BAB 3. LIMIT FUNGSI - BAB LIMIT FUNGSI

KALKULUS
Ilham
Saifudin
Outline

BAB 3. LIMIT FUNGSI

Program Studi Teknik Informatika
Fakultas Teknik
Universitas Muhammadiyah Jember

9th April 2018

KALKULUS
Ilham
Saifudin
Outline

1

Limit

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi

trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Definisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Makna limit secara intuisi
Untuk mengatakan bahwa

Limit

lim f (x) = L

Definisi Limit

x →c

Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit

berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f (x) dekat

Penyelesaian limit
Limit tak hingga

dengan L.

Limit fungsi
trigonometri

Contoh :
Carilah
lim (4x − 5)

x →3

dan
lim (x 2 − x − 6)

x →3

Definisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Makna limit secara intuisi

Untuk mengatakan bahwa

Limit

lim f (x) = L

Definisi Limit

x →c

Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit

berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f (x) dekat

Penyelesaian limit
Limit tak hingga

dengan L.

Limit fungsi
trigonometri

Contoh :
Carilah
lim (4x − 5)

x →3

dan
lim (x 2 − x − 6)

x →3

Definisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Makna limit secara intuisi
Untuk mengatakan bahwa

Limit

lim f (x) = L

Definisi Limit

x →c

Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit

berarti bahwa ketika x dekat tetapi berlainan dari c, maka f (x) dekat

Penyelesaian limit
Limit tak hingga

dengan L.

Limit fungsi
trigonometri

Contoh :
Carilah
lim (4x − 5)

x →3

dan
lim (x 2 − x − 6)

x →3

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Limit -limit satu sisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit

Definisi limit kiri dan limit kanan

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

bahwa
lim f (x) = L

x →c +

berarti bahwa ketika x dekat tetapi sebelah kanan c, maka f (x) dekat
dengan L. Demikian pula bahwa
lim f (x) = L

x →c −

berarti x dekat tapi pada sebelah kiri c, maka f (x) dekat dengan L.

Limit -limit satu sisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit

Teorema A

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

lim f (x)

Teorema limit

x →c

Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

jika dan hanya jika
lim f (x) = L

x →c +

dan
lim f (x) = L

x →c −

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Definisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit

Definisi limit kiri dan limit kanan
bahwa
lim f (x) = L

Definisi Limit

x →c

Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan
sedemikian rupa sehingga |f (x) − L| < ε asalkan 0 < |x − c| < δ yakni
0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

contoh
contoh yaitu buktikan bahwa
lim (3x − 7) = 5

x →4

Definisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit

Definisi limit kiri dan limit kanan
bahwa
lim f (x) = L

Definisi Limit

x →c

Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan
sedemikian rupa sehingga |f (x) − L| < ε asalkan 0 < |x − c| < δ yakni
0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

contoh
contoh yaitu buktikan bahwa
lim (3x − 7) = 5

x →4

Definisi
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit

Definisi limit kiri dan limit kanan
bahwa
lim f (x) = L

Definisi Limit

x →c

Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

berarti untuk tiap ε > 0 yang diberikan , terdapat δ > 0 yang berpadanan
sedemikian rupa sehingga |f (x) − L| < ε asalkan 0 < |x − c| < δ yakni
0 < |x − c| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε.

contoh
contoh yaitu buktikan bahwa
lim (3x − 7) = 5

x →4

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim k = k

Limit

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

lim x = c

Penyelesaian limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

3

lim kf (x) = k lim f (x)

x →c

x →c

4

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x →c

x →c

x →c

5

lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)

x →c

x →c

x →c

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim k = k

Limit

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

lim x = c

Penyelesaian limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

3

lim kf (x) = k lim f (x)

x →c

x →c

4

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x →c

x →c

x →c

5

lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)

x →c

x →c

x →c

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim k = k

Limit

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

lim x = c

Penyelesaian limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

3

lim kf (x) = k lim f (x)

x →c

x →c

4

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x →c

x →c

x →c

5

lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)

x →c

x →c

x →c

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim k = k

Limit

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

lim x = c

Penyelesaian limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

3

lim kf (x) = k lim f (x)

x →c

x →c

4

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x →c

x →c

x →c

5

lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)

x →c

x →c

x →c

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim k = k

Limit

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

lim x = c

Penyelesaian limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

3

lim kf (x) = k lim f (x)

x →c

x →c

4

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x →c

x →c

x →c

5

lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)

x →c

x →c

x →c

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim k = k

Limit

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

lim x = c

Penyelesaian limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

3

lim kf (x) = k lim f (x)

x →c

x →c

4

lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x)

x →c

x →c

x →c

5

lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x)

x →c

x →c

x →c

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)

