PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR DENGAN METODE NEWTON DAN TERAPANNYA Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

  PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR DENGAN METODE NEWTON DAN TERAPANNYA Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika Disusun Oleh : Maria Nirmala Anggi Fitra Murti Martosudjito NIM : 033114007 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  SOLUTION OF NON-LINEAR SYSTEM OF EQUATIONS WITH NEWTON’S METHOD AND ITS APPLICATION Thesis Presented As Partial Fulfillment of The Requirement To Obtain The Sarjana Sains Degree in Mathematics By : Maria Nirmala Anggi Fitra Murti Martosudjito Student Number : 033114007 STUDY PROGRAM OF MATHEMATICS SCIENCE DEPARTEMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY JOGJAKARTA

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

  Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

  Yogyakarta, Desember 2007 Penulis,

  Maria Nirmala Anggi Fitra Murti Martosudjito

  Ketika Pagi Tiba Bila aku susah tidur, dan kemudian terbangun .... Lalu kurasa BERAT dan KELABU semuanya, maka teringatlah aku, KEGELAPAN adalah juga bagian dari kehidupan ...

  Bila malam kulewatkan, dengan penuh KEGELISAHAN,

dan aku sadar ... betapa hidupku penuh dengan

^ BEBAN ^ ... Lalu sambil merasa ibu bumi masih menyanggaku ... Aku menghela Nafas ... Maka aku pun merasa pula, diriku ditopang oleh segala perasaanku,

  ... GEMBIRA maupun SUSAH ... Bila tidurku lewat, dalam mimpi menyesakkan ... dan aku harus berhadapan dengan masalah yang belum ku selesaikan, yang ingin KU LUPAKAN ... Lalu aku sadar ... TERANG ataupun GELAP, Harus ku terima semuanya ...

  Maka ketika pagi tiba, teristimewa hari ini ...

Aku pun akan menemui diriku “APA ADANYA”

dengan penuh PERHATIAN dan CINTA ...

dan akan menerima ^ Keterbatasanku ^ ...

Aku pun akan mengajak sesamaku, mengalami apa sesungguhnya

  MANUSIA itu ...

  (Pengkotbah 3:11) Segala sesuatu indah pada waktunya .

  Tuhan itu adalah kekuatan dan mazmurku.

  Ia telah menjadi keselamatanku (Mzm 118:14)

  In times of difficulties don’t ever say “God I have a big problem” but instead “Hey problem, I have a big God” and everything will be alright.

  Tugas di hadapan kita tidak akan pernah sebesar kekuatan di belakang kita

  Bila selama ini aku masih bertahan ... Semua ini aku persembahkan hanya karena cintaku untuk :

  Tuhan Yesus dan Bunda Maria

  , Teman dan Bunda tersayang yang dengan setia mendengarkan semua kepedihan hatiku Aku memang bukan ysng terbaik, tapi ketahuilah bahwa kalianlah Bapak-Ibuku tercinta.... motivasi hidupku .....

  Adik-adikku tersayang... Bram dan Christi... Jangan pernah berhenti meraih prestasi .....

  Do the best that you can do, not for me or our parents but for your life ....

  Aku bangga Keluarga Besar Martosudjito dan Keluarga Besar Sudarsono.... menjadi bagian dari keluarga ini ....

  Di atas semua yang pernah Seseorang yang sudah hadir dan mewarnai hidupku.....

  

ABSTRAK

  Sistem persamaan non-linear adalah himpunan m persamaan non-linear dengan m > 1 yang dapat dinotasikan dengan = . Sistem persamaan non-linear

  F x ( )

  dapat diselesaikan dengan metode numeris, antara lain dengan metode Newton dan metode Turun Tercuram. Metode Newton adalah suatu algoritma iterasi fungsional _{( ) k ( k 1) ( k 1) 1 ( k 1)}

  

− − − −

  yang membangkitkan x = x − J x ( ) F x ( ) dengan k ≥ 1 dan J x ( ) adalah matriks Jacobian. Apabila nilai awal yang dipilih cukup baik maka iterasi Newton akan konvergen dengan sifat q-kuadratik.

  Metode Turun Tercuram merupakan metode optimasi yang akan digunakan untuk mengatasi kelemahan metode Newton. Penyelesaian yang diberikan adalah _{( ) k ( k − 1) ( k − 1) ( k − 1) n 2}

  x = x − λ ∇ g x dengan k ≥

  1 , g ( ) x = f ( ) x dan ∇ x g ( ) adalah

  ( ) _i ( )

  ∑ _{i 1} =

  gradien dari ( ) . Dalam mencapai konvergensinya, metode Turun Tercuram akan

  g x memiliki arah gerak yang zigzag atau vektor-vektor penyelesaiannya akan ortogonal.

