KONSEP DAN APLIKASI PENGANTAR

@
PENERBIT ANDI

Konsep a Aplikasi

Penqantar

Te[nlk Si pll
,i

ryeg{

rman

KONSEP DAN APLIKASI PENGANTAR
TEKNIK SIPIL

E. Sutarman

Penerbit ANDI Yogyakarta

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

Oleh: Encu Sutarman
Hak Cipta @ 2013 pada Penulis.

Editor

PutriChistian

Setting

Yulius Basuki

Desain Cover

dan_dut

Korektor

Arie Pramesta

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

Dilarang memperbanyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ini dalam bentuk
apapun, baik secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotocopy, merekam atau
dengan sistem penyimpanan lainnya, tanpa izin tertulis dari Penulis,

Penerbit:

CV ANDI OFFSET (

Penerbit ANDI )

Jl. Beo 38-40, Telp. (027$ 56188L (Hunting), Fax. (02741 588282 yogyakarta 55281

Percetakan: AN Dl OFFSET
Jl. Beo 38-40, Telp. (0274) 561881 (Hunting), Fax. (O2741 588282 yogyakarta 55281

Perpustakaan Nasional: Katalog dalam Terbitan

KATA PENGANTAR

Berkat rahmat Allah Yang Maha Kuasa serta kehendak-Nya memberikan hidayah dan
karunia-Nya kepada kami, sehingga buku ini selesai kami susun.
Penyusun menyadari bahwa isi buku ini, masih jauh dari sempurna. Terlepas dari hal
itu, kami berharap Konsep dan Aplikasi Pengantor Teknik Sipil ini dapat memberikan
sumbangsih yang bermanfaat bagi khazanah sains - teknologi khusus bidang teknik
sipil, pemahaman dan penalaran konsep ilmu pengetahuan di bidang teknik sipil, serta

terapannya dalam kehidupan.
Saran dan kritik dari pembaca serta pemerhati sains - teknologi khususnya bidang
keilmuan teknik sipil untuk perbaikan penyusunan dan penulisan serta kelengkapan isi
buku ini, akan saya terima dengan kerendahan hati.
Terima kasih.

Bandung, 201-3

Hormat Saya,

lr, Encu Sutarman, MT

DAFTAR ISI

....29

D.PEGA5........

Pemulih
2. Usaha Pegos.........
7.

Goya

............29

.....30

BAB 2. KESEIMBANGAN GAYA MOMEN DAN GARIS PENGARUH .....................33

A.

KESEIMBANGAN GAYA DAN

MOMEN.............

7. Gayo..........
2. Keseimbongan Gaya
3. Goya Luar dan Gayo Da\am........

STATISTERTENTU.
1. Goris Pengaruh (GP)ReoksiPerletakan.
2. Goris Pengaruh (GP) Lintong don Momen
BAB 3. APLIKASI INTEGRAL TtTtK BERAT DAN MOMEN
A. APLIKASI INTEGRAL
7. Ponjong Kurvo pada Bidang ................
2. Luas Bidong Rato ..........
3. Tekanan don Gaya Hidrostatiko ................
4. Persamoon Azas Bernoulli .............
5. Regongon Paniang dan Deformasi .............
6. Momen don Pusot Masso

B.TtTtK BERAT DAN MOMEN....
1. Dua Dimensi
o. Kerapatan Mossa (density) dan Massa
b. Momen dan Pusot Masso .......
c. Pusot Massa Centroid
d. Momen lnersia.......
B.

GARIS PENGARITH

.....33
...............33
....-........'.....34
................." 36

..................48
.-......48
..-..49

.........-........53

...........53
...'......53
..............56
..........'............57
................59
'.....................61
-..........62
..---...........62
..............62

.........'........"".62
...."'...........63
............65
................68

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Stpil

-

1

dalom
Bendungan Tanoh

b. Aliron Air
c.

BAB

5. MINERAT

..................173
...............775

TANAH, SIFAT FISIS DAN KLASIFIKASI TANAH...................... 123

A. MINERALTANAH
7. Mineral Lempung...

...,......,.723

................... L24

2. Beberopo Mineral lempung....
3. Batas - botos Atterberg
4. Sifat - sifat Rekoyasa Materiol Lempung..

TANAH..
c. KAStFtKASt TANAH

B.

ldentifikasi Berdasarkan

Butiran

....................139

Atterberg
3. Analisa Saringan
4. Analisis Hidrometer

5. Klasifikasi Unified
6.

TEGANGAN DAN REGANGAN

........ L41,

.......L42
.....................145
....1.46

........

..................155

A. Tegangan.............

............755

Tonah

Tegangan Loterol poda Tanah
B. Regangan (stroin)
7. Regongan Ponjong.....
2. Regongon Volume......
L.
2.

C.

Tegongan Vertikal pado

Modulus Tegangan

L.
2.

Modulus

... L28

...........139

2. Batas

BAB

............ 125

........... 133

STFAT FtStS

1-.

