MODEL PROBABILISTIK UNTUK KEBIJAKAN PENAMBAHAN PERSEDIAAN BARANG DAN STRATEGI PRODUKSI

  

MODEL PROBABILISTIK UNTUK KEBIJAKAN

PENAMBAHAN PERSEDIAAN BARANG DAN

STRATEGI PRODUKSI

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika

  

Oleh:

ALBERTUS AAN OKY DWI HATMOKO

023114010

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

  PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta,…………….

  Penulis

HALAMAN PERSEMBAHAN

  Yakinlah akan kekuatan yang ada dalam dirimu karena

kekuatan itulah yang akan menjadi penolongmu disaat kamu

jatuh.

  Skripsi ini kupersembahkan untuk Tuhan yang tetap menyayangiku dengan segala kekurangan dan dosaku,

  

ABSTRAK

  Dalam proses perakitan yang dilakukan oleh suatu perusahaan perakitan barang dibutuhkan dua komponen penyusun yang saling berhubungan yaitu komponen utama dan komponen pelengkap. Perusahaan tersebut hanya mampu memproduksi salah satu komponen, sehingga perlu memesan komponen pelengkapnya dari perusahaan lain. Ada dua masalah yang dihadapi oleh pihak perusahaan perakitan dan penyuplai. Masalah yang dihadapi oleh perusahaan perakitan adalah bagaimana membuat suatu kebijakan pemesanan untuk menentukan jumlah barang yang akan dipesan. Sedangkan masalah yang dihadapi oleh penyuplai adalah bagaimana penyuplai mampu membuat suatu strategi produksi untuk memenuhi permintaan perusahaan perakitan dengan baik. Kedua masalah yang dihadapi oleh perusahaan perakitan dan penyuplai tersebut dapat dimodelkan dengan distribusi multinomial. Tahap penyelesaiannya adalah dengan membuat model multinomial dari masalah tersebut kemudian mencari solusinya dengan program linear bilangan bulat.

  

ABSTRACT

  It is need two supplementary components, which are related each other in assembling process of a goods assembling company, those are primary component and supplement component. The company is able to produce one component so it needs to order the supplement component from another company. These are two problems, which are faced by the assembling company and the supplier company. The problem from the assembling company side is how to make ordering policy to determine the number of the ordering of goods. Where as, problem from supplier company side is how it can make producing strategy to fulfill the assembling company request well. The two problems, which are faced by the assembling company and the supplier company can be put into multinomial distribution model. The finding phases are by making multinomial model of the problems then find the solution using integer programming.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, atas berkat dan rahmat yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.

  Dalam proses penulisan skripsi ini banyak hambatan yang dialami oleh penulis. Namun, berkat bantuan dan dukungan dari banyak pihak, akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada:

  1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dosen pembimbing akademik sekaligus dosen pembimbing skripsi yang telah meluangkan waktu, pikiran, serta nasihatnya sehingga penulis dapat sampai pada tahap penyusunan skripsi ini.

  2. Bapak Y.G. Hartono, M.Sc, selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA USD Yogyakarta yang telah memberikan banyak saran.

  3. Bapak dan Ibu Dosen FMIPA yang telah memberikan pengetahuan yang sangat berguna bagi penulis.

  4. Mas Tukijo dan Ibu Linda yang telah memberikan pelayanan adminitrasi dan urusan – urusan akademik kepada penulis.

  5. Perpustakaan USD dan Staf yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan

  7. cocon molokocon yang telah memberikan banyak pengertian dan kesabaran kepada penulis.

  8. Bani Chan, Taim Wong, Markus Camby, Ratna Galih, Tato Frank, Ijoep Imut, Ridwan Man, terima kasih atas persahabatan yang kalian berikan untuk penulis.

  9. Teman – teman angkatan 2002 tanpa terkecuali yang sudah memberikan segala keceriaan dan dukungan kepada penulis.

  10. Teman – teman di kost zenifara dan pak Mardi serta teman – teman dari kost ijo yang telah memberikan humor – humor yang lucu.

