Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  Lampiran 1

  Tensor dan Operasinya Skalar,Vektor dan Tensor _{µ µ}

  Misalkan terdapat N buah besaran A _{′µ ′µ} dalam sistem koordinat {x } dan N buah besaran A dalam sistem koordinat lain {x } dengan µ = 1, 2, 3..., N. Jikan kedua besaran itu memenuhi hubungan _{X N ′µ ′µ} ∂x _ν

  A = A (1) _{ν ν ν =1} ∂x maka A disebut sebagai komponen vektor kontravarian atau vektor kontra- varian saja. jika (µν = 0, 1, 2, 3) maka dapat digunakan sumasi Einstein untuk menyederhanakan persamaan tersebut menjadi _{′µ ′µ} ∂x _ν

  A = A (2) _ν ∂x _µ

Misalkan terdapat N buah besaran A µ ′ ′µ µ dalam sistem koordinat {x } dan N buah besaran {A } dalam sistem koordinat lain {x } dengan µ = 0, 1, 2, 3

  Jikan kedua besaran itu memenuhi hubungan _{′ν ′} ∂x A µ = A ν (3) _µ

  ∂x maka A ν disebut sebagai vektor kovarian. Perbedaan antara vektor kovarian dan kontravarian diberikan oleh Gam- bar(1). dari gambar tampak bahwa _µ

  A = A e µ (4) dan A µ µ (5)

  = A · e maka untuk koordinat kartesian berlaku _µ A µ = A (6)

  Artinya, tidak relevan berbicara vektor kovarian dan kontravarian dalam sis-

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  tem koordinat ortoghonal Cartesian.[Purwanto, 2009]

  Gambar 1: Koordinat Tidak Ortogonal _{µν µ}

  Tensor rank dua kontravarian A , kovarian A µν dan campuran A didefin- _ν isikan oleh sifat transformasi komponennya _{′µ ′ν µν αβ ′µν} ∂x ∂x A = A (7)

  → A _{α β} ∂x ∂x _{α β ′} ∂x ∂x

  A µν µν = A αβ (8) → A _{µ ′ν}

  ∂x, ∂x _{′µ β µ µ α} ∂x ∂x A = A (9) _{ν → A ν β α ′ν}

  ∂x ∂x Terlihat bahwa rank menunjuk pada turunan parsial dalam definisi, nol untuk skalar, satu untuk vektor dan dua untuk tensor rank kedua. [Purwanto, 2009]

  Operasi Tensor

  Operasi yang berlaku pada tensor antara lain

  1. Penjumlahan dan Pengurangan Jumlah dari dua buah atau lebih tensor yang rank dan jumlah indeks kontra- varian serta kovariannya sama adalah juga sebuah tensor dengan rank dan jumlah indeks kontravarian serta kovarian yang sama dengan tensor-tensor yang dijumlahkan. Hal yang serupa berlaku juga untuk pengurangan tensor.

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  2. Perkalian Luar Perkalian luar dua buah tensor menghasilkan sebuah tensor yang ranknya sama dengan jumlah rank dari kedua buah tensor yang dioperasikan. Perkalian luar _{m m m} dari tensor A dan B ij akan memberikan tensor C = A B ij yang merupakan _{n nij n} tensor campuran rank empat.

  3. Kontraksi Kontraksi adalah operasi menyamakan sepasang atau lebih indeks kontravarian dan kovarian sehingga hasil yang diperoleh adalah penjumlahan yang sesuai dengan kaidah penjumlahan Einstein. Hasil penjumlahan ini adalah suatu tensor yang ranknya dua lebih rendah daripada rank tensor semula. Misalkan _l diketahui tensor campuran rank empat A . Dengan mengambil l = m maka _mnp akan diperoleh tensor kovarian rank kedua A . _np

  4. Perkalian Dalam Perkalian dalam merupakan operasi perkalian luar yang diikuti oleh operasi _{mn s} kontraksi. Misalkan diketahui tensor-tensor A dan B , hasil perkalian kedua _{mns mn s l k} tensor ini dinyatakan oleh C = A B . Dengan mengambil l = s maka _{lk l k mn mn s} akan diperoleh hasil perkalian dalam yang dinyatakan sebagai C = A B . _{k s k}

  5. Hukum Hasil Bagi Andaikan tidak diketahui apakah sebuah besaran X adalah sebuah tensor atau tidak. Apabila hasil-kali dalam dari X dengan sembarang tensor adalah sebuah tensor, maka X adalah juga sebuah tensor. Aturan ini disebut hukum hasil- bagi.