...725

- Regangan

Serta Hukum

...................756
.....................1.69

............777
...........,...177
............... L72

Hooke

Elostisitos

Penentuon Modulus Tegongan - Regangan

.........L73
...................77i

Es

.................................. L75

3.
4.
D.

BAB

Poisson Rasio

.........

Modulus Geser (G) don Modulus

...................176

\utir...........

...............777

Ba1ok.........
...............181
1. Tegongon Lentur Murni pado Balok
...........183
2. Tegongan Lentur Akibot Gaya Normol Tekan otou Tarik ................. L85
3. Tegangan Lentur Akibat Gaya Normol Tekon otou Torik .................185
4. Tegangon Geser.........
............... 189
5. Tegongon Akibot Pelat di Atas Tanoh
......... L93

Tegangan pada

7.

PEMBORAN, KUAT GESER DAN DAYA DUKUNG TANAH......................197

Pemboran

............L97

Efektif
Pemilihan Parameter Tanah
1. Total Stress Approoch...
2. Effective Stress Approoch..
Uji Geser Triaxiol
Konsep Tegangan

.......200
.....,.............2O2
.............202
........202

..................203

1. Kuat Geser Undroined ...
2. Kuot Geser Drained

3.

......204
...................205

Hubungan Antaro Kekuotan Undroined don Droined Tanoh
Kohesif

......

............206

Trioxiol
......207
Kriterio Keruntuhon Mohr Coulomb
............208
Persamaan Daya Dukung Fondasi Dangka!
.............209
L. Teori Plastisitas Prondtl
..........209
2. Persamoan Daya Dukung Jumikis dan Dovidson...............................210
3. Persamoon Daya Dukung Terzoghi
.............21_2
4. Daya Dukung Meyerhof (7951, 1963)
.........215
4.
5.

Stress

- Stroin dalom Kompresi

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

.........

5.

Hubungon qprTerhadap

6.

Foktor Keamonon dalam Perenconoon

BAB 8. ANALTSA PENURUNAN

ev

..........-..-2L8

Fondosi

.............

...,.........
1. Totol Penurunon (AH)...........
2. Penurunon di Sekitor Lokosi Bebon
3. Penurunan Rangkok (AHr) otou Creep
B. Tingkat Konsolidasi................
7. Waktu Konsolidasi (t) .............
2. Derajot Konsolidasi (U)..............

A. Penurunon

GEMPA
A. Liquifaksi
B. Parameter Dinamik Tanah

BAB

9.

pada Lereng dan

.......225

....."""

.......226
.......---....227

'...""" 230
....."""" 231
....231
.............'...--.232

..."' 235
............." 236

Timbunan.........

Momen
A. Kekokuon (stiffness)
B. Foktor lnduksi (carry overfactor)
C. Foktor Distribusi
D. Menentukan Momen Primer.......
E. Tsbel Momen Primer

........"""'

11. KONSTRUKSIJALAN

A.

RAYA

238

...--....25L

BAB 10. Distribusi

BAB

225

............235

ANALISA

C. Analisa Gempa

............227

""""

252

""'254
.......""" 255

"""256
..""'274
.............285

Ketebalan Konstruksi Perkeroson Berdosorkan Kuot Geser lzin

Tondh.......

.....285

CBR
Kuot Geser Tonah Terhodap C9R............

Ketebalan Konstruksi Perkerason Berdasorkan

1. Hubungan

2. Foktor Bebon

3.

Be

..........287
........288

rula ng Terhado p Ketebolon Perkeraso n J a\on........... 290

Nilai Ekuivolen Lalu

Lintas.

c. Metode Tonpa Bahon Pengikat (unbound

......... 292

method)....

..........294

1". Foktor Beban Berulang Terhadap KetebalanPerkerosan Jolon ..........295

KonstruksiJolan...........
3. Foktor Regionol ....
2. Rencano

BAB

12.

PENGANTAR KONSTRUKSI

...................297

...299

BETON

................303

A. Umum
1. Kuot Tekon Karokteristik

...........303
.......... 303

2. Deviosi Stondor (S).. ... ....
3. Sifot - sifat Beton.
4. Modulus Elastisitas Beton E,...............
5. Regangan Ponjang.....
6. Hubungan Tegongan - Regangon

......

j04

..................... 305

B. DosdrPerhitunganKonstruksiBetonBertulang.,

.........306
.........."....307
..............307

...,......,....,308

..................308
1. Tebol Selimut Beton
2. Koefisien dan Tegangon yong Diizinkan
.....309
3. Jenis dan Kombinasi Pembtebanan................ ..................31.2
4. Hubungon Bojo don Beton pado Beton Bertulang
...,.....374
........315
5. HubunganTegangan (o )-Regongon (e )Boja....
6. Under dan Over Reinforced Tulangon Beton Bertulang ....................316

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

BAB

13. BALOK BETON

.............317

A. Hubungan Tegongan - Regangan Baio pado Kekuaton Batos.....-........378
......-...-..379
B. Metode Kuat Batos pada Tulangan Satu Rangkop
1. Hubungan Tegangon - Regongon Kondisi 9eimban9.............'.......-.31-9

2.

