Dimensi Matriks Dan Dimensi Partisi Pada Graf Hasil Operasi Korona | Listiana | Jurnal Ilmiah Soulmath 235 559 1 PB
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
DIMENSI MATRIK DAN DIMENSI PARTISI PADA GRAF HASIL OPERASI
KORONA �� ⨀��−� , � ≥ �
Yuni Listiana
FKIP, Universitas Dr. Soetomo Surabaya
Abstract: Let�(�, �)is a connected graph.For an ordered set � = {�1 , �2 , … , �� } of vertices,
� ⊆ �(�), and a vertex � ∈ �(�), the representation of � with respect to � is the ordered ktuple �(�|�) = {�(�, �1 ), �(�, �2 ), … , �(�, �� )|∀� ∈ �(�)}. The set W is called a resolving
set of G if every vertex of G has a distinct representation. A resolving set containing a minimum
number of vertices is called a basis for �. The metric dimension of �, denoted by ���(�), is the
number of vertices in a basis of �. Then, for a subset S of V(G), the distance between u and S is
�(�, �) = ���{�(�, �)|∀� ∈ �, ∀� ∈ �(�)}. Let ∏ = (�1 , �2 , … , �� )be an ordered l-partition
of V(G), for∀�� ⊂ �(�) dan� ∈ �(�), the representation of v with respect to ∏ is the l-vector
�(�|∏) = (�(�, �1 ), �(�, �2 ), … , �(�, �� )). The set ∏ is called a resolving partition for G if the
� −vector �(�|∏), ∀� ∈ �(�)are distinct. The minimum l for which there is a resolving lpartition of V(G) is the partition dimension of G, denoted by ��(�). In this paper, we determine
the metric dimension and the partition dimension of corona product graphs �� ⨀��−1 , and we
get some result that the metric dimension and partition dimension of �� ⨀��−1 respectively
is�(� − 2) and 2� − 1, for� ≥ 3.
Keyword: Metric dimention, partition dimenstion,corona product graphs
Pendahuluan
Graf
pasangan
�dapat
sebagai
graf bentuk tertentu. Oleh karenanya untuk
(�(�), �(�)),
mendapatkan dimensi metrik bentuk graf
didenisikan
himpunan
dengan� (�) adalah himpunan tidak kosong
tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan
dari
dan
analisis dari subkelas terlebih dahulu agar lebih
�(�)adalah himpunan (boleh kosong) dari
mudah mencari dimensi metrik dari graf secara
elemen yang disebut sisi, selanjutnya untuk
umum [1]. Sedangkan dimensi partisi dari graf
mempermudah pemakaian maka �(�) dan
pertama kali dipelajari oleh Chartrand et. al.
graf yang digunakan adalah berhingga, tidak
Menemukan hubungan (dalam bentuk
elemen
yang
disebut
vertex,
�(�)disingkat � dan �. Dalampaper ini, semua
yang kemudian dikuti oleh Chappel et. al [2].
berarah, dan sederhana.
dimensi matrik dan dimensi partisi) antara graf
kali
asal dan graf yang dihasilkan dari beberapa
dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun
operasi graf merupakan topik yang menarik
1966, kajian tentang dimensi metrik menjadi
untuk dipertimbangkan. Pada tahun 2010, Yero
sebuah complate problem artinya tidak mudah
et. al. dalam [6] telah meneliti beberapa
untuk mendapatkan dimensi metrik dari suatu
hubungan dari dimensi metrik pada graf hasil
Dimensi
metrik
pertama
korona dengan graf asalnya. Selanjutnya, tahun
257
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
2011 Iswadi, Baskoro dan Simanjuntak [5] juga
Graf
hasil
�� ⨀��−1
korona
melakukan hal serupa untuk kasus yang lebih
merupakan graf hasil korona antara graf
umum. Iswadi menunjukkan bahwa untuk
lengkap(�� ),|�� | = �
dan
(��−1 ),|��−1 | = �-1
dan
sembarang pasangan �dan �, |�| ≤ 2, maka
{�1 , �2 , … , �� }
mengandung vertex dominan. Untuk kasus
��1 , �2 , … , ��(�−1) �,
���(�⨀�) = (G|dim (H),
�
jika
partisi dimensi, Baskoro dan Darmaji [2] tahun
diameter
sebelumnya
belum
hasil
ada
=
yang
membahas tentang dimensi metrik dan dimensi
korona �4 ⨀�3 dapat dilihat pada
lengkap, maka dalam paper ini saya akan
Gambar 1.