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  Lampiran 2

  Tensor Simetri dan Antisimetri

  Tensor kovarian rank dua A µ ν disebut tensor simetri jika komponennya memenuhi A µν = A νµ (10) dan disebut antisimetri jika

  A µν νµ (11) = −A _µν analog dengan persamaan tersebut, tensor kontravarian A disebut simetri jika _{µν νµ}

  A = A (12) dan disebut anti simetri jika [Dalarson, 2005] _{µν νµ} A

  (13) = −A Lampiran 3

  Turunan kovarian suatu tensor kontravarian A ^µν diberikan oleh DA ^µν

• Γ ^ν _αβ

  Dx ^β =

  ∂A ^µν ∂x ^β

  A ^µα + Γ ^µ _αβ A ^αν (14) atau bisa ditulis D β A ^µν = ∂ β A ^µν + Γ ^ν _αβ A ^µα + Γ ^µ _αβ A ^αν (15) dan

  A ^µν ;β

  = A ^µν _,β + Γ ^ν _αβ A ^µα + Γ ^µ _αβ A ^αν (16) dan turunan kovarian untuk A µν A _{µν ;β} = A ^µν,β

  − Γ ^{α µβ} A _αν

  − Γ ^{α νβ} A _µβ (17) sedangkan turunan kovarian untuk tensor campuran A ^µ _ν

  A ^µ _{ν ;β} = A ^µ _ν,β + Γ ^µ _αβ A ^β _ν − Γ ^{β νβ}

  A ^µ _ν (18)

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

Turunan Kovarian

• B = B + A (2) A + (B + C) = (A + B) + A (3) (m + n)A = mA + nA (4) m(A + B) = mA + mB (5) A · B = AB cos θ
• j
• k

  2 ∂z i +

  2 ∂y

  3 ∂z

  (22) ∇ × A =

  ∂A

  3 ∂y

  − ∂A

  ∂A

  ∇ · A = ∂A

  1 ∂z

  − ∂A

  3 ∂x j

  2 ∂x

  − ∂A

  1 ∂y k

  (23)

  1 ∂x

  ∂φ ∂z k (21)

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  (8) A × B = −B × A

  Lampiran 4

  Analisis Vektor Hukum Aljabar Vektor

  Jika A, B dan C adalah vektor dan m,n adalah skalar serta θ adalah sudut yang dibentuk oleh A dan B, maka (1)

  A

  (6) A × B = AB sin θ

  (7) A · B = B · A

  (19)

  ∂x i + ∂φ ∂y j +

  Gradien, Divergensi dan Curl

  Operator vektor ∇ yang disefinisikan sebagai berikut ∇ = i

  ∂ ∂x

  ∂ ∂y

  ∂ ∂z

  (20) Kemudian jika φ(x, y, z) dan A(x, y, z) mempunyai turunan pertama yang kon- tinu pada suatu daerah, maka dapat didefinisikan hal berikut

  ∇φ = ∂φ

• ∂A
• ∂A
• ∂A

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  dengan ∇φ adalah gradien dari φ, ∇ · A adalah Divergensi dari A dan ∇ × A adalah Curl dari A.

  Rumus-Rumus yang Mengandung ∇

  Jika turunan parsial dari A, B, U dan V ada maka: ∇(U + V ) = ∇U + ∇V

  ∇ · (A + B) = ∇ · A + ∇ · B ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B

  ∇ · (UA) = (∇U) · A + U(∇ · A) ∇ × (UA) = (∇U) × A + U(∇ × A)

  ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)

  2

  2

  2 ∂ U ∂ U ∂ U

  2

• 2

  U ≡

• ∇ · (∇U) = ∇

  2

  2 ∇ × (∇U) = 0

  2 A (24)

  ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇

  2 dinamakan operator Laplace. dengan ∇

• dr
• (r
• r

  22 = r

  2 sin

  2 θdφ

  2 ) (26) dengan ν = ν(r), λ = λ(r).