  Metode Newton dan metode Turun Tercuram dapat diaplikasikan dalam bidang fisika, khususnya dalam menghitung konsentrasi unsur dalam sampel.

  

ABSTRACT

  The system of non-linear equations is defined as a set of m of non-linear equations which can be denoted by = in the condition m > 1 . System of non-

  F x ( )

  linear equations can be solved with numerical methods, for instance Newton Method and Steepest Descent Method. The Newton Method is a functional iteration _{( ) k ( k 1) ( k 1) 1 ( k 1)}

  

− − − −

  procedure generated by x = x − J x ( ) F x ( ) in the condition k ≥ 1 and the Jacobian matrix J x . If the selected starting value is sufficiently accurate, the

  ( ) Newton’s Method will converge q-quadratic.

  The Steepest Descent Method is considered as an optimization method which is employed to overcome the weakness of the Newton Method. The given solution is _{( ) k ( k − 1) ( k − 1) ( k − 1) n 2} λ k ≥

  1

  

x = x − ∇ g x in the condition , where g ( ) x = f ( ) x and

( i )

  ( ) ∑ _{i 1}

  = ∇ x

g ( ) which is defined as the gradient of g x ( ) . To converge, the Steepest Descent

  Method will have zigzag motion or the vectors of the solution will be orthogonal each other.

  The Newton Method and the Steepest Descent Method can be applied to the field of physics, especially to estimate the concentrated subtance that is contained in some sample.

KATA PENGANTAR

  Segala puji dan syukur, penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, sang Juru Selamat, sehingga karena kasih dan karunia-Nya skripsi ini dapat terselesaikan tepat waktu.

  Dalam penyusunan skripsi ini penulis membutuhkan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada : 1.

  Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati mau meluangkan banyak waktu luang dan penuh kesabaran telah membimbing selama penyusunan skripsi ini walaupun penulis sering terlambat bahkan kabur dari jadwal bimbingan dengan waktu yang cukup lama.

  2. Bapak Sadmoko dan Ibu Darni, untuk semua pelajaran hidup, cinta, kasih sayang, pengorbanan, doa, motivasi dan kepercayaan yang sangat berarti.

  3. Bapak Y.G. Hartono, S.Si., M.Sc., yang telah bersedia menjadi dosen penguji dan untuk semua bahan serta chatting sampai tengah malam.

  4. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji yang telah memberikan nilai yang cukup mengejutkan.

  5. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.

  6. Segenap dosen, karyawan sekretariat FST khususnya Bapak Tukija dan Ibu Linda

  7. Adik-adikku, Bram dan Christian, yang selalu membuatku kesal tapi sangat aku sayangi. Jangan pernah menyerah dan raihlah hasil yang lebih baik dariku.

  8. Keluarga Besar Martosudjito dan R.Sudarsono, yang selalu mendoakan penulis.

  9. Herry ‘Pokilz’, yang telah memberikan semangat, kerjaan dan teman tengah malamku yang mau nemenin aku belajar serta curhat lewat rutinitas freetalk kita.

  10. Sahabat terbaikku di Matematika’03, Eko, Ridwan ‘Djembat’, Kamto ‘Kambing’, Koko ‘BruCab’, si putri solo Dewi ‘Cemplux’, si lemot Mekar ‘Kuncup’, si pembuat heboh tapi multitalenta Anin ‘Berukwati’, si panik room Merry, si perkasa Septi ‘Gondeswati’, si feminim dan teman senasib seperjuangan Valent, anak kesasar angkatan Cicil dan si invisible Itha. Terimakasih untuk pelukan, pinjaman bahu untuk menangis dan sandaran hati serta kebersamaan kita selama ini. Tidak akan pernah ku lupakan semua waktu yang pernah kita lewati bersama.

  11. Sahabat dan saudaraku, Nela, Teaka ‘si Kecil’ miss Berantakan yang selalu panik, Uchie ‘my twin’ yang selalu memberikan bantuan dalam segala hal. Kalian selalu ada untukku bahkan di saat paling kelam hidupku.