  11. Bonang, Shiro, Masao, Gepeng, Kriwil, Punk yang telah memberikan persahabatan yang hangat sejak SMA.

  12. Seluruh teman – teman di FMIPA.

  13. Teman – teman KKN kelompok 42.

  Yogyakarta, April 2006 penulis

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL…………………………………………………….... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING…………………………... ii HALAMAN PENGESAHAN…………………………………………….. iii PERNYATAAN KEASLIAAN KARYA………………………………… iv HALAMAN PERSEMBAHAN………………………………………….. v ABSTRAK……………………………………………………………….. vi ABSTRACT……………………………………………………………… vii KATA PENGANTAR…………………………………………………… viii DAFTAR ISI…………………………………………………………….. x

  BAB I PENDAHULUAN………………………………………………

  1 A. Latar Belakang………………………………………………. 1

  B. Rumusan Masalah…………………………………………… 3

  C. Pembatasan Masalah………………………………………... 3

  D. Tujuan Penulisan……………………………………………. 4

  E. Metode Penulisan………………………………………….... 4

  F. Manfaat Penulisan…………………………………………... 4

  G. Sistematika Penulisan………………………………………. 5

  1. Distribusi Probabilitas Binomial………………………. 10

  2. Distribusi Probabilitas Multinomial…………………… 11

  3. Pendekatan Normal untuk Binomial…………………... 14

  C. Independensi Variabel Random…………………………… 17

  D. Distribusi Marginal………………………………………... 20

  E. Variansi dan Kovariansi………………………………….... 23

  F. Program Linear Bilangan Bulat…………………………… 26

  BAB III MODEL PROBABILISTIK UNTUK KEBIJAKAN PENAMBAHAN PERSEDIAAN BARANG DAN STRATEGI PRODUKSI……………………………………. 29 A. Produksi Barang dan Model Multinomial………………… 29 B. Model Probabilistik untuk Persediaan Lengan Piston dalam Kondisi Aman……………………………………………... 31 C. Perbandingan Tiga Kebijakan Pemesanan Barang………… 38

  1. Kebijakan Pemesanan 1……………………………….. 40

  2. Kebijakan Pemesanan 2……………………………….. 41

  3. Kebijakan Pemesanan 3……………………………….. 42

  4. Perbandingan Ketiga Kebijakan………………………. 43

  5. Kesimpulan dari Ketiga Kebijakan…………………… 45

  3. Masalah Seleksi Target………………………………... 65

  3.1 Seleksi Target Menggunakan Distribusi Multinomial.. 65

  3.2 Seleksi Target Menggunakan Distribusi Normal…….. 71

  F. Nilai Fungsi Penyuplai…………………………………………. 73

  BAB IV APLIKASI MODEL PROBABILISTIK………………………… 76 BAB V PENUTUP………………………………………………………… 91 DAFTAR PUSTAKA……………………………………………………… 93

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam kasus nyata, penentuan jumlah persediaan barang yang ada di gudang

  merupakan masalah yang sangat rumit. Masalah - masalah tersebut sering dialami oleh suatu perusahaan perakitan barang yang memerlukan dua jenis komponen barang untuk dirakit menjadi suatu produk. Lebih khusus lagi perusahaan perakitan barang tersebut hanya mampu memproduksi salah satu komponen barang yang disebut sebagai barang utama, sehingga dalam proses perakitan barang perusahaan tersebut perlu memesan komponen lain ( yang disebut barang pelengkap ) dari perusahaan penyuplai. Pada saat proses perakitan barang tersebut perusahaan perakitan barang harus mampu menentukan berapa jumlah barang pelengkap yang ada di dalam gudang.

  Jumlah persediaan barang pelengkap yang ada di dalam gudang harus sesuai dengan jumlah produksi barang utama sehingga semua jenis barang utama yang telah diproduksi dapat segera dicocokkan dengan barang pelengkap untuk dirakit menjadi satu produk. Untuk memesan barang pelengkap dari penyuplai yang sesuai dengan jumlah barang utama maka perusahaan tersebut harus merancang penyuplai. Hal ini disebabkan karena pihak penyuplai harus mampu memenuhi permintaan barang pelengkap yang dipesan oleh perusahaan perakitan.

  Dalam upaya memenuhi permintaan tersebut penyuplai harus mampu merancang suatu strategi produksi mengenai pemilihan ukuran target dan penentuan berapa kali dilakukan proses produksi pada target yang sudah dipilih. Masalah persediaan barang utama dan strategi produksi penyuplai tersebut dapat didekati dengan menggunakan model distribusi multinomial. Proses produksi barang utama memiliki karakteristik sebagai berikut:

  1. Satu barang utama harus sesuai dengan satu tipe barang pelengkap yang dipesan,

  2. Jenis barang utama dapat dibagi kedalam k- kategori yang berbeda,

  3. Jenis barang utama independen satu dengan yang lainnya, 4. Jumlah barang utama yang diproduksi setiap harinya telah diketahui.