Limit

x →c

x →c

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

f (x)
limx →c f (x)
=
g(x)
limx →c g(x)

lim

Penyelesaian limit

3

lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n

x →c

4

lim

x →c

x →c

p[f (x)] = q lim f (x)
n

n

x →c

asalkan
lim f (x) > 0

x →c

ketika n genap

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)

Limit

x →c

x →c

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

f (x)
limx →c f (x)
=
g(x)
limx →c g(x)

lim

Penyelesaian limit

3

lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n

x →c

4

lim

x →c

x →c

p[f (x)] = q lim f (x)
n

n

x →c

asalkan
lim f (x) > 0

x →c

ketika n genap

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)

Limit

x →c

x →c

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

f (x)
limx →c f (x)
=
g(x)
limx →c g(x)

lim

Penyelesaian limit

3

lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n

x →c

4

lim

x →c

x →c

p[f (x)] = q lim f (x)
n

n

x →c

asalkan
lim f (x) > 0

x →c

ketika n genap

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)

Limit

x →c

x →c

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

f (x)
limx →c f (x)
=
g(x)
limx →c g(x)

lim

Penyelesaian limit

3

lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n

x →c

4

lim

x →c

x →c

p[f (x)] = q lim f (x)
n

n

x →c

asalkan
lim f (x) > 0

x →c

ketika n genap

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Teorema limit utama
1

lim [f (x).g(x)] = lim f (x). lim g(x)

Limit

x →c

x →c

x →c

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

2

Teorema limit

x →c

Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

f (x)
limx →c f (x)
=
g(x)
limx →c g(x)

lim

Penyelesaian limit

3

lim [f (x)]n = [ lim f (x)]n

x →c

4

lim

x →c

x →c

p[f (x)] = q lim f (x)
n

n

x →c

asalkan
lim f (x) > 0

x →c

ketika n genap

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

Contoh
Carilah
1

lim 2x 4

Teorema limit

x →3

Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim (3x 2 − 2x)

x →3

3

lim

x →4

√

x2 + 9
x

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

Contoh
Carilah
1

lim 2x 4

Teorema limit

x →3

Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim (3x 2 − 2x)

x →3

3

lim

x →4

√

x2 + 9
x

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

Contoh
Carilah
1

lim 2x 4

Teorema limit

x →3

Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim (3x 2 − 2x)

x →3

3

lim

x →4

√

x2 + 9
x

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit

Contoh
Carilah
1

lim 2x 4

Teorema limit

x →3

Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim (3x 2 − 2x)

x →3

3

lim

x →4

√

x2 + 9
x

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit

Teorema subtitusi
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

Limit -limit satu sisi

lim f (x) = f (c)

Presisi limit

x →c

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

asalkan f (c) terdefinisi, nilai penyebut pada c tidak nol

Contoh
Carilah

x 3 + 3x + 7
x →1 x 2 − 2x + 1
lim

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit

Teorema subtitusi
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

Limit -limit satu sisi

lim f (x) = f (c)

Presisi limit

x →c

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

asalkan f (c) terdefinisi, nilai penyebut pada c tidak nol

Contoh
Carilah

x 3 + 3x + 7
x →1 x 2 − 2x + 1
lim

Teorema limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit

Teorema subtitusi
Jika f fungsi polinomial atau fungsi rasional, maka

Limit -limit satu sisi

lim f (x) = f (c)

Presisi limit

x →c

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

asalkan f (c) terdefinisi, nilai penyebut pada c tidak nol

Contoh
Carilah

x 3 + 3x + 7
x →1 x 2 − 2x + 1
lim

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi

1. Cara langsung
A. bila diperoleh bentuk tentu
1

x 2 + 3x
x →2 x 2 − 6

Presisi limit

lim

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim

x →2

x +4
x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu
menggunakan cara lain.

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi

1. Cara langsung
A. bila diperoleh bentuk tentu
1

x 2 + 3x
x →2 x 2 − 6

Presisi limit

lim

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim

x →2

x +4
x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu
menggunakan cara lain.

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi

1. Cara langsung
A. bila diperoleh bentuk tentu
1

x 2 + 3x
x →2 x 2 − 6

Presisi limit

lim

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim

x →2

x +4
x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu
menggunakan cara lain.

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi

1. Cara langsung
A. bila diperoleh bentuk tentu
1

x 2 + 3x
x →2 x 2 − 6

Presisi limit

lim

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim

x →2

x +4
x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu
menggunakan cara lain.

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi

1. Cara langsung
A. bila diperoleh bentuk tentu
1

x 2 + 3x
x →2 x 2 − 6

Presisi limit

lim

Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2

lim

x →2

x +4
x2 − 4

B. bila diperoleh bentuk tak tentu, maka diarahkan ke bentuk tentu
menggunakan cara lain.

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

2. Cara tidak langsung
A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

Limit

x 2 − 5x + 6
x →3 x 2 − 15x + 36
lim

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.
lim

x →c

Contoh:

f (x)
f ′ (x)
= lim ′
x →c g (x)
g(x)
x 3 − 27
x →3 x 2 − 3x
lim

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

2. Cara tidak langsung
A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

Limit

x 2 − 5x + 6
x →3 x 2 − 15x + 36
lim

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.
lim

x →c

Contoh:

f (x)
f ′ (x)
= lim ′
x →c g (x)
g(x)
x 3 − 27
x →3 x 2 − 3x
lim

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin

2. Cara tidak langsung
A. Dengan faktorisasi : bila bentuknya dapat difaktorkan

Limit

x 2 − 5x + 6
x →3 x 2 − 15x + 36
lim

Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

B. Dengan metode turunan : bila diperoleh bentuk tak tentu.
lim

x →c

Contoh:

f (x)
f ′ (x)
= lim ′
x →c g (x)
g(x)
x 3 − 27
x →3 x 2 − 3x
lim

Penyelesaian limit
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

2. Cara tidak langsung
√
√
C. Dengan perkalian
sekawan : bentuk ( a − b) sekawan
√
√ bentuk
dengan bentuk ( a + b). Contoh :
√
√
5x + 1 − 3x + 7
lim
x →3
6x − 18

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Limit tak hingga
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Bentuk

Limit

lim

Definisi Limit

x →∼

Limit -limit satu sisi

f (x)
g(x)

Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit

dimana

k
∼

= 0 dan

∼
k

=∼ A. Dapat dikatakan :

Limit tak hingga

ax m + bx m−1 + ...
x →∼ px n + qx n−1 + ...

Limit fungsi
trigonometri

lim

dengan :
1

a
p

bila m = n

2 ∼, bila m > n
3 0, bila m < n

Limit tak hingga
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Bentuk

Limit

lim

Definisi Limit

x →∼

Limit -limit satu sisi

f (x)
g(x)

Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit

dimana

k
∼

= 0 dan

∼
k

=∼ A. Dapat dikatakan :

Limit tak hingga

ax m + bx m−1 + ...
x →∼ px n + qx n−1 + ...

Limit fungsi
trigonometri

lim

dengan :
1

a
p

bila m = n

2 ∼, bila m > n
3 0, bila m < n

Limit tak hingga
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Bentuk

Limit

lim

Definisi Limit

x →∼

Limit -limit satu sisi

f (x)
g(x)

Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit

dimana

k
∼

= 0 dan

∼
k

=∼ A. Dapat dikatakan :

Limit tak hingga

ax m + bx m−1 + ...
x →∼ px n + qx n−1 + ...

Limit fungsi
trigonometri

lim

dengan :
1

a
p

bila m = n

2 ∼, bila m > n
3 0, bila m < n

Limit tak hingga
KALKULUS
Ilham
Saifudin

Bentuk

Limit

lim

Definisi Limit

x →∼

Limit -limit satu sisi

f (x)
g(x)

Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit

dimana

k
∼

= 0 dan

∼
k

=∼ A. Dapat dikatakan :

Limit tak hingga

ax m + bx m−1 + ...
x →∼ px n + qx n−1 + ...

Limit fungsi
trigonometri

lim

dengan :
1

a
p

bila m = n

2 ∼, bila m > n
3 0, bila m < n

MATEMATIKA DASAR
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

1

Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi trigonometri

Limit fungsi trigonometri
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

Dapat dengan cara :
1 Penjabaran rumus trigonometri
2 Dengan derivatif
3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

lim

x →0

tgx
sinx
= 1 , lim
= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2
x →0 x
x

Limit fungsi trigonometri
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

Dapat dengan cara :
1 Penjabaran rumus trigonometri
2 Dengan derivatif
3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

lim

x →0

tgx
sinx
= 1 , lim
= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2
x →0 x
x

Limit fungsi trigonometri
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

Dapat dengan cara :
1 Penjabaran rumus trigonometri
2 Dengan derivatif
3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

lim

x →0

tgx
sinx
= 1 , lim
= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2
x →0 x
x

Limit fungsi trigonometri
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri

Dapat dengan cara :
1 Penjabaran rumus trigonometri
2 Dengan derivatif
3 Dengan bentuk sudut mendekati 0

lim

x →0

tgx
sinx
= 1 , lim
= 1, dan 1 − cos2x = 2(sinx)2
x →0 x
x

Thank You
KALKULUS
Ilham
Saifudin
Limit
Definisi Limit
Limit -limit satu sisi
Presisi limit
Teorema limit
Penyelesaian limit
Limit tak hingga
Limit fungsi
trigonometri