  12. Sahabat-sahabatku, Shindy, yang dari kecil selalu menemani aku, Juna, si cuek yang paling bisa aku ajak bicara dan buat aku tertawa, Ivan ‘Boy’, yang selalu ada kalau aku butuh bantuannya, Sugriwo club, Ikoq ‘Sublek’, Lusi, Agnes ‘Supat’, yang selalu menyemangatiku. Teristimewa untuk Resti ‘adek dan juga sahabatku’, yang selalu dengan setia dan sabar mendengarkan ceritaku. Banyak kisah kebersamaan kita yang tak mungkin dapat ku lupakan dan kamu mengajari

  13. Teman-temen kostku, crew Palm, Triana ‘Babay’, Esti ‘Ndhoel’, Nana, Wening, Adel, Puput, oma Vero, nenek Lusi, mami Ika, mbak Naning serta bapak-ibu Petrus. Crew Muria, Lisa, k.Hetty, k.Titin, Riris, de’Lusi, Rere, Lita, Grace, sizta Hermin, si kembar Rosa-Rosi, Ana, Ribut, Novi, Linda, Nancy, Rinus, Paul dan mbak Niken. Terimakasih atas kebersamaan kita selama ini.

  14. Teman-teman selama mengabdi bersama baik di fakultas maupun universitas, crew DEMA 2004 dan DEMA 2005 yang kompak, kakak dan adik angkatan Matematika, Ikom dan Fisika, dan semua kepanitian yang pernah ku ikuti.

  15. Carloku tersayang yang dengan setia menemaniku kemanapun aku pergi.

  16. Dyan Avando Michael Mendroza Sembiring Meliala, yang mengajariku banyak hal tentang cinta, kesabaran dan pengurbanan bahkan sudah mengisi hidupku dengan penuh warna.

  17. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  Tak ada gading yang tak retak, penulis menyadari kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran serta kritik sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini, dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

  Yogyakarta, Desember 2007 Penulis,

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ........................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ....................................................................... iii PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ........................................................ iv HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................... v ABSTRAK .................................................................................................... vii ABSTRACT .................................................................................................. viii KATA PENGANTAR ................................................................................... ix DAFTAR ISI .................................................................................................. xii DAFTAR GAMBAR ..................................................................................... xv DAFTAR TABEL .......................................................................................... xvi BAB I PENDAHULUAN ..............................................................................

  1 A. Latar Belakang Masalah ....................................................................

  1 B. Perumusan Masalah ...........................................................................

  3 C. Batasan Masalah ................................................................................

  4 D. Tujuan Penulisan ...............................................................................

  4 E. Metode Penulisan ...............................................................................

  4 F. Manfaat Penelitian .............................................................................

  4 G. Sistematika Penulisan ........................................................................

  5

  BAB II KONSEP DASAR DAN PERSAMAAN NON-LINEAR ...............

  36 C. Metode Newton .................................................................................

  95 B. Terapan Metode Newton dan Metode Turun Tercuram untuk Menghitung Konsentrasi Unsur .........................................................

  95 A. Metode Penyerapan Cahaya ...............................................................

  85 BAB IV TERAPAN METODE NEWTON DAN METODE TURUN TERCURAM DALAM MENGHITUNG KONSENTRASI UNSUR DALAM SUATU SAMPEL ............................................

  67 F. Konvergensi Metode Turun Tercuram ...............................................

  62 E. Metode Turun Tercuram ....................................................................

  41 D. Konvergensi Metode Newton ............................................................

  34 B. Konsep Dasar dan Iterasi Titik Tetap ................................................

  7 A. Ruang Vektor dan Matriks .................................................................

  34 A. Sistem Persamaan Non-Linear ..........................................................

  30 BAB III PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR ........

  27 E. Optimasi Fungsi menggunakan Quadratic Fit Line Seach ................

  22 D. Penyelesaian Persamaan Non-Linear dengan Metode Newton- Raphson .............................................................................................

  14 C. Penyelesaian Persamaan Non-Linear dengan Iterasi Titik Tetap ......

  7 B. Konvergensi .......................................................................................

  97 C. Analisis Perhitungan Konsentrasi Unsur dengan Metode Newton

  1.

  101 Analisis Sifat Konvergensi pada Hasil ..................................

  a.

  102 Metode Newton ......................................................

  b.

  103 Metode Turun Tercuram .........................................

  2.

  105 Pengaruh Nilai Awal terhadap Hasil .....................................

  3.

  109 Pengaruh Pendekatan Fungsi terhadap Hasil ........................

  a.

  110 Metode Newton ......................................................

  b.

  110 Metode Turun Tercuram .........................................

  4. Perbandingan Nilai Absorban Hasil Pengukuran dengan Hasil Perhitungan ................................................................... 111 5.

  113 Konsentrasi Parasetamol dan Kafein yang memenuhi ...........

  BAB V PENUTUP ........................................................................................ 114 A.

  114 Kesimpulan ........................................................................................

  B.