  Distribusi perakitan ukuran barang utama dapat dimodelkan dengan distribusi

  multinomial yaitu :

  1. Χ ( ) t adalah variebel acak yang menyatakan jumlah barang utama dalam _i jenis kategori tertentu i yang diproduksi pada saat t.

  x t

  2. ( ) adalah jumlah barang utama jenis i yang diproduksi pada saat t, rea- _i lisasi dari Χ ( ) t . _i

  

n(t) adalah jumlah barang yang diproduksi sampai saat ke- t, p adalah proporsi

_i

  barang utama jenis i. Pada saat perakitan nilai pasti dari p mungkin tidak dapat _i diketahui, sehingga diasumsikan p diduga dengan pˆ untuk i=1,…,k. _{i i}

  B. Rumusan Masalah

  Permasalahan yang akan dibahas dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut:

  1. Bagaimana membuat model matematis untuk kebijakan penambahan persediaan barang?

  2. Bagaimana membuat model matematis untuk menentukan strategi produksi?

  3. Bagaimana aplikasi model matematis untuk masalah – masalah praktis?

  C. Pembatasan Masalah

  Dalam skripsi ini dibatasi oleh beberapa hal sebagai berikut:

  1. Teori probabilitas hanya dibahas sebatas yang terkait langsung dengan permasalahan sedangkan hal – hal yang sifatnya elementer tidak dibahas.

  2. Pembahasan masalah dibatasi pada penggunaan variabel random diskrit.

  3. Pembahasan mengenai strategi produksi menggunakan pendekatan

  D. Tujuan Penulisan

  Skripsi ini bertujuan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk mem- peroleh gelar sarjana sains dalam bidang matematika. Selain itu skripsi ini bertu- juan membuat model matematis untuk: 1. Merumuskan teknik-teknik penambahan persediaan barang.

  2. Merumuskan strategi produksi yang harus dimiliki oleh penyuplai barang sehingga dapat memenuhi permintaan perusahaan perakitan barang.

  E. Metode Penulisan

  Penulisan skripsi ini menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan menggunakan buku-buku, jurnal-jurnal, dan makalah-makalah yang telah dipu- blikasikan, sehingga tidak ditemukan hal baru.

  F. Manfaat Penulisan

  Manfaat yang diharapkan dari penulisan skripsi ini adalah:

  1. Memberikan informasi mengenai kebijakan penambahan persediaan barang dan strategi produksi.

  2. Dapat menggunakan distribusi multinomial dalam masalah pemilihan target produksi.

G. Sistematika Penulisan

  Bab I. Pendahuluan, pada bagian ini akan dibahas tentang latar belakang

  masalah, perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan skripsi ini.

  Bab II. Dasar – Dasar Teori Probabilitas dan Program Linier Bilangan

bulat, pada bagian ini akan dibahas tentang probabilitas bersyarat, variabel

  random, independensi variabel random, distribusi marginal, variansi dan kovariansi, program linear bilangan bulat.

  Bab III. Model Probabilistik untuk Kebijakan Penambahan Persediaan Barang dan Strategi Produksi, pada bagian ini akan dibahas tentang produksi

  barang dan model multinomial, model probabilistik untuk persediaan lengan piston dalam kondisi aman, perbandingan tiga kebijakan pemesanan barang, variabel jumlah produksi piston, masalah produksi yang dihadapi penyuplai, masalah seleksi target, nilai fungsi penyuplai.

  Bab IV. Aplikasi Model Probabilistik,

  pada bagian ini akan dibahas penyelesaiaan masalah kebijakan penambahan persediaan rantai dan strategi produksi pada proses perakitan gear rantai.

  Bab V. Penutup,

  berisi kesimpulan dan saran

BAB II DASAR – DASAR TEORI PROBABILITAS dan PROGRAM LINIER BILANGAN BULAT A. Peluang Bersyarat Probabilitas suatu kejadian A terjadi dipengaruhi oleh kejadian lain, misal

  kejadian B, dapat digunakan untuk menentukan tingkat persediaan piston dalam gudang cukup tersedia. Bila tingkat persediaan aman pada masing – masing kategori ukuran diameter lengan piston telah diketahui maka probabilitas tingkat persediaan piston dalam gudang cukup tersedia dapat dicari. Dengan kata lain probabilitas persediaan piston dalam gudang cukup tersedia bersyarat persediaan aman pada masing – masing kategori ukuran diameter lengan piston.

  Definisi 2.1.1 Peluang bersyarat

  Peluang bersyarat B, bila A diketahui dinotasikan dengan P B | A , didefinisikan

  ( ) P A B

  ( ∩ ) sebagai P ( B | A ) = , jika P A > .

  ( ) P ( ) A Misalkan bahwa ruang contoh S adalah populasi sarjana di suatu kota.

  Populasi sarjana tersebut dikelompokkan berdasarkan jenis kelamin dan status pekerjaan: Bekerja Menganggur

  Misalkan akan diambil secara acak seorang diantara mereka untuk ditugaskan mempublikasikan pentingnya didirikan industri – industri baru di kota tersebut.