  Persamaan memberi elemen tensor metrik g

  00 = −e

  2ν , g

  11 = e

  2λ , g

  2 , g

  2 dθ

  33 = r

  2 sin

  2 θ (27) atau dapat ditulis g µν = ^{    } _{  }

  −e 2ν e

  2λ r

  2 r

  2 sin

  2 θ ^{       }

  (28)

  2

  2

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  2

  Lampiran 5

  Solusi Schwarzchild

  Didekat obyek masif M ruang-waktu yang melengkung, garis dunia ds dari par- tikel dan berkas cahaya adalah geodesik, untuk mendapatkannya perlu dike- tahui tensor metrik g µν di dalam koordinat yang dipilih. dalam koordinat bola x = t, x

  1 = r, x

  2 = θ, x

  3 = φ dengan M sebagai titik pusatnya. jika M nol maka rumus jarak ds

  2 = −c

  2 dt

  2

  2 dθ

  2λ dr

  2

  2 sin

  2 θdφ

  2 ) (25)

  Jika massa M dinyalakan maka akan terjadi dua hal, ruang posisi akan me- lengkung sehingga lingkaran r tidak secara tepat berada pada jarak r dari pusat lingkaran, dan jam pada setiap permukaan r tidak teramati dari per- mukaan r yang lain. Efek ini dapat dituliskan dalam elemen jarak ds

  2 = −e

  2ν c

  2 dt

  2

• e
• (r
• r
• ∂g _ρµ

• ∂ g
• ∂ g
• ∂ g

• ∂ g
• ∂
• ∂
• ∂

  2 (0 + 0 − 0)

  1

  =

  11 )

  10 − ∂ g

  1 g

  01

  1 g

  2 (∂

  1

  0,11 =

  = 0 Γ

  00 )

  00 − ∂ g

  00

  3 g

  2 (∂

  = 0 Γ 0,12 = Γ 0,21 =

  2 (∂ 2 g 01 + ∂ 1 g

  1

  01

  = 0

  2 (0 + 0 − 0)

  1

  =

  13 )

  30 − ∂ g

  1 g

  3 g

  20 − ∂ g

  2 (∂

  1

  0,31 =

  0,13 = Γ

  = 0 Γ

  2 (0 + 0 − 0)

  1

  12 ) =

  1

  0,03 = Γ

  0,30 =

  0,00 =

  0,01 = Γ

  = 0 Γ

  00 )

  00 − ∂ g

  00

  2 (∂ g

  1

  (30) Γ

  1

  ∂g _υρ ∂x ^µ

  ∂x ^υ −

  ∂x ^ρ

  2 ∂g _µυ

  1

  Γ _µ,υρ =

  (29) Selanjutnya untuk semua komponen simbol Cristoffelnya akan berlaku

  inversnya g ^µν = ^{    } _{  } −e ^−2ν e ⁻² λ r ⁻² r ⁻² sin ⁻² θ ^{       }

  0,10 =

  2 (∂

  = 0 Γ

  0,02 = Γ

  00 )

  00 − ∂ g

  00

  2 g

  2 (∂

  1

  0,20 =

  2ν Γ

  1 g

  ∂r = −ν ^′ e

  2ν )

  2 ∂(−e

  1

  =

  00 )

  00 − ∂ g

  00

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

• ∂ g
• ∂ g

  10

  11

  1 g

  2 (∂

  1

  1,11 =

  = 0 Γ

  03 )

  1 g

  31 − ∂

  3 g

  11 − ∂

  2 (∂

  1

  1,30 =

  1,03 = Γ

  = 0 Γ

  02 )

  1 g

  21 − ∂

  10

  1 g

  1 g

  2 (∂

  11

  1 g 13 ) = 0

  31 − ∂

  2 (∂ 3 g 11 + ∂ 1 g

  1

  = 0 Γ 1,13 = Γ 1,31 =

  12 )

  1 g

  21 − ∂

  1 g

  2 g

  11 )

  2 (∂

  1

  1,21 =

  1,12 = Γ

  2λ Γ

  2λ = λ ^′ e

  2 2λ ^′ e

  1

  =

  2 g

  1

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  1

  Γ 1,00

  33 ) = 0

  30 − ∂ g

  2 (∂ 3 g 03 + ∂ 3 g

  1

  Γ 0,33 =

  23 ) = 0

  03 − ∂ g

  2 (∂ 3 g 02 + ∂ 2 g

  = 0 Γ 0,23 = Γ 0,32 =

  1

  22 )

  20 − ∂ g

  2 g

  02

  2 g

  2 (∂

  1

  =

  Γ 0,22

  =

  2 (∂ g

  =

  1,10 =

  = Γ 1,20

  Γ 1,02

  01 )

