K eg ia ta n B el a ja r1
Kegiatan Belajar 1
i kegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat :
a. Menjelsakan arti derajat dan radian
b. Menentukan sinus, kosinus dan tangen suatu sudut dengan perbandingan trigonometri segitiga siku-siku.
c. Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut istimewa
d. Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada berbagai kuadran.
e. Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut berelasi
B. Uraian Materi 1
Derajat dan Radian
Satuan yang biasa kita gunakan untuk mengukur sudut adalah derajat.
r 1 radian
Pada gambar di atas O adalah pusat lingkaran, dan A adalah titik pada lingkaran, jika A bergrak berlawanan arah jarum jam dengan pusat O dan kembali ke
A , maka dikatakan A telah berputar satu putaran atau OA telah bergerak 360 o , Jadi
1 = putaran . 360
Selain satuan derajat kita juga dapat menggunakan satuan lain untuk mengukur sudut yakni satuan radian. Satu radian adalah besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Jika kita perhatikan gambar di atas maka
OA dan OB adalah jari-jari lingkaran dengan panjang r. AB = OA = r Jadi besar ∠AOB = 1 radian. Kita ketahui bahwa keliling lingkaran adalah 2 πr satuan, maka besar sudut satu putaran penuh adalah 2 π radian, sedangkan dalam satuan derajat satu putaran adalah 360 o , sehingga kita dapatkan hubungan
2 o π radian = 360 360 o
π o radian = = 180
, dengan π = maka
1 o radian = 57 , 3
1. Ubahlah ke dalam ukuran radian
a. 30 o b. 150 c. 240 d. 300 e. 390 Penyelesaian
a. Diketahui 1 o =
radian , maka
oo
30 = 30 × radian 180
radian
= radian
b . 150 = 150 ×
oo
radian
radian
radian radian
d . 300 = 300 × radian 180
e . 390 = 390 × radian 180
2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat
a. π radian
d. π radian
b. π radian
e. π rad
c. π radian
6 Penyelesaian
180 o
a. Diketahui o 1 radian = atau 1 radian = 57 , 3
4 o 4 π 180 π radian =
= o 4 () 60 = o 240
5 o 5 π 180
b . π radian = ×
= o 5 () 60
= 300 o
7 o 7 π 180
c . π radian = ×
= o 7 () 30
= 210 o
5 o 5 π 180
d . π radian = ×
= o 5 () 15 = o 75
13 o 13 π 180
b . π radian = ×
= o 12 () 15 = o 180
Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku
2 B (x ,y 2 )
u d su
r hipotenusa
an ap y ad h i
Sisi dekat sudut
Perhatikan segitiga siku-siku ABC di atas dari ketiga panjang sisi kita bisa membuat
AC x AB y BC r BC r enam perbandingan sisi, yakni,
Keenam perbandingan tersebut masing-masing diberi nama sinus (sin), kosinus (cos), tangent (tan), kosekan (cosec), sekain (sec) dan kotangen (cot). Perbandingan din atas disebut sebagai perbandingan trigonometri. Jadi perbandingan trigonometri adalah perbandinga atau rasio antar sisi-sisi pada segitiga siku-siku. Berdasarkan uraian di atas maka dapat ditarik definisi sebagai berikut :
sisi hadap θ
AB y
Sin θ =
hipotunesa
BC r
sisi dekat θ
AC x
Cos θ =
hipotunesa
BC r
Sisi hadap θ
AB y
Tan θ =
sisi dekat θ
Co sec θ =
Sisi hadap θ
Sec θ =
Sisi dekat θ
AC x
Sisi dekat θ
AC x
Cot θ =
sisi hadap θ
AB y
Contoh :
1. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di A, panjang sisi a = 5 cm, b =
3 dan c = 4, dan ∠ABC adalah , Tentukan perbandingan trigonometri sudut . Penyelesaian