  Perhatikan kejadian – kejadian berikut:

  M =

  yang terpilih laki – laki

  E = yang terpilih telah bekerja.

  Dengan menggunakan ruang contoh yang dipersempit E, diperoleh

  460

23 P ( M | E ) = = .

  600

  30 n A

  Misalkan ( ) melambangkan banyaknya unsur dalam himpunan A maka

  n E ∩ M ) n ( E ∩ M ) ( ) n S P ( E ∩ M ) P M | E = = = , dalam hal ini P E ∩ M ( ) (

  ( ) n E n E n S P E

  ( ) ( ) ( ) ( )

  2 P E

  dan dihitung dari ruang contoh S. P ( ) E = 600 = dan

  ( ) 900

  3

  23

  23

  45

  23 P E ∩ M = 460 = sehingga P M E = = sama seperti yang telah ( ) ( | )

  900

  45

  2

  3

  30 diperoleh sebelumnya.

  Contoh 2.1.1

  Dilakukan percobaan pengambilan dua kartu berturut – turut dengan pengembalian, artinya setelah diambil dan dicatat hasilnya kartu tersebut dikembalikan lagi. Perhatikan dua kejadian berikut:

  = A kartu pertama sebuah kartu as

  13

  1

  13

  1 P ( B | A ) = = dan P ( ) B = =

  52

  4

  52

  4 Jadi P B | A = P B , jika persamaan ini dipenuhi kejadian A dan kejadian B ( ) ( )

  disebut kejadian bebas.Dalam percobaan pengambilan dua kartu pada contoh

  P B A = P B =

  2.1.1, telah ditunjukkan bahwa ( | ) ( )

  1 4 . Dan

  4

  1

  4

  1 P A B = = P A = = perhitungan tersebut menunjukkan ( | ) dan ( )

  52

  13

  52

  13 bahwa P A | B = P A .

  ( ) ( ) Definisi 2.1.2 dua kejadian saling bebas

  Dua kejadian A dan kejadian B dikatakan bebas bila

  P B | A = P B atau P A | B = P A ( ) ( ) ( ) ( ) .

  Bila hal tersebut tidak dipenuhi, A dan B dikatakan tidak bebas.

B. Variabel random

  Aturan pemetaan yang memetakan setiap anggota dari suatu himpunan tertentu ke bilangan real dapat digunakan untuk menentukan banyaknya piston dalam kategori diameter tertentu i yang diproduksi pada hari ke – t. Misalkan

  X ( ) t adalah suatu variabel random yang menyatakan banyaknya piston dalam _i

  kategori diameter tertentu i yang diproduksi pada hari ke – t. Jika diambil

  Variabel random, misalkan X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S, yang memetakan setiap elemen e ∈ ke bilangan real, S

  X e = X .

  ( )

  Huruf Kapital seperti X, Y, dan Z digunakan sebagai lambang variabel random, sedangkan haruf – huruf kecil yang bersesuaian x, y, dan z melambangkan nilai variabel random yang mungkin. Variabel random terdiri atas dua macam yaitu variabel random diskrit dan variabel random kontinu.

  Definisi 2.2.2 variabel random diskrit

  Variabel random diskret adalah variabel random yang didefinisikan pada suatu ruang sampel diskrit.

  Contoh 2.2.1 variabel random diskrit

  Banyaknya piston dalam jenis kategori diameter tertentu i yang diproduksi pada hari ke – t.

  Definisi 2.2.3 fungsi probabilitas diskrit f x P X x x x x x

  Fungsi ( ) ( = = ) , = , , ,...... yang menyatakan probabilitas untuk _{1 2 3} semua kemungkinan nilai variabel random diskrit X disebut fungsi probabilitas

  

diskrit . Jadi f adalah fungsi probabilitas diskret jika memenuhi sifat – sifat

  berikut: 1. f ( ) x ≥ _i 2. f x =

  1

  ( ) i ∑ _x Suatu percobaan dapat terdiri atas beberapa ulangan, dan masing – masing mempunyai dua kemungkinan hasil yang dapat dikategorikan sebagai sukses dan gagal. Misalnya saja dalam pelemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan adalah mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Dapat ditentukan salah satu dari dua kemungkinan sebagai sukses. Percobaan demikian disebut sebagai percobaan binomial.

  Percobaan binomial dalah percobaan yang memiliki ciri – ciri: 1. Percobaan terdiri atas n ulangan.

  2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai sukses atau gagal.