Penanpang Botok Beton Persegi Bertulongan Sotu Rangkap
....'....327
Mengalomi Lentur

3.

Penampong Balok Beton Persegi Bertulongan Satu Rangkop
Menerima Bebon

Murni

Horizontal

C. Metode Kuat Batds poda Tulangon Dua Rdngkap....

1.
2.
D,

Hubungon Tegangon

-

Penompang Bolok Beton Persegi Bertulangon Duo Rongkop
.'..................329
Mengalami Lentur

Tulongon

Murni.........

Geser

MATRIKS
A. tJmum
B. Aljabar Matriks
c' Determinan
14'

.......-...328

Regongan poda Kuot \atas................'.'...'..328

1. Tulongan Geser Berupo Sengkong
2. Type dan Luas Penompang Sengkong '.".......
3. Jarok Antor Sengkong
4. Diometer Sengkong...
5. Tulangan Geser Berupo Tulongon Miring
6. Tulangon Geser Puntir don Lentur Puntir
E. Lendutan podd Balok Beton Bertulong
F. Konsol...
G. Tobet l.tltimdte Strength...
BAB

....326

....,...-......345
..............346
.".............346
...............346
................348

...348
...349

...............354
...........357
.............-....358

""'

387

............387
...............397

""

394

D. Persomaon

Linier....

E. Matriks Adjoint

Ddn Matriks

,.........399

lnvers

..409

Linier
G. Matriks Ortogonal

F. Transformasi

H. Tronsformasi Ortogonol
DAFTAR

..........406
...........409

.

..409

PUSTAKA

.....4t2

KONVERSISATUAN

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

...4T7

-

1

--,

A.

1

VEKTOR, GAYA DAN GERAK

GEOMETRI DAN VEKTOR PADA BIDANG

Konsep vektor dan aljabar vektor pada bidang, dimana vektor digambarkan
sebagai garis yang menghubungkan satu titik ke titik selanjutnya. Sedangkan dua buah
vektor pada bidang dapat kita ukur panjangnya, sejajar serta mengarah ke satu titik.

ini kita akan membahas definisi dari sejumlah vektor, vector negative, hasil
kali titik (dot product) serta hasil kali silang (cross product) dari dua buah vektor pada

Pada bab

bidang.

1.

Penjumlahan Vektor

Dua buah vektor dikatakan sama apabila kedua vektor itu besar serta arahnya
sama, oleh sebab itu sebuah vektor dapat digerakan asal panjang dan arahnya tidak
berubah. Penjumlahan dari dua buah vektor ditunjukan pada Gambar L;

":)4"
(a)

(b)
Gambar

1

Vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan dari vektor A + B;

C=A+B=B+A
Dan besarnya vektor C vaitu;

C2=A2+82-2ABcos0 atau C = VA'

+

82-2ABcos0

serta besar sudut antara vektor c dan A diperoleh dari hubungan;
sina = sin 0 atau
sin-10
B
C

q=+

Metode lain untuk menghitung jumlah dari dua buah vektor, yaitu dengan mencari
diagonal konkuren jajaran genjang, yang mana sisi-sisinya merupakan vektor yang akan
dijumlahkan, misalnya vektor A dan B, dengan cara menarik vektor A dan B ke titik
pangkal yang sama, untuk jelasnya perhatikan Gambar 2;

C:A*B

Gambar 2

Vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan dari vector A + B;
Seandainya vektor A dan B sejajar Gambar 3 (a) atau berlawanan seperti Gambar 3 (b),

dan vektor C merupakan vektor hasil penjumlahan kedua vector itu, untuk jelasnya

sbb;

._____4_-

.-- l-

lD

A

_-_

--B --

C:A+B

-

Gbr.3 (a)

C:A+(_B):A-B
Gbr.3 (b)

Apabila lebih dari dua vektor (polygon) dijumlahkan, kita dapat menentukan
penjumlahan dari dua vektor sembarang, kemudian hasil ini dijumlahkan secara

vektorial dengan vektor ketiga dan seterusnya, hal ini ditunjukkan pada Gambar 4, sbb;

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

E: A+B+C+D

Gambar 4

2.

Selisih vektor

Pengurangan vektor dengan vektor lainnya sama halnya dengan penambahan
vektor negatif pengurang itu, dalam hal ini vektor negatif di definisikan sebagai vektor
yang besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan vektor itu, misalnya;

A-B=A+(-B)
Perhatikan Gambar 5, untuk mencari selisih A dan B, kita dapat menggunakan metode
jajaran genjang (b) atau metode segitiga (c);

*/

A

(a)

-

(b)
Gambar 5

Vektor C merupakan vektor hasil selisih dari vektor A - B;

C=A-B

(c)

3.

Komponen Vektor

Menentukan komponen vektor sama halnya dengan menguraikan vektor itu
terhadap sumbu-sumbunya, sumbu x dan sumbu y.
Andaikan vektor A pada Gambar 6 kita urai, dan 0 merupakan sudut antara vektor A
dengan sumbu x, maka komponen vektor A yaitu;

Ax=Acos0danAv=Asin0
Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar 6;

Gbr 6 (a)

Gbr 6 (b)

Gambar 6 (b); vektor A diurai terhadap sumbu x dan sumbu y, dan 0 merupakan sudut
antara vektor A dengan sumbu x.