  116 Saran .................................................................................................. DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 117 LAMPIRAN .................................................................................................. 119

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman Gambar 2.2.1 ............................................................................................. ....

  17 Gambar 2.2.2 .................................................................................................

  18 Gambar 2.5.1 .................................................................................................

  31 Gambar 2.5.2 .................................................................................................

  31 Gambar 2.5.3 .................................................................................................

  32 Gambar 3.3.1 .................................................................................................

  55 Gambar 3.5.1 ................................................................................................

  71 Gambar 3.5.2 ................................................................................................

  78 Gambar 3.6.1 .................................................................................................

  89

  

DAFTAR TABEL

  Halaman Tabel 3.3.1 .....................................................................................................

  60 Tabel 3.4.1 .....................................................................................................

  66 Tabel 3.4.2 .....................................................................................................

  67 Tabel 3.5.1 .....................................................................................................

  82 Tabel 3.5.2 .....................................................................................................

  83 Tabel 3.6.1 .....................................................................................................

  91 Tabel 3.6.2 .....................................................................................................

  92 Tabel 3.6.3 .....................................................................................................

  93 Tabel 4.2.1 .....................................................................................................

  98 Tabel 4.2.2 .....................................................................................................

  98 Tabel 4.2.3 .....................................................................................................

  99 Tabel 4.2.4 ..................................................................................................... 100

Tabel 4.2.5 ..................................................................................................... 101Tabel 4.3.1 ..................................................................................................... 102Tabel 4.3.2 ..................................................................................................... 103Tabel 4.3.3 ..................................................................................................... 104Tabel 4.3.4 ..................................................................................................... 106Tabel 4.3.5 ..................................................................................................... 107Tabel 4.3.6 ..................................................................................................... 112

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan sering muncul persoalan yang

  melibatkan model matematika. Sering kali model matematika yang muncul bukanlah suatu model yang biasa, melainkan suatu model yang rumit bahkan sulit untuk dicari penyelesaiannya. Model matematika ini bisa berupa suatu persamaan atau suatu sistem persamaan. Persamaan bisa dibagi menjadi persamaan linear dan persamaan non-linear. Sistem persamaan juga bisa dibagi menjadi sistem persamaan linear dan sistem persamaan non-linear.

  Persamaan linear dengan n variabel bebas x x , , , x adalah persamaan _{1 2 n} …

  = + + + yang berbentuk y a x a x a x . Sedangkan persamaan non-linear _{1 1 2 2 … n n} merupakan negasi dari persamaan linear. Persamaan non-linear sendiri dibagi menjadi persamaan non-linear satu variabel dan persamaan non-linear dengan n

  >

  variabel, dengan n

  1 . Bentuk umum persamaan non-linear dengan satu variabel =

  adalah f ( x ) dengan f x ( ) adalah fungsi non-linear. Sedangkan bentuk umum persamaan non-linear dengan n variabel adalah f ( x , x , , x ) = dengan _{1 2 … n} f x x ( , , , x ) adalah fungsi non-linear. _{1 2 … n} Sistem persamaan linear adalah himpunan n persamaan linear, dengan > .

  n

  1 Sistem persamaaan non-linear adalah himpunan n persamaan non-linear, dengan n >

  1 . Sistem persamaan non-linear secara umum berbentuk: f ( x , x , , x ) = ₁

₁

_{2 … n} f ( x , x , , x ) = ₂

₁

_{2 n}

  …

  f ( x , x , , x ) = _n

₁

_{2 … n t n} =

  di mana tiap fungsi f merupakan pemetaan vektor x ( x , x , , x ) dari ke _{i 1 2 n}

  …

  . Sistem ini dapat ditulis dalam bentuk lain dengan mendefinisikan fungsi F, yang _{n n} memetakan ke . _t

  

F ( x , x , , x ) ( f ( x , x , , x ) , f ( x , x , , x ) , , f ( x , x , , x ))

_{1 2 … n} = _{1 1 2 … n 2 1 2 … n … n 1 2 … n}

  Dengan menggunakan notasi vektor, sistem di atas dapat diasumsikan dengan bentuk

  F(x) = 0

  Secara umum, ada dua metode penyelesaian suatu sistem persamaan yaitu metode analitis dan metode numeris. Metode analitis adalah metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku (lazim). Metode

  

numeris adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan

matematika dengan data numerik.

