1. Pengertian Tentang Fungsi 2. Fungsi Linier 3. Gabungan Fungsi Linier 4. Mononom dan Polinom 5. Bangun Geometris 6. Fungsi Trigonometri 7. Gabungan Fungsi Sinus 8. Fungsi Logaritma Natural 9. Fungsi Eksponensial 10. Fungsi Hiperbolik 11. Fungsi dalam Ko

  Fungsi dan Grafik Sudaryatno Sudirham

  1. Pengertian Tentang Fungsi

  2. Fungsi Linier

  3. Gabungan Fungsi Linier

  4. Mononom dan Polinom

  5. Bangun Geometris

  6. Fungsi Trigonometri

  7. Gabungan Fungsi Sinus

  8. Fungsi Logaritma Natural

  9. Fungsi Eksponensial

  10. Fungsi Hiperbolik

  11. Fungsi dalam Koordinat Polar ₂ Pembatasan Pembahasan Fungsi dan Grafik dibatasi hanya padafungsi dengan peubah bebas tunggal yang berupa bilangan nyata

1 Pokok Bahasan mencakup

  Contoh: y

  Fungsi

  panjang sebatang batang logam (= )

  x y

  Apabila suatu besaran

  Secara umum pernyataan bahwa y merupakan fungsi x dituliskan

  memiliki nilai yang tergantung y = f (x ) x dari nilai besaran lain y peubah tak bebas

  disebut x peubah bebas disebut

  maka dikatakan bahwa

  nilainya tergantung x bisa bernilai sembarang

  y x merupakan fungsi x x

  Walaupun nilai bisa berubah secara bebas, namun nilai tetap harus ditentukan sebatas mana ia boleh bervariasi Dalam pelajaran ini kita hanya akan melihat x yang berupa bilangan nyata. Selain bilangan nyata kita mengenal bilangan kompleks yang bilangan kompleks. dibahas dalam pelajaran mengenai

  5

  6 Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku Domain

  (koordinat Cartesian, dikemukakan oleh des Cartes ) Domain x ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas bervariasi.

  Bidang dibatasi oleh dua sumbu, yaitu sumbu mendatar yang kita sebut Ada tiga macam rentang nilai yaitu:

  sumbu-x sumbu-y dan sumbu tegak yang kita sebut .

  Bidang terbagi dalam 4 kuadran

  y

  sumbu- Posisi titik pada bidang

  rentang terbuka a

  yaitu Kuadran I, II, III, dan IV

  b

  dinyatakan dalam

  y a x b

  koordinat [x, y] < <

  a b

  3 dan tidak termasuk dalam rentang Q[-2,2] x sumbu-

  2 II

  I

  1 P[2,1]

  rentang setengah terbuka a b x a x b

  ≤≤≤≤ < a b

  masuk dalam rentang, tetapi tidak

• 4 -3 -2 -1

  1

  2

  3

  4

• 1

  III

  IV

• 2

  S[3,-2]

  rentang tertutup a b

• 3 R[-3,-3]

  a x b ≤≤≤≤ ≤≤≤≤ a b

  dan masuk dalam rentang

• 4
• 1

  ) jika

  (2) nilai f

  x

  ) yang terdefinisi di sekitar

  x

  =

  c

  dikatakan kontinyu di x = c jika dipenuhi dua syarat:

  (1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f

  (

  c

  ) di

  x

  =

  c

  ;

  (

  f

  x

  ) akan menuju

  f

  (

  c

  c ).

  x

  menuju

  c

  ; pernyataan ini kita tuliskan sebagai yang kita baca:

  limit f

  (

  x

  )

  (

  =

  (

  1

  →

  Kurva dari Suatu Fungsi x y

  5 ,

  =

  Setiap nilai

  x

  akan menentukan satu nilai

  y x

  1

  2

  3 4 dst.

  y -0,5 0,5

  1 1,5 2 dst.

  1 1,5 2 2,5

  2

  y

  ) ( ) ( lim c f x f

  Suatu fungsi

  tidak terputus dalam rentang tersebut.

  tertentu, akan membentuk kurva yang

  x

  Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai

  Kita lihat fungsi: (kita baca: “delta x per delta y”)

  Titik P, Q, R, terletak pada kurva Kemiringan kurva:

  3

  = Kurva

  5 ,

  x y

  c x =

  ∆x ∆y

  4 x y

  untuk x menuju c sama dengan f

• 0,5 0,5
• 1

9 Kekontinyuan

  Simetri

  1. Jika fungsi tidak berubah apabila

  x

  kita ganti dengan −

  x

  maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-

  y

  ;

  2. Jika fungsi tidak berubah apabila

  x

  y

  dan

  dipertukarkan, kurva fungsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.