4.

Sifat Aljabar Vektor pada Bidang

Andaikan A, B dan C merupakan vektor pada bidang, serta s dan
skalar, maka;

A+B
=B+A
c) A+0
-A
e) (st)A
= s(tA)
g) (s+t)A =sA+tA

b) A+(B+C)
d) A+(-A)
f) s(A + B)
h) lA

t

merupakan

=(A+B) +C
=Q
= sA + sB

=[

Vektor A, B dan C pada bidang disebut coplonar, jika ketiga vektor itu menempati titik
tangkap yang sama, seperti ditunjukkan pada Gambar 7.

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

L

AC
\/
\/
\_
Gambar

l

Teori 1;
Tiga buoh vektor disebut coplonar

b dan

jiko dan hanyo jika berkoiton dengan skalor

a,

c;

oA+bB+cC=0
Dimona;

a=O b=O

dan c=0

Vektor satuan i dan j dalam arah sumbu x dan y positil dalam bidang xy non-coplanar,
karena itu merupakan garis yang berdiri sendiri seperti ditunjukkan pada Gambar 8;

Gambar 8
i dan j disebut vektor standar dasar (basis stondard vector) di bidang xy.
Setiap vektor pada bidang xy dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari i dan

j.

Kita

tinjau vektor R seperti ditunjukkan oleh Gambar 9 di bawah, yang berada pada bidang
xy;

Q:

(x, y)

Gambar 9

Kita dapat menggeser titik tangkap vektor R ke titik asal 0, sebab itu vektor R = 0p
yang merupakan posisi vektor dari titik p = (riy), yang mana titik q = lxiy) yang
merupakan titik perpotongan titik P terhadap bidang?y.
Di sini QP sejajar dengan vektor satuan

=>_->

j, maka Qp = vj sehingga;

R=0Q+QP
Atau, kita nyatakan;

R=xi+yj
Dimana, x dan y merupakan komponen scalor dari R dengan berpegang pada vektor
standar dasar (bosis stondord vectorl i dan j.

Penjumlahan A + B, serta selisih A - B, dan hasil sA dapat dihitung, komponenkomponen vektor A dan B pada bidang xy, hanya jika;

A=ai+ai

dan

B=bi+bi

Sehingga;

a) A+ B - (o1+ blli + (a2+ b2li
b) A-B = (or* br)i + (o2- b2li
c) 54 = (so1)i+ (soz)j
Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Stpil

-

1

Contoh 1
Misalkan,

A=2i-3j dan B=i+2j

Cari;

a) A+B
b) A-B
Solusi

a)

A+B

A=2i-3j

B=i+2j
A+ B = (2 + 1)i + (-3 + 2)j = 3i-j

b)

A-

B

(-3 -2)j = i-si
Dua komponen scalor dari vektor pada bidang xy secara unik dapat

A-B = (2-

1)i +

menentukan vektor, untuk itu maka;

x1i+Ytj=xzi+Yzj
sehingga;

(xr-

xz)i + (Yr- Yz)i = 0

Dikarenakan i dan j mempunyai sumbu tersendiri, maka

X1-X2=Q

;

Yr-Yz=0

sehingga;
Xt=X2

Yr=

Yz

xi + yj serta yang lainnya, ini merupakan bentuk dari dua komponen
scalar yaitu x dan y yang dimiliki oleh R sehingga dapat ditulis

Ketika

R

= (x, y).

R=

Cara ini, dapat kita gunakan untuk penyelesaian contoh 2 sbb;

Contoh 2
Misalkan, A=

2i-3j dan B=i+2i

Cari;

a) A+B
b) A-B
Solusi;

Jika A

=2i-

3j dan B = i+ 2j

maka;

a) A+B
A + B = (2 -3) + (1 + 2) = (3,- L)

b) A-B

A- B = (2-3)-(1

+ 2) = (1,

-5)

Kami anjurkan agar menggunakan cara double vector yang sesuai untuk vektor pada
bidang xy.

Sudut 0 yang terbentuk antara dua vektor A dan B pada bidang xy memiliki titik
tangkap vektor sama, sehingga besarnya sudut dapat diketahui.
Dengan cara dot product dari A dan B;

A.B=lAl
Dimana

A.B

lBl cos0 maka; cos0= lAl
lBl

lAl dan lBl merupakan panjang atau nilai dari vektor

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

A dan B.