  1 g

  11 − ∂

  10

  1 g

  2 (∂

  1

  1,01 = Γ

  10

  2ν Γ

  ∂r = ν ^′ e

  2ν )

  2 0 + 0 − ∂(−e

  1

  =

  00 )

  1 g

  01 − ∂

• ∂ g
• ∂ g
• ∂
• ∂
• ∂

• ∂ g
• ∂ g

  1 g

  32 − ∂

  2 (∂ 3 g 21 + ∂ 1 g

  1

  = r Γ 2,13 = Γ 2,31 =

  2 (0 + (2r) − 0)

  1

  =

  12 )

  2 g

  22 − ∂

  21

  Γ 2,22

  2 g

  2 (∂

  1

  2,21 =

  2,12 = Γ

  = 0 Γ

  2 (0 + 0 − 0)

  1

  =

  02 )

  2 g 13 ) = 0

  = Γ 2,21

  22 − ∂

  2,23 = Γ

  = 0

  23 )

  2 g

  32 − ∂

  2 g

  22

  3 g

  2 (∂

  1

  2,32 =

  = 0 Γ

  =

  2 (0)

  1

  =

  22 )

  2 g

  22 − ∂

  2 g

  22

  2 g

  2 (∂

  1

  2 g

  20

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  2 (0 + 0 − (2r))

  1 g 33 ) =

  31 − ∂

  2 (∂ 3 g 13 + ∂ 3 g

  1

  Γ 1,33 =

  1 g 23 ) = 0

  31 − ∂

  2 (∂ 3 g 12 + ∂ 2 g

  1

  = −r Γ 1,23 = Γ 1,32 =

  1

  2 0 + 0 − 2r sin

  =

  22 )

  1 g

  21 − ∂

  2 g

  12

  2 g

  2 (∂

  1

  =

  Γ 1,22

  1

  2 θ

  2 g

  2 (∂

  2 (∂

  1

  2,20 =

  2,02 = Γ

  = 0 Γ

  01 )

  2 g

  12 − ∂

  20

  1 g

  1

  = −r sin

  2,10 =

  2,01 = Γ

  = 0 Γ

  2 (0 + 0 − 0)

  1

  2 g 00 ) =

  02 − ∂

  2 (∂ g 20 + ∂ g

  1

  Γ 2,00 =

  2 θ

• ∂
• ∂
• ∂
• ∂

• ∂ g
• ∂ g
• ∂
• ∂

  =

  2 g

  32

  2 g

  2 (∂

  1

  =

  Γ 3,22

  2 θ

  − 0 = r sin

  2 θ

  2 0 + 2r sin

  1

  13 )

  3 g

  3 g

  33 − ∂

  1 g

  31

  3 g

  2 (∂

  1

  3,31 =

  3,13 = Γ

  = 0 Γ

  12 )

  3 g

  23 − ∂

  23 − ∂

  22 )

  31

  − 0 = r

  = 0 Γ ^µ _υρ = g ^µτ Γ τ,υρ

  33 )

  3 g

  33 − ∂

  3 g

  33

  3 g

  2 (∂

  1

  =

  Γ 3,33

  2 sin θ cos θ

  2 . sin θ cos θ

  = 0 Γ

  2 0 + r

  1

  =

  23 )

  3 g

  33 − ∂

  2 g

  32

  3 g

  2 (∂

  1

  3,32 =

  3,23 = Γ

  1 g

  2 g

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  = −r

  3,10 =

  3,01 = Γ

  = 0 Γ

  00 )

  3 g

  03 − ∂

  30

  2 (∂ g

  1

  =

  Γ 3,00

  2 . sin θ. cos θ

  2 . sin θ. cos θ

  2 (∂

  2 0 + 0 − r

  1

  =

  33 )

  2 g

  32 − ∂

  3 g

  23

  3 g

  2 (∂

  1

  =

  Γ 2,33

  1

  1 g

  2 (∂

  =

  1

  3,21 =

  3,12 = Γ

  = 0 Γ

  11 )

  3 g

  13 − ∂

  1 g

  31

  1 g

  2 (∂

  1

  Γ 3,11

  30

  3 g 03 ) = 0

  33 − ∂

  2 (∂ 3 g 30 + ∂ g

  1

  Γ 3,03 = Γ 3,30 =

  3 g 02 ) = 0

  23 − ∂

  2 (∂ 2 g 30 + ∂ g

  1

  = 0 Γ 3,02 = Γ 3,20 =

  01 )