2. Jika sin θ = tentukan perbandingan trigonometri lainnya.
2 Penyelesaian Gambarlah segitiga siku-siku dari informasi pada soal.
C Dengan menggunakan teorema
2 Pythagoras maka kita panjang AB
2 dapat diketahui:
2 2 AB 2 = BC − AC
2 AB 2 = BC − AC
2 AB 2 = 2 − ()
2 AB = 4 − 2 AB = 2
Sehingga nlai perbandingan tigonometri dapat kita tentukan, yaitu :
AC 2 BC 2
sin θ = =
Co sec θ =
BC 2 AC 2
AB 2 BC 2
Cos θ = =
Sec θ =
BC 2 AB 2
AC 2 AB 2
Tan θ = =
= 1 Cot θ
AB 2 AC 2
3. Diketahui Cos θ = x , sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya. Penyelesaian Gambarlah segitiga siku-siku dari informasi pada soal.
Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka pajang PQ kita temukan PR
QR 2 = 2 − PQ
2 PR 2 = 1 − x PR 2 = 1 − x Sehingga nilai perbandingan tigonometri dapat kita tentukan, yaitu :
Perbandingan trigonometri pada sudut istimewa
Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai fungsi trigonometri dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan table trigonometri atau kalkulator. Sudut istimewa yang
dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya : 0 o , 30 , 45 , 60 , dan 90 . Nilai fungsi trigonometri sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan cara
menggambarkan masing-masing sudut tersebut pada bidang cartesius, kemudian dicari perbandingan sisi-sisinya.
a). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 0 o
Jika sudut =0 o , maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu x positif. Koordinat titik P adalah (r, 0) sehingga r = x dan y = 0
Dengan demikian nilai-nilai fungsi trigonometri sudut
0 o dapat ditentukan sebagai berikut :
b). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 30 o
Jika sudut = 30 o , maka koordinat titik P adalah ( 3 , 1) sehingga absis x = 3 , ordinat y = 1, maka dengan Pythagoras didapat r = 2
Dengan demikian nilai-nilai fungsi trigonometri sudut y o 30 dapat ditentukan sebagai berikut :
c). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 45 o
Jika sudut o = 45 , maka koordinat titik P adalah (1, 1) sehingga absis x =1, ordinat y = 1, maka dengan Pythagoras didapat r = 2
Dengan demikian nilai-nilai fungsi trigonometri sudut
45 o dapat ditentukan sebagai berikut :
P(1, 1)
sin 45 = =
r= 2 •
y=1 45 o
cos 45 = =
x=1
y 1 tan 45 = = = 1 y 1 tan 45 = = = 1
Jika sudut = 60 o , maka koordinat titik P adalah (1,
3 ) sehingga absis x =1, ordinat y =
3 , maka dengan Pythagoras didapat r = 2 Dengan demikian nilai-nilai fungsi trigonometri sudut
60 o dapat ditentukan sebagai berikut :
e). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 90 o
Jika sudut o = 90 , maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu y positif. Koordinat titik P adalah (0, r) sehingga x = 0 dan y = r
Dengan demikian nilai-nilai fungsi trigonometri sudut
90 o dapat ditentukan sebagai berikut :
• P(0,r)
y r tan 90 = = ( tak terdefinis i )
Dari uraian di atas maka nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa adalah sebagai berikut :
Sudut
Perbandingan Trigonometri
0 o 30 45 60 90
Sinus (sin)
Kosinus (cos)
1 Tidak Tangen (tan)
3 3 terdefinisi
Contoh :
1. o Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan panjang sisi a = 4 cm dan ∠A = 60 , tentukan panjang sisi c dan b.
