4. Fungsi Peluang Gabungan Statdas 18.09

  Fungsi Peluang Gabungan Fungsi Peluang Gabungan MA 2081 Statistika Dasar Utriweni Mukhaiyar

  18 September 2012

  

Ilust rasi

Suatu perusahaan properti m em iliki banyak gedung/ bangunan yang ditawarkan

dengan kategori-kategori yang berbeda. dengan kategori kategori yang berbeda Misalkan diperhatikan kom ponen-kom ponen yang dim iliki suatu bangunan.

• Kekuatan bangunan •

  Banyak lantai

• Tinggi bangunan
• Banyak lift Banyak lift
• Tinggi bangunan Banyak pintu/ tangga
• Luas bangunan
• darurat Luas tam an/ daerah hijau
• Banyak ruangan • bangunan ....
• ... • KONTINU

  DISKRIT Misal peubah acak X m enyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y m enyatakan tinggi bangunan. m enyatakan tinggi bangunan

Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y ), yang disebut sebagai fu n gs i p e lu an g gabu n gan X d an Y . f(x<a, y <b) berm akna distribusi peluang dari kekuatan bangunan bernilai kecil f(x<a y <b) berm akna distribusi peluang dari kekuatan bangunan bernilai kecil dari a satuan kekuatan d an tinggi bangunan bernilai kecil dari b satuan tinggi. Ilust rasi Misalkan peubah acak X m enyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X _{1 2} m enyatakan banyak lift, peubah acak X k b k lif b h k X m enyatakan banyak ruangan. k b k ₃

f(x , x , x ) = P(X =x , X =x , X =x ) m enyatakan distribusi peluang dari kejadian

_{1 2 3 1 1 2 2 3 3} bersam a / serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang / g p g p g gabungan dari X , X , dan X . _{1 2 3} f(10 , 15 , 50 ) m enyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift d a n d 50 ruangan.

  Fungsi Peluang Gabungan F i P l G b

  1. P(X=x, Y=y)  0 untuk semua (x, y) D

     P X ( x Y , y ) 1

  I 2.

    S x y

  K R R

  3 U t k b d h A d l d h d fi i i b l k

  3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

  I T   P X Y [( , ) A ] f x y ( , )

   A

  1. f(x, y)  0 untuk semua (x, y) K

    2.

  O  f x y dxdy f x y dxdy ( , ) ( , )

1 N N

  1

       

  T

  I

3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku,

  N U  

  P X Y [( , ) A ] f x y dxdy ( , ) A

    C t h 1 Cont oh 1

• Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel

  

dan 3 pisang, diam bil secara acak 4 buah. J ika X adalah

banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel yang teram bil, hitung: yang teram bil, hitung:

  a. Fungsi peluang gabungan f(x,y )

  

b. P[(X,Y)A] dim ana A adalah daerah {(x,y )|x + y  2}

J awab:

a. Pasangan nilai (x,y ) yang m ungkin dari kasus di atas adalah; (0 ,1), (0 ,2), (1,0 ), (1,1), (1,2), (2,0 ), (2,1), (2,2), (3,0 ), (3,1).

  f( ) i l bil j k d i f(3,0 ) artinya peluang teram bil 3 jeruk dan 1 pisang.

  

Banyak cara yang m ungkin, pengam bilan 4 sam pel dari 8 adalah :

₈ C

₄

= 70 .

  Banyak cara yang m ungkin teram bilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : Banyak cara yang m ungkin, teram bilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah : ₃ C ₃ . ₃ C ₁ =1.3=3. Sehingga f(3,0 )=3/ 70 .

• Distribusi fungsi peluangnya:

  2 g(x)

  1 f f f f f

  

35

  9

  18

  3

  3

  2

           (0,1) (0, 2) (1, 0) (1,1) (2, 0)

  P X Y A P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y          

  [( , ) ] ( 2) ( 0, 1) ( 0, 2) ( 1, 0) ( 1, 1) ( 2, 0)

  1 b.

