IMPLEMENTASI ALGORITMA MODIFIKASI BROYDEN-FLETCHER-GOLDFARB-SHANNO (MBFGS) | Standsyah | Jurnal Ilmiah Soulmath 231 556 1 PB
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
IMPLEMENTASI ALGORITMA MODIFIKASI BROYDEN-FLETCHERGOLDFARB-SHANNO (MBFGS)
Rahmawati Erma Standsyah
FKIP, Universitas Dr. Soetomo
Abstract: The concept of minimum resolving set has proved to be useful and or related to a
variety of fields such as Chemistry, Robotic Navigation, and Combinatorial Search and
Optimization. Two graph are path graph (�� ) anf circle graph (�� ). The corona product
�� ⨀ �� is defined as the graph obtained from �� and �� by taking one copi of �� and
�1 copies of �� and joining by an edge each vertex from the ��ℎ copy of �� with the ��ℎ
vertex of �� . �� ⨀ �� and �� ⨀�� not commute to � ≠ �, it is showed that order of
graph �� ⨀ �� different with graph �� ⨀�� . Based on research obtained ���(�� ⨀�� ) =
�. ���(�1,� ) dan ���(�� ⨀�� ) = �. ��� (�1 + �� )
Keyword : Resolving Sets, Metric Dimension, Path Graph, Circle Graph, Corona Graph
Pendahuluan
Dimensi Metrik menjadi menarik untuk
Untuk himpunan terurut W = {w1 , w2 , ...,
dibahas karena konsep himpunan pemisah yang
wk } dari vertex-vertex dalam graf terhubung
mempunyai
telah
G dan vertex v ∈ V (G), representasi dari
pembahasan
v terhadap W adalah k-vektor r (v|W ) =
pada bidang lain seperti Kimia (Chartrand,
(d(v, w1 ), d(v, w2 ), ..., d(v, wk )) Jika r(v|W )
dkk, Boundary vertices in Graph and Poisson
untuk setiap vertex v ∈ V (G) berbeda, maka
terbukti
kardinalitas
minimum
sangat berguna untuk
and Zhang, The Metric Dimension of unicyclic
graphs),
Navigasi
Robot
dan
Pencarian
(Khuller,
Raghavachari,
and
Rosenfeld,
Landmarks
in
dan
Optimasi
graphs)
W
panjang
disebut
himpunan
pemisah
tersebut dinamakan dimensi
ini merupakan kajian yang sedang marak
Misalkan u dan v adalah
adalah
minimum
kardinalitas
Kajian tentang dimensi metric pada graf
dibicarakan. Terbukti dengan adanya banyak
vertex-vertex dalam graf terhubung G, maka
d(u, v)
dengan
metric dari � dinotasikan ���(�) [1].
adalah kardinalitas
minimum himpunan pemisah (resolving set)
jarak
pemisah
basis metrik
generator of graphs) (Hernando, dkk, 1).
pada graf G.
Himpunan
minimum (basis metrik), dan kardinalitas dari
Kombinasi (Sebo and Tannier, On Metric
Dimensi Metrik
disebut himpunan pemisah dari V (G).
jurnal
lintasan
dan
penelitian-penelitian
yang
membahas tentang kajian ini [1-6], misalnya
terpendek antara u dan v pada G.
Dimensi Metrik Graft Kincir dengan Pola
244
�1 + ��3 [1], Resolvability in graph and the
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
metric dimention of a graph [2], On the
{a1 , a2 , ..., an } dan simpul pada graf Cm
Metric Dimension of Corona Product Graph
diberi label V (Cm ) = {�1 , �2 , . . . , �� } dengan
[3], On the Metric Dimension of Some
Families
of
Graphs
[4],On
the
jumlah
metric
membahas
dihitung
dimensi
metrik
Berdasarkan
pemisalan-pemisalan
tersebut
maka graf H memiliki � + �� simpul yaitu
� (� ) = {{�1 , �2 , … , �� },
Diberikan dua graf yaitu graf path
{�1,1 , �1,2 , … , �1, � }, {�1,1 , �1,2, … , �1, � }
yang disimbolkan dengan �� dan graf circle
, … , {��, 1 , ��, 2 , . . . , �� , � }}
yang disimbolkan dengan �� . Operasi corona
Graf �1 ⨀ �� bentuknya sama
�� ⨀ �� adalah graf yang diperoleh dari
dengan graf Wheel W1,m . Graf Wheel ini
�� dan �� dengan mengambil 1 graf �� yang
memiliki dimensi metrik sebanyak [3]:
masing-
2 ����� � = 3,4
3 ����� � = 5,6
dim(�1,� ) = � 2� + 2
� ����� � ≥ 7
�
5
dihubungkan pada
setiap simpul graf. �� ⨀ �� dan �� ⨀ ��
tidak bersifat komutatif untuk � ≠ �. Hal ini
ditunjukkan bahwa order graf �� ⨀ �� dengan
Sedangkan graf H
sama. Sehingga pada
bentuknya sama dengan
graf W1,m sebanyak n buah dengan masing-
tulisan ini dihitung besar nilai dimensi metrik
masing pusatnya terhubung.
dari
Untuk menentukan dimensi metrik graf
graf �� ⨀ �� dan graf �� ⨀ �� .
H dilakukan pencarian batas bawah dan batas
atas.