  Sistem persamaan non-linear tidak mudah diselesaikan dengan metode analitis dalam mendapatkan penyelesaian exact (exact solution) karena sistem terlalu rumit tidak seperti sistem persamaan linear biasa. Selain itu, sistem ini mempunyai masalah yang melibatkan banyak persamaan non-linear dan banyak variabel. Alasan

  Sistem persamaan non-linear dapat diselesaikan dengan beberapa metode numeris, salah satunya adalah metode Newton. Metode Newton merupakan perkembangan dari iterasi Titik-Tetap (Fixed-Point) dan metode Newton-Raphson dalam menyelesaikan persamaan non-linear. Langkah awal penyelesaian persamaan non-linear dengan metode Newton-Raphson adalah mencari turunan fungsinya. Tidak jauh berbeda dengan metode Newton-Raphson, langkah awal penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode Newton adalah mencari turunan parsial semua fungsinya terhadap setiap variabel yang ada dalam sistem tersebut. Semua turunan parsial dalam sistem dibentuk menjadi suatu matriks yang dinamakan matriks Jacobian.

  Metode Newton merupakan metode yang paling mudah dan paling sering digunakan akan tetapi mempunyai kelemahan yaitu konvergensinya akan sangat sulit dicapai apabila pendekatan awal tidak baik, artinya terlalu jauh dari nilai yang sebenarnya. Sebagai akibatnya, muncullah suatu metode yang dinamakan Metode Turun Tercuram (Steepest Descent Method). Metode ini dapat mengatasi kelemahan yang muncul pada Metode Newton, maksudnya pendekatan awal apapun yang dipilih akan menyebabkan konvergensinya menjadi lebih cepat.

B. Perumusan Masalah

  Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut : b.

  Bagaimana mencari penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode Turun Tercuram? c. Bagaimana terapan penyelesaian sistem persamaan non-linear di bidang fisika, khususnya dalam masalah menghitung konsentrasi unsur dalam sampel?

C. Batasan Masalah 1.

  Sistem persamaan non-linear terdiri dari n persamaan dan n variabel.

2. Bahasa pemrograman yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear adalah Matlab.

  D. Tujuan Penulisan

  Tujuan penulisan skripsi ini adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan non-linear dengan metode Newton dan metode Turun Tercuram untuk mempercepat konvergensinya serta terapannya dalam bidang fisika khususnya dalam masalah menghitung konsentrasi unsur dalam sampel.

  E. Metode Penulisan

  Metode penulisan skripsi ini adalah dengan menggunakan metode studi pustaka dan analisis data.

  F. Manfaat Penulisan serta terapannya dalam bidang fisika, khususnya dalam masalah menghitung konsentrasi unsur dalam sampel.

G. Sistematika Penulisan

  BAB I : PENDAHULUAN Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan masalah,

  batasan masalah, tujuan penulisan, metode penulisan, manfaat penulisan, dan sistematika penulisan.

  BAB II : KONVERGENSI DAN PERSAMAAN NON-LINEAR Dalam bab II akan dibahas konsep ruang vektor dan matriks,

  konvergensi, penyelesaian persamaan non-linear dengan iterasi Titik Tetap, penyelesaian persamaan non-linear dengan metode Newton- Raphson serta optimasi fungsi dengan Quadratic Fit Line Search.

  BAB III : PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN NON-LINEAR Dalam bab III akan dibahas tentang sistem persamaan non-linear,

  konsep dasar dan iterasi Titik Tetap, metode Newton, konvergensi metode Newton, metode Turun Tercuram serta konvergensi metode Turun Tercuram. Pengimplementasian penyelesaian sistem persamaan non-linear dengan metode Newton dan metode Turun Tercuram

  BAB

  IV : TERAPAN METODE NEWTON DAN METODE TURUN TERCURAM DALAM MENGHITUNG KONSENTRASI UNSUR DALAM SUATU SAMPEL

  Dalam bab IV akan dibahas tentang metode penyerapan cahaya, terapan metode Newton dan metode Turun Tercuram untuk menghitung konsentrasi unsur serta analisis penghitungan konsentrasi unsur dengan metode Newton dan metode Turun Tercuram

  BAB V : PENUTUP Dalam bab V akan dibahas tentang kesimpulan dan saran.

BAB II KONSEP DASAR DAN PERSAMAAN NON-LINEAR Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang vektor dan matriks, konvergensi,

  penyelesaian persamaan non-linear dengan iterasi Titik-Tetap dan metode Newton- Raphson serta optimasi fungsi dengan Quadratic Fit Line Search yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Newton dan metode Turun Tercuram serta konvergensinya.