5. Jarak antara Dua Titik dalam Bidang

xy

Kita sekarang dapat menurunkan persamaan untuk menentukan jarak antara dua
P = (x,

titik

y) dan Q = (a, b) di dalam ruang xy, seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 10;

Gambar 10
Disini;

>-->

OP=xi+yj dan 0Q=ai+bi

PQ = 0Q- 0P
dan --

Atau PQ dapat dinyatakan;
PQ = (a

- x)i + (b -yli
___>

Disini komponen scolor dari vektor PQ di bidang xy dengan koordinat pada Q berbeda
dengan koordinat P, maka jarak antara P dan Q sbb;

lpdt = l@-rl'+(b-y)'

Contoh 3
Jika koordinat P = (2, 3) dan Q =

(-

1, 1). Tentukan;

a)

Komponen scaloraaritsQ

b)

Jarak antara P dan Q

Vektor, Gaya dan Gerak

Solusi

6.

a)

PQ= (- 1-2li+

(1-3)j

b)

lPal = |/(-g)'

+(-zf

=-3i-2j
=v13

Arah CosinusVektor

Yang dimaksud vector A tidak nol

di bidang xy yaitu, pindahkan A sehingga titik

tangkapnya di titik semula 0, serta a dan p merupakan sudut antara A terhadap sumbu
x dan y. Hal ini ditunjukan oleh Gambar

Gambar

1.L;

11

Sudut o dan p sama halnya sudut antara A terhadap vektor basis standar i dan j,
hal ini merupakan arah sudut vektor A.

Cosinus dari dua arah sudut disebut juga cosinus arah dari vektor
didefinisikan sbb;

cosc,=A.i
E!

cosP-

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

A.i
lAl

A. yang

Sekarang andaikan bahwa;

A=xi+yj
maka;

Ai=o
dan

Aj =fi

lAl

=

o2+b2

Sehingga;

cos

o,

cos p

Wl
=_'Vo2

bT

b

+ b2

Selanjutnya;
(cos

a)i+

(cos g)j

o

w-7-

(oi + bil

A

= lAl
Cosinus arah dari vector A tidak nol merupakan komponen scolor dari vektor
satuan A/lAl sama dengan arah A.
Karena (cos a)i + (cos p)j merupakan vektor satuan, maka;

cos'a*cos'6 =!
Contoh 4
Jika P =

(-

1, 2) dan Q =

(-

3, 3). Tentu kan Cosinus arah dari PQ =

i

Solusi
_->

PQ = A =

[- 3 - (- 1]li + (3 - 2lj= -2i

+

j

o

Vektor, Gaya dan Gerak

= fi- 2)2 + L2 =t5

jika

Maka;
_L

cos

B.

0,

1

t-

15

dan

cos

B

_1t-

15

VEKTOR DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Konsep vektor dan aljabar vektor pada bidang dapat dikembangkan ke dalam
permasalahan vector dan aljabar vektor pada ruang.

Vektor pada ruang seperti halnya pada bidang digambarkan sebagai garis yang
menghubungkan satu titik ke titik selanjutnya.
Dua buah vektor pada ruang dapat kita ukur panjangnya, sejajar serta mengarah
ke satu titik.

Pada sub bab ini kita akan membahas definisi dari sejumlah vektor, vektor
negatif serta hasil kali titik (dot producf) dari dua buah vektor pada bidang yang dapat
diterapkan pada ruang.

Sifat aljabar vektor pada ruang tentunya sama dengan aljabar vektor pada
bidang;

1. Aljabar Vektor dalam Ruang
Andaikan A, B dan C merupakan vektor pada ruang dimensi tiga serta
merupakan scalor, maka;

a)A+B =B+A
c) A+0
-A
e) (st)A = s(tA)
g) (s+t)A =sA+tA

b) A+(B+C)
d) A+(-A)
f) s(A + B)
h) tA

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sxpil

-

1

= (A+B)+C
=Q
= sA +sB

-A

s dan t

Vektor A, B dan C pada ruang disebut coplonor, jika ketiga vektor itu menempati
titik tangkap yang sama, seperti ditunjukkan pada Gambar 12, di bawah ini;

Gambar 12
Teori 1;
Tiga buoh vektor disebut coplanar
b don c;

jiko dan hanyo jiko berkoitan dengan scolar

o,

aA+bB+cC=0
Dimano;

o=O

b=O

dan c=0

Vektor satuan i, j dan k dalam arah sumbu x, y dan z positif, dalam ruang xyz noncoplonar, karena itu merupakan garis yang berdiri sendiri seperti ditunjukkan pada
Gambar 13;

Gambar 13
i,

j dan k disebut vektor standar dasar (bosrs standard vector) di ruang xyz.

Setiap vektor pada bidang xy dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari i dan
j, juga setiap vektor dalam ruang xyz dapat dinyatakan dalam kombinasi linier i, j dan k.

Vektor, Gaya dan Gerak

Kita tinjau vektor R seperti ditunjukan oleh Gambar L4 di bawah, yang berada di
ruang xyz;

Gambar 14
Kita dapat menggeser
_>

R=

titik tangkap vektor

R ke

titik asal 0, sebab itu vektor

0P yang merupakan posisi vektor dari titik p = (x, y, z), serta titik

Q = (x, y, 0) dimana Q merupakan

titik perpotongan titik p terhadap bidang xy.