Dimensi Metrik Graf �� ⨀ ��
Dengan
bentuk
graf
�1 ⨀ ��
memenuhi persamaan (1) diperoleh paling
sedikitnya memenuhi aturan anggota himpunan
Graf �� ⨀ �� graf yang diperoleh dari Pn
pembeda pada graf wheel. Oleh karena graf H
dan Cm dengan mengambil 1 graf Pn yang
teratur memiliki
masing-masing simpul graf Pn dihubungkan
n buah graf wheel yang
pusatnya saling terhubung maka jelas bahwa
pada setiap simpul graf Cm sehingga graf H
batas
yaitu H =�� ⨀ �� memiliki jumlah simpul
sebanyak � + ��.
yang
ke-n memiliki label ��, 1 , ��, 2 , . . . , ��, � .
dengan
sebelumnya.
graf �� ⨀ �� tidak
buah.
yang dikoronakan dengan simpul Pn
mengembangkan graf-graf yang telah dikerjakan
masing simpul graf ��
nm
�1,1 , �1,2 , . . . , �1, � sehingga simpul graf Cm
tentang
dimensi metrik pada graf. Oleh karena itu pada
tulisan
sebanyak
dengan simpul Pn yang pertama dilabelkan
metric dimension of line graphs [6] dan lain
Semuanya
)
Dimisalkan simpul graf Cm yang dikoronakan
dimension of circulant graphs [5] , On the
sebagainya.
V (Cm
bawah
dim(�) = dim(�� ⨀�� ) =
�. ��� ��1,� �. Untuk menentukan batas atas
Simpul-simpul yang ada
dimensi metrik graf H dilakukan konstruksi.
pada graf Pn misalkan diberi label V (Pn ) =
Kasus 1 m = 3
245
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
�(�� |� ) = (�, �, . . . , 2, 2, 1, 1)
Misalkan diambil himpunan pembeda
� = {�1,1 , �1,2 , �2,1 , �2,2 , . . . , ��, 1, ��, 2 }
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�1,3 |� ) = (2, 1, 3, 3, 4, 4, … , �
dengan
�(�2,3 |� ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3, 4, 4, … , �, �),
�=4
representasi yang berbeda-beda terhadap W,
+ 1, +1),
�(��, 3 |� ) = (� + 1, �
⋮
Kasus 3 � = 5
Misalkan
+ 1, . . . , 4, 4, 3, 3, 2, 1),
�(�� |� ) = (�, �, . . . , 2, 2, 1, 1)
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
+ 1, � + 1)
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , �
+ 1, � + 1, � + 1)
dengan demikian dim(�) = �. 2 untuk � = 3
diambil
himpunan
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, … , �, �, �)
pembeda
� = {�1,1 , �1,2 , �2,1 , �2,2 , . . . , ��, 1, ��, 2 }
�(��, 2 |� ) = (� + 1, � + 1, +1, �, �, �, …,
�(��, 4|� ) = (� + 1, � + 1, �
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 2, 1, 1)
�(�1,3 |� ) = (2, 1, 3, 3, 4, 4, … , � + 1, �
+ 1),
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �),
�(�1,4 |� ) = (1, 2, 3, 3, 4, 4, … , � + 1, �
�(�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, … , � − 1, � −
+ 1),
1, � − 1),
�(�2,3 |� ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3, 4, 4, … , �, �),
⋮
Dapat
�(�� |� ) = (�, �, �, . . . , 2, 2, 2, 1, 1, 1)
memiliki
�(��, 3 |� ) = (� + 1, �
dilihat
bahwa setiap simpul
represen- tasi yang berbeda-beda
terhadap W , dengan demikian ��� (� ) =
+ 1, … , 4, 4, 3, 3, 2, 1),
�. 3 untuk � = 5
�(��, 4 |� ) = (� + 1, �
+ 1, … , 4, 4, 3, 3, 1, 2),
Kasus 4 m = 6
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , �, �),
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , � − 1, � − 1),
⋮
3, 3, 3, 2, 1, 1)
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 1, 2, 3, 3, 4, 4, . . . , �, �),
pembeda
terhadap W :
⋮
representasi yang berbeda-beda terhadap W,
Misalkan
himpunan
untuk
��, 1, ��, 3 , ��, 5 } maka diperoleh representasi
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
Kasus 2 � = 4
diambil
���(� ) = �. 2
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,3 , �2,5 …,
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , �, �),
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , � − 1, � − 1),
demikian
Misalkan
⋮
246
diambil
himpunan pembeda
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,3 , �2,5 …,
⋮
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
��, 1, ��, 3 , ��, 5 }
maka
�(�1, � + 3 |� = (2, 1, 1, 2, … , 3, 3, … , � + 1, �
diperoleh
+ 1, . . . )
representasi terhadap W :
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
+ 1, � + 1)
r(b1,m |W ) = (2, 2, 2, ..., 3, 3, ..., n + 1, n + 1, ...)
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
�(��, � + 1 |� ) = (� + 1, � + 1, … , 3, 3, …,
+ 1, � + 1)
�(��, � + 3 |� ) = (� + 1, � + 1, … , 3, 3, …,
1, 1, 2, . . . )
�(�2,2 |�) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
2, 1, 1, . . . )
�(�2,4 |�) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
�(�2,6 |� ) = (3, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
. �(��, 2 |� ) = (� + 1, � + 1, �
⋮
+ 1, … , 3, 3, … , 2, 2, 2, . . . )
�(�1 |� ) = (1, 1, . . . , 2, 2, . . . , 3, 3, . . . , . . . , �, �, . . . ),
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 1, 1, 2)
�(�2 |� ) = (2, 2, . . . , 1, 1, . . . , 2, 2, . . . , . . . , � − 1, �
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 2, 1, 1)
�(�� |� ) = (�, �, . . . , . . . , 2, 2, . . . , 1, 1, . . . )
− 1, . . . ),
�(��, 6 |� ) = (� + 1, � + 1, �
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 2, 2, 1)
r
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �),
− 1, � − 1),
memiliki
Berdasarkan konstruksi dari 5 kasus diatas
⋮
dapat diny- atakan bahwa batas atas untuk
dimensi
�. ���(�1, � ) untuk n ≥ 1 dan � > 1.