menganalisis dimensi metrik dan dimensi
pada
graf
hasil
operasi
(�2 + 2)(� − 1)
2
Sebagai contoh untuk � = 4, graf hasil
partisi pada graf hasil operasi korona antar graf
partisi
dimana
�−1
�
� + �(� − 1)
�(�� ⨀��−1 ) = � � + � �
2
2
dari H paling besar 2.
penelitian
� = 1, 2, … , �,
�(�� ⨀��−1 ) = � + �(� − 1) = �2
semua pasangan graf terhubung � dan �,
beberapa
dinotasikan
sebagai berikut:
korona. Mereka menunjukkan bahwauntuk
dari
lengkap
�� ⨀��−1 adalah �(�, �) dengan orderdan size
dimensi partisi dari graf-graf hasil operasi
Dikarenakan
graf
� ≥ 3bilangan bulat positif. Graf hasil korona
2011 juga telah melakukan penelitian pada
��(�⨀�) ≤ ��(�) + ��(�)jika
dengan
dinotasikan
korona
�� ⨀��−1 .
Graf Hasil Operasi Korona
dengan
Misalkan � adalah graf terhubung
order
�
dan
�
(tidak
harus
terhubung)adalah graf dengan |�| ≥ 2. Sebuah
graf � korona �, �⨀�, didefinisikan sebagai
graf yang dibentuk dengan mengambil �
Gambar Graf �4 ⨀�3
salinan (copies) graf �1 , �2 , … , �� dari graf �
dan menghubungkan vertex ke−� dari �
dengan
vertex-vertex
pada�� .
Iswadi dkk [5] memperluas ide dari
Seluruh
kesamaan
pembahasan pada bab ini, mengacu pada graf
jarak.
Misalkan
�
adalah
grafterhubung. Dua vertex � dan � dalam
�� sebagai Salinanke−� dari � yang terhubung
subgraf
pada vertex ke−� dari � pada �⨀� untuk
�
dari
� dikatakan
‘berjarak
samaterhadap �’ jika �(�, �) = �(�, �) untuk
setiap� ∈ {1, 2, … , �}.
semua � ∈ �(�) − �(�). Sehingga akibat dari
258
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
kondisi tersebut muncul fakta sebagai berikut
konstruksi,
untuk graf �⨀�.
pembeda
antara
graf
dimana �(�) ≥ 2. Maka dua vertex �, � ∈ ��
, maka diperoleh representasi terhadap W
berjarak sama terhadap �� .
sebagai berikut:
���1(�−1) ��� = (1, 1, … , 1, 3, 3, … , 3, … , 3)
Iswadi [5] juga mengungkap sifat jarak
dari dua vertex � dan � dalam � atau�� subgraf
���2(�−1) ��� = (3, 3, … , 3, 1, 1, … , 1, … , 3)
dari �⨀�. Sebuah vertex � ∈ � dikatakan
dominan vertex jika�(�, �) = 1untuk vertexDimensi Metrik
�� ⨀��−�
Graf
Operasi
⋮
����(�−1) ��� = (3,3, … , 3, 3, 3, … , 3, … ,1)
Korona
�(�1 |�) = (1, 1, … , 1, 2, 2, … , 2, … ,2)
Untuk menentukan dimensi metrik graf
�(�2 |�) = (2, 2, … , 2, 1, 1, … , 1, … , 2)
korona �� ⨀��−1 dapat dilakukan pencarian
batas atas dan bawah dari dimensi metrik pada
graf
korona
dimensi
�� ⨀��−1 .Batas
metrik
pada
bawah
�� ⨀��−1
himpunan
��11 , �12 , … , �1(�−2) , �21 , �22 , … , �2(�−2) , … , ��(�−1) �
terhubung�dengan�,
vertex lainnya dalam � atau (� ∈ �).
