Barisan dan Deret Takhingga

Barisan Dan Deret
Tak Hingga
Matematika Wajib
Kelas XI

Disusun oleh :
Anna Mariska Diana P, S.Pd
dan Tim MGMP

Tahun Pelajaran 2016 – 2017

SMA Santa Angela
Jl. Merdeka No. 24 Bandung

=====================================================Matematika XI Wajib

Pengantar:
Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk
siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami
menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada
pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan

makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.

Tujuan Pembelajaran :
1. Memahami notasi sigma dengan baik.
2. Menganalisis dan membuat kategori dari unsur-unsur yang
terdapat pada pengertian barisan dan deret tak hingga
dengan tekun.
3. Mengingat kembali konsep barisan dan deret .
4. Menyelesaikan persoalan-persoalan yang terkait dengan
barisan dan deret dengan tekun.
5. Memahami deret konvergen dan tak konvergen.

Peta Konsep :

Barisan dan deret Tak Hingga

Konvergensi

Notasi Sigma

Deret

Konsep Barisan

Menghitung Barisan

Dan Deret

Dan Deret Tak Hingga

....................

hal 2

=====================================================Matematika XI Wajib

A. Prasyarat
1. Misal diketahui pola :
B, U, R, S, A, B, U, R, S, A, B, ...
Berdasarkan barisan tersebut, Tentukan :

a. Suku ke – 15
b. Suku ke – 18
c. Suku ke – 20
d. Suku ke – 1.000
e. Suku ke – 1.009
2. Suku-suku suatu barisan bilangan memenuhi rumus :
Un  7  5n . Tentukan :
a. Suku ke – 100
b. Jumlah 100 suku pertama
3. Jika jumlah n suku pertama suatu barisan adalah
Sn  3n2  4 . Tentukan suku ke – 200.
Ingat :
Barisan Aritmatika :

1. Barisan U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....

disebut barisan aritmatika

jika U n - U n-1 = konstan. U n disebut unsur ke n barisan itu,
dan konstanta tersebut disebut beda, yang dinotasikan

dengan b.
2. Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n, ....

merupakan

barisan

aritmatka dengan beda b dan unsur pertama U 1 = a, maka
rumus unsur ke n dari barisan itu adalah U n = a + (n - 1)b
3. Jika U 1, U 2, U3, ..., U n, ....

merupakan

barisan

aritmatka, maka U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n, ....disebut deret
aritmatika. U n disebut suku ke n dari deret itu.
....................

hal 3

=====================================================Matematika XI Wajib

4. Jumlah n suku deret aritmatika dengan beda b dan unsur
pertama U 1 = a adalah

Sn

1

= 2 n( a  U n ) atau

Sn

=

1
n( 2a  ( n  1)b ) .
2

Barisan Geometri :
U 1, U 2, U3,..., U n,...disebut barisan geometri jika
1. Barisan
Un
 konstan
U n 1
dengan
n = 2, 2, 3,....
Konstanta pada barisan geometri di
atas disebut rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan
dengan r.
2. Rumus unsur ke n barisan geometri U 1, U 2, U 3, U 4,..., U n,....
dengan
U 1 = a dan rasio r adalah: U n = ar
3. Jika U 1, U 2, U 3, ..., U n,....

n-1

merupakan barisan geometri

dengan unsur pertama adalah a = U 1 dan rasio r, maka
U1 + U2 + U3
geometri dengan
U n = ar

+

... +

U n + ....disebut deret

n-1

4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku
pertama a dan rasio r adalah:
Sn 

a (1  r n )
1 r

untuk r < 1 atau S n 

a (r n  1)
untuk r >
r 1

1
Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang
bersangkutan disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian
....................

hal 4

=====================================================Matematika XI Wajib

disebut deret divergen.
5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama
a dan rasio r adalah Sn =

a

1 r

B. Notasi Sigma
Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan di bawah ini :
1 + 2 + 3 + 4 + ....... + 50
Penulisan notasi sigma :

Bentuk umum :

Keterangan : 1 = batas bawah
n = batas atas
k = indeks
= suku umum
Contoh :
Nyatakan dalam bentuk penjumlahan

....................

hal 5

=====================================================Matematika XI Wajib
Jawab

:

= .......................................
Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :
a.

2 + 4 + 6 + 8 + 10
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 2 x 1 + 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 + 2 x 5
= 2 (1+2+3+4+5)

Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma :
a.
b.
c.

d.

4 + 8 + 12 + 16 + .... + 40
3 + 4+ 5 + 6 + ... +100
3 + 6 + 9 + ... + 24
1 2 3 4
   
2 3 4 5

e. ab5  a2b4  a3b3  a4b2

2. Tentukan apakah

3. Apakah

hasilnya sama dengan ( 7-3 +1) x 5

sama dengan

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2.