Lemma: Jika �� ⨀ �� dengan � ≥ 1 dan
Kasus 5 m ≥ 7
himpunan
�=�
2�+2
5
�
dan
adalah
dengan batas bawah maka ��� �� ⨀ �� =
represen- tasi yang berbeda-beda
terhadap W , dengan demikian ��� (� ) =
Misalkan
�� ⨀ ��
metrik
�. ���(�1, � ). Oleh karena batas atas sama
bahwa setiap simpul
�. 3 untuk � = 6
5
� ≥ 7
�(�� |� ) = (�, �, �, . . . , 2, 2, 2, 1, 1, 1)
dilihat
represen- tasi yang berbeda-beda terhadap W ,
dengan demikian ��� (� ) = �. �2�+2� untuk
�(�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, . . . , � − 1, �
Dapat
⋮
�(��, � |� ) = (� + 1, �
�(��, 4 |� ) = (� + 1, � + 1, �
5
⋮
+ 1, � + 1)
�(�1,6 |� ) = (2, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
⋮
� > 1
diambil
merupakan
graf
teratur
maka
��� (�� ⨀ �� ) = �. ���(�1, � ).
pembeda
� = {�1,1 , �1,3 , … , �1, � , �2,1 ,
Bukti: Dengan bentuk
graf
�� ⨀ ��
�2,3 , … , �2, � … , ��, 1, ��, 3 , . . . , ��, �
memenuhi persamaan (1) diperoleh paling
maka diperoleh representasiterhadap W :
himpunan pembeda pada graf wheel. Oleh
�(�1, � + 1 |�) = (1, 1, 2, … , 3, 3, 3, … , �
karena graf H teratur memiliki n buah graf
+ 1, �
sedikitnya
+ 1, . . . )
memenuhi
aturan
anggota
wheel yang pusatnya saling terhubung maka
247
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
jelas
bahwa
batas
bawah ��� (� ) =
dim(�1 + �� )
simpul terhadap himpunan pembeda, dengan
2 ����� � = 3,4
3 ����� � = 5,6
= � 2� + 2
(2)
�
� ����� � ≥ 7
5
demikian batas atas dim ( �� ⨀ �� ) = n.dim
sama dengan graf �1 + �� sebanyak m buah
��� �� ⨀ �� = �. (�1,� )
Sedangkan pada konstruksi sebelumnya diperoleh
representasi yang berbeda pada setiap himpunan
sedangkan
bawah,
maka
�. �����1,� �.
bentuk yang
yang mana simpul masin- masing simpul K1
(W1,m ). Oleh karena batas atas sama dengan
batas
graf G memiliki
���(�� ⨀ �� ) =
dihubungkan
menentukan
secara
dimensi
melingkar.
metrik
graf
�� ⨀ ��
Dimensi Metrik Graf �� ⨀ ��
Untuk
� =
dilakukan pencarian batas bawah dan batas
atas. Dengan bentuk graf �1 ⨀ �� memenuhi
Graf �� ⨀ �� graf yang diperoleh dari Cm dan
yang
persamaan (2) diperoleh paling sedikitnya
masing-masing simpul graf Cm dihubungkan
memenuhi aturan anggota himpunan pembeda
sehingga graf G
pada graf �1 + �� . Oleh Karena graf G
Pn dengan mengambil 1 graf Cm
pada setiap simpul graf Pn
teratur memiliki m buah graf �1 + �� yang
yaitu � = �� ⨀ �� memiliki jumlah simpul
masing- masing
sebanyak m+nm. Simpul-simpul yang ada pada
bawah dim(�) = dim(�� ⨀ �� ) = �.
{�1 , �2 , . . . , �� } dan simpul pada graf Pn
label
��� (�1 + �� ). Untuk memenuhi batas atas
� (�� ) = {�1 , �2 , . . . , �� }
dimensi metrik graf G dilakukan konstruksi.
dengan jumlah � (�� ) sebanyak �� buah.
Kasus 1 n = 3
Dimisalkan simpul graf Pn yang dikoronakan
dengan simpul Cm
Misalkan
yang pertama dilabelkan
pembeda
maka diperoleh representasi terhadap W :
yang dikoronakan dengan simpul Cm
�(�1,2 |� ) =
(1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4, 3, 3),
�(�2,2 |� )
= (3, 3, 1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4),
yang kem memiliki label {��, 1 , ��, 2 , . . . , �� , � }.
Berdasarkan pemisalan-pemisalan tersebut maka
⋮
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 4, 4, . . . , 1, 1),
graf G memiliki m +nm simpul yaitu
� (�) = {{�1 , �2 , … , �� }, {�1,1 , �1,2 , … , �1, � },
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , 2, 2),
{�2,1 , �2,2 , … , �2, � }, . . . , {��, 1 , ��, 2 , . . . , ��, � }}
Graf �1 ⨀ ��
diambil himpunan
� = {�1,1 , �1,3 , �2,1 , �2,3 , . . . , ��, 1, ��, 3 }
{�1,1 , �1,2 , . . . , �1, � } sehingga simpul graf
Pn
dihubungkan
secara melingkar maka jelas bahwa batas
graf Cm misalkan diberi label � (�� ) =
diberi
simpul K1
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , 3, 3),
sama dengan graf K1 + Pn . Graf
⋮
�(�� |� ) = (2, 2, . . . , 2, 2, 1, 1)
K1 + Pn memiliki dimensi metrik sebanyak [4]:
248
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , 2, 2, 2),
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
�(�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, . . . , 3, 3, 3),
representasi yang berbeda-beda terhadap W ,
⋮
dengan demikian ��� (�) = �. 2 untuk
�(�� |� ) = (2, 2, 2, . . . , 2, 2, 2, 1, 1, 1)
� = 3
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
Kasus 2 n = 4
Misalkan
diambil
himpunan
representasi yang berbeda-beda terhadap W ,
