M2

(2) M1  M 2  {0} .

M = R-modul
M1, M2, M3 submodul di M
M1  M 2  M 3  {(m1 , m2 , m3 ) / mi  M i , i  1,2,3} = R-modul
M1  M 2  M 3  {(m1  m2  m3 ) / mi  M i , i  1,2,3} = R-submodul di M.

Kapankah M  M1  M 2  M 3 ?
Jika (1) M = M1 + M2 + M3
(2) M1  (M 2  M 3 )  {0}
M 2  (M1  M 3 )  {0}
M 3  (M1  M 2 )  {0} .

Definisi : Direct Summand
M = R-modul
M1 submodul di M
M1 disebut direct summand di M jika ada submodul M2 di M  M  M1  M2.

BARISAN EKSAK
{mi / i  1,2,} keluarga modul-modul atas R
fi : M i 1  M i
fi 1 : M i  M i 1


fi
f i 1
  M i 1 
M i 
M i 1  

…..(*)

Definisi :
(*) disebut barisan modul dan barisan homomorfisma di R.
Im(fi) submodul di Mi
Ker(fi+1) submodul di Mi
Mana yang selalu berlaku : Im(fi)  Ker(fi+1) atau Ker(fi+1)  Im(fi).
Definisi :
1. Barisan (*) dikatakan eksak di Mi jika Ker(fi+1) = Im(fi).
2. Barisan (*) dikatakan eksak jika barisan tersebut eksak di setiap Mi.
Keadaan khusus :
f
O
(1). {0} 


M1 
M eksak  f injektif
g
O
(2). M 
 M 2 

{0} eksak  g surjektif
O
f
g
O
(3). {0} 
 M1 
 M 

M2 

{0} eksak  1. f injektif
2. g surjektif
3. ker(g) = Im(f).

Bukti :
f
O
(1). Diketahui : Barisan eksak {0} 


M1 
M
Akan ditunjukkan : f injektif
Bukti :
Karena barisan eksak maka Im(O) = ker(f) atau {0} = ker(f).
Terbukti f injektif.
Diketahui : f injektif
Akan ditunjukkan : Barisan eksak
Bukti :
f injektif maka ker(f) = {0} = Im(O).
Terbukti (1) barisan eksak.

Barisan ke-3, jika eksak disebut eksak pendek.
Keistimewaan Barisan Eksak Pendek
Sifat :
Jika (3) adalah barisan eksak pendek maka ketiga pernyataan sebagai berikut
ekuivalen,
a.  homomorfisma modul  : M  M1    f  I M 1
b.  homomorfisma modul  : M 2  M  g    I M 2
c. M  Im( f )  ker( )
 Ker ( g )  Im(  )
 M1  M 2 .