  3 g

  13 − ∂

• ∂
• ∂
• ∂
• ∂

  Γ

  13 = Γ

  Γ

  0,13 = 0

  00 Γ

  13 = g

  0τ Γ _τ,

  31 = g

  = 0 Γ

  0τ Γ τ,

  00 Γ 0,12

  12 = g

  0τ Γ τ,

  21 = g

  12 = Γ

  Γ

  22 = g

  22 = g

  00 Γ

  0,23 = 0

  = 0

  00 Γ 0,33

  33 = g

  0τ Γ τ,

  33 = g

  Γ

  00 Γ

  00 Γ

  23 = g

  0τ Γ τ,

  32 = g

  23 = Γ

  Γ

  0,22 = 0

  0,11 = 0

  11 = g

  00 = g

  00 Γ

  = g

  01 Γ 1,01 = 0

  = g

  (2ν) = ν ^′

  (−2ν) . −ν ^′ e

  0,01 = −e

  01 = g

  = g

  0τ Γ τ,

  10 = g

  01 = Γ

  Γ

  0,00 = 0

  00 Γ

  02 Γ 2,01 = 0

  03 Γ 3,01 = 0

  0τ Γ τ,

  30 = g

  11 = g

  Γ

  0,30 = 0

  00 Γ

  30 = g

  0τ Γ τ,

  03 = Γ

  Γ

  Γ

  0,20 = 0

  00 Γ

  20 = g

  0τ Γ _τ,

  20 = g

  02 = Γ

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  1 1τ Γ = g Γ τ,

  00

  00

  11 = g Γ

  1,00 _{′ (2ν)} (−2λ)

  = e . ν e _′ (2ν−2λ)

  = ν e

  1 1 1τ Γ = Γ = g Γ τ,

  01

  01

  10

  11 = g Γ 1,01 = 0

  1 1 1τ Γ = Γ = g Γ _τ,

  02

  02

  20

  11 = g Γ

  1,02 = 0

  1 1 1τ Γ = Γ = g Γ τ,

  03

  03

  30

  11 = g Γ

  1,03 = 0

  1 1τ Γ = g Γ τ,

  11

  11

  11 = g Γ

  1,11 _{′ (2λ)} (−2λ)

  = e . λ e _′ = λ

  1 1 1τ Γ = Γ = g Γ τ,

  12

  12

  21

  11 = g Γ 1,12 = 0

  1 1 1τ Γ = Γ = g Γ τ,

  13

  13

  31

  11 = g Γ

  1,13 = 0

  1 1τ Γ = g Γ τ,

  22

  22

  11 = g Γ

  1,22 (−2λ)

  = e . (−r)