pembeda
dengan demikian ��� (� ) = �. 3 untuk
�=
� = 5
{�1,1 , �1,3 , �2,1 , �2,3 , . . . , ��, 1 , ��, 3 }
Kasus 4 n = 6
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4, 3, 3),
Misalkan
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4),
��, 1, ��, 3 , ��, 5 }
⋮
�(�1,6 |� ) = (2, 2, 1, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4)
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , 3, 3),
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4)
⋮
�(�2,6 |� ) = (3, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4)
�(�� |� ) = (2, 2, . . . , 2, 2, 1, 1)
⋮
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 1, 1, 2)
representasi yang berbeda-beda terhadap W ,
�(��, 4 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 2, 1, 1)
dengan demikian ��� (� ) = �. 2 untuk n =
�(��, 6 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 2, 2, 1)
4
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , 2, 2, 2),
� (�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, … ,3,3, 3)
Kasus 3 n = 5
pembeda
��, 1, ��,53 , ��, 5 } maka diperoleh representasi
Misalka � = �2�+2� dan diambil himpunan
5
terhadap W :
pembeda � = {�1,1 , �1,3 , … , �1, � , �2,1 ,
�2,3 , … , �2, � … , ��, 1 , ��, 3 , . . . , ��, �
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(�1,4 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4)
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, . . . , 3, 3, 3, . . . , . . . , 3, 3, 3, . . . )
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4)
�(��, 4 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 2, 1, 1)
⋮
Kasus 5 m ≥ 7
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,1 , �2,5 …,
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 1, 1, 2)
diperoleh
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 1, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , 2, 2),
himpunan
maka
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(��, 4 |� ) = (3, 3, 4, 4, . . . , 2, 1),
diambil
pembeda
representasi terhadap W :
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 4, 4, . . . , 1, 1),
Misalkan
himpunan
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,3 , �2,5 …,
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 3, 3, . . . , 4, 4, 3, 3),
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3, . . . , 4, 4),
diambil
�(�1,4 |� )
⋮
= (2, 1, 1, 2, . . . , 3, 3, 3, . . . , . . . , 3, 3, 3, . . . )
⋮
249
�(�1, � |� ) = (2, 2, 2, . . . , 3, 3, 3, . . . , . . . , 3, 3, 3, . . . )
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
himpunan
⋮
�(��, 2 |� ) = (3, 3, . . . , 4, 4, . . . , . . . , 1, 1, 2, . . . )
sama
atas
•
represen- tasi yang berbeda-beda terhadap W ,
untuk n ≥ 7
•
�
�� ⨀ ��
dengan
batas
bawah
adalah
Lemma: Jika �� ⨀ �� dengan m ≥ 1 dan n >
teratur
maka
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
graf
Bukti:
graf
Dengan
bentuk
�� ⨀ �� dengan � > 1 dan � > 1
graf
teratur
maka
Yero.L.G,Kuziak.D,Rodr´iguezVela´zquez.J.A,
On The Metric
Dimension Of Corona Product Graphs,
Computer
and Mathematics with
Applications.61(2011) 2793-2798.
�� ⨀ �� memenuhi persamaan (2) diperoleh
Hernando, Carmen. dkk, On The Metric
Dimension of Some Families of
Graphs,Electronic Note in Dis- crete
Mathematics 22 (2005) 129-133.
paling sedikitnya memenuhi aturan anggota
himpunan pembeda pada graf K1 + Pn . Oleh
karena graf G teratur memiliki m buah graf
Imrana.M,Baig.A
Q,
Ahtsham.Syed
,Javaid.Imran , On the metric
dimension of circulant graphs,Applied
Mathematics Letters 25 (2012) 320-325.
K1 + Pn yang simpul K1 saling terhubung
secara melingkar maka jelas bahwa batas bawah
dim(�) = dim (�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 +
�� ).
maka
G. Chartrand, L. Eroh, M. A. Johnson, O. R.
Oeller- mann, Resolvabil- ity in graphs
and the metric di- mension of a graph,
Discrete Applied Mathematics 105
(2000) 99-113.
maka
≥ 1 dan n > 1.
merupakan
teratur
Wahyudi, Suhud dan Sumarno. 2010. Dimensi
Metrik pada Graf Kincir dengan Pola
K1 + mK3 . FMIPA ITS, 731-744.
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ). untuk m
1
graf
Daftar Pustaka
�. ���(�1 + �� ). Oleh karena batas atas
sama
maka
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
dapat dinyatakan bahwa batas atas untuk
metrik
bawah,
dim( �� ⨀�� ) = �. dim(�1,� ).