  3. Peluang sukses yang dilambangkan dengan p, untuk setiap ulangan adalah sama, tidak berubah – ubah.

  4. Ulangan - ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain.

  Definisi 2.2.4 distribusi probabilitas binomial

  Suatu percobaan adalah distribusi binomial apabila X ,...... ₁ X masing – masing _n adalah variabel random yang saling bebas dan mempunyai dua kemungkinan hasil _n yaitu sukses atau gagal maka

  X = X merupakan variabel random yang _i ∑ _{i = 1}

  berdistribusi binomial yaitu:

  n

  ⎛ ⎞ x n − x

  b x n p p p x n ( ; , ) = (

  1 − ) untuk = , 1 , 2 ,....., ⎜⎜ ⎟⎟

  x

  ⎝ ⎠

  Percobaan multinomial adalah generalisasi dari percobaan binomial, contohnya pengambilan kartu dengan pengembalian merupakan percobaan multinomial jika yang diamati adalah keempat macam kartu yang ada.

  Secara umum, bila setiap ulangan dapat menghasilkan satu di antara k kemungkinan hasil percobaan E , E ,..., E , masing – masing dengan peluang _{1 2 k}

  x p , p ,......, ; p maka distribusi multinomial memberikan peluang terjadinya _{1 2 k 1} E x E

  kali kejadian , kali kejadian ,…, x kali kejadian E dalam n ulangan _{1 2 2 k k}

  x x x n

  yang bebas, dengan ..... = distribusi peluang bersama ini _{1 2 k} + + + dilambangkan dengan f ( x , x ,.., x ; p , p ,..., p , n ) . Jelas bahwa _{1 2 k 1 2 k 1 2} + + + p p .. p = _k 1 karena hasil yang muncul dari setiap ulangan pasti salah satu di antara k kemungkinan hasil.

  Diketahui bahwa ulangan satu dengan yang lainnya saling bebas, maka

  E x E x E

  sembarang urutan yang menghasilkan sebanyak , sebanyak ,…., _{1 x x x 1 2 k 1 2 2 k} sebanyak x akan terjadi dengan peluang p p ... p . Banyaknya urutan yang _{k 1 2 k} menghasilkan kejadian yang sama seperti di atas sama dengan sekatan n benda ke

  x x

  dalam k kelompok dengan dalam kelompok pertama, dalam kelompok _{1 2} kedua,…, x dalam kelompok ke – k.Ini sama halnya dengan _k

  n

  ⎛ ⎞

  n !

  Bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari k hasil percobaan E , E ,..., E , _{1 2 k} dengan peluang p , p ,..., p , maka distribusi probabilitas bagi variabel random _{1 2 k}

  X , ₁ X ,..., ₂ X , yang menyatakan berapa kali E , E ,..., E terjadi dalam n ulangan _{k 1 2 k}

  yang bebas, adalah

  ⎛ n ⎞ _{x x x 1 2 k}

=

f ( x , x ,.., x ; p , p ,..., p , n ) p p ... p

  1 2 k

  1 2 k

  1 2 k ⎜⎜ ⎟⎟ x , x ,..., x

  1 2 n _{k k} ⎝ ⎠ n

  ⎛ ⎞

  n !

  dengan x = n , p = _{i i} 1 , dan = .

  ∑ ∑

  ⎜⎜ ⎟⎟ _{i i !. !... !} x , x ,..., x x x x

  = ^{1 = 1 1}

^{2 n}

^{1 2 3}

  ⎝ ⎠

  Contoh 2.2.2

  Di sebuah kota pada saat sabtu malam, channel 12 memiliki 50% penonton, channel 10 memiliki 30% penonton, channel 3 memiliki 20% penonton. Tentukan probabilitas dari 8 pemirsa televisi, yang dipilih secara random pada sabtu malam, 5 akan menonton channel 12, 2 akan menonton channel 10, dan 1 akan menonton channel 3.

  Jawab

  Diketahui 8 x = ₁ 5 , x = ₂ 2 , x = ₃ 1 , p = . ₁ 5 , p = . ₂ 3 , p = . ₃ 2 , dan n =

  n

  ! x x x _{1 2 k}

  f ( x , x ,.., x ; p , p ,..., p , n ) = p p ... p _{1 2 k k k 1 2 1 2} x ! x !... x ! _{1 2 k}

  8 ! ^{5 2}

  f (

  5 , 2 , 1 , . 5 , . 3 , . 2 ; 8 ) = ( ) ( ) ( ) . 5 . 3 .

  2 5 !. 2 !. 1 !

  Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random diskret X didefinisikan sebagai

  F ( ) x = f ( ) ( t = P X ≤ x ) , ∀ x ∈ ℜ seringkali fungsi F x disebut fungsi ( )

  ∑ _{t ≤ x} distribusi .

  Definisi 2.2.7 variabel random kontinu

  Variabel random kontinu adalah suatu variabel random yang didefinisikan pada ruang sampel kontinu.