  (−2λ) = −re

  1 1 1τ Γ = Γ = g Γ τ,

  23

  23

  32

  11 = g Γ 1,23 = 0

  Γ

  13 = Γ

  2

  22 = Γ

  2

  Γ

  2,13 = 0

  22 Γ

  31 = g

  2

  2

  22 Γ

  1 r Γ

  2,12 = (r) ⁻² . (r) =

  22 Γ

  12 = g

  2τ Γ τ,

  21 = g

  2

  12 = Γ

  2

  22 = g

  2,22 = 0

  22 Γ 2,11

  33 = g

  = 0

  33 Γ 3,00

  00 = g

  3

  = − sin θ cos θ Γ

  2 sin θ cos θ

  . −r

  2,33 = (r) ⁻²

  22 Γ

  2

  Γ

  33 = Γ

  2

  Γ

  2,23 = 0

  22 Γ

  32 = g

  2

  23 = Γ

  2

  = 0 Γ

  11 = g

  1

  2

  2

  01 = Γ

  2

  = 0 Γ

  22 Γ 2,00

  00 = g

  1τ Γ τ,

  00 = g

  (−2λ) Γ

  2τ Γ _τ,

  2 θe

  = −r sin

  2 θ

  (−2λ) . −r sin

  1,33 = e

  11 Γ

  33 = g

  1τ Γ τ,

  33 = g

  10 = g

  01 = g

  2

  Γ

  Γ

  2,03 = 0

  22 Γ

  03 = g

  2τ Γ τ,

  30 = g

  2

  03 = Γ

  2

  2,02 = 0

  22 Γ

  22 Γ

  02 = g

  2τ Γ τ,

  20 = g

  2

  02 = Γ

  2

  Γ

  2,01 = 0

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

  33 Γ

  13 = Γ

  3

  31 = g

  33 Γ

  3,13 = r ⁻² sin ⁻² θ. r sin

  2 θ

  =

  1 r Γ

  3

  23 = Γ

  3

  32 = g

  3,23 = r ⁻² sin ⁻² θ. r

  Γ

  2 sin θ. cos θ

  = sin θ cos θ

  = cot θ Γ

  3

  33 = g

  33 Γ 3,33

  = 0 Tensor Riccinya

  R τ υ = ∂υΓ ^γ _{τ γ} − ∂γΓ ^{γ τ υ}

  Γ ^γ _ρυ − Γ ^{ρ τ υ}

  Γ ^γ _ργ (31) maka untuk komponen Ricci diagonalnya R τ τ = ∂τ Γ ^γ _{τ γ}

  − ∂γΓ ^{γ τ τ}

  Γ ^γ _ρτ − Γ ^{ρ τ τ}

  Γ ^γ _ργ

  3

  3,12 = 0

  Γ

  Γ

  3

  01 = Γ

  3

  10 = g

  33 Γ

  3,01 = 0

  Γ

  3

  02 = Γ

  3

  20 = g

  33 Γ

  3,02 = 0

  3

  33 Γ

  03 = Γ

  3

  10 = g

  33 Γ 3,03

  = 0 Γ

  3

  11 = g

  33 Γ 3,11

  = 0 Γ

  3

  12 = Γ

  3

  21 = g

• Γ ^ρ _{τ γ}
• Γ ^ρ _{τ γ}
• Γ ^ρ

• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• 2ν ^′2
• 2ν ^′
• ν ^′
• ν ^′
• Γ ^ρ
• Γ
• Γ
• Γ
• ∂
• ∂
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ ^γ
• Γ

• Γ
• Γ
• Γ
• Γ

  01

  10 Γ

  01

  1

  10 Γ

  11

  1

  11 Γ

  1

  11

  1

  2

  12 Γ

  11

  1

  13 Γ

  3

  11

  2

  10 Γ

  21

  2

  11 Γ

  1

  3

  01

  13 Γ

  1 Γ

  02

  3

  03 = ∂

  1 Γ

  10

  1

  11

  2

  21

  3 13 − ∂ Γ

  11 ∂

  1

  2

  11

  2 Γ

  2

  11

  3 Γ

  3

  11

  11 Γ

  1

  01

  12 Γ

  21

  2

  12 Γ

  11 Γ

  10 − Γ

  2

  11 Γ

  1

  21

  2

  22

  3

  23 −Γ

  3

  1

  3

  31

  2

  32

  3

  33 − Γ

  11 Γ

  1

  01

  2

  02

  3

  13

  12

  2

  31

  21

  3

  13 Γ

  3

  21

  3

  10 Γ

  31

  3

  11 Γ

  1

  3

  2

  12 Γ

  2

  31

  3

  13 Γ

  3

  31 −Γ

  1

  11 Γ

  1

  11

  2

  1

  01

  − ν ^′ + λ ^′ +

  2 r = −∂ ^r

  ν ^′ e (2ν−2λ)

  e (2ν−2λ)

  − ν ^′ e (2ν−2λ)

  ν ^′ + λ ^′ +

  1 r = −ν ^′′ e

  (2ν−2λ) − ν ^′

  (2ν ^′ − 2λ ^′

  ) e (2ν−2λ)

  e (2ν−2λ)