  

3/ 70

3 0 / 7 5 / 70 15 / 70

  9/ 70 3 0 / 7

  3/ 70 5 / 70

  [( ) ] ( 2) P X Y A P X Y    

  3

  8

  2

  3

  4            

  C C C Solusi 1

  Di t ib i f i l ^{3 2 3 4 8 4}

  4 ( , ) , 0,1, 2,3, 0,1, 2

  4

^{ }

       

  1 2/ 70 18/ 70 18/ 70 2/ 70 4 0 / 7 b

                ^{x y x y}

  C C C x y x y f x y x y C

  x f(x,y )

  1

  

2

3 h(y ) y

  

3/ 70 9/ 70 3/ 70

15 / 70

       Cont oh 2

  Suatu restoran cepat saji m enyediakan fasilitas pem esanan • untuk dibawa pulang m elalui drive in dan w alk in. Pada suatu t k dib l l l i d i i d lk i P d t hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk m enyiapkan pem esanan (dalam satuan waktu pelayanan) m asing-m asing untuk drive in dan w alk in, yang pelayanan) m asing-m asing untuk drive in dan w alk in yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y. Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: peubah acak tersebut adalah:

  2 

  ( x  2 ), 0 y   x 1, 0   y

  1 

  f x y ( , )

  3  

  0, x y x y , lainnya lainnya   a. Selidiki apakah f(x,y ) adalah fungsi peluang.

  b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditem ukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in d an w alk in m asing-m asing kurang dari setengah. fasilitas drive in d an w alk in m asing m asing kurang dari setengah Solusi 2 a. ^{1 1 1 1 1 2}

  2

  2 P X Y x y dxdy x yx dy

  1 ( 0 5 0 5) ( 2 ) ( P X 4 ) Y x y dxdy x yx dy

       

     _{1/2 1/2 2}

  ( 0.5, 0.5) ( 2 ) ( 4 )

  3

  3 1 1 1 1 1 1 1

  1

  1

  y dy y y

  ( ,y) g p g b. ^{1/2 1/2 1/ 2 1/2} ₂

           

                    

     

  3 4 3 4 3 4 2

  4

  8

  y y y y

             

  2

  1 

  1

  3

  1 ( , ) ( 2 ) ( 4 ) (1 4 )

  3

  3

  3

  f x y dxdy x y dxdy x yx dy y dy  

       

       _{0 0 1 2}

  3

  3

  3

  1

  1 ( 2 ) (1 2) 0

  3

  3

  y y  

      

       f(x,y) adalah fungsi peluang.

  3

   Fungsi Marj inal

  Misalkan peubah acak X dan Y m em iliki fungsi peluang gabungan

  f(x,y ). Notasikan fungsi peluang m arjinal untuk X adalah g(x) dan f( ) N ik f i l ji l k X d l h ( ) d fungsi peluang m arjinal untuk Y adalah h(y ).

  Untuk X dan Y diskrit. Untuk X dan Y diskrit • •

      g x ( ) f x y ( , ) P X ( x Y , y )

    y y y y h y ( )  f x y ( , )  P X (  x Y ,  y )

    x x

  

  Untuk X dan Y kontinu. k d k i

   

   g x ( ) f x y dy ( , )

  dan

  h y ( )  f x y dx ( , )  

    

   Cont oh 3 Cont oh 3 Perhatikan Contoh 1. • Tunjukkan bahwa total jum lah kolom dan baris dari • distribusi peluang f(x,y ) m asing-m asing adalah distribusi peluang m arjinal dari X dan Y. distribusi peluang m arjinal dari X dan Y.

  J awab : •

  2

  3

  5

  1        

  g g (0) (0) f f (0, 0) (0, 0) f f (0, ) (0,1) f f (0, 2) 0 (0, ) 0

  70

  70

  70

  14

  3

  18

  9

  30

  3        

  g g (1) ( ) f f (1, 0) ( ) f f (1,1) ( ) f f ( (1, 2) )

  70

  70

  70

  70

  70

  70

  70

  70

  7

  7

  9

  18

  3

  30

  3        

  g (2) f (2, 0) f (2,1) f (2, 2)

  70

  70

  70

  70

  7

  3

  2

  5

  1        

  g (3) f (3, 0) f (3,1) f (3, 2) Solusi 3 Solusi 3

• Distribusi peluang peubah acak X adalah : p g p

  x

  1

  2

  3 g(x) = P(X=x) 1/ 14 6/ 14 6/ 14 1/ 14

   Dengan cara yang sam a diperoleh distribusi peluang b h k Y d l h peubah acak Y adalah : y

  1

  2 h(y ) = P(Y=y ) 3/ 14 8/ 14 3/ 14 Cont oh 4 C t h 4 Perhatikan Contoh 2. Tentukan, •

  a. fungsi peluang m arjinal untuk X

  b. fungsi peluang m arjinal untuk Y c c. peluang bahwa fasilitas drive in m em butuhkan waktu peluang bahwa fasilitas drive in m em butuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan.