merupakan
Berdasarkan konstruksi dari 5 kasus diatas
dimensi
batas
�� ⨀ �� dengan � ≥ 1 dan � > 1
merupakan
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
5
dengan
Simpulan
�(�� |� ) = (2, 2, . . . , . . . , 2, 2, . . . , 1, 1, . . . )
��� (� ) = �. �
Oleh
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
⋮
demikian
himpunan
karena batas
�(�2 |� ) = (2, 2, . . . , 1, 1, . . . , 2, 2, . . . , . . . , 3, 3, . . . ),
dengan
hadap
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
⋮
�(�1 |� ) = (1, 1, . . . , 2, 2, . . . , 3, 3, . . . , . . . , 2, 2, . . . ),
2�+2
ter-
pembeda, dengan demikian batas atas
�(��, 4 |� ) = (3, 3, . . . , 4, 4, . . . , . . . , 2, 1, 2, . . . )
�(��, � |� ) = (3, 3, . . . , 4, 4, . . . , . . . , 2, 2, 2, . . . )
simpul
Feng.Min ,Xu.Min ,Wang.Kaishun ,On the
metric
dimension
of
line
graphs,Discrete Applied Mathe- matics
161 (2013) 802-805
Sedangkan pada konstruksi sebelumnya
diperoleh representasi yang berbeda pada setiap
250
IMPLEMENTASI ALGORITMA MODIFIKASI BROYDEN-FLETCHERGOLDFARB-SHANNO (MBFGS)
Rahmawati Erma Standsyah
FKIP, Universitas Dr. Soetomo
Abstract: The concept of minimum resolving set has proved to be useful and or related to a
variety of fields such as Chemistry, Robotic Navigation, and Combinatorial Search and
Optimization. Two graph are path graph (�� ) anf circle graph (�� ). The corona product
�� ⨀ �� is defined as the graph obtained from �� and �� by taking one copi of �� and
�1 copies of �� and joining by an edge each vertex from the ��ℎ copy of �� with the ��ℎ
vertex of �� . �� ⨀ �� and �� ⨀�� not commute to � ≠ �, it is showed that order of
graph �� ⨀ �� different with graph �� ⨀�� . Based on research obtained ���(�� ⨀�� ) =
�. ���(�1,� ) dan ���(�� ⨀�� ) = �. ��� (�1 + �� )
Keyword : Resolving Sets, Metric Dimension, Path Graph, Circle Graph, Corona Graph
Pendahuluan
Dimensi Metrik menjadi menarik untuk
Untuk himpunan terurut W = {w1 , w2 , ...,
dibahas karena konsep himpunan pemisah yang
wk } dari vertex-vertex dalam graf terhubung
mempunyai
telah
G dan vertex v ∈ V (G), representasi dari
pembahasan
v terhadap W adalah k-vektor r (v|W ) =
pada bidang lain seperti Kimia (Chartrand,
(d(v, w1 ), d(v, w2 ), ..., d(v, wk )) Jika r(v|W )
dkk, Boundary vertices in Graph and Poisson
untuk setiap vertex v ∈ V (G) berbeda, maka
terbukti
kardinalitas
minimum
sangat berguna untuk
and Zhang, The Metric Dimension of unicyclic
graphs),
Navigasi
Robot
dan
Pencarian
(Khuller,
Raghavachari,
and
Rosenfeld,
Landmarks
in
dan
Optimasi
graphs)
W
panjang
disebut
himpunan
pemisah
tersebut dinamakan dimensi
ini merupakan kajian yang sedang marak
Misalkan u dan v adalah
adalah
minimum
kardinalitas
Kajian tentang dimensi metric pada graf
dibicarakan. Terbukti dengan adanya banyak
vertex-vertex dalam graf terhubung G, maka
d(u, v)
dengan
metric dari � dinotasikan ���(�) [1].
adalah kardinalitas
minimum himpunan pemisah (resolving set)
jarak
pemisah
basis metrik
generator of graphs) (Hernando, dkk, 1).
pada graf G.
Himpunan
minimum (basis metrik), dan kardinalitas dari
Kombinasi (Sebo and Tannier, On Metric
Dimensi Metrik
disebut himpunan pemisah dari V (G).
jurnal
lintasan
dan
penelitian-penelitian
yang
membahas tentang kajian ini [1-6], misalnya
terpendek antara u dan v pada G.
Dimensi Metrik Graft Kincir dengan Pola
244
�1 + ��3 [1], Resolvability in graph and the
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
metric dimention of a graph [2], On the
{a1 , a2 , ..., an } dan simpul pada graf Cm
Metric Dimension of Corona Product Graph
diberi label V (Cm ) = {�1 , �2 , . . . , �� } dengan
[3], On the Metric Dimension of Some
Families
of
Graphs
[4],On
the
jumlah
metric
membahas
dihitung
dimensi
metrik
Berdasarkan
pemisalan-pemisalan
tersebut
maka graf H memiliki � + �� simpul yaitu
� (� ) = {{�1 , �2 , … , �� },
Diberikan dua graf yaitu graf path
{�1,1 , �1,2 , … , �1, � }, {�1,1 , �1,2, … , �1, � }
yang disimbolkan dengan �� dan graf circle
, … , {��, 1 , ��, 2 , . . . , �� , � }}
yang disimbolkan dengan �� . Operasi corona
Graf �1 ⨀ �� bentuknya sama
�� ⨀ �� adalah graf yang diperoleh dari
dengan graf Wheel W1,m . Graf Wheel ini
�� dan �� dengan mengambil 1 graf �� yang
memiliki dimensi metrik sebanyak [3]:
masing-
2 ����� � = 3,4
3 ����� � = 5,6
dim(�1,� ) = � 2� + 2
� ����� � ≥ 7
�
5
dihubungkan pada
setiap simpul graf. �� ⨀ �� dan �� ⨀ ��
tidak bersifat komutatif untuk � ≠ �. Hal ini
ditunjukkan bahwa order graf �� ⨀ �� dengan
Sedangkan graf H
sama. Sehingga pada
bentuknya sama dengan
graf W1,m sebanyak n buah dengan masing-
tulisan ini dihitung besar nilai dimensi metrik
masing pusatnya terhubung.
dari
Untuk menentukan dimensi metrik graf
graf �� ⨀ �� dan graf �� ⨀ �� .
H dilakukan pencarian batas bawah dan batas
atas.
Dimensi Metrik Graf �� ⨀ ��
Dengan
bentuk
graf
�1 ⨀ ��
memenuhi persamaan (1) diperoleh paling
sedikitnya memenuhi aturan anggota himpunan
Graf �� ⨀ �� graf yang diperoleh dari Pn
pembeda pada graf wheel. Oleh karena graf H
dan Cm dengan mengambil 1 graf Pn yang
teratur memiliki
masing-masing simpul graf Pn dihubungkan
n buah graf wheel yang
pusatnya saling terhubung maka jelas bahwa
pada setiap simpul graf Cm sehingga graf H
batas
yaitu H =�� ⨀ �� memiliki jumlah simpul
sebanyak � + ��.
yang
ke-n memiliki label ��, 1 , ��, 2 , . . . , ��, � .
dengan
sebelumnya.
graf �� ⨀ �� tidak
buah.
yang dikoronakan dengan simpul Pn
mengembangkan graf-graf yang telah dikerjakan
masing simpul graf ��
nm
�1,1 , �1,2 , . . . , �1, � sehingga simpul graf Cm
tentang
dimensi metrik pada graf. Oleh karena itu pada
tulisan
sebanyak
dengan simpul Pn yang pertama dilabelkan
metric dimension of line graphs [6] dan lain
Semuanya
)
Dimisalkan simpul graf Cm yang dikoronakan
dimension of circulant graphs [5] , On the
sebagainya.