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3.

1 1
1
 
.
3 9 27

....................

hal 6

=====================================================Matematika XI Wajib

4.

1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan

bilangan yang

mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi  (dibaca:
sigma), sehingga jumlahan bilangan diatas dapat ditulis
kembali :
7

1 2 3  4 5  6  7   n

1.

n 1
6

2  4  6  8  10  12   2n

2.

n 1

3.

3
1 1
1
1
 
 n
3 9 27 n 1 3

4.

1  3  5  7  9   (2n  1)

5
n 1

Beberapa sifat notasi sigma
Jika m dan n adalah bilangan asli, dengan m ≤ n dan c  R
,maka berlaku:
n

n

n

km

km

km

1.  (ak  bk )   ak   bk
n

n

km

km

2.  cak  c  ak
n

p

p

km

kn1

km

3.  ak   ak   ak
n

4.  c  (n m 1)c , c Є R, c = konstanta
km

....................

hal 7

=====================================================Matematika XI Wajib
n

np

km

kmp

5.  ak  
n

n

np

km

kmp

akp atau  ak   akp

2

n

2

n

n

km

km

2

6.  (ak  bk )   ak  2  ak .bk   bk
km

km

5

Ex. 1 Nyatakan dalam bentuk penjumlahan  kk  1
k1

5

 kk  1  11 1  22 1  33 1  44  1  55 1

k1

 1 2 2 3 3 4  4 5 5 6
 2 6  12 20 30

Ex. 2 Tulislah bentuk penjumlahan berikut dalam notasi sigma:
a. 2+ 4 + 6 + 8 + 10
=2x1+2x2+2x3+2x4+2x5
=2(1 + 2 + 3 + 4 + 5)
5

=  2k
k1

b. 

1 2 3 4
  
2 3 4 5

1
2
3
4
2
3
4
 1
 1
 1
1 1
2 1
3 1
4 1
4

k k
  1 

k  1 
k 1
 1

c. ab5  a2b4  a3b3  a4b2
 a1b61  a2b62  a3b63  a4b64
4

  akb6k
k1

....................

hal 8

=====================================================Matematika XI Wajib

Ex. 3 Tentukan nilai dari :
10

a.  p
p1

6

2

b.  2n
n3
5

c.  2k  1
k1

3n  22n  3
n1
n  1
5

d. 

4

2

e.  3k  4
k2

Ex. 4 Buktikan :
n

2

n

n

k1

k1

2
 2k  4  4  k  16 k  16n

k1

Ex. 5 Ubahlah batas bawah sigma menjadi 4 dari notasi sigma
berikut:
a.

b.

46
10 k  6
k
k 6
 

k2 2k  1
k26 2k  6  1
k42k  13
4



10





2
 k 1

k6

C. Deret Khusus dalam Notasi Sigma
 Deret Bilangan Asli
Himpunan bilangan asli {1, 2, 3, 4, 5,....,n}
....................

hal 9

=====================================================Matematika XI Wajib

Suku ke- n adalah
Sn 

1
n1 n ,
2

n

 i

i1

Un  n

sehingga dapat ditulis :

1
n1 n
2

 Deret Kuadrat Bilangan Asli
Himpunan kuadrat bilangan asli 12 ,22 ,32 ,....,n2
Suku ke-n adalah Un  n2
1
nn  12n  1 ,sehingga
6

Sn 
n

i

2



i 1

dapat ditulis :

1
nn  12n  1
6

 Deret Kubik Bilangan Asli
n3
Himpunan kuadrat bilangan asli 13 ,23 ,33 ,....,

Suku ke-n adalah Un  n3
2

1

Sn   nn 1
2

n

1
2

, sehingga dapat ditulis :
2




3
 i   nn  1

i1

Ex. 6 Diketahui barisan : 1, 4, 9,16, 25, 36, ...., n 2. Tentukan jumlah dari
suku ke-50 sampai suku ke-60.
Ex. 7 Berapakan nilai dari 262  252  242  232  .... 42  32  22  12
Jawab :
....................

hal
10

=====================================================Matematika XI Wajib

262  252  242  232  .... 42  32  22  12

= 262  242  .... 42  22  252  232  .... 32  12 





 22 132  122  ....  22  12 

213 1

2

13

2

2

2

2

 212   1  ....  22  1  21 1

13



2

= 4 i   2i  1
i1
13

i1

2

13





2

= 4 i   4i  4i  1
i1

13

i1

2

13

2

13

13

i1

i1

= 4 i  4 i  4 i   1
i1

i1

13

= 4 i  113
i1

D. Barisan dan Deret Tak Hingga
Misal :
Barisan bilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...., 100 dinamakan barisan
berhingga.
Barisan bilangan
hingga.

1,

1 1 1
, , ,....
2 3 4

dinamakan barisan tak

Bagaimana dengan deret??
Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku barisan.
Misal : barisan
....................

u1 ,u2 ,u3,u4...

hal
11

=====================================================Matematika XI Wajib

Deret :

u1  u2  u3  u4  ...

Ex. 8 Tentukan suku ke-2, suku ke-5, dan suku ke 12 jika
diketahui un 

E.

1
n 1
2

Limit dari Suatu Barisan
Suatu bilangan L dikatakan sebagai limit dari sebuah
barisan tak berhingga u1 ,u2 ,u3,u4...apabila untuk setiap
bilangan Є > 0 yang diberikan (berapa pun kecilnya),
dapat ditrmukan sebuah bilangan N sedemikian sehingga
un L   ,untuk semua bilangan bulat n > N.
Misalnya : un  3

1 3n 1

.
n
n

Barisannya adalah 4.

Teorema Limit Pusat
an dan lim bn ada maka :
Jika diketahui nlim
 
n 

lim an  bn   lim an  lim bn

1.

n 

2.

n 

3.

n 

n 

lim an bn   lim an  lim bn

lim

n 

n 

n 

liman
an
n 

, asal lim bn  0
n 
bn
limbn
n 

4.

p

liman p  
an 
nlim

  


n 

Ex. 9 Diketahui sebuah barisan dengan rumus suku ke-n
adalah un 

n 1
.
n

Tentukan nilai limitnya.

Jawab :

....................

hal
12

=====================================================Matematika XI Wajib

lim un  lim
n

n 



n 1
1
1

 lim 1  lim1 lim  1 0  1
n  
n  n
n
n  n 

F. Barisan Konvergen dan Divergen
1. Konvergen
Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak
seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.
a. 1 + 2 + 4 + 8 + ....
b. 5 – 10 + 20 – 40 + ....
c. 1

1 1
  ....
2 4

d. 9 3 1

1
 ....
3

Dalam contoh a dan b rasionya 2 dan -2, jika deret
tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar
dan tak terbatas. Deret yang demikian disebut deret
divergen, dengan r  1 .
Dalam contoh c dan d rasionya

1
1
dan  ,
2
3

dapat

dihitung jumlahnya,deret ini disebut deret konvergen
dengan r  1 .
S  lim Sn  lim
n 

n 



a 1 rn
1 r



Karena deret konvergen
rn  0 ,sehingga :
S  lim Sn  lim
n 

n 



r  1 ,untuk

n → ∞ maka



a 1 rn
a arn a 0
a
 lim


n  1 r
1 r
1 r 1 r

Jadi rumus jumlah deret geometri tak hingga :
....................

hal
13

=====================================================Matematika XI Wajib

S 

a
, denganr  1
1 r

Ex. 10 Tentukan jumlah deret tak berhingga suku dari deret
berikut :
1
2

a. 1 

1 1
  ....
4 8

Deret ini konvergen,
Dengan a = 1 dan r =

a
1
1


2
1 S 
1
1
1 r 1
2
2
2

1 1

b. 221 2 4....
Deret ini konvergen,
Dengan a = 2 dan r =
Ex.

11

Sebuah

a
2

4
1 S 
,
1 r 1 1
2
2

bola

jatuh

dari

ketinggian

danmemantul kembali dengan ketinggian

3
kali
4

10

m

tinggi

sebelumnya.pemantulan berlangsung terus menerus
sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan
bola.
u0  10 m; r 
u1 

3
4

3
30
10 m
m
4
4

 3 


 u1 
S  10 2S  10 2
 10 2 4  70m
1 3 
1 r 


4

....................

hal
14

=====================================================Matematika XI Wajib

Cara lain :
Suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H secara vertikal
dan memantul ke atas dengan tinggi pantulan

a
b

kali dari

ketinggian semulamaka panjang lintasan pantulan
hingga berhenti adalah :

S

b  a
S  
H
b  a

Uji Rasio untuk Konvergensi Suatu Deret

Misal diketahui deret

dengan tanda yang sama

atau campuran (berselang-seling antara + dan -) kita dapat menunjukkan
konvergensinya dengan menggunakan uji rasio, yaitu dengan

Deret akan konvergen jika r < 1 dan divergen jika r > 1. Jika r = 1 maka uji
rasio gagal

....................

hal
15