diambil
�=
Fakta: Misalkan �⨀�adalah graf hasil
korona
misalkan
⋮
dari
dapat
�(�� |�) = (2, 2, … , 2, 2, 2, … , 2, … , 1)
ditemukan melalui lemma sebagai berikut:
Dapat dilihat bahwa setiap simpul
Lemma: Untuk setiap graf �� ⨀��−1 , � ≥ 3,
memiliki representasi yang berbeda terhadap�,
sedikitnya (� − 2) simpulpada setiap simpul
dengan demikian batas atas ���(�� ⨀��−1 ) ≤
salinan ke−� dari ��−1 pasti merupakan
�(� − 2).
himpunan himpunanpembeda W.
Teorema: Jika graf � adalah �� ⨀��−1 ,
Dari Lemma di ats diperoleh batas
dengan � ≥ 3 maka dimensi metrik dari �
bawah sedikitnya (� − 2) simpul pada setiap
adalah ���(�) = �(� − 2).
simpul salinan ��−1 merupakan himpunan
pembeda.
Oleh
karena
graf
�� ⨀��−1 ,
Bukti. Dengan menggunakan Lemma 3.1, yaitu
paling sedikit (� − 2) simpuldari � salinan graf
memiliki � salinan ��−1 yang terhubung
��−1
masing-masing pada setiap vertex dari �� maka
�� ⨀��−1 yang
merupakan
himpunan pembeda. Karena �� mempunyai
jelas bahwa batas bawah ���(�� ⨀��−1 ) ≥
vertex sebanyak �, maka jelas bahwa batas
�(� − 2). Untuk menemukanbatas atas dimensi
metrik graf �� ⨀��−1 dapat dilakukan melalui
pada
259
bawah���(�� ⨀��−1 ) ≤ �(� − 2).
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
Sehingga Akibat 3.1 sesuai dengan Teorema di
Sedangkan pada konstruksi sebelumnya
atas yang telah dibuktikan sebelumnya.
diperoleh representasi yang berbeda pada setiap
himpunan vertex terhadap himpunanpembeda,
Dari Teorema dan Akibat didapat Akibat
dengan demikian batas atas ���(�� ⨀��−1 ) ≤
berikutnya
�(� − 2). Oleh karenabatas atas dan batas
�, � ≥ 2.
Dalam paper ini, sengaja tidak dibahas
Akibat: Jika graf � adalah �� , � ≥ 2, dan
mengenai dimensi metrik dari graf �� ⨀��−1
graf � adalah �� , � ≥ 2. Makadimensi metrik
untuk � < 3. Hal ini dikarenakan untuk
dari �� ⨀�n adalah:
�4
dengan
sehingga���(�2 ⨀�1 ) = ���(�4) = 1.
digunakansebagai
hasil korona graf komplit�� ⨀�n , dengan
2).
isomorfis
dapat
bentuk umum dari dimensi metrik pada graf
bawah sama, maka ���(�� ⨀��−1 ) = �(� −
� = 2,�2 ⨀�1
yang
���(�� ⨀�� ) = �(� − 1)
Sedangkan untuk � = 1, �1 ⨀�0 merupakan
penelitian sebelumnya oleh Iswadi dkk. [5],
Dimensi Partisi
�� ⨀��−�
dengan teorema berikut:
dimensi partisi dari graf hasil operasikorona
Teorema: Misalkan � adalah graf terhubung,
pada dua graf lengkap �� dengan ��−1 ,
graf trivial.
Jika
dibandingkan
dengan
hasil
Graf
Operasi
Korona
Dalam bab ini, akan dibahas mengenai
�� ⨀�n−1 ,
� adalah graf dengan orderminimal 2. Maka,
�≥3
bilangan
bulatpositif.