Di sini QP sejajar dengan vektor satuan

>>

k,

maka

-)

ep

=

zk sehingga;

R=0Q+QP
Atau, kita nyatakan;

R=xi+yj+zk
Dimana x, y dan z merupakan komponen scolor dari R dengan berpegang pada
vektor standar dasar (basis standord vectorl i, j dan k.
Penjumlahan A + B, serta selisih A - B, dan hasil sA dapat dihitung, komponenkomponen vektor A dan B di ruang xyz sama halnya pada bidang, hanya jika;

A= oi+

o2j+

qk

dan

B

=

bi+ bl+

fuk

Sehingga ;

a) A + B = (a1+ b1)i + (o2+ b2)j + (q+ b3)k
b) A-B = (ot- btli+ (az- b2)j+ (q- bg)k

c) 54 = (so1)i + (soz)j + (so3)k

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

Contoh 5
Misalkan, A= 2i - 3j + k

B=i+2j+5k

dan

Cari;

a) A+B
b) A-B
Solusi;

a) A+B

A=2i-3j+k

B=i+2j+5k
A+ B = (2 + 1)i + (-3 +2li+(1 + 5)k = 3i-j

b) A- B
A- B = (2-

1)i +

(- 3 -z)i

+ 6k

+(1- s)k = i-5j-4k

Tiga komponen scolar dari vektor di ruang xyz secara unik dapat menentukan
vektor, untuk itu maka;
x1i +

y; * z1k = x2i + yi

+ z2k

Sehingga;

(xr-xz)i + (yr-yz)j + (zr-

z2)k = 0

Dikarenakan i, j, dan k mempunyai sumbu tersendiri, maka;

X1-X2=Q
se h

i

Vr-Yz=0

21-22=Q

ngga;

Xr=Xz Yt=Yz dan Z1=7,

Ketika R = xi + yj + zk serta yang lainnya, ini merupakan bentuk dari tiga
komponen scalor yaitu x, y dan z yang dimiliki oleh R dengan bentuk triple {x, y, z) dan
dapat ditulis R = (x, y, z).
Kami anjurkan agar menggunakan cara triple vector yang sesuai untuk vektor di
ruang xyz.

Vektor, Gaya dan Gerak

Sudut 0 yang terbentuk antara dua vektor A dan B di ruang tiga dimensi memiliki
pada
bidang, sehingga besarnya sudut dapat diketahui.

titik tangkap vektor sama, maka dua vektor itu sama halnya dengan vektor
Dengan cara dot product dari A dan B, seperti halnya vektor pada bidang;

AoB=lAl lBl cos0 maka;cos0= AoB
Dimana lA I dan

I

B

IAI IBI
I merupakan panjang atau nilai dari vector A dan

B.

Kaidah dari dat product di ruang tiga dimensi serta penggunaannya, seperti
halnya untuk vektor pada bidang.

2. Jarak Antara Dua Titik dalam Ruang

xyz

Kita sekarang dapat menurunkan persamaan untuk menentukan jarak antara dua titik
P = (x, y, z) dan Q = (a, b, c) di dalam ruang xyz, seperti yang ditunjukan oreh Gambar
15;

3: {x,l:}

Gambar 15
Disini;

_>

0P=xi +yj+zk dan

-->
OQ

=oi+ bj+ck

dan PQ

>_>

OQ-

OP

-'>
Atau PQ dapat dinyatakan;

d = (, -x)i + (b - vli + {c - z)k
Disini komponen scalor dari vektor d Oi ruang xyz dengan koordinat dari
berbeda dengan koordinat P, maka jarak antara p dan e sbb;

tdt

=w

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

e

Contoh 5
Jika

koordinat

P = (2, 3,

-

2l dan Q = (- 1, 1, 5). Tentukan;

a)

Komponen scalaraari

b)

Jarak antara P dan Q

d

Solusi;
PQ= {(- 1-2)i + (1-3)i + (s-(-2)k}=-3i -Zi+7k
c) ->
d) lfil = /erf +1212+72 ={62

3.

Arah Cosinusvektor

Yang dimaksud vektor A tidak nol di ruang xyz yaitu, pindahkan A sehingga titik
tangkapnya di titik semula 0, serta a, p dan y merupakan sudut antara A terhadap
sumbu x, y dan z positif. Hal ini ditunjukkan oleh Gambar 76;

}T

LTAIIIUAI

T

Sudut a, p dan y, sama halnya sudut antara A terhadap vektor basis standard i, i
dan k, hal ini merupakan arah sudut vektor A.

Cosinus dari tiga arah sudut disebut juga cosinus arah dari vektor
didefinisikan sbb;

Vektor, Gaya dan Gerak

A.

Dan

cosc =

cosp

+Al1i

- f,

dan cos

y

=

A.k
lAl

Sekarang andaikan bahwa;

A=xi +yj+zk
maka;

Ai=a Ai=b

Ak=c

Dan

lN=W + b'+t
Sehingga;

coso

=

cosv=

-+

Selanjutnya;
(cos

a)i+

(cos p)j + (cos

V)t =

(oi+ bj + ck )

Va'
-i- + b'+ c'

= r*r
A/lAl

Cosinus arah dari vektor A tidak nol, maka komponen scolor dari vektor satuan
sama dengan arah A.