  3. Jika fungsi tidak berubah apabila

  y

  diganti dengan −

  y

  , kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu-

  x .

  4. Jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan

  − x dan

  x y ∆ ∆

  0 tidak dapat ditentukan nilainya)

  x =

  untuk

  P R Q

  10 Contoh: y = 1/x y = 1/x y x

  1

  5

  x

  = 0

  y = u(x)

  1 y x

  Terdefinisikan di

  x

  = 0 yaitu

  y

  | x= = 1 (

  y

  untuk

  x =

  0 adalah 1) (

  y

  − y , kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].

• 10 -5

10 Tak terdefinisikan di

• 1

  Pernyataan Fungsi Bentuk Implisit Contoh:

  Pernyataan fungsi y f (x ) eksplisit.

  = disebut bentuk

  2

  6 y = 0,3x tidak berubah bila x diganti x

  − y eksplisit

  dapat diubah ke bentuk (simetris terhadap sumbu-y)

  2

  2

  2 y

  1 x

  = −

  1 =

• x y

  3

  3

  = 0,05x

  y

  1 / x

  y tidak berubah jika x dan y diganti = xy

  1 =

  dengan x dan y

  − −

  Pernyataan bentuk

  2 y x = y x

  =

  (simetris terhadap titik [0,0]) implisit

• 6 -3

  3

  6

  2

  2 x

  2

  2 y xy ( x − + +

  8 ) =

  x xy y

  8

• =
• 3

  2

  2

  tidak berubah jika:

  y + x = 9

  2

  4 ( 8 )

  2 Walaupun tidak dinyatakan secara

  x x − x − − x diganti − x y x = ±

  eksplisit, setiap nilai peubah-bebas

  2

  2

  x dan y diganti dengan x dan y − −

• 6

  akan memberikan satu atau lebih nilai

  x dan y dipertukarkan 8 y y

  peubah-tak-bebas

  y diganti dengan y −

  4 x

• 4 -2

  2

  4

• 4

  13

  14

• 8

  Fungsi Bernilai Banyak Fungsi Bernilai Tunggal

  Fungsi bernilai tunggal adalah fungsi yang hanya Fungsi bernilai banyak adalah fungsi yang memiliki lebih dari satu nilai peubah-tak-bebas memiliki satu nilai peubah-tak-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas untuk setiap nilai peubah-bebas

  Contoh: Contoh:

  10 1,6

  8 x

  2 y

  1

  2 y y y

  2

  5

  5 = -0,8

  1 y = x y = ± x x y -1,6 x x x

• 0,8 4 y 0 x ,

  1 2 y = − x

• 1

  1

  2

  3

  4

  1

  2

  3

  1

  2

  3

• 5
• 1

  2 y

  1 / x y 1 / x

  2 = = ± y x x

  = = 0,8 y y = log x

  10 -2

  4

• 10

  y 2 x

  1

  2

  3

  4 x

• 0,8
• 4 -2

  2

  4

• z y x + = ρ

• = ρ

• =

  2 θ − = r

  18 Contoh:

  1

  2

  3

  1

  y x r

  θ

  P[r,

  θ

  ]

  Bentuk ini disebut cardioid

  ) cos 1 (

  1 1,5

  0,5

  2

  1

  2

  3

  x y r

  θ

  P[r,

  θ

  ]

  y = 2

  2 = θ r

  Contoh:

  θ

  θ r y r sin

  θ r cos

  P

  Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas

  Secara umum kita menuliskan fungsi dengan banyak peubah-bebas: ) , , , , ( v u z y x f w