A. Ruang Vektor dan Matriks Definisi 2.1.1

  Misalkan V adalah himpunan di mana didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Penjumlahan adalah kaidah untuk mengasosiasikan setiap

• pasang elemen u dan v di dalam V dengan sebuah elemen u v , yang dinamakan

  

jumlah (sum). Perkalian skalar adalah sebuah kaidah untuk mengasosiakan setiap

  skalar k dan setiap elemen u di dalam V dengan sebuah elemen ku, yang dinamakan

  

kelipatan skalar (scalar multiple). Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh

  semua elemen u, v, dan w di dalam V dan oleh semua skalar k dan l, maka V dinamakan ruang vektor dan elemen-elemen di dalam V dinamakan vektor.

  (1) u v berada di dalam V.

  Jika u dan v adalah elemen-elemen di dalam V, maka + (2) u + = + v v u

  (4)

  0 u u 0 u untuk semua u di

  Ada sebuah elemen 0 di dalam V sehingga + = + = dalam V.

  (5) Untuk setiap u di dalam V, ada sebuah elemen –u di dalam V yang dinamakan

• − = − + = negatif dari u sehingga u ( u ) ( u ) u .

  (6) Jika k adalah sebarang bilangan real dan u adalah sebarang elemen di dalam V, maka ku berada di dalam V.

• =

  (7) k ( u v ) k u k v

  = + +

  (8) ( k l ) u k u l u

  =

  (9) k l ( ) u ( ) kl u (10) 1 u = u Vektor 0 di dalam Aksioma 4 dinamakan vektor nol (zero vector) untuk V.

  Definisi 2.1.2 _n

  × ke , dimana V

  Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah pemetaan dari V V

  setiap pasang vektor-vektor u dan v di dalam V dipetakan ke sebuah bilangan real

  u v , yang memenuhi syarat berikut:

  (1) u u , ≥

  0 Nonnegatif (2) u u , = 0 jika dan hanya jika u = Positif

• (3) u v w , = u w , v w , Penjumlahan

  Definisi 2.1.3 _n

  Hasil kali dalam baku untuk adalah hasil kali skalar _T

  x y , = x y Definisi 2.1.4

  Sebuah ruang vektor V dikatakan ruang linear bernorma (normed linear space) jika untuk setiap vektor v ∈

  V dikaitkan dengan sebuah bilangan real v yang

  disebut norma dari v yang memenuhi : (1) v ≥ Nonnegatif (2) v = jika dan hanya jika v = Positif (3) α v = α v untuk semua skalar α Homogenitas

• (4) v w ≤ v w Ketaksamaan segitiga

  Teorema 2.1.5 (Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz)

  Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V, maka

  u v , ≤ u ⋅ v Bukti :

  Bukti teorema 2.1.5 bisa dilihat pada buku karangan Leon, Steven J. (2001). Aljabar

  Teorema 2.1.6

  Jika V adalah sebuah ruang hasil kali dalam, maka persamaan ,

  

v = v v untuk semua v ∈

  V Bukti :

  Bukti teorema 2.1.6 bisa dilihat pada buku karangan Leon, Steven J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya (Terjemahan). Edisi kelima. Jakarta : Penerbit Erlangga.

  Beberapa contoh norma sebuah vektor _n 1. l

  Norma Euclidean (Euclidean norm atau norm) dalam _{2 2 2 1} ² _{n 2 1 2} ^{2 ⎛ ⎞}

• x = x x + + x = x = x , x
_{1 2 n i 2} … _{i 1} =

  

( ) ⎜ ∑ ⎟

  ⎝ ⎠ i sering disebut juga sebagai panjang vektor. _n

  2. l ₁ Norma jumlah (norm sum atau norm) dalam _{n 1} +

  x x x x x

= + + =

_{1 2 … n i}

  ∑ _{i = 1 n}

  3. norm) dalam Norma maksimum (max norm atau l ∞

  x = max x , x , , x = max x _{1 2 … n i} { }

  ∞ _{1 i n n} ≤ ≤

  4. l l Norma ( norm) dalam p p _{n p 1 p}

  ⎛ ⎞

  n

  Untuk selanjutnya norma yang akan digunakan dalam adalah norma Euclidean kecuali ada ketentuan khusus dan akan ditulis dengan notasi i .

  Definisi 2.1.7

  Misalkan v v , , , v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam _{1 2 n} …

  

V . Jika , bilamana i j v v , , , v dikatakan sebagai sebuah

v v = ≠ , maka _{i j { 1 2 … n }} himpunan ortogonal dari vektor-vektor.

  Definisi 2.1.8

  Sebuah himpunan ortonormal dari vektor-vektor adalah sebuah himpunan ortogonal dari vektor-vektor satuan dengan vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu.