  Contoh 2.2.3 variabel random kontinu Percobaan mengamati daya tahan hidup ( dalam satuan waktu ) lampu. Definisi 2.2.8 fungsi densitas kontinu

  Jika X adalah variabel random kontinu maka suatu kejadian akan berkaitan dengan suatu interval nilai. Probabilitas variabel random X akan terletak antara a dan b atau P a ≤

  X ≤ b dapat diperoleh dengan mengandaikan ada fungsi f x ( )

  ( )

  sedemikian hingga luas daerah dibawah kurva fungsi f x pada interval a , b _b ( ) [ ]

  P a ≤ X ≤ b P a ≤ X ≤ b = f x dx

  sama dengan ( ) , jadi ( ) ( ) . Fungsi probabilitas ∫ _a

  f x

  variabel random kontinu disebut juga fungsi densitas. Suatu fungsi ( ) merupakan fungsi densitas kontinu jika memenuhi sifat berikut: 1. f x ≥ , ∀ x ∈ ℜ

  ( ) ∞ Variabel random X dukatakan berdistribusi normal dengan mean μ dan

  σ

  simpangan baku bila fungsi densitasnya berbentuk _{1 x μ 2}

  ⎛ − ⎞ − ⎜ ⎟

  1 _{2 σ}

  ⎝ ⎠ f ( x ; , ) = e , untuk − ∞ < x < ∞

  μ σ

  2 πσ dengan π = dan e = .

  3 , 14159 2 , 71828

  Secara khusus, bila variabel random berdistribusi normal dengan μ = σ =

  dan

  1 maka distribusinya disebut distribusi normal standar. _{z 1 x 2} −

  1 ₂ e dx .

  ∫

  2 π Andaikan

  X , ₁ X ,..., ₂ X adalah variabel – variabel random yang berdistribusi _{n 2}

  bebas stokastik identik dengan E ( )

  X = dan variansi Var X = σ < ∞ , maka _{i i} μ ( ) −

  X μ −

  Z = _n

  σ

  n berdistribusi normal, rumus tersebut adalah teorema limit pusat.

3. Pendekatan Normal untuk Distribusi Binomial

  Teorema limit pusat dapat digunakan untuk memperkirakan probabilitas beberapa variabel random diskret, jika probabilitas yang berdasarkan distribusi yang sebenarnya sukar dihitung untuk ukuran sampael n yang besar, misalnya pendekatan untuk distribusi binomial. hanya untuk beberapa nilai n yang terbatas. Jika nilai n sangat besar maka perhitungan akan menjadi sukar dan juga tidak tersedia dalam tabel.

  Sebagai alternatif, Y dapat dipandang, banyaknya sukses dalam n ulangan, sebagai jumlah suatu sampel yang terdiri dari nilai 0 dan 1, yaitu _n

  Y

  X = . dengan _i

  ∑ _i = ¹ ke − i

  ⎧ 1 , jika ulangan sukses

  X = _{i ⎨}

  , selainnya ⎩

  =

  dan

  X , dengan i _i 1 , 2 , 3 ,...., n , adalah variabel random yang saling bebas ( karena

  ulangannya saling bebas ). Dengan demikian untuk n yang besar, menurut teorema limit pusat porsi ulangan sukses _n

  Y

  1 = X = _i

  X ∑ n n _{i =1}

  akan memiliki distribusi sampling yang mendekati distribusi normal dengan

  E ( ) X = p dan variansi Var ( ) _{i i} X n = 1 p ( − p ) .

  Pendekatan normal ini sangat baik jika p dekat dengan 0.5 karena distribusi binomial simetrik jika p = 0.5. Keakuratan yang diperlukan dalam sembarang pendekatan tergantung pada penerapannya. Sebagai petunjuk umum pendekatan normal dapat dipakai jika np ≥

  5 dan n 1 − p ≥ 5 .

  

( ) Contoh 2.2.4 Y dipandang sebagai banyaknya orang yang setuju ( kejadian sukses ) dari antara

  n = 160 orang, yaitu _n

  1 , jika orang ke − i setuju ( sukses ) ⎧

  Y

  X X = = dengan _{i i}

  ⎨

  ∑ _{i , selainnya} = ¹

  ⎩ dan

  X , dengan i = _i 1 , 2 ,..., 160 , adalah variabel random yang saling bebas (pendapat seseorang tidak tergantung dari yang lain ). Jika menggunakan distribusi binomial

  diperoleh: ₈₀ ⎛ 80 ⎞ i i _{80 −}

  P ( Y >

  80 ) = 1 − ( . 45 ) ( 1 − . 45 )

  ∑

  ⎜⎜ ⎟⎟ _i i

  = ¹

  ⎝ ⎠ perhitungan dengan cara ini tidak dapat dengan cepat diselesaikan karena melibatkan kombinasi bilangan – bilangan yang besar. Dengan menggunakan pendekatan normal masalah tersebut dapat disederhanakan. Berdasarkan teorema limit pusat mean distribusi sampling dari Y

  np = = np − p = − adalah ( )( 160 . .