  =

  Fungsi dengan banyak peubah bebas juga mungkin bernilai banyak, misalnya

  2

  2

  2

  2

  Fungsi ini akan bernilai tunggal jika dinyatakan sebagai

  2

  2

  2 z y x

  Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu- x dan sumbu- y , kita mengenal pula sistem Dalam sistem koordinat polar, posisi titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik-asal [0,0] yang diberi simbol

  r

  , dan sudut yang terbentuk antara r dengan sumbu- x yang diberi simbol

  θ

  Hubungan antara koordinat sudut siku dan koordinat polar adalah sebagai berikut

  θ =

  sin r y

  θ =

  cos r x

  2

  2 y x r

  ) / ( tan

  1 x y

  − = θ x

17 Sistem Koordinat Polar

• 5 -3 -1
• 1
• 1
• 0,5
• 3
• 2
• 1

• 5
• 4

  3

  22 Persamaan Garis Lurus yang melalui [0,0] mx y

  Contoh:

  − = y

  Fungsi tetapan bernilai tetap untuk rentang nilai

  x dari −∞ sampai + ∞ . k y

  = x

  5

  5 y y

  = 4 5 .

21 Fungsi Tetapan

  2

  6

  4

  6

  8

  10

  1

  2

  3

  4 x y

  = mx b y − ) ( y = 2x y =2(x–1)

  2

  4

  8

  2 = 2x

  1

  2

  3

  4 x y

  ) ( a x m y − =

  Secara umum, persamaan garis lurus yang tergeser sebesar

  b

  ke arah sumbu-y positif adalah menunjukkan pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

  titik potong dengan sumbu-y titik potong dengan sumbu-x b mx y

  a mx y ′

  pergeseran ke arah sumbu- y pergeseran ke arah sumbu- x menunjukkan

  2

  −

  3

  4 x y

  garis lurus melalui [0,0]

  =

  kemiringan garis lurus   

    

  : dibaca , kemiringan

  1

  2

  1

  2

  Pergeseran Kurva dan Persamaan Garis Lurus y = 2x y

  ∆x ∆y

• 1

  2

  4

  6

  8

  1

  x y x y m

  " delta " " delta "

  ∆ ∆ = =

• 1
• 1
• 4
• 2

• 4
• 2

• 1
• =
• =
• 6
• 4
• 2
• 1

  3

  4 x y y = 0,5x y = x y = 2x y = -1,5 x m > 0 m < 0

  Contoh:

• 4
• 2
• 1
• 4
• 2

  − − =

  1 P

  2

  1

  1

  2 P

  atau b x a y b x a y

  a a b b x

  ⇒

  ⇒

  2 P

  Contoh:

  8 4 dan

  3

  2

  2

  1 − = + = x y x y

  5 ,

  5

  1 P

  2 P

  4

  Garis ini harus digeser hingga melalui P dan Q

  ) 1 (

  2

  x y

  2

  2

  x y Contoh:

  Persamaan garis lurus melalui [0,0] yang sejajar dengan garis yang melalui

  P dan Q P Q

  26 Perpotongan Garis Lurus

  1

  1

  1

  1 b x a y

  2

  2

  2 b x a y

  2

  2

  1

  8

  3

  − = a x y

  V E =

  F ma = at v t v

  ) (

  ]]]]

  anoda katoda

  l Contoh: Contoh: e e m F a

  =

  Beda tegangan antara anoda dan katoda dalam tabung katoda adalah

  V Kuat medan listrik: l

  Gaya pada elektron:

  Contoh-Contoh Fungsi Linier dalam Peristiwa Nyata

  l eV F eE e

  = =

  Percepatan pada elektron: gaya fungsi linier dari

  V

  percepatan fungsi linier dari F

  e

  Apakah percepatan elektron fungsi linier dari

  V ?

  Suatu benda dengan massa m yang mendapat gaya F akan memperoleh percepatan a

  Titik potong: 14] P[(5,5),

  2

  1

  2

  1 = → − = + → = x x x y y

  14

  3 5 ,

  5

  2

  3 = 2 = + × = + x y

  Koordinat titik potong P harus memenuhi persamaan y

  maupun y

  P

  2 .