Karena (cos a)i + (cos p)j + (cos y)k merupakan vektor satuan, maka;

cos'a+cos'6+coszy=1

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

Contoh 7
Jika

P

=

(-

a)
b)

1, 2, 3) dan Q =

(- 3, 3, 5). Tentukan;

Cosinus arah dari

d

=

n

Buktikan bahwa bentuk persamaan cosinus arah sama dengan

L

Solusi;

a)

Fe=e=[-3-(-1)]i+(3-2)j+(s-3)k
a

-zi+j+2k

= t, z -f, ,r. ,
D tc
va

COSd,

cosP

=

=

b2+c2
C

COSY =

b2+c2

jika fo\ b\C = \f2y * 1*7

=3

Maka;

aoro=

I

3 cosB = 3 d"n ,.sv=i'

-2

b) Buktikan

bahwa bentuk persamaan cosinus arah sama dengan 1!

cos'u,*cos'p+cos2y =1

F2Bf

C.

+Ol3)2 +(2/312

=1

(oketerbukti)

GAYA DAN GERAK

3aya yang bekeja pada benda, baik benda yang diletakkan pada suatu bidang maupun
:ergantung pada seutas tali dengan sistem katrol maupun lift, pada prinsipnya berlaku
caldah hukum Newton ke 2.
Pada umumnya orang berpendapat supaya benda tetap bergerak maka pada
:enda itu perlu suatu gaya yang bekerja. Meskipun pula benda tersebut berada di atas

Vektor, Gaya dan Gerak

permukaan datar yang licin tanpa gesekan atau di angkasa luar sekalipun. Newton
dalam bidang mekanika membuktikan bahwa,

"Suotu benda sudah dibuat bergerok, tidak perlu dikerjakon goyo terhodop
bendo itu agar tetap bergerak dan efek suotu goya bukonlah membuot gerak suotu
bendo bertohon poda suotu kecepatan meloinkan meruboh kecepatannya".
Perubahan kecepatan per satuan waktu berbanding lurus dengan gaya yang
dikerjakan terhadap benda itu. Maka dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan sbb;

F=m at dimana -^

Av

on

dt

maka

F=ma

(persamaanl)

Dalam gerak lurus gaya F yang bekerja pada suatu benda dengan kecepatan v,
maka selalu mempunyai garis kerja. Namun, jika arah gaya tidak sama dengan arah
kecepatan, maka benda itu akan bergerak menyamping. Jadi dalam setiap kondisi,
goyo vektor somo dengan hosil kali mossa bendo dengan percepoton vektor.

Jika gaya vektor yang bekerja membentuk sudut dengan salah satu sumbu
koordinat (x,y), maka gaya itu dapat diurai menjadi komponen arah x dan arah y,
jumlah aljabar vektor gaya )F* dan )F, dapat dihitung sebagai berikut;

IF"=m
IFv=m

&*
At

=lrl€lx

av*

il

=ffidy

Setara dengan persamaan;

IF=rn#

=ma

(persamaan 2)

Untuk lebih jelasnya seperti pada Gambar 17

;

F1---------)
Gbr. 17b

Gbr. 17.a

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

Gbr. l7a: benda ditarik dengan gaya miring, sudut a terhadap garis horizontal
Gbr. 17b: benda menerima beberapa gaya tekan

Untuk kondisi seperti pada Gambar L7a

Fr= Fcosc dan

Fy =

Fsin o. maka )F = F* +F,

Sedangkan untuk kondisi pada Gambar 17b,

IF*

=

Fr-

F2

-

F3

cos

IFv = F: sin p maka
Fz

)F yaitu;

P

fF = )F* + )F,

bernilai negatif, karena arah vektor ke kiri.

lF = R (resultan gaya), dan nilai Resultan gaya dapat dicari dengan Persamaan
3, sbb;

ft=

(persamaan 3)

Dimana R membentuk sudut 0,
o = arc,.n

I"'

IF,

Perjanjian nilai menurut arah vektor;
Vektor goyo oroh ke kiri otau ke bawoh bernilai negotif ( - ).
Vektor goyo aroh ke kanan qtdu ke otos bernilai positif ( + ).

1.

Gaya Normal dan Gaya Gesekan

Suatu benda diletakkan pada suatu bidang, baik datar maupun miring, maka pada
bidang yang terkena beban akan memberikan gaya perlawanan sebesar beban atau
gaya yang diberikan terhadap bidang tersebut. Gaya perlawanan tadi disebut gaya
normal N, besarnya sama tetapi arahnya berlawanan dengan arah gaya aksi dan tegak
lurus bidang' Hal ini sesuai azas hukum tiga Newtofl, Faksi= - Freaksi(negatif menunjukan
suatu perlawanan).