A b C maka
b 2 = 3 − () 4
2. Roni mengukur bayangan sebuah tiang di tanah, dan ternyata panjangnya 4,8 m. Ia lalu mengukur sudut antara ujung bayangan dengan ujung tiang dan hasilnya 60 o , maka tinggi tiang sebenarnya adalah… Penyelesaian
A jadi tinggi tiang adalah 4 , 8 3 m
C 4,8 m
3. Pada segitiga siku-siku, dengan siku pada B, panjang sisi c = 27 3 cm. panjang sisi
a = 81 cm, maka besar sudut C adalah….. Penyelesaian
Jadi o besar sudut C adalah = 30
4. Nilai dari cos 30 o cos 60 + sin 30 cos 60 Penyelesaian
cos 30 o cos 60 o + sin 30 o cos 60 o
Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi
a). Pada kuadran Pertama
Pada gambar di samping OP’ adalah
y=x
bayangan dari OP yang dicerminkan Q’ y • P’ (x’, y’)
terhadap garis y = x
∆OQ’P’ dan ∆OQP kongruen, maka
y • 90 P (x, y) -
OQ’ = OQ =x
P’Q’ = PQ =y
Koordinat P’ adalah (x’, y’) dengan x’ = y dan y’ = x. Jadi koordinat P’(y, x).
Sudut QOP’ = 90 o -
Sin (90 o
x - )= = cos
sin (90 o – ) = cos
Cos (90 –)= = sin
cos (90 o – ) = sin
Tan (90 o
x –)= = cot
tan (90 o – ) = cot tan (90 o – ) = cot
Pada gambar di samping ∆OQ’P’ adalah bayangan dari ∆OQP yang dicerminkan
P’(x’, y’) •
• P(x, y)
180 o -
terhadap sumbu y
yr
∠Q’OP’ = = ∠QOP
∠QOP’ = 180 – Maka
Q’ -x
y –)= = sin r
Sin (180 o
− x Cos(180 – )=
= -cos r
y Tan (180 –)=
= - tan − x
Contoh :
1. sin 113 o = sin (180 – 67) = sin 67
2. cos 136 o = Cos (180 – 44) o = - cos 44 o
3. tan 95 o = tan (180 – 85) = - tan 85
c). Pada Kuadran Ketiga
Pada gambar di samping ∆OQ’P’ adalah bayangan dari ∆OQP yang dicerminkan
• P(x, y)
terhadap titik O
∠Q’OP’ = = ∠QOP
− y Sin (180 +)=
= - sin P’(- x, - y) •
Cos(180 o + )= = -cos r
Tan (180 o
y +)= = tan
Contoh
1. sin 190 o = sin (180 + 10) = - sin 10
2. cos 250 o = cos (180 + 70) o = - cos 70 o
3. tan 205 o = tan (180 + 25) = tan 25
d) Pada Kuadran Keempat
Pada gambar di samping ∆OQP’ adalah
• P(x, y)
bayangan dari ∆OQP yang dicerminkan
terhadap sumbu x
∠QOP’ = = ∠QOP
-y
∠QOP’ = 360 o -
Maka • P’ (x’, - y)
− y Sin (360 -)=
= - sin r
x Cos(360 - )= = cos
− y Tan (360 -)=
= -tan x
Nilai Perbandingan Trigonometri di berbagai kuadran
Kuadran II : 90 0 β < 180 0 Kuadran I : 0 α < 90 0
Sin α = cos (90 0 - α) - Cos β= cos (180 - β)
Sin β = Sin (180 0 - β)
- Tan β = tan (180 - β )
Tan α = cot (90 - α)
0 0 Kuadran IV : 270 0 γ < 360 Kuadran III: 180 0 θ < 270 (-) Sin γ = - y/r
- Sin γ = Sin (180 - γ)
- Sin θ = Sin (180 0
Cos γ= cos (180 0 - Cos θ= cos (180 0
- Tan γ = tan (180 - γ ) Tan θ = tan (180 + θ )
Contoh
1. Nilai dari o sin 135 + cos 315 + tan 300 Penyelesaian
sin o 135 + cos 315 + tan 300
oo
0 sin o ( 180 − 45 ) + cos ( 360 − 45 ) + tan ( 360 − 60 )
sin o 45 + cos 45 + tan ( − 60 )