V (Cm
bawah
dim(�) = dim(�� ⨀�� ) =
�. ��� ��1,� �. Untuk menentukan batas atas
Simpul-simpul yang ada
dimensi metrik graf H dilakukan konstruksi.
pada graf Pn misalkan diberi label V (Pn ) =
Kasus 1 m = 3
245
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
�(�� |� ) = (�, �, . . . , 2, 2, 1, 1)
Misalkan diambil himpunan pembeda
� = {�1,1 , �1,2 , �2,1 , �2,2 , . . . , ��, 1, ��, 2 }
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�1,3 |� ) = (2, 1, 3, 3, 4, 4, … , �
dengan
�(�2,3 |� ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3, 4, 4, … , �, �),
�=4
representasi yang berbeda-beda terhadap W,
+ 1, +1),
�(��, 3 |� ) = (� + 1, �
⋮
Kasus 3 � = 5
Misalkan
+ 1, . . . , 4, 4, 3, 3, 2, 1),
�(�� |� ) = (�, �, . . . , 2, 2, 1, 1)
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
+ 1, � + 1)
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , �
+ 1, � + 1, � + 1)
dengan demikian dim(�) = �. 2 untuk � = 3
diambil
himpunan
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, … , �, �, �)
pembeda
� = {�1,1 , �1,2 , �2,1 , �2,2 , . . . , ��, 1, ��, 2 }
�(��, 2 |� ) = (� + 1, � + 1, +1, �, �, �, …,
�(��, 4|� ) = (� + 1, � + 1, �
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 2, 1, 1)
�(�1,3 |� ) = (2, 1, 3, 3, 4, 4, … , � + 1, �
+ 1),
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �),
�(�1,4 |� ) = (1, 2, 3, 3, 4, 4, … , � + 1, �
�(�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, … , � − 1, � −
+ 1),
1, � − 1),
�(�2,3 |� ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3, 4, 4, … , �, �),
⋮
Dapat
�(�� |� ) = (�, �, �, . . . , 2, 2, 2, 1, 1, 1)
memiliki
�(��, 3 |� ) = (� + 1, �
dilihat
bahwa setiap simpul
represen- tasi yang berbeda-beda
terhadap W , dengan demikian ��� (� ) =
+ 1, … , 4, 4, 3, 3, 2, 1),
�. 3 untuk � = 5
�(��, 4 |� ) = (� + 1, �
+ 1, … , 4, 4, 3, 3, 1, 2),
Kasus 4 m = 6
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , �, �),
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , � − 1, � − 1),
⋮
3, 3, 3, 2, 1, 1)
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 1, 2, 3, 3, 4, 4, . . . , �, �),
pembeda
terhadap W :
⋮
representasi yang berbeda-beda terhadap W,
Misalkan
himpunan
untuk
��, 1, ��, 3 , ��, 5 } maka diperoleh representasi
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
Kasus 2 � = 4
diambil
���(� ) = �. 2
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,3 , �2,5 …,
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , �, �),
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , � − 1, � − 1),
demikian
Misalkan
⋮
246
diambil
himpunan pembeda
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,3 , �2,5 …,
⋮
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
��, 1, ��, 3 , ��, 5 }
maka
�(�1, � + 3 |� = (2, 1, 1, 2, … , 3, 3, … , � + 1, �
diperoleh
+ 1, . . . )
representasi terhadap W :
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
+ 1, � + 1)
r(b1,m |W ) = (2, 2, 2, ..., 3, 3, ..., n + 1, n + 1, ...)
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
�(��, � + 1 |� ) = (� + 1, � + 1, … , 3, 3, …,
+ 1, � + 1)
�(��, � + 3 |� ) = (� + 1, � + 1, … , 3, 3, …,
1, 1, 2, . . . )
�(�2,2 |�) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
2, 1, 1, . . . )
�(�2,4 |�) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
�(�2,6 |� ) = (3, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 3, . . . , �, �, �)
. �(��, 2 |� ) = (� + 1, � + 1, �
⋮
+ 1, … , 3, 3, … , 2, 2, 2, . . . )
�(�1 |� ) = (1, 1, . . . , 2, 2, . . . , 3, 3, . . . , . . . , �, �, . . . ),
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 1, 1, 2)
�(�2 |� ) = (2, 2, . . . , 1, 1, . . . , 2, 2, . . . , . . . , � − 1, �
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 2, 1, 1)
�(�� |� ) = (�, �, . . . , . . . , 2, 2, . . . , 1, 1, . . . )
− 1, . . . ),
�(��, 6 |� ) = (� + 1, � + 1, �
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
+ 1, �, �, �, . . . , 3, 3, 3, 2, 2, 1)
r
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , �, �, �),
− 1, � − 1),
memiliki
Berdasarkan konstruksi dari 5 kasus diatas
⋮
dapat diny- atakan bahwa batas atas untuk
dimensi
�. ���(�1, � ) untuk n ≥ 1 dan � > 1.