Dimensi Partisi pada graf�� ⨀�n−1 didapat
���(�⨀�) =
melalui kardinalitasminimum dari himpunan
partisi pembeda dari graf �� ⨀�n−1 .
|�| ���(�) ���� � ������ ������� ������
|�| ���(�) |�| ���(�1 + �) , �������
Lemma berikut dapat digunakan dalam
Bukti: Karena graf lengkap �� dan ��−1
menentukan batas bawah dari dimensi partisi
pada graf operasi korona �� ⨀�n−1 .
adalah graf yang memuat dominan vertex,maka
dari Teorema 3.2 akan didapat corollarry
Lemma: Misalkan � adalah graf terhubung
(akibat) sebagai berikut:
non trivial. Misalkan∏adalah himpunan partisi
pembeda untuk � dan �, � ∈ �(�). Jika
Akibat: Jika graf � adalah �� dan � adalah
�(�, �) = �(�, �)untuk semua � ∈ �(�) −
��−1 , maka dimensi metrikdari graf �⨀�
�, �, maka � dan � berada pada himpunan yang
adalah:
���(�⨀�) = |�|(|�| − 1)
berbedadi dalam∏.
= ��(� − 1) − 1�
= �(� − 2)
adalah
260
Misalkan graf � adalah �� dan graf �
��−1 ,
� ≥ 3,
dengan
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
{�1 , �2 , … , �� }adalah himpunan vertex dari
himpunan
didapat bahwa sedikitnya terdapat 2� − 1 kelas
partisipembeda dari �⨀�. Misalkan �� adalah
�(�� ⨀�n−1 ). Sehingga jelas bahwa batas
setiap dua vertex �, � ∈ �(��−1 ) memiliki
Kemudian, untuk menemukan batas
�� .∏ = {�1 , �2 , … , �� }
adalah
partisi
jarak yang sama, maka dengan Lemma 4.1, �
setiap
himpunan
��(�) = � − 1.
�� ,
∏
�2 , … , �� }juga harus berada pada kelaspartisi
yang berbeda di dalam himpunan partisi
pembeda dari �(�), sehingga ��(�) = �.
Karena �� ⨀�n−1 , adalah graf �� yang setiap
(��−1 )� ,
� = 1, … , �,
maka
dengan
setiap
=
graf
vertex
singelton �� pada �� dan �� pada �� , � ≠ �,
dapat
berada
dalam
kelas
partisi
yang
samadalam himpunan partisi pembeda �� ∈ ∏,
(� − 1) yang merupakan batas bawah dari
�(�21 |∏) = (0, 1, 1, … , 1,2,1, … ,2)
dimensi partisigraf �� ⨀�n−1 . Sehingga untuk
dari
�(�−1)
�(�11 |∏) = (0, 1, 1, … , 1, 1, 2, … ,2)
dapat dikatakan bahwa,��(�� ⨀�n−1 ) ≥ � +
dimensi
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
�1 = {�11 , �21 , … , ��1 }
�2 = {�12 , �22 , … , ��2 }
�3 = {�13 , �23 , … , ��3 }
⋮
= ��1(�−1) , �2(�−1) , … , ��(�−1) �
�� = {�1 }
��+1 = {�2 }
⋮
��+�−1 = {�� }
terhadap ∏ adalah:
singelton � ∈ �� , � = 1, 2, … , �. Sehingga
partisi
⎧
⎪
⎪
⎪
Maka diperoleh representasi � ∈ �(�� ⨀�n−1 )
sedemikian hingga �� memuat beberapa vertex
menentukan
dengan
rumusan sebagai berikut:
sama, maka berdasarkan Lemma 4.1, {�1 ,
�� ,dihubungkan
partisi
pembeda∏ = ��1 , �2 , … , �(�+�−1) �,
� = 1, … , �,
dalam graf � = �� juga memiliki jarak yang
vertexnya,
pembeda
dilakukan melalui konstruksi, misalkan diambil
berbeda dalamhimpunan partisi pembeda dari
Selanjutnya,karena
partisi
atas dimensi partisi graf �� ⨀�n−1 dapat
dan � harus berada pada kelas partisi yang
sehingga
himpunan
bawah ��(�� ⨀�n−1 ) ≥ 2� − 1, � ≥ 3.
