Variabel Acak Diskrit dan Distribusinya (1)
Variabel Acak Diskrit dan Distribusinya
Tujuan Menentukan probabilitas dari fungsi-fungsi probabilitas massa dan
kebalikannya. Menentukan probabilitas dari fungsi distribusi kumulatif dan fungsi
distribusi kumulatif dari fungsi probabilitas massa, dan kebalikannya. Menghitung
rat-rata dan varians dari variable-variable acak diskrit. Mengerti asumsi-asumsi
dari masing-masing distribusi probabilitas diskrit. Memilih distribusi probabilitas
diskrit untuk menghitung probabilitas yang sesuai pada aplikasi khusus.
Menghitung probabilitas, menentukan rata-rata dan varians untuk tiap-tiap
distribusi probabilitas diskrit.
Contoh Pada proses pembuatan semikonduktor, dua wafer dari satu lot
produksi dites. Tiap wafer digolongkan sebagai gagal (fail) atau lulus(pass).
Diasumsikan bahwa bahwa probabilitas lulus adalah 0,8 dan wafer-wafer adalah
independen. Sebagai contoh, karena independen, probabilitas bahwa wafer
pertama lulus dan wafer kedua gagal tes, yang dilambangkan sebagai pf, adalah
Variabel acak X didefinisikan sebagai sama dengan jumlah wafer yang lulus.
Kolom terakhir menunjukkan nilai X yang merupakan hasil dari eksperimen.
Distribusi Probalitas dan Fungsi Massa Probabilitas Distribusi probabilitas
dari sebuah variable acak X adalah sebuah diskripsi dari probabilitas dikaitkan
dengan nilai-nilai yang mungkin dari X. Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah
bit yang dilewatkan sebuah saluran transmisi digital akan menerima error.
Misalkan X adalah sama dengan jumlah bit error dalam empat bit yang
dilewatkan. Nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan
sebuah model, probabilitas untuk nilai-nilai ini adakan ditentukan. Misalkan
bahwa probabilitasnya adalah: Distribusi probabilitas dari X dinyatakan oleh
nilai-nilai yang mungkin bersama-sama dengan masing-masing probabilitasnya.
Definisi Untuk sebuah variable acak diskrit X dengan nilai-nilai yang
mungkin x 1, x 2, …, x n, sebuah fungsi probabilitas massa adalah sebuah fungsi
sehingga Dari contoh sebelumnya: Dimana jumlah keseluruhannya adalah 1.
Fungsi distribusi kumulatif Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah
variable acak diskrit X adalah: Fungsi tersebut mempunyai sifat-sifat: Pada contoh
sebelumnya, kemungkinan bahwa tiga atau kurang bit akan mengalami error dapat
dinyatakan sbb:
Contoh Tentukan fungsi probabilitas massa dari fungsi distribusi kumulatif
berikut ini Dari gambar, titik-titik yang mempunyai probabilitas tidak nol adalah
-2, 0, and 2. Fungsi probabilitas massa pada tiap titik adalah perubahan dari fungsi
distribusi kumulatif pada titik tersebut. Sehingga Rata-rata dan varians dari
sebuah variabel acak diskrit Rata-rata: Varians: Standar deviasi:
Contoh Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah bit yang dilewatkan
sebuah saluran transmisi digital akan menerima error. Misalkan X adalah sama
dengan jumlah bit error dalam empat bit yang dilewatkan. Nilai yang mungkin
untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan sebuah model, probabilitas untuk
nilai-nilai ini adalah: (rata-rata) (varians)
Distribusi binomial Sebuah experimen acak terdiri dari n buah percobaan
bernoulli sehingga (1) Percobaan adalah independen (2) Setiap percobaan
mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu “sukses” dan “gagal” (3) Probabilitas
sebuah sukses dalam setiap percobaan, dilambangkan p, adalah tetap konstan.
adalah jumlah total percobaan dengan x buah sukses dan n-x gagal Variable acak
X yg merupakan jumlah percobaan yang sukses, mempunyai variable acak
binomial dengan fungsi distribusi massa
Contoh Setiap contoh/sampel air mempunyai kemungkinan 10%
mengandung pollutant organic. Asumsikan sample air adalah independent
terhadap hadirnya polutant. Berapakah probabilitas bahwa 18 buah sampel
berikutnya akan terdapat tepat 2 sampel yang mengandung polutant. Misalkan X
adalah jumlah sampel yang mengandung polutant pada 18 buah sampel berikutnya
yang dianalisa. Sehingga X adalah sebuah variabel binomial dengan p=0,1 dan n=
18. Sehingga Probabilitas bahwa paling tidak 4 sampel mengandung polutant.
Pentingnya distribusi normal dalam statistika
Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variabel random kontinu
adalah distribusi normal. Ada 2 peran yang penting dari distribusi normal
Memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam
mengambil suatu kesimpulan
berdasarkan hasil sampel yang diperoleh.
Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi.
Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat
dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena
alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan
grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss.