  J awab : J b

a. Misalkan fungsi peluang m arjinal X adalah g(x)

   ¹ _{1 1}

  2

  2

  2 ₂

  2

  2 g x ( )  f x y dy ( , )  ( x  2 ) y dy  ( xy  y )  ( x   1) 0

  2

     

  3

  3

  3 

  2

  2     ( x 1), 0 x

  1

  3 Solusi 4 Solusi 4

b. Misalkan fungsi peluang m arjinal Y adalah h(y )

   _{1 1}

  2 2 1 2 1     ₂

  h y ( )  f x y dx ( , )  ( x  2 ) y dx  x 

  2 yx   2 y     

   

  3 3 2 3 2    

  

  1

  4    

  y , 0 y

  1

  3

  3

  c. Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in c Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in

m em butuhkan waktu kurang dari satu setengah

satuan waktu pelayanan adalah P(X <1,5). p y ( ,5) _{1.5 1 1}

  2

  1 ₂

  2

  1          P X ( 1.5) g x dx ( ) ( x 1) dx x x (1 2) 0

   

  3

  3

  3

  3 

  

  1 Peluang Bersyarat g y Misalkan X dan Y adalah peubah acak, diskrit • f x y f x y ( , ) ( , ) atau kontinu. atau kontinu

    f y x ( | ) , g x ( ) 0 g x ( )

• Peluang bersyarat dari peubah acak Y jika

  diberikan X x adalah: diberikan X =x adalah:

f x y ( , )

  Peluang bersyarat dari peubah acak X jika •   f x y ( | ) , h y ( ) 0

h y ( ) diberikan Y=y adalah: Bebas St at ist ik Misalkan peubah acak X dan Y m em punyai • fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y ) fungsi kepadatan peluang gabungan f(x,y ) dengan fungsi peluang m arjinal m asing- m asingnya adalah g(x) dan h(y ). Peubah acak X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya d Y dik t k li b b jik d h jika, f x y f x y ( , ) ( )   g x h y g x h y ( ) ( ) ( ) ( ) untuk sem ua (x, y ) di dalam daerah definisinya.

Cont oh 5 C t h 5 Perhatikan Contoh 1. • Tentukan distribusi peluang bersyarat dari X jika • diberikan Y = 1. Hitung P(X=0 | Y=1)

• J a w a b : J a w a b :

  f x y ( , ) f x ( ,1)

     f x y ( | ) , h y ( ) 0 yaitu ( |1) f x h y ( )

  8 14 f (0,1) 2 70 1 f (1,1) 18 70

  9 f (0 |1)    , f (1|1)   

  8 14 8 14 20 8 14 8 14

  20 f f ( , ) (2,1) 18 70 9 f f (3,1) ( , ) 2 70

  1 f f (2 |1) (2 |1)    , f f (3 |1) (3 |1)   

  8 14 8 14 20 8 14 8 14

  20 

  Distribusi peluang bersyarat :

  1

  2

  3 x

  P(X=0 | Y=1) f(x| 1) 1/ 20 9/ 20 9/ 20 1/ 20 Cont oh 6 Perhatikan Contoh 2. • Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? • Apakah peubah acak X dan Y saling bebas? Karena, •

  2

  2

  1

  1

  2      

  2

  g x h y ( ) ( )  ( x  1) (1 4 )  y  (4 xy 

  4 y x   1)   

  3

  3

  9   

  2   

  ( ( x 2 ) 2 ) y f f x y ( ( , ) )

  3

• Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik. Maka X dan Y tidak saling bebas secara statistik.

  _{edited 20 11 by UM}

  18 Ref erensi 

  Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan , Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.

    Walpole, Ronald E., et.al, 2007, Statistitic for Walpole Ronald E et al 2007 Statistitic for Scientist and Engineering , 8th Ed., New Jersey: Prentice Hall.

   Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.