  , , , Himpunan u u u akan menjadi ortonormal jika dan hanya jika _{1 2 … n}

  { }

u u , δ

_{i j ij}

=

  di mana 1 jika i = j ⎧

  δ _ij = ⎨ jika i ≠ j

  ⎩

  Definisi 2.1.9

  Sebuah matriks A yang berorde n n × dikatakan nonsingular jika ada sebuah matriks _{1 1 1 1}

  − − − −

A yang berorde n n × dengan AA = A A = I . Matriks A dinamakan invers

matriks A. Sebuah matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

  Definisi 2.1.10

  × dikatakan sebagai matriks ortogonal jika Sebuah matriks Q yang berorde n n _n vektor-vektor kolom dari Q membentuk sebuah himpunan ortonormal di dalam .

  Teorema 2.1.11 _T

  Sebuah matriks Q yang berorde n n × adalah ortogonal jika dan hanya jika Q Q =

  I Bukti :

  Berdasarkan definisi, sebuah matriks Q yang berorde n n × adalah ortogonal jika dan hanya jika vektor kolom-kolomnya memenuhi _{T T T}

q q = δ

_{i j ij}

Tetapi q q adalah entri i j , dari Q Q . Jadi Q adalah ortogonal jika dan hanya _{T i j ( )} jika Q Q =

  I .

  ■

  Definisi 2.1.12

  Misalkan M adalah himpunan semua matriks berukuran n × . Sebuah fungsi n _n : M → dikatakan suatu norma matriks jika untuk setiap A B , ∈ M akan i n ⁿ memenuhi kelima aksioma di bawah ini:

  (1) Nonnegatif

  A ≥

  (1a) 0 jika dan hanya jika A = Positif

  A =

  (2) c A = c A untuk semua skalar c Homogenitas

• ≤ + (3) A B A B Ketaksamaan segitiga (4) AB ≤ A B Submultiplikatif

  Beberapa contoh norma matriks

  1. Norma untuk l A ∈ M yang didefinisikan dengan _{1 n n}

  A = a _{1 ij i j , =} ∑ ₁

  2. Norma Euclidean atau norma untuk l A ∈ M yang didefinisikan dengan _{2 n n 2 2 1} ⎛ ⎞

  A a _{ij 2 ∑} = ⎜ ⎟ _{i j , 1} =

  ⎝ ⎠

  3. Norma l untuk A ∈ M yang didefinisikan dengan

  ∞ n A = max a _ij

  ∞ _{1 , ≤ i j n ≤} Untuk selanjutnya norma yang akan digunakan dalam M adalah norma Euclidean _n kecuali ada ketentuan khusus dan akan ditulis dengan notasi i .

B. Konvergensi

  Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari ke dalam . Jadi, fungsi

  

→ ∈ adalah barisan bilangan real. Biasanya

f : atau f n ( ) dengan n f n ( ) s atau

  dinyatakan dengan s . Barisan dengan s sebagai suku ke-n akan ditulis _{n n n} s . _n

  { } Definisi 2.2.1

  Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi di dalam himpunan bilangan real X; f dikatakan mempunyai limit L di , dan ditulis lim ( ) f x = , jika diberikan sebuah L

  x _{x x} → f x L

  bilangan ε > , maka ada sebuah δ > sedemikian sehingga ( ) − < bila ε

  x

  X

  ∈ dan < − x x < . δ

  Definisi 2.2.2

  Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi di dalam himpunan bilangan real X dan jika lim f x ( ) = f x ( ) . Fungsi f dikatakan kontinu

  x ∈ ; f dikatakan kontinu di X x _{x x} → pada X jika f kontinu pada setiap titik di X.

  Definisi 2.2.3

  Barisan s dikatakan konvergen jika terdapat s ∈ dengan sifat, untuk sebarang

  { } n

  ε > yang diberikan, terdapat N ∈ sehingga untuk semua n ∈ dengan n ≥ berlaku s − s < . Bilangan s dinamakan limit ε s untuk n → ∞ dan ditulis _{n { } n}

  lim s = s atau disingkat lim s = . Suatu barisan yang tidak mempunyai limit s _{n n n} →∞ disebut divergen.

  Definisi 2.2.4 (Deret Taylor)

  Jika f terdiferensial pada semua tingkat di x = maka dapat didefinisikan deret b Taylor untuk f di sekitar x = adalah b _{( ) n}

  f ''( ) b f '''( ) b f ( ) b _{2 3 n} f x ( ) = f b ( ) f b x b '( )( − + ) ( x b − ) ( x b − ) + + ( x b − )

  … … 2! 3! n !

  Teorema 2.2.5 (Teorema Rolle)

  Misalkan f ∈ C a b , dan f terdiferensial dalam interval a b , Jika

  [ ] ( )

f a = f b = , maka ada paling sedikit satu bilangan c pada a b , sedemikian

  ( ) ( ) ( ) sehingga berlaku f c '( ) = .