  45 ) 72 dan variansi ( 1 ) ( )( 160 . . 45 )( . 1 . 45 ) dengan demikian:

  ⎛ ⎞ 80 − 72 ⎜ ⎟

  P ( Y > 80 ) ≈ P Z > ⎜ ⎟ 160 ( . 45 )( .

55 )

⎝ ⎠

  Akan tetapi, karena distribusi binomial adalah distribusi diskret dan distribusi normal adalah kontinu, pendekatan akan menjadi lebih baik bila dibuat koreksi kekontinuan. Secara khusus , setiap probabilitas binomial b y ; n , p , mempunyai

  Y ~ N np , np

  1 − p didekati dengan luas daerah dibawah fungsi densitas normal ( ( ) )

  n , p yang berkaitan dengan distribusi binomial ( ) . P Y >

  80 = 1 − P Y ≤

  80

  ( ) ( )

  = − − 1 φ ( 1 . 351 )

  = 1 − . 9117 = . 0883

  Y bin ( ) n p a ≤ b

  Secara umum, bila ~ , dan bilangan bulat, maka: _n

  ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ b . + 5 − np a − . 5 − np ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ P a ≤ Y ≤ b ≈ φ − φ .

  [ n ] ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ np ( 1 − p ) np ( 1 − p )

  ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Definisi 2.2.10 fungsi distribusi kumulatif

  Fungsi distribusi kumulatif suatu variabel random kontinu X adalah: _x

  F ( ) x = f ( ) t dt ∫

  − ∞ dengan fungsi densitas f x .

  ( )

  Sesuai dengan batasan masalah, maka konsep – konsep yang akan dibahas pada subbab - subbab berikutnya adalah dalam kerangka variabel random diskrit.

C. Independensi variabel random

  Untuk membuat model masalah perakitan barang sebagai model distribusi multinomial, jenis – jenis barang tersebut harus independen satu dengan yang lainnya. untuk semua kemungkinan nilai x = ( x , x ,... x ) dari X. _{1 2 n} Pada definisi 2.3.1

  X = x , _{1 1} X = x ,...., _{2 2} X = x merupakan notasi untuk irisan _{n n} n buah kejadian [ X = x ] [ ∩ _{1 1} X = x ] ∩ .... ∩ [ _{2 2} X = x ] _{n n}

  Contoh 2.3.1

  Dua isi bolpen dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi bolpen biru, 2 isi bolpen merah dan 3 isi bolpen hijau. Bila X banyaknya isi bolpen biru dan Y banyaknya isi bolpen merah yang dipilih, tentukan:

  a. Fungsi probabilitas bersama f x , y

  ( )

  X , Y ∈ A dengan A = x , y | x y ≤

• b. P

  1

  [ ( ) ] { ( ) }

  Jawab

  a. Semua kemungkinan pasangan nilai dari x , y adalah

  ( )

  , , , 1 , 1 , , 1 , 1 , , 2 dan 2 , . Sekarang f , 1 , misalnya menyatakan

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  peluang terambilnya isi bolpen biru dan merah. Banyaknya cara mengambil 2

  8 ⎛ ⎞ 8 !

  = = isi bolpen dari 8 isi bolpen adalah 28 . Banyaknya cara

  ⎜⎜ ⎟⎟

  2 2 !. 6 ! ⎝ ⎠ mengambil 1 isi bolpen dari 2 isi bolpen merah dan 1 isi bolpen dari 3 isi

  2

  3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 !

  3 !

  f

  bolpen hijau adalah = . = 6 sehingga , 1 =

  6 28 =

  3 14 .

  ( )

  ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  1

  1 1 !. 1 ! 1 !. 2 ! ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  Perhitungan serupa akan menghasilkan peluang bagi kemungkinan hasil

  3

• =
• = f f f Variabel random X dan Y dikatakan independen jika untuk semua a,b berlaku:

  ( ) ( ) ( ) F b a b a F b a F _{y x}

  .