n salinan dari ��−1 , � = 1, 2, … , �.Karena
�(�),
dalam
⋮
graf
�� ⨀�n−1 , dapat digunakan teorema sebagai
���1(�−1) �∏�
berikut:
= (0, 0, 1, … , 1, 2, 2, … , 1)
Teorema: Untuk � ≥ 3, maka dimensi partisi
dari graf �� ⨀�n−1 diberikan sebagai berikut:
�(�12 |∏) = (1, 0, 1, … , 1, 1, 2, … ,2)
��(�� ⨀�n−1 ) = 2� − 1
�(�22 |∏) = (1, 0, 1, … , 1, 2, 1, … ,2)
Bukti: Dengan menggunakan argumentasi
yang dijabarkan sebagai akibat Lemma 4.1,
261
⋮
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
��(�2 ⨀�1 ) = ��(�4 ) = 2.Sedangkan untuk
���2(�−1) �∏�
� = 1, �1 ⨀�0 merupakan graf trivial.
= (1, 0, 1, … , 1, 2, 2, … , 1)
Sebelumnya, disebutkan bahwa Darmaji dkk
⋮
(2009) telah melakukan penelitian terkait
= (1, 1, 1, … , 0, 0, 2, … ,1)
semua pasangan graf terhubung G an H,
dimensi partisi dari graf hasil operasi korona
�⨀H. Mereka menunjukkan bahwa untuk
����(�−1) �∏�
��(�⨀H) ≤ ��(�) + ��(�)jika
diameter
dari � paling besar 2. Sedangkan Chartrand
�(�1 |∏) = (1, 1, 1, … , 1, 0, 1, … ,1)
dkk [3] mengungkapkan ��(�) = �jika dan
�(�2 |∏) = (1, 1, 1, … , 1, 1,0, … ,1)
hanya
� = ��.
jika
Sehingga
dapat
disimpulkan bahwa:
⋮
��(�� ⨀�n−1 )
�(�� |∏) = (1, 1, 1, … , 1, 1, 1, … ,0)
≤ ��(�� )
+ ��(�n−1 )
Sehingga dapat dilihat bahwa setiap
= � + (� − 1)
vertex dalam �� ⨀�n−1 memiliki representasi
= 2� − 1.
yang berbeda terhadap ∏, dengan demikian
kardinalitas dari ∏adalah |∏| = � + � − 1 =
Dari Teorema-teorema di atas maka didapat
2� − 1. Jadi batas atas dimensi partisi dari
Akibat yang dapat digunakansebagai bentuk
�� ⨀�n−1 adalah ��(�� ⨀�n−1 ) ≤ 2� − 1, � ≥
umum dari dimensi partisi pada graf hasil
3.
korona graf komplit�� ⨀�n , dengan �, � ≥ 2.
Oleh karena batas atasdan batas bawah
Akibat: Jika graf � adalah �� , � ≥ 2, dan
sama, maka kardinalitas minimum dari∏adalah
graf � adalah �� , � ≥ 2. Makadimensi partisi
2� − 1.Sehingga dimensi partisi dari �� ⨀�n−1
dari �� ⨀�n adalah:
adalah ��(�� ⨀�n−1 ) = 2� − 1, � ≥ 3.∎
Sama halnya dengan dimensi metrik,
Simpulan
dalam paper ini juga tidak menjelaskan lebih
���(�� ⨀�� ) = � + �
banyak mengenai dimensi partisi pada graf
�� ⨀�n−1
dikarenakan
untuk
� < 3.
Hal
�2 ⨀�1 isomorfis
ini
dengan
Dari hasil analisis dimensi metrik dan
juga
dimensi
�4 ,
partisi
pada
graf
hasil
korona
�� ⨀�n−1 didapat kesimpulan sebagai berikut:
sehingga dimensi partisi dari �2 ⨀�1 adalah
262
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
Darmaji, and E.T. Baskoro, Further results on
partition dimension of coronaproducts,
AIP Conf. Proc. 1450, 2012, 77-81.
1. Dimensi metrik dari graf hasil korona
�� ⨀�n−1 ,
�≥3
dengan
adalah
���(�� ⨀�n−1 ) = �(� − 2).
G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, The
Partition
dimension
of
a
graph,Aequantiones Math 59, 2000, 4554.
2. Dimensi metrik dari graf hasil korona
�� ⨀�n ,
dengan
�, � ≥ 2
adalah