  2 r ν ^′ e

  1

  (2ν−2λ) =

  −ν ^′′ − ν ^′ .2ν ^′ + ν ^′ .2λ ^′ + 2ν ^′2

  − ν ^′2

  λ ^′ + 2ν ^′ r e

  (2ν−2λ) =

  −ν ^′′

  λ ^′ − ν ^′2 −

  2ν ^′ r e

  (2ν−2λ) R

  11 = ∂

  1 Γ ^γ

  00 ν ^′ + λ ^′ +

  01 − Γ

  11 Γ

  0γ Γ ^γ

  R

  00 = ∂ Γ ^γ

  0γ − ∂γΓ ^γ

  00

  0γ Γ ^γ _ρ

  − Γ ^ρ

  00 Γ ^γ _ργ

  = 0 − ∂

  1 Γ

  1

  00

  00

  Γ ^γ

  1 0γ

  Γ ^γ 01 − Γ

  1

  00 Γ ^γ

  1γ = −∂

  1 Γ

  1

  00

  0γ Γ ^γ

  00

  1 0γ

  1γ − ∂ ^γ Γ ^γ

  11

  1γ Γ ^γ _ρ

  1

  31 −Γ

  1

  11 Γ

  1

  11

  2

  12

  3 13 − Γ

  2

  11 Γ

  21

  3 1γ

  2

  22

  3

  23 −Γ

  3

  11 Γ

  1

  31

  2

  32

  3 33 − Γ

  Γ ^γ

  21

  1 − Γ ^ρ

  2 1γ

  11 Γ ^γ _ργ

  = ∂

  1 Γ

  10

  1

  11

  2

  21

  3 13 − ∂ Γ

  11 ∂

  1 Γ

  1

  11

  2 Γ

  2

  11

  3 Γ

  3

  11

  1γ Γ ^γ

  01

  1 1γ

  Γ ^γ

  11

• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• ∂
• ∂
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ

  03 ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ = ν ^′′
• λ ^′′
• −
• −
• ^"
• (λ ^′
• 1 r
• 1 r
• 1 r
• (ν ^′
• (λ ^′
• 2 r
• Γ ^ρ

• Γ
• Γ
• Γ
• ∂ 2 Γ
• ∂ 3 Γ
• ∂ Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• ∂
• ∂
• ∂ Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• Γ
• re
• cot
• rλ ^′
• 2) e
• Γ ^ρ

  23 Γ

  3

  02

  1

  20 Γ

  0γ

  12

  1

  21 Γ

  1

  1

  12

  22 Γ

  2

  12

  1

  23 Γ

  3

  12

  2

  20 Γ

  22

  02

  22 Γ

  2

  22

  3γ = ∂

  2 Γ

  20

  1

  21

  2

  22

  3 23 − ∂

  1 Γ

  1

  2 Γ

  02

  2

  22

  3 Γ

  3

  22

  22

  20 Γ

  02

  21 Γ

  1

  2

  1

  21 Γ

  (−2λ) − 2e

  10

  1

  11

  2

  12

  3

  13 R

  22 = − csc

  2 θ + e

  (−2λ) − 2rλ ^′ e

  (−2λ)

  1

  (−2λ) ν ^′ + λ ^′ +

  2 r

  2 θ

  = (1 − 2rλ ^′ − 2 + rν ^′

  (−2λ) − csc

  2 θ + cot

  2 θ

  = (1 + rν ^′ − rλ ^′

  ) e (−2λ)

  − 1 (33)

  22 Γ

  Γ

  22

  23

  2

  22 Γ

  2

  22

  2

  23 Γ

  3

  22

  3

  20 Γ

  3

  23 −

  21 Γ

  1

  23

  3

  22 Γ

  2

  23

  3

  23 Γ

  3

  22 Γ ^γ

  3

  2γ

  (ν ^′ )

  11

  2

  12

  3

  13

  1 r

  2

  1 r

  2 − λ ^′′

  2

  11 Γ

  )

  2

  2

  2 ^# − λ ^′

  ν ^′ + λ ^′ +

  1 r

  = ν ^′′ + λ ^′′ −

  2 r

  2 − λ ^′′

  )

  1

  1

  )

  1

  R

  11 = ∂

  1 Γ

  10

  1

  11

  2

  21

  3 13 − ∂

  1 Γ

  11

  3 13 − Γ

  10 Γ

  10

  1

  11 Γ

  1

  11

  2

  12 Γ

  2

  12

  2

  2

  22 Γ ^γ

  Γ ^γ

  22

  3

  22

  22

  2γ Γ ^γ

  02

  1 2γ

  Γ ^γ

  12

  2 2γ

  22

  22

  3 2γ

  Γ ^γ

  32 −

  Γ

  22 Γ ^γ

  0γ

  1

  22 Γ ^γ

  1γ

  2

  2

  1

  2 − λ ^′

  22

  ν ^′ + λ ^′ +

  2 r R

  11 = ν ^′′ + (ν ^′ )

  2 − λ ^′

  ν ^′ −

  2λ ^′ r (32)

  R

  22 = ∂

  2 Γ ^γ

  2γ − ∂ ^{γ Γ γ}

  2γ Γ ^γ _ρ

  1 Γ