MATEMATIKA DISKRIT II ( 2 SKS)

II ( 2 SKS)

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  1

  2006

  

Rabu, 18.50 – 20.20

Ruang Hard Disk

PERTEMUAN XI, XII

RELASI

  

Dosen

Lie Jasa

  2

  2006

  Graf (lanjutan) Matematika Diskrit

• • Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui

  masing-masing sisi di dalam graf tepat satu kali.
• Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu kali..

• • Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut

  4

  4 5 e (d) (e) (f)

  

3

  2

  1

  7 (a) (b) (c) (a) dan (b) graf semi-Euler, (c) dan (d) graf Euler , (e) dan (f) bukan graf semi-Euler atau graf Euler a b e d c f b a c d

  6

  5

  4

  3

  2

  1

  

6

  5

  3

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  

2

  1

  4

  3

  2

  1

  

contoh

  2006

  4

  graf Euler (Eulerian graph). Graf yang

mempunyai lintasan Euler dinamakan juga

graf semi-Euler (semi-Eulerian graph).

  

Lintasan dan Sirkuit Euler

  2006

  3

  Lintasan Euler pada graf (a) : 3, 1, 2, 3, 4, 1 Lintasan Euler pada graf (b) : 1, 2, 4, 6, 2, 3, 6, 5, 1, 3 Sirkuit Euler pada graf (c) : 1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1 Sirkuit Euler pada graf (d) : a, c, f, e, c, b , d, e, a, d, f, b , a Graf (e) dan (f) tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit Euler

  Teorema-teorema

• TEOREMA 6.2. Graf tidak berarah memiliki lintasan Euler jika

  dan hanya jika terhubung dan memiliki dua buah simpul

  berderajat ganjil atau tidak ada simpul berderajat ganjil sama sekali.
• TEOREMA 6.3. Graf tidak berarah G adalah graf Euler

  (memiliki sirkuit Euler) jika dan hanya jika setiap simpul

  berderajat genap.
• (Catatlah bahwa graf yang memiliki sirkuit Euler pasti mempunyai lintasan Euler, tetapi tidak sebaliknya)
• TEOREMA 6.4. Graf berarah G memiliki sirkuit Euler jika dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki derajat- masuk dan derajat-keluar sama. G memiliki lintasan Euler jika

  dan hanya jika G terhubung dan setiap simpul memiliki

  derajat-masuk dan derajat-keluar sama kecuali dua simpul, yang pertama memiliki derajat-keluar satu lebih besar derajat-

  masuk, dan yang kedua memiliki derajat-masuk satu lebih

  besar dari derajat-keluar.

  5

  2006 Graf (Lanjutan) dan Pohon

  Ilustrasi a b d c d c g f c a b a b e d

  (b) (c) (a) (a) Graf berarah Euler (a, g, c, b, g, e, d, f, a) (b) Graf berarah semi-Euler (d, a, b, d, c, b) (c) Graf berarah bukan Euler maupun semi-Euler

  6

  2006

  Hamiltonian cycles

• Traveling salesperson

  problem

• – To visit every vertex of a graph G only once by a simple cycle.
• – Such a cycle is called a Hamiltonian cycle.
• – If a connected graph G has a Hamiltonian cycle, G is called a Hamiltonian graph.

  7

  2006 Graf (Lanjutan) dan Pohon

  Lintasan dan Sirkuit Hamilton

• • Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui

  tiap simpul di dalam graf tepat satu kali.

• • Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap

  simpul di dalam graf tepat satu kali, kecuali

  simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui dua kali.

• • Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan

  

graf Hamilton, sedangkan graf yang hanya

memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi- Hamilton.

  8

  2006

  Ilustrasi

  9

  2006 Graf (Lanjutan) dan Pohon

  Teorema

• • TEOREMA 6.5. Syarat cukup (jadi bukan syarat perlu)

  supaya graf sederhana G dengan n ( 3) buah simpul

  ≥ adalah graf Hamilton ialah bila derajat tiap simpul paling sedikit n/2 (yaitu, d(v) n/2 untuk setiap simpul v di G).

  ≥

• TEOREMA 6.6. Setiap graf lengkap adalah graf Hamilton.
• TEOREMA 6.7. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3), terdapat (n - 1)!/2 buah sirkuit Hamilton.

  ≥

• TEOREMA 6.8. Di dalam graf lengkap G dengan n buah simpul (n 3 dan n ganjil), terdapat (n - 1)/2 buah sirkuit

  ≥ Hamilton yang saling lepas (tidak ada sisi yang

beririsan). Jika n genap dan n 4, maka di dalam G

  ≥

terdapat (n - 2)/2 buah sirkuit Hamilton yang saling

lepas.

  10

  2006 contoh

• (Persoalan pengaturan tempat duduk).

  

Sembilan anggota sebuah klub bertemu

tiap hari untuk makan siang pada sebuah meja bundar. Mereka memutuskan duduk sedemikian sehingga setiap anggota mempunyai tetangga duduk berbeda pada setiap makan siang. Berapa hari pengaturan tersebut dapat dilaksanakan?

• • Jumlah pengaturan tempat duduk yang

  berbeda adalah (9 - 1)/2 = 4.

  11

  2006 Graf (Lanjutan) dan Pohon

  Dengan graf

  9

  8

  1

  

2

merepresentasikan persoalan pengaturan

  6 tempat duduk

  3

  5

  12

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  15

  6

  

4

  3

  

2

  1

  

20

  10

  20

  40

  15

  13

  3

  30

  35

  10

  50

  

45

  2006

  14

  2006

  5

Beberapa Aplikasi Graf

• graf berbobot (weighted graph),

  • lintasan terpendek: lintasan yang memiliki total bobot minimum.