  ≤ = ≤ = } Jika dihubungkan dengan fungsi distribusi bersama F dari X dan Y, maka X and Y dikatakan independen apabila:

  X E _{b a}

  Y b F dan a

  2.3.1 Dengan kata lain X dan Y adalah independen jika untuk semua a dan b, kejadian adalah independen. { } {

  X P ≤ ≤ = ≤ ≤ ,

  X P b Y a

  { } { } { } Y b P a

  =

  1 , 1 ,

  3 ,

  28

  14

Tabel 2.3.1 Distribusi Probabilitas bersama bagi contoh 2.3.1

  9

  28

  9

  14

  X P ( ) ( ) ( )

  X P A Y

  b. ( ) [ ] ( ) 1 , ≤ + = ∈ Y

  1

  Total kolom 5/14 15/28 3/28

  15/28 3/7 1/28

  3 3/28 9/28 3/28 3/14 3/14 1/28

  1 y 2

  f(x,y) X 1 2 3 Total baris

  , semua untuk , , = Untuk membuktikan pernyataan tersebut, jika kasusnya diskret. Andaikan fungsi probabilitas bersama p x , y , sesuai dengan persamaan 2.3.2 maka

  ( ) P { X ≤ a , Y ≤ b } = p ( ) x , y

  ∑ ∑ _{y b x a} ≤ ≤ p x p y

  = ( ) ( ) _{x y}

  ∑ ∑ _{y b x a} ≤ ≤

  = p ( ) y p ( ) x _{y x}

  ∑ ∑ _{y ≤ b x ≤ a}

  = P { Y ≤ b } { P

  X ≤ a }

  = P {

  X ≤ a } { P Y ≤ b } Teorema 2.3.1

  Jika X dan Y adalah variabel random independen, maka fungsi h dan fungsi g memenuhi:

  E g X h Y = E g

  X E h Y [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] ( ) [ ] .

  Bukti: Jika X dan Y adalah variabel random diskret maka:

  E [ g ( ) ( ) X h Y ] = g ( ) ( ) ( ) x h y p x , y ∑∑ _{y x}

  = g ( ) ( ) ( ) ( ) x h y p x p y _{x y}

  ∑∑ _{y x}

  = g ( ) ( ) x p x h ( ) ( ) y p y _{x y}

  ∑ ∑ _{x y}

  = E [ g ( )

  X ] E [ h ( ) Y ]

  

i yang diproduksi pada hari ke – t. Ini berarti terdapat lebih dari satu variabel

  random karena i dan t berjalan dari 1 sampai n. Untuk mencari distribusi marginal dari variabel random tersebut diberikan definisi :

  Definisi 2.4.1 distribusi marginal

  Jika X dan Y adalah variabel random diskret dan P x , y adalah nilai dari

  ( )

  distribusi probabilitas bersama x , y maka distribusi marginal dari X adalah:

  ( ) g ( ) x = p ( ) x , y

  ∑ _y P x , y

  Jika X dan Y adalah variabel random diskret dan ( ) adalah nilai dari

  x , y

  distribusi probabilitas bersama ( ) maka distribusi marginal dari Y adalah:

  h ( ) y = p ( ) x y

  ,

  ∑ _x Contoh 2.4.1

  Sebuah kelompok terdiri dari tiga orang partai republik, dua orang partai demokrat, dan satu orang independent. Sebuah komisi akan dibentuk dari dua orang yang dipilih secara random. Andaikan adalah variabel random jumlah Y ₁ orang dari partai republik dalam komisi dan Y variabel random jumlah orang dari ₂ Y partai demokrat dalam komisi. Tentukan distribusi probabilitas bersama dari ₁ Y

  Y dan , dan tentukan pula distribusi marginal dari . _{2 1} penyebut diperoleh dari jumlah ruang sampel yaitu C dan pembilang diperoleh _{6 2} dari hasil perkalian C , C , C . _{3 1 2 1 1}

  3

  2

  1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟

  2

  3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

  P ( Y = ₁ 2 , Y = ) ( ) = p ₂ 2 , = =

  ⎛ 6 ⎞

  15 ⎜⎜ ⎟⎟

  2 ⎝ ⎠ penyebut diperoleh dari jumlah ruang sampel yaitu C dan pembilang diperoleh _{6 2} C C C dari hasil perkalian , , , dan seterusnya seperti pada tabel 2.4.1. _{3 2 2 1} Tabel 2.4.1 Distribusi probabilitas Y dan Y _{1 2}

  1

  2 Jumlah

  Y ₁ Y ₂

  0 0

  3

  3

  6

  15

  15

  15

  1

  2

  6

  8

  15

  15

  15 2 0 0

  1

  1

  15 15 jumlah

  1

  3

  9

  3

  15

  15

  15 Distribusi marginal dari atau Y p y dapat diperoleh dengan menjumlahkan ₁ ( ( ) ) _{1 1} semua nilai dari Y : ₂

• p = p , p , 1 p ,

  2 ₁ ( ) ( ) ( ) ( )

  2

  1

  3 = = + +

  15

  15

  15 1 = p 1 , p 1 , 1 p + + p 1 ,

  2 ₁ ( ) ( ) ( ) ( )

  3

  6

  9 = = + +

  15

  15

  15