  Dua garis: Koordinat titik potong P harus memenuhi: dan

  10

  20

  30

  5

  10 y x y

  2 y

  x P y

  2 − 2 =

  1

  1

  1

  yang tergeser kearah sumbu-y atau tergeser kearah sumbu-x

  4

  1

  2

  1

  2 x x y y m

  − − = x x x y y mx y

  1

  2

  1

  2 − −

  = = Persamaan Garis Lurus yang melalui dua titik

  1

  = b

  [x

  2

  x

  y = -

  2

  2

  4

  1

  2

  1

  2 − = −

  − = − −

  = ∆ ∆ = x x y y x y m

  4

  4 − 2 + = x y dapat dilihat sebagai garis melalui (0,0) yaitu

  8

  1

  2

  3

  4 x y

  memotong sumbu y di 4 memotong sumbu x di 2 atau ) 2 (

  2

  − = −

  ,y

  ]

  2

  2

  2

  1

  2 = −

  − = − −

  = x x y y m

  persamaan garis:

  x b y

  = − atau ) ( 2 a x y

  8

  − =

  2

  4

  = − b

  ) 3 ( 2 8 a

  − =

  2

  1

  4

  2

  4

  4

  6

  8

  1

  3 x y

  2

  2

  6

  3

  8

  2

  x y

  Persamaan garis:

  Contoh:

  [1,4] [3,8]

  2

  1

  2

• 1
• =
• 4
• 2
• =
• =
• =
• b x a b x a = +
• =
• = + =

  − − = x y

  25

  1

  2

  3

  4 x y

1 P

• 10 -5
• 30
• 20
• 10

  Contoh: Contoh: Peristiwa difusi: materi menembus materi lain

  Suatu pegas, jika ditarik kemudian dilepaskan akan kembali pada posisi semula apabila tarikan yang dilakukan masih dalam batas Peristiwa difusi mencapai elastisitas pegas. Gaya tarikan merupakan fungsi linier dari materi materi masuk di x keluar di x panjang tarikan.

  a C a

  konsentrasi materi C di x dan

  a a F kx

  = C

  di x bernilai konstan

  x

  panjang tarikan gaya

  C x

  konstanta pegas

  gradien Contoh: konsentrasi x x x a ∆

  Dalam sebatang konduktor sepanjang l , akan mengalir arus listrik

  dC J D = −

  sebesar i jika antara ujung-ujung konduktor diberi perbedaan

  x dx

  tegangan sebesar

  V . Arus merupakan fungsi linier dari tegangan. Fluksi materi yang koefisien difusi x

  V

  berdifusi ke arah

  1 G dan R

i GV G

  = = = R R adalah tetapan

  Fluksi materi yang berdifusi merupakan fungsi linier konduktansi resistansi dari gradien konsentrasi panjang

  i

  V l

  Inilah Hukum Fick Pertama yang secara formal menyatakan bahwa

  j = = R konduktor = ρ

  fluksi dari materi yang berdifusi sebanding dengan gradien konsentrasi.

  A RA A

  kerapatan arus resistivitas

  29

  30 Luas penampang konduktor Fungsi Anak Tangga

  Fungsi anak tangga satuan y u = (x ) u ( x )

  1 untuk x

  = ≥

  untuk x

  = <

  2 y

  = y u (x )

  1 Fungsi ini memiliki

  nilai yang terdefinisi

  x 1 di = 0

  5 x muncul x

  pada = 0

  Secara umum y ku (x )

  = amplitudo

  3 , 5 ( )

  y = u x Contoh:

  5 y x

  5

• 4

  Contoh:

  = xu(x)

  6

  1

  2

  3

  4 x y y

  1

  y

  4

  2

  = 2xu(x)

  y

  3

  = 1,5(x-2)u(x-2)

  Fungsi ramp tergeser: ) ( ) ( g x u g x a y − − =

  Fungsi ramp satuan : ) (x xu y =

  5

  3

  kemiringan a = 1 kemiringan Fungsi ini baru muncul pada x = 0 karena ada faktor u (x) yang didefinisikan muncul pada x = 0

  2

  x

  (fungsi anak tangga) Pergeseran searah sumbu-

  ) ( a x ku y − =

  Fungsi anak tangga tergeser

  5

  5 x y

  1

  ) 1 ( 5 ,

  3

  − = x u y

  Pergeseran sebesar a ke arah sumbu-x positif

  Contoh:

  ) (x axu y =

• 4

  1

• 1

33 Fungsi Ramp

  2

  3 = y

  1 A x x u x x u x mxu y

  − − − × = { }

  ) ( ) (

  2

  1

  x x u x x u mAx y − − − =

  ramp pulsa hanya mempunyai nilai dalam selang lebarnya

  y

  1

  =2xu(x)

  y

  2

  =1,5{u(x-1)-u(x-3)}

  y

  1 y

  { } ) ( ) ( ) (

  2

  2

  4

  6

  8

  10

  1

  2

  3

  4

  5 x y

  Contoh:

  maka y juga

  akan bernilai dalam selang lebar pulsa saja

  2

  Contoh: Perkalian Ramp dan Pulsa

  1 = 2u(x-1) y

• y

  1

  1

  − x x au x x au y − − = : persamaan

  1

  2

  1 ) ( ) (

  2 > x

  y

  2

  − x x : pulsa lebar { }

  = 2 u(x-1) – 2 u(x-2)

  lebar pulsa

  1

  2

  tertentu dan menghilang pada x

  1

  Pulsa merupakan fungsi yang muncul pada suatu nilai x

  34 Pulsa

  2

• 1

  ) ) 2 ( 1 (

  − − − = x u x u y

  Deretan Pulsa:

  2

  =

  −

  2u(x − 2)

  1

  2

  3

  4 x perioda x y

• 2
• 1
• 1

  Gabungan Fungsi Ramp y axu ( x ) b ( x x ) u ( x x ) c ( x x ) u ( x x ) .......

  = −

  1 − 1 − 2 −

  2

  Contoh: y = y y _y

  10

  3

  1

  2 y

  = mx{u(x)-u(x-b)}

  8 Contoh: y = 2xu(x) 2(x 2)u(x 2)

  − − −

  12

  3 y

  6 y = mxu(x)

  1

  8 y = 2xu(x)

  4

  1 y = {u(x)-u(x-b)}

  2 Kemiringan yang berlawanan

  4

  2 membuat y bernilai konstan ₃ mulai dari x tertentu b

• 1

  1

  2

  3 4 x

  5

  1

  2

  3 4 x

  5

• 4

  y = 2(x 2)u(x 2) − − −

  2

• 8

  37

  38 Contoh: Contoh: Pulsa ini membuat y hanya

  3

  bernilai dalam selang 1 x

  3

  ≤ ≤ y = {2xu(x) 4(x-2)u(x-2)}{u(x-1)-u(x-3)}

  −

  15

  3

  15 y = 2xu(x) 4(x 2)u(x − 2)

  3 − − y y

  10

  10 y =2xu(x)

  1 y = 2xu(x)

  5

  1

  5 y lebih cepat menurun dari y maka

  2

  1 y menurun mulai dari x tertentu

  1

  2

  3

  4

  5

  3 x

• 5

  1

  2

  3 4 x

  5

• 5

  y = 4(x 2)u(x 2) − − −

• 10

  2 y = 4(x-2)u(x-2)

  2 −

• 10

  Mononom ₄₁

  42 Mononom Pergeseran kurva mononom pangkat dua n

  Mononom adalah pernyataan tunggal yang berbentuk kx

  2

  2

  2

  y = 10(x − 2) + 30

  3 x

  Mononom Pangkat Dua: y kx Karena ≥ 0,maka = k y >

  jika > 0 →

  y 100 Pergeseran ke arah

  Contoh: k y

  jika < 0 → < 0 sumbu- y positif

  10

  2

  2 y = 5x y = 3x y

  2

  9 y = 10x

  1

  50

  8

  7

  2 y = 10(x − 2)

  2

  6

  5

• 5 -4 -3 -2 -1

  1

  2

  3 4 x

5 Pergeseran ke arah

• 20

  2

• 5 -3 -1

  1

  3

  5 y = x

  4 x

  sumbu- x positif

• 40

  3

  2

• 60 y 2x

  = −

  2

• 80

  1

  2 y

• 100

  y 10x = −

• 3 -2 -1

  1

  2

  3 x y memiliki nilai maksimum y memiliki nilai minimum

  2

  0.5

  1 y

  46 Mononom Pangkat Tiga

  Kurva mononom pangkat ganjil simetris terhadap titik [0,0]

  titik belok

  Makin tinggi pangkat mononom, makin landai kurva di sekitar titik [0,0] yaitu titik yang merupakan

  Pangkat ganjil terendah: linier Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1, k ]

  3 y x

  5 y = 2x

  1.5 y = 2x y = 2x

  1

  3

  2

  1

• 1.5 -1 -0.5
• 1.5 -1 -0.5
• 3
• 2
• 1

• 1.5 -1 -0.5

  y

  Kurva mononom pangkat genap simetris terhadap sumbu-

  Contoh:

  = = y x x x x x y x y

  6 = = = → = → =

  4

  6

  4

  4

  3

  2)

  Polinom

  positif

  y

  Pergeseran ke arah sumbu-

  Pergeseran mononom pangkat tiga ke arah sumbu- x positif

  1 y

  3 5 x

  3

  y = 10x

  3

  −

  5 x

  3 y = 10(x

  2)

  y = 10(x −

  Mononom pangkat tiga Simetris terhadap [0,0]

  =

  2x y

  3

  − =

  3x y

  3

  2

  6

  3 : 3 dan Kurva

  2

  0.5

  8

  6

  4

  2

  1.5 x

  1

  0.5

  3 y

  1

  3

  2

  = 2x

  1

  6 y

  = 2x

  3

  4 y

  = 2x

  2

  Mononom Pangkat Genap pada umumnya y

  1

  1.5 y = x

  6 y

  4

  3

  81 3 dan

  ( )

  = = y x x x x x y x y

  2 = = = → = → =

  4

  2

  4

  2

  6 3 dan Kurva 6 :

  = 3x

  3

  2

  2

  2 3 dan

  12

  Koordinat titik potong antara kurva ( )

  Jika kurva-kurva ini memiliki nilai k yang sama maka mereka berpotongan di titik P[1, k ]

  Pada mononom berpangkat genap, makin besar pangkat makin melandai kurva di sekitar titik puncak

  2 y x

  4 y = 6x

45 Mononom Pangkat Ganjil

• 100
• 5 -3
• 5 -4 -3
• 2 -1
• 600
• 400
• 200 200 400 600
• 1
>500
• 400
• 300
• 200
• 100 100 200 300 400 500
• =
• 15x
• 15x
• 10
• 10
• 150 150
• 10
• 150 150
• 10

10 Kurva masing-masing

• =
• 150 150
• 150 150

• = x x y
• =
• = x x y

  2

  − = a ac b a b x a c a b a b x a c x a b x a y

  4

  4

  2

  4

  2

  2

  2

  2

  a b x

  2 − − 

   

    

   

    

  2

  2 y x

  2 x

    

  15

  15

  4

  15

  2 75 , 3 4 /

  15

  2 − = +

    

  Polinom Pangkat Dua secara umum x

  −

    

  − = = − = y x

  50 y = ax

  2

  y = ax

    

   

  x

  Pergeseran ke arah kiri sumbu-

  = 4x

  ) Dan

  Polinom pangkat dua ( y

  2

  )

  10 y x y

  1

  3

  3 Mononom pangkat tiga ( y

  200

  80

  19

  2 2 − − = x x y y

  3

  memotong sumbu- x di 3 titik

  Hal ini tidak selalu terjadi

  1

  2

  13

  2

  Pergeseran ke arah negatif sumbu- y    

     

  − − a ac b

  4

  4

  3 = y

  1

  10 x y y

  x x x y Polinom Pangkat Tiga: mononom pangkat tiga + polinom pangkat dua d cx bx ax y

  1 y

  2 200

  80

  19

  4

  2

  3 3 − − + =

  4

  15

  15

  2

  x = −

  15/2

  y

  x

  komponen (mononom) dari polinom: Penjumlahan mononom pertama dan ke-dua: x x y

  15

  2

  2

  Perpotongan dengan sumbu-

  x

  y

  15

  Koordinat titik puncak: 125 ,

  2

  =15x

  2 +15x y

  2

  13

  3 =

  13

  y

  2 = 15x x

  y

  10

  15

  4 = 2x

  2

  2

  y

  1

  =2x

  2 y

  2

  x x x

  1 = 2x

  15 − = x

  2

  2

  memotong sumbu-

  x

  di:

  4

  Penambahan komponen y

  10 Sumbu simetri dari x x y

  3

  = 13 memberikan:

  13

  15

  2

  2

  15

  2 +15x+13

  Polinom Pangkat Dua c bx ax y

  sumbu simetri −

  4

  = 2x

  2

  −

  15/2

  x y

  15/4

  5 = 2x

  10 y

  4

  = 2x

  2

  x y

  sumbu simetri y

  2 y

• =
•   
• bx +c
• =
• =
• =
• 

  2

  − = ⇒

  49 y

1 Sumbu simetri:

• =
• − 

2 Penjumlahan: y

• 2000 2000
• 10
• 2000 2000
• 10
• y

  3

  2

  3

  2

  y ax bx cx d = + + + y = + + + ax bx cx d

  2000 2000

  2

  2000 y = bx cx d + +

  2

  y

  2 2000 y

  2 y y = y + y

  3

  1

  2

• 10 10 -10

  15 y = y + y

  3

  1

  2

  15 y y = y +y

• 10

  1

  3

  1

  2 y

• 10

  15

  1

• 2000
• 2000

  y

  1

  3

• 2000

  3

• 2000

  y

  1 = ax

  3

  3

  y ax y = y + y

  =

  3

  1

  2

  1

  y = ax = − kx

  1 Kasus: a terlalu positif Kasus: a kurang positif

  Penurunan y di daerah negatif

  1 a <

1 Penurunan kurva y di daerah x

  sangat tajam negatif tidak terlalu tajam Kurva berpotongan dengan sumbu- di

  y 3 x

  Jika a terlalu negatif kurva berpotongan Tak ada titik potong dengan sumbu

  Kurva terlihat hanya memotong tiga tiga tempat. Akan tetapi perpotongan dengan sumbu- x di satu tempat di daerah x negatif sumbu-x di 2 titik yang ke-tiga berada jauh di daerah x positif

  Hanya ada satu titik potong di x Titik potong ke-3 jauh di sumbu-x positif negatif

  53

  54 Simetri

• jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan x

  − maka kurva fungsi tersebut simetris terhadap sumbu- y ;

• jika fungsi tidak berubah apabila x y dipertukarkan, dan kurva funsi tersebut simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
• jika fungsi tidak berubah apabila diganti dengan ,

  y − y kurva funsi tersebut simetris terhadap sumbu- x .

• jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan − x dan y , kurva fungsi tersebut simetris terhadap titik-asal

  − [0,0].

57 Titik Potong Dengan Sumbu Koordinat

  x − 1) > 0

  4

  Garis vertikal x = 0 dan x = 1 adalah asimptot dari kurva

  x = 1.

  = 0 dan

  x

  > 1 Tidak ada bagian kurva yang berada antara

  x

  < 0 atau

  x

  haruslah

  (

  Jarak Antara Dua Titik

  x

  tidak boleh < 0 agar

  x x x y

  −

  2

  10

  x x x y ) 1 (

  2

  2

  2

  4 y x

  Jika P[ x

  Suatu garis yang didekati oleh kurva namun tidak mungkin menyentuhnya, disebut asimptot

  1

  = − + − =

  2

  2

  1 PQ 3 (

  4 ) 8 (

  20 )

  [1,4] [3,8]

  4 x y

  3

  2

  8

  p ,y p

  6

  4

  2

  − y y x x + − = Contoh:

  ) ( ) ( PQ q p q p

  2

  2

  ], maka

  q ,y q

  ) dan Q[ x

  Contoh: ( 10 )

  58 Asimptot

  y

  x|

  Koordinat titik potong dengan sumbu- x dapat diperoleh dengan memberi nilai

  Dalam hal demikian ini kita membatasi x hanya pada rentang

  1 ≤ ≤ − x

  1

  Karena kurva ini simetris terhadap garis y = x , maka ia memiliki nilai juga terbatas pada rentang

  1 − 1 ≤ ≤ y

  < 0

  x 2)

  > 1, maka (1 -

  Apabila |

  = 0, sedangkan koordinat titik potong dengan sumbu-

  − ± =

  2 1 x y

  = + x y

  2

  2

  1

  Contoh:

  dan x yang kita perhatikan Kita menganggap bahwa bilangan negatif tidak memiliki akar, karena kita belum membahas bilangan kompleks

  y

  y

  y

  Nilai Peubah

  = + x y

  maupun sumbu-

  x

  = 1 Kurva fungsi ini tidak memotong sumbu-

  xy

  adalah R[0,1] dan S[0, − 1]

  y

  Titik potong dengan sumbu-

  x adalah P[1,0] dan Q[ − 1,0].

  Titik potong dengan sumbu-

  2

  diperoleh dengan memberi nilai x = 0. Apabila dengan cara demikian tidak diperoleh nilai

  2