  Bukti :

  Karena ( ) kontinu dalam a ≤ ≤ berarti x b ( ) mempunyai nilai maksimum M

  f x f x Karena m < M dan = , maka paling sedikit salah satu dari m atau M tidak

  f a ( ) f b ( )

  sama dengan = , misalnya ≠ . Maka nilai maksimum M tidak pada

  f a ( ) f b ( ) M f a ( ) titik akhir dari a b , , melainkan terletak di x = , c a c b dan berarti = .

  < < f c '( )

  ( ) ( )

  ■

  Teorema 2.2.6 (Teorema Nilai Rata-Rata)

  Jika f ∈ C a b , dan terdifferensial dalam interval a b , maka paling sedikit ada ,

  [ ] ( )

  satu nilai c antara a dan b sedemikian hingga berlaku

  f b ( ) − f a ( )

  (2.2.1)

  = f c '( ) b − a

  Bukti :

  Gambar grafik f sebagai kurva pada bidang dan gambar sebuah garis lurus dari titik

  A a f a dan , ( ) B b f b (lihat Gambar 2.2.1 ) maka fungsinya , ( ) ( ) ( )

  ( ) ( ) f b − f a

• g x ( ) = f a ( ) ( x − a ) (2.2.2)

  b a −

  Selisih antara grafik f dan g pada x adalah

  f b ( ) − f a ( ) h x ( ) f x ( ) g x ( ) f x ( ) f a ( ) ( x a ) (2.2.3) = − = − − − b − a

  Dari persamaan (2.2.3) maka h a ( ) = h b ( ) = . Oleh karena fungsi-fungsi f x ( ) dan

  ( x − a ) adalah kontinu dalam a ≤ ≤ dan terdiferensial dalam x b a < < x b , maka

  Gambar 2.2.1

  Dari persamaan (2.2.3) diperoleh

  f b ( ) f a ( ) − h x '( ) = f '( ) x − (2.2.4) b − a

  Untuk x = , maka persamaan (2.2.4) menjadi c

  f b ( ) − f a ( ) '( ) '( ) h c = f c − b − a

  ( ) ( ) f b − f a

  = = f c '( ) − h c '( ) b a

  − f b ( ) − f a ( ) f c '( ) = b − a

  ■

  Teorema 2.2.7 (Teorema Nilai Antara)

  Jika f ∈ C a b , dan K adalah sebuah bilangan yang berada di antara f a ( ) dan

  [ ] ( ) , maka ada sebuah nilai c di a b sedemikian sehingga , ( ) = . (lihat f b f c K

  ( )

Gambar 2.2.2 Bukti :

  <

  Dimisalkan f a ( ) f b ( ) dan m dan M berturut-turut nilai minimum dan maksimum mutlak dari f pada a b , . Maka , , karena f kontinu pada a b . ,

  f a b = m M [ ] [ ] [ ] [ ]

  ( )

  Jadi ≤ < < ≤ . Karena pada a b fungsi f mencapai semua nilai ,

  m f a ( ) c f b ( ) M [ ] mulai dari m sampai dengan M, maka pasti terdapat K ∈ a b , sehingga = . f c ( ) K

  ( )

  ■

  Teorema 2.2.8 (Teorema Titik Ekstrem)

  Andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. Jika ( ) adalah nilai

  f c

  ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu : (i) titik ujung dari I (ii) f c '( ) = atau titik stasioner dari f ( )

  Bukti : Bukti teorema 2.2.8 bisa dilihat pada buku karangan Varberg, Dale, Purcell, Edwin J.

  (2001). Kalkulus (Terjemahan). Edisi Tujuh. Jilid Satu. Jakarta : Interaksara.

  Teorema 2.2.9 (Perluasaan Teorema Nilai Rata-Rata yang Pertama ke Rumus

  Taylor) Jika dan ' kontinu pada a b dan , ' diferensial pada a b , maka ada sebuah ,

  f f f [ ] ( )

  bilangan ξ antara a dan b sedemikian serupa sehingga

  

f ''( ) ξ

²
• f b ( ) = f a ( ) f a b '( )( − + a ) ( b − a ) (2.2.5)

  

2!

Bukti :

  Bukti teorema 2.2.9 bisa dilihat pada buku karangan Thomas, George B., Finney, Ross L. (1986). Kalkulus dan Geometri Analitik (Terjemahan). Edisi keenam. Jilid I. Jakarta : Penerbit Erlangga.

  Lemma 2.2.10 −