Vektor, Gaya dan Gerak

N= T1's.rdn

Gbr
Pada Gbr.

l3a

l8a yang mana N:

*

Gbr. 18b

W nenda

A

Gbr. l Bb merupakan ilustrasi adanya gaya Normal akibat benda A

Gaya gesek f merupakan gaya perlawanan akibat adanya gesekan antara alas
terhadap permukaan bidang, terlebih efek dari adanya gerakan yang dilakukan benda.
Gaya gesek f terdiri dari gaya gesek kinetik fp dan gaya gesek statis f,. Besarnya
gaya gesek merupakan gaya Normal kali koefisien gesekan, secara matematik f = NU.

Untuk permukaan tertentu harga maksimum gaya gesek statik f, hampir
berbanding lurus dengan gaya Normal N, jadi gaya gesek statik f, mempunyai harga di
antara nol, dan maksimum berbanding lurus dengan N atau
maka; f, S ;r,
Harga

N

Nprr.

(persamaan 5)

f, = N[., terjadi tepat saat benda akan bergerak akibat gaya luar. Misalnya
T atau gaya dorong yang menyebabkan benda itu

adanya gaya tarik
bergera k/melu ncu r.

Saat benda meluncur gaya gesek berkurang, gaya gesek ini disebut dengan gaya
gesek kinetik fp !ang besarnya berbanding dengan gaya Normal kali koefisien
kinetiknya atau lewat persamaan;

f1=

;.rpN

(persamaan 6)

Jiko goya luor lebih besor daripado goya gesekan, mako bendo okan meluncur.
Koefisien gesekan statik tergantung dari jenis atau sifat kedua permukaan yang
bersinggungan. Untuk beberapa jenis material nilai koefisien statik dan kinetik,
ditunjukan pada Tabel 1:

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

Tabel L Koefisien Gesekan

Koef. Kinetik (pr )

Bahan

Koef.Statik (p,

Baja di atas Baja

0, 74

0,57

Aluminium di atas Baja

0, 61

0,47

Tembaga di atas Baja

0,53

0, 36

Kuningan di atas Baja

0, 5L

0,44

Seng di atas Besi Tuang

0,85

0, 21

Tembaga di atas Besi Tuang

L,05

0,29

Gelas di atas Gelas

0,94

o,40

Tembaga di atas Gelas

0, 68

0, 53

Teflon di atas Teflon

0,04

o, 04

Teflon di atas Baja

o, 04

o, 04

)

Sumber: Sears Zemansky, Principles of Physics'1969

lodi nilai p berkisor dori

0 s.d.

1-

otau 0 < tt S 1, iiko;

It = 0: permukoon olos bidong/bidong kontok licin sempurno

lt = 1: permukaon alas bidang/bidang kontak kosar sempurna
Dalam mekanika dan gerak sering kita jumpai kondisi dimana benda terletak di
oidang datar atau di bidang miring atau dalam kondisi yang lebih kompleks. Maka gaya
E yang bekerja termasuk berat benda W dan gaya normal N, harus dengan benar-benar
dipahami. Sebagai gambaran kita tinjau kondisi seperti pada Gambar 3 dan Gambar 19,
dl bawah ini;

a.

Benda Terletak pada Bidang Datar;

Gbr.

19a

Vektor, Gaya dan Gerak

Gbr. L9b : Merupokon ilustrosigoyo-goyo yong bekerja

pada benda A.

IF, =F-fr =F-p1N=ma dan N=W=r1g
IF, = F-

[11ffig = m0

F- plmg -

ma

makaF=m(a+Fr.g)
Jadi yang menyebabkan benda bergerak yaitu

F;

F>m(a+trrg)
b. Benda Terletak pada Bidang Miring;

w
Gbr.20a

Gbr. 20b

Jadi yang menyebabkan benda bergerak yaitu W sin

c

DimanafF=Wsinq-ft=ma
Wsinc-f;.=1'113

Wsino-[pmg=66
Contoh 8
Dua buah benda terbuat dari aluminium dan satunya lagi terbuat dari kuningan yang
masing-masing dengan berat Wa dan We terletak pada suatu bidang datar terbuat dari
kaca. Bidang kontak benda terhadap alas memiliki koefisien gesek, masing-masing lrm
dan p1s.

Konsep dan Aplikasi Pengantar Teknik Sipil

-

1

Tentukan percepatan luncur dari dua buah benda jika benda
satu dengan yang
lainnya terhubung tali pengikat dan ditarik dengan gaya
seoesar F, seperti pada
Gambar C 8, di bawah ini :

EJ.:F-,.
Gbr-C8

Solusi

Wa=meB

Ws: mn8

Tinjau Benda A

Tn-fm=fflail

maka

Ta =

fu *

IItn d

Tinjau Benda B

F-Ts -fta=maa

maka

Te=F-fks-rTls3

Dimana Ta = Ts

Maka;
q-

F-fe-fo
m't

2.

*

filB

Benda Tergantung dan Digerakkan

sering kita jumpai di lingkungan sekitar berupa benda yang
tergantung dan digerakkan
caik ke atas serta ke bawah dengan menggunakan tali pengikat
dan terhubrnt d"ng.n