Lemma: Jika �� ⨀ �� dengan � ≥ 1 dan
Kasus 5 m ≥ 7
himpunan
�=�
2�+2
5
�
dan
adalah
dengan batas bawah maka ��� �� ⨀ �� =
represen- tasi yang berbeda-beda
terhadap W , dengan demikian ��� (� ) =
Misalkan
�� ⨀ ��
metrik
�. ���(�1, � ). Oleh karena batas atas sama
bahwa setiap simpul
�. 3 untuk � = 6
5
� ≥ 7
�(�� |� ) = (�, �, �, . . . , 2, 2, 2, 1, 1, 1)
dilihat
represen- tasi yang berbeda-beda terhadap W ,
dengan demikian ��� (� ) = �. �2�+2� untuk
�(�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, . . . , � − 1, �
Dapat
⋮
�(��, � |� ) = (� + 1, �
�(��, 4 |� ) = (� + 1, � + 1, �
5
⋮
+ 1, � + 1)
�(�1,6 |� ) = (2, 2, 1, 3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , � + 1, �
⋮
� > 1
diambil
merupakan
graf
teratur
maka
��� (�� ⨀ �� ) = �. ���(�1, � ).
pembeda
� = {�1,1 , �1,3 , … , �1, � , �2,1 ,
Bukti: Dengan bentuk
graf
�� ⨀ ��
�2,3 , … , �2, � … , ��, 1, ��, 3 , . . . , ��, �
memenuhi persamaan (1) diperoleh paling
maka diperoleh representasiterhadap W :
himpunan pembeda pada graf wheel. Oleh
�(�1, � + 1 |�) = (1, 1, 2, … , 3, 3, 3, … , �
karena graf H teratur memiliki n buah graf
+ 1, �
sedikitnya
+ 1, . . . )
memenuhi
aturan
anggota
wheel yang pusatnya saling terhubung maka
247
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
jelas
bahwa
batas
bawah ��� (� ) =
dim(�1 + �� )
simpul terhadap himpunan pembeda, dengan
2 ����� � = 3,4
3 ����� � = 5,6
= � 2� + 2
(2)
�
� ����� � ≥ 7
5
demikian batas atas dim ( �� ⨀ �� ) = n.dim
sama dengan graf �1 + �� sebanyak m buah
��� �� ⨀ �� = �. (�1,� )
Sedangkan pada konstruksi sebelumnya diperoleh
representasi yang berbeda pada setiap himpunan
sedangkan
bawah,
maka
�. �����1,� �.
bentuk yang
yang mana simpul masin- masing simpul K1
(W1,m ). Oleh karena batas atas sama dengan
batas
graf G memiliki
���(�� ⨀ �� ) =
dihubungkan
menentukan
secara
dimensi
melingkar.
metrik
graf
�� ⨀ ��
Dimensi Metrik Graf �� ⨀ ��
Untuk
� =
dilakukan pencarian batas bawah dan batas
atas. Dengan bentuk graf �1 ⨀ �� memenuhi
Graf �� ⨀ �� graf yang diperoleh dari Cm dan
yang
persamaan (2) diperoleh paling sedikitnya
masing-masing simpul graf Cm dihubungkan
memenuhi aturan anggota himpunan pembeda
sehingga graf G
pada graf �1 + �� . Oleh Karena graf G
Pn dengan mengambil 1 graf Cm
pada setiap simpul graf Pn
teratur memiliki m buah graf �1 + �� yang
yaitu � = �� ⨀ �� memiliki jumlah simpul
masing- masing
sebanyak m+nm. Simpul-simpul yang ada pada
bawah dim(�) = dim(�� ⨀ �� ) = �.
{�1 , �2 , . . . , �� } dan simpul pada graf Pn
label
��� (�1 + �� ). Untuk memenuhi batas atas
� (�� ) = {�1 , �2 , . . . , �� }
dimensi metrik graf G dilakukan konstruksi.
dengan jumlah � (�� ) sebanyak �� buah.
Kasus 1 n = 3
Dimisalkan simpul graf Pn yang dikoronakan
dengan simpul Cm
Misalkan
yang pertama dilabelkan
pembeda
maka diperoleh representasi terhadap W :
yang dikoronakan dengan simpul Cm
�(�1,2 |� ) =
(1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4, 3, 3),
�(�2,2 |� )
= (3, 3, 1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4),
yang kem memiliki label {��, 1 , ��, 2 , . . . , �� , � }.
Berdasarkan pemisalan-pemisalan tersebut maka
⋮
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 4, 4, . . . , 1, 1),
graf G memiliki m +nm simpul yaitu
� (�) = {{�1 , �2 , … , �� }, {�1,1 , �1,2 , … , �1, � },
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , 2, 2),
{�2,1 , �2,2 , … , �2, � }, . . . , {��, 1 , ��, 2 , . . . , ��, � }}
Graf �1 ⨀ ��
diambil himpunan
� = {�1,1 , �1,3 , �2,1 , �2,3 , . . . , ��, 1, ��, 3 }
{�1,1 , �1,2 , . . . , �1, � } sehingga simpul graf
Pn
dihubungkan
secara melingkar maka jelas bahwa batas
graf Cm misalkan diberi label � (�� ) =
diberi
simpul K1
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , 3, 3),
sama dengan graf K1 + Pn . Graf
⋮
�(�� |� ) = (2, 2, . . . , 2, 2, 1, 1)
K1 + Pn memiliki dimensi metrik sebanyak [4]:
248
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , 2, 2, 2),
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
�(�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, . . . , 3, 3, 3),
representasi yang berbeda-beda terhadap W ,
⋮
dengan demikian ��� (�) = �. 2 untuk
�(�� |� ) = (2, 2, 2, . . . , 2, 2, 2, 1, 1, 1)
� = 3
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
Kasus 2 n = 4
Misalkan
diambil
himpunan
representasi yang berbeda-beda terhadap W ,
pembeda
dengan demikian ��� (� ) = �. 3 untuk
�=
� = 5
{�1,1 , �1,3 , �2,1 , �2,3 , . . . , ��, 1 , ��, 3 }
Kasus 4 n = 6
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4, 3, 3),
Misalkan
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 1, 1, 3, 3, . . . , 4, 4),
��, 1, ��, 3 , ��, 5 }
⋮
�(�1,6 |� ) = (2, 2, 1, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4)
�(�2 |� ) = (2, 2, 1, 1, 2, 2, . . . , 3, 3),
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4)
⋮