2. Jika cos θ = dan terletak di kuadran empat, maka nilai sin dan tan adalah..
4 Penyelesaian
Diketahui : cos θ = , maka nilai x = 3 dan r = 4
2 y 2 = r − x y = 16 − 9
y = 7 Karena terletak dikuadran empat maka nilia sin dan tan adalah negatif y
3. Suatu sudut terbentuk antara sumbu x dan garis yang melelui titik pusat O dan titik (5, - 6). Jika diketahui sudut lain yang terbentuk antara sumbu x dan garis yang melalui titik (- 5, 6) dan titik pusat, tentukanlah perbandingan nilai kedua sinus kedua sudut tersebut. Penyelesaian
Perhatikan grafik di samping, maka.
6 Jadi perbandingannya
C. Rangkuman 1
1. Hubungan derajat dan radian adalah 180 o
1 o rad = atau π rad = 180 π
2. Misalkan ∆ ABC siku-siku di B, dengan ∠A = , Sisi miring AC disebut hipotunesa, BC sisi hadap dan AB sisi dekat, maka :
sisi hadap θ hipotenusa
a ) Sin θ =
d ) Co sec θ =
hipotunesa Sisi hadap θ sisi dekat θ
hipotunesa Sisi dekat θ Sisi hadap θ
Sisi dekat θ
c ) Tan θ =
f ) Cot θ =
sisi dekat θ sisi hadap θ 3. Nilai perbandingan trigonometri pada susut istimewa adalah
Sudut
Perbandingan Trigonometri
Sinus (sin) 0 2 3 1
Kosinus (cos) 1 3 2 0
Tangen (tan) 0 3 1 Tidak
3 3 terdefinisi 4. Rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi
a). Pada kuadran I Sin (90 o - ) = cos Cos (90 o – ) = sin Tan (90 o – ) = cot
b). Pada kuadran II Sin (180 o – ) = sin Cos(180 o – ) = - cos Tan (180 o – ) = - tan
c). Pada kuadran III Sin (180 o + ) = - sin
Cos(180 o + ) = -cos Tan (180 o + ) = tan
d). Pada kuadran IV Sin (360 o - ) = - sin
E. Tes Formatif 1
1. Nilai 2 π rad adalah…
2. Perhatikan gambar di bawah, jarak titik R dengan garis horizontal adalah….
2 cm
a. ( 3 + 3 ) cm
30 o
b. ( 2 + 3 ) cm
3. Jika P (- 2, - 2) dan adalah sudut antar sumbu x dengan garis yang melalui titik P dan titik asal, maka nilai cos adalah..
4. o Jika sin a = , untuk 90 < a < 180 maka cos a adalah..
d.
a. −
5. Segiempat ABCD di bawah, siku-siku di A dan C, ∠ ABD = , ∠CBD = . Jika AD = p, maka BC =…
6. Segitiga ABC siku-siku di A. jika BC = p, AD ⊥ BC, DE ⊥ AC dan sudut B = ,
maka panjang DE =…..
7. Jika o = 30 , nilai m dan n berturut-turut adalah…
8. Diketahui tan θ = maka sec adalah…
a. 41 d. 2
11. Diketahui sin 40 o = 0,6428; cos 40 = 0,766 dan tan 40 = 0,8391. maka nilai dari
sin 140 o + cos 220 – tan 320 adalah…
13. Diketahui tan x = 2,4 dengan x dalam selang ( π , π ) , maka sin x = ….
14. Nilai dari – 4 tan π. sin π = ….
15. Bentuk sederhana dari cos(90 + A) + sin ( 180 – A) – sin ( 180 + A) – sin( - A) adalah ….
16. Cos (270 – p ) o = ….
17. Nilai dari – 4 tan π. sin π = ….
18. Nilai cos 1110 0 adalah….
Pada gambar di atas nilai (p x q) adalah…
a. 3 3 d. 6 3
b. 6
e. 13 ½ e. 13 ½
20. Diketahui cos α =
3 untuk 0 < < 180 Nilai sin (- ) =..
a. 2 d. −
b. 3 e.
c. −