Ciri-ciri distribusi normal
•
Distribusi normal mempunyai beberapa sifat dan ciri, yaitu:
•
Disusun dari variable random kontinu
•
Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal)
•
Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean,
median dan modus terletak pada satu titik.
•
Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.
•
Peristiwa yang dimiliki tetap independen.
•
Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan
dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan
sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.
Distibusi normal standar
Suatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kurva, tetapi merupakan
kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan 1
pegangan sebagai distribusi nprmal yang standar.
Ada 2 cara untuk menentukan distribusi normal :
1. cara ordinat: Menggunakan rumus distribusi normal berikut :
µ
=
rata-rata
σ
=
simpang baku
π
=
3,1416 (bilangan konstan)
e
=
2,7183 (bilangan konstan)
X
=
absis dengan batas -∞ < X < π
Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai x akan menghasilkan nlai y sehingga bila
nilai x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga
maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. Terdapat banyak kurva
normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya σ.
•
Bila σ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang
rendah, sebaliknya bila σ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi.
•
Dapat pula bentuk kurva normal dengan µ yang berbeda atau
dengan µ dan σ yang berbeda
2. Cara luas
Kurva normal adalah kurva yang simetris, yang berarti bahwa kurva ini
akan membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.Seluruh luas kurva = 1
atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang
sama.Berarti luas tiap belahan adalah 50%. Setiap penyimpangan rata-rata dapat
ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva.
penyimpangan ke kanan dan ke kiri :
-.penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas kurva.
-.penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas kurva.
-.penyimpangan 3 SD, = 99,7% dari seluruh luas kurva.
Proses standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal
standar) :
Z=x-µ
σ
x = nilai variable random
µ = rata-rata distribusi
σ = simpang baku
Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap ratarata yang dinyatakan dari unit SD.
Standarisasi penting dilakukan karena ada variabel random yang memiliki satuan
yang berbeda-beda, seperti cm, kg, bulan. Untuk memudahkan perhitungan dapat
digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di bawah kurva normal
antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit
SD.
Misalnya : luas 95% adalah 1,96 SD.
Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal
dinyatakan µ = 0 dan σ = 1.
standar
Tujuan Menentukan probabilitas dari fungsi-fungsi probabilitas massa dan
kebalikannya. Menentukan probabilitas dari fungsi distribusi kumulatif dan fungsi
distribusi kumulatif dari fungsi probabilitas massa, dan kebalikannya. Menghitung
rat-rata dan varians dari variable-variable acak diskrit. Mengerti asumsi-asumsi
dari masing-masing distribusi probabilitas diskrit. Memilih distribusi probabilitas
diskrit untuk menghitung probabilitas yang sesuai pada aplikasi khusus.
Menghitung probabilitas, menentukan rata-rata dan varians untuk tiap-tiap
distribusi probabilitas diskrit.
Contoh Pada proses pembuatan semikonduktor, dua wafer dari satu lot
produksi dites. Tiap wafer digolongkan sebagai gagal (fail) atau lulus(pass).
Diasumsikan bahwa bahwa probabilitas lulus adalah 0,8 dan wafer-wafer adalah
independen. Sebagai contoh, karena independen, probabilitas bahwa wafer
pertama lulus dan wafer kedua gagal tes, yang dilambangkan sebagai pf, adalah
Variabel acak X didefinisikan sebagai sama dengan jumlah wafer yang lulus.
Kolom terakhir menunjukkan nilai X yang merupakan hasil dari eksperimen.
Distribusi Probalitas dan Fungsi Massa Probabilitas Distribusi probabilitas
dari sebuah variable acak X adalah sebuah diskripsi dari probabilitas dikaitkan
dengan nilai-nilai yang mungkin dari X. Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah
bit yang dilewatkan sebuah saluran transmisi digital akan menerima error.
Misalkan X adalah sama dengan jumlah bit error dalam empat bit yang
dilewatkan. Nilai yang mungkin untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan
sebuah model, probabilitas untuk nilai-nilai ini adakan ditentukan. Misalkan
bahwa probabilitasnya adalah: Distribusi probabilitas dari X dinyatakan oleh
nilai-nilai yang mungkin bersama-sama dengan masing-masing probabilitasnya.
Definisi Untuk sebuah variable acak diskrit X dengan nilai-nilai yang
mungkin x 1, x 2, …, x n, sebuah fungsi probabilitas massa adalah sebuah fungsi
sehingga Dari contoh sebelumnya: Dimana jumlah keseluruhannya adalah 1.