�(�2,6 |� ) = (3, 3, 3, 2, 2, 1, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4)
�(�� |� ) = (2, 2, . . . , 2, 2, 1, 1)
⋮
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 1, 1, 2)
representasi yang berbeda-beda terhadap W ,
�(��, 4 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 2, 1, 1)
dengan demikian ��� (� ) = �. 2 untuk n =
�(��, 6 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 2, 2, 1)
4
�(�1 |� ) = (1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, . . . , 2, 2, 2),
� (�2 |� ) = (2, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 2, 2, … ,3,3, 3)
Kasus 3 n = 5
pembeda
��, 1, ��,53 , ��, 5 } maka diperoleh representasi
Misalka � = �2�+2� dan diambil himpunan
5
terhadap W :
pembeda � = {�1,1 , �1,3 , … , �1, � , �2,1 ,
�2,3 , … , �2, � … , ��, 1 , ��, 3 , . . . , ��, �
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(�1,4 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
maka diperoleh representasi terhadap W :
�(�2,2 |� ) = (3, 3, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4)
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, . . . , 3, 3, 3, . . . , . . . , 3, 3, 3, . . . )
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 3, . . . , 4, 4, 4)
�(��, 4 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 2, 1, 1)
⋮
Kasus 5 m ≥ 7
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,1 , �2,5 …,
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 3, 4, 4, 4, . . . , 1, 1, 2)
diperoleh
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 1, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(�1 |� ) = (1, 1, 2, 2, 3, 3, . . . , 2, 2),
himpunan
maka
�(�1,2 |� ) = (1, 1, 2, 3, 3, 3, … , 4, 4, 4, 3, 3, 3)
�(��, 4 |� ) = (3, 3, 4, 4, . . . , 2, 1),
diambil
pembeda
representasi terhadap W :
�(��, 2 |� ) = (3, 3, 4, 4, . . . , 1, 1),
Misalkan
himpunan
� = {�1,1 , �1,3 , �1,5 , �2,1 , �2,3 , �2,5 …,
�(�1,4 |� ) = (2, 1, 3, 3, . . . , 4, 4, 3, 3),
�(�2,4 |� ) = (3, 3, 2, 1, 3, 3, . . . , 4, 4),
diambil
�(�1,4 |� )
⋮
= (2, 1, 1, 2, . . . , 3, 3, 3, . . . , . . . , 3, 3, 3, . . . )
⋮
249
�(�1, � |� ) = (2, 2, 2, . . . , 3, 3, 3, . . . , . . . , 3, 3, 3, . . . )
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
himpunan
⋮
�(��, 2 |� ) = (3, 3, . . . , 4, 4, . . . , . . . , 1, 1, 2, . . . )
sama
atas
•
represen- tasi yang berbeda-beda terhadap W ,
untuk n ≥ 7
•
�
�� ⨀ ��
dengan
batas
bawah
adalah
Lemma: Jika �� ⨀ �� dengan m ≥ 1 dan n >
teratur
maka
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
graf
Bukti:
graf
Dengan
bentuk
�� ⨀ �� dengan � > 1 dan � > 1
graf
teratur
maka
Yero.L.G,Kuziak.D,Rodr´iguezVela´zquez.J.A,
On The Metric
Dimension Of Corona Product Graphs,
Computer
and Mathematics with
Applications.61(2011) 2793-2798.
�� ⨀ �� memenuhi persamaan (2) diperoleh
Hernando, Carmen. dkk, On The Metric
Dimension of Some Families of
Graphs,Electronic Note in Dis- crete
Mathematics 22 (2005) 129-133.
paling sedikitnya memenuhi aturan anggota
himpunan pembeda pada graf K1 + Pn . Oleh
karena graf G teratur memiliki m buah graf
Imrana.M,Baig.A
Q,
Ahtsham.Syed
,Javaid.Imran , On the metric
dimension of circulant graphs,Applied
Mathematics Letters 25 (2012) 320-325.
K1 + Pn yang simpul K1 saling terhubung
secara melingkar maka jelas bahwa batas bawah
dim(�) = dim (�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 +
�� ).
maka
G. Chartrand, L. Eroh, M. A. Johnson, O. R.
Oeller- mann, Resolvabil- ity in graphs
and the metric di- mension of a graph,
Discrete Applied Mathematics 105
(2000) 99-113.
maka
≥ 1 dan n > 1.
merupakan
teratur
Wahyudi, Suhud dan Sumarno. 2010. Dimensi
Metrik pada Graf Kincir dengan Pola
K1 + mK3 . FMIPA ITS, 731-744.
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ). untuk m
1
graf
Daftar Pustaka
�. ���(�1 + �� ). Oleh karena batas atas
sama
maka
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
dapat dinyatakan bahwa batas atas untuk
metrik
bawah,
dim( �� ⨀�� ) = �. dim(�1,� ).
merupakan
Berdasarkan konstruksi dari 5 kasus diatas
dimensi
batas
�� ⨀ �� dengan � ≥ 1 dan � > 1
merupakan
Dapat dilihat bahwa setiap simpul memiliki
5
dengan
Simpulan
�(�� |� ) = (2, 2, . . . , . . . , 2, 2, . . . , 1, 1, . . . )
��� (� ) = �. �
Oleh
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
⋮
demikian
himpunan
karena batas
�(�2 |� ) = (2, 2, . . . , 1, 1, . . . , 2, 2, . . . , . . . , 3, 3, . . . ),
dengan
hadap
dim(�� ⨀ �� ) = �. ��� (�1 + �� ).
⋮
�(�1 |� ) = (1, 1, . . . , 2, 2, . . . , 3, 3, . . . , . . . , 2, 2, . . . ),
2�+2
ter-
pembeda, dengan demikian batas atas
�(��, 4 |� ) = (3, 3, . . . , 4, 4, . . . , . . . , 2, 1, 2, . . . )
�(��, � |� ) = (3, 3, . . . , 4, 4, . . . , . . . , 2, 2, 2, . . . )
simpul
Feng.Min ,Xu.Min ,Wang.Kaishun ,On the
metric
dimension
of
line
graphs,Discrete Applied Mathe- matics
161 (2013) 802-805
Sedangkan pada konstruksi sebelumnya
diperoleh representasi yang berbeda pada setiap
250