• Contoh aplikasi:

• • Terdapat beberapa jenis persoalan lintasan terpendek, antara lain:

  1. Lintasan terpendek antara dua buah simpul tertentu.

• • Diberikan graf berbobot G = (V, E) dan sebuah simpul

  15

  3

  5

  6

  

4

  3

  

2

  1

  

20

  10

  20

  40

  15

  15

  30

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  10 contoh

  50

  

45

  

lainnya di G. Asumsi yang kita buat adalah bahwa

semua sisi berbobot positif.

  Uraian Persoalan

  2006

  16

  

4. Lintasan terpendek abtara dua buah simpul yang melalui

beberapa simpul tertentu. ==> Di dalam kuliah ini kita memilih jenis persoalan 3.

  3. Lintasan terpendek dari simpul tertentu ke semua simpul yang lain.

  2. Lintasan terpendek antara semua pasangan simpul.

  2. Menentukan waktu tersingkat pengiriman pesan (message) antara dua buah terminal pada jaringan komputer.

  1. Menentukan jarak terpendek/waktu tempuh tersingkat/ongkos termurah antara dua buah kota

  35

  45

  1

  50

  2

  10

  5

  40

  15

  35

  20

  10

  20

  30

  3

  15

  4

  

3

  6 Tentukan lintasan terpendek dari simpul 1 ke semua simpul lain.

  17

  2006 Graf (Lanjutan) dan Pohon

  18

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  19

  2006

  Algoritma lintasan terpendek

  20

  2006

  

Algoritma Lintasan Terpendek Dijkstra

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  21

  2006

  contoh

  22

  2006

• • Pohon adalah graf tak-berarah terhubung yang tidak

  mengandung sirkuit

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  23

  2006

  

Pohon / tree

• kumpulan pohon yang saling lepas, atau

  graf tidak terhubung yang tidak mengandung sirkuit.

  Setiap komponen di dalam graf terhubung tersebut adalah pohon.
• Pohon mempunyai bilangan kromatis = 2.

  24

  2006

  Hutan (forest)

  Hutan yang terdiri dari tiga buah pohon

• • Teorema. Misalkan G = (V, E) adalah graf tak-berarah

  sederhana dan jumlah simpulnya n. Maka, semua

  pernyataan di bawah ini adalah ekivalen: – G adalah pohon.
• – Setiap pasang simpul di dalam G terhubung dengan lintasan tunggal.
• – G terhubung dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
• – G tidak mengandung sirkuit dan memiliki m = n – 1 buah sisi.
• – G tidak mengandung sirkuit dan penambahan satu sisi pada graf akan membuat hanya satu sirkuit.
• – G terhubung dan semua sisinya adalah jembatan.

• • Teorema di atas dapat dikatakan sebagai definisi lain

  dari pohon.

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  25

  2006

  Sifat-sifat Pohon

Pohon Merentang (spanning tree)

• • Pohon merentang dari graf terhubung adalah

  upagraf merentang yang berupa pohon.

• • Pohon merentang diperoleh dengan memutus

  sirkuit di dalam graf.

  26

  2006

Aplikasi Pohon Merentang

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  27

  2006

  28

  2006

  Pohon Rentang Minimum

Algortima Prim

• Langkah 1: ambil sisi dari graf G yang berbobot minimum, masukkan ke dalam T.
• Langkah 2: pilih sisi (u, v) yang mempunyai bobot minimum dan bersisian dengan simpul di

  T, tetapi (u, v) tidak membentuk sirkuit di T.

  Masukkan (u, v) ke dalam T.

• • Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n – 2

  kali.

• • Jumlah langkah seluruhnya di dalam algoritma

  Prim adalah
• 1 + (n – 2) = n – 1
• yaitu sebanyak jumlah sisi di dalam pohon rentang dengan n buah simpul.

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  29

  2006

  30

  2006

  Algoritma Prim

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  31

  2006

  Contoh

  32

  2006

  33

  2006 Graf (Lanjutan) dan Pohon

Algoritma Kruskal

• ( Langkah 0: sisi-sisi dari graf sudah diurut menaik berdasarkan bobotnya – dari bobot kecil ke bobot besar)
• Langkah 1: T masih kosong

• • Langkah 2: pilih sisi (u, v) dengan bobot

  minimum yang tidak membentuk sirkuit di T. Tambahkan (u, v) ke dalam T.

• • Langkah 3: ulangi langkah 2 sebanyak n

  – 1 kali.

  34

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  35

  2006

  Algoritma Kruskal

  36

  2006

  Contoh

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  37

  2006

  38

  2006

  Pohon Berakar

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  39

  2006

  Pohon Berakar

Terminologi pada Pohon Berakar

  40

  2006

  a b k g j f c d m l i e h

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  41

  2006

  Derajat (Degree)

  42

  2006

  Daun (leaf)

Tinggi (height) atau Kedalaman (depth)

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  43

  2006

  44

  2006

  Pohon m-ary

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  45

  2006

  Pohon Biner

  46

  2006

  Pohon Biner

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  47

  2006

  48

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  49

  2006

  50

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  51

  2006

  52

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  53

  2006

  54

  2006

  Graf (Lanjutan) dan Pohon

  55

  2006

  selesai