Fungsi distribusi kumulatif Fungsi distribusi kumulatif dari sebuah
variable acak diskrit X adalah: Fungsi tersebut mempunyai sifat-sifat: Pada contoh
sebelumnya, kemungkinan bahwa tiga atau kurang bit akan mengalami error dapat
dinyatakan sbb:
Contoh Tentukan fungsi probabilitas massa dari fungsi distribusi kumulatif
berikut ini Dari gambar, titik-titik yang mempunyai probabilitas tidak nol adalah
-2, 0, and 2. Fungsi probabilitas massa pada tiap titik adalah perubahan dari fungsi
distribusi kumulatif pada titik tersebut. Sehingga Rata-rata dan varians dari
sebuah variabel acak diskrit Rata-rata: Varians: Standar deviasi:
Contoh Contoh: ada kemungkinan bahwa sebuah bit yang dilewatkan
sebuah saluran transmisi digital akan menerima error. Misalkan X adalah sama
dengan jumlah bit error dalam empat bit yang dilewatkan. Nilai yang mungkin
untuk X adalah {0, 1, 2, 3, 4}. Berdasarkan sebuah model, probabilitas untuk
nilai-nilai ini adalah: (rata-rata) (varians)
Distribusi binomial Sebuah experimen acak terdiri dari n buah percobaan
bernoulli sehingga (1) Percobaan adalah independen (2) Setiap percobaan
mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu “sukses” dan “gagal” (3) Probabilitas
sebuah sukses dalam setiap percobaan, dilambangkan p, adalah tetap konstan.
adalah jumlah total percobaan dengan x buah sukses dan n-x gagal Variable acak
X yg merupakan jumlah percobaan yang sukses, mempunyai variable acak
binomial dengan fungsi distribusi massa
Contoh Setiap contoh/sampel air mempunyai kemungkinan 10%
mengandung pollutant organic. Asumsikan sample air adalah independent
terhadap hadirnya polutant. Berapakah probabilitas bahwa 18 buah sampel
berikutnya akan terdapat tepat 2 sampel yang mengandung polutant. Misalkan X
adalah jumlah sampel yang mengandung polutant pada 18 buah sampel berikutnya
yang dianalisa. Sehingga X adalah sebuah variabel binomial dengan p=0,1 dan n=
18. Sehingga Probabilitas bahwa paling tidak 4 sampel mengandung polutant.
Pentingnya distribusi normal dalam statistika
Satu-satunya distribusi probabilitas dengan variabel random kontinu
adalah distribusi normal. Ada 2 peran yang penting dari distribusi normal
Memiliki beberapa sifat yang mungkin untuk digunakan sebagai patokan dalam
mengambil suatu kesimpulan
berdasarkan hasil sampel yang diperoleh.
Pengukuran sampel digunakan untuk menafsirkan parameter populasi.
Distribusi normal sangat sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat
dikatakan bahwa semua kejadian alami akan membentuk distribusi ini. Karena
alasan inilah sehingga distribusi ini dikenal sebagai distribusi normal dan
grafiknya dikenal sebagai kurva normal atau kurva gauss.
Ciri-ciri distribusi normal
•
Distribusi normal mempunyai beberapa sifat dan ciri, yaitu:
•
Disusun dari variable random kontinu
•
Kurva distribusi normal mempunyai satu puncak (uni-modal)
•
Kurva berbentuk simetris dan menyerupai lonceng hingga mean,
median dan modus terletak pada satu titik.
•
Kurva normal dibentuk dengan N yang tak terhingga.
•
Peristiwa yang dimiliki tetap independen.
•
Ekor kurva mendekati absis pada penyimpangan 3 SD ke kanan
dan ke kiri dari rata-rata dan ekor grafik dapat dikembangkan
sampai tak terhingga tanpa menyentuh sumbu absis.
Distibusi normal standar
Suatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kurva, tetapi merupakan
kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan 1
pegangan sebagai distribusi nprmal yang standar.
Ada 2 cara untuk menentukan distribusi normal :
1. cara ordinat: Menggunakan rumus distribusi normal berikut :
µ
=
rata-rata
σ
=
simpang baku
π
=
3,1416 (bilangan konstan)
e
=
2,7183 (bilangan konstan)
X
=
absis dengan batas -∞ < X < π
Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai x akan menghasilkan nlai y sehingga bila
nilai x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga
maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. Terdapat banyak kurva
normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya σ.
•
Bila σ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang
rendah, sebaliknya bila σ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi.
•
Dapat pula bentuk kurva normal dengan µ yang berbeda atau
dengan µ dan σ yang berbeda
2. Cara luas
Kurva normal adalah kurva yang simetris, yang berarti bahwa kurva ini
akan membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.Seluruh luas kurva = 1
atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang
sama.Berarti luas tiap belahan adalah 50%. Setiap penyimpangan rata-rata dapat
ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva.
penyimpangan ke kanan dan ke kiri :
-.penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas kurva.
-.penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas kurva.
-.penyimpangan 3 SD, = 99,7% dari seluruh luas kurva.
Proses standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal
standar) :
Z=x-µ
σ
x = nilai variable random
µ = rata-rata distribusi
σ = simpang baku
Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap ratarata yang dinyatakan dari unit SD.
Standarisasi penting dilakukan karena ada variabel random yang memiliki satuan
yang berbeda-beda, seperti cm, kg, bulan. Untuk memudahkan perhitungan dapat
digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di bawah kurva normal
antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit
SD.
Misalnya : luas 95% adalah 1,96 SD.
Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal
dinyatakan µ = 0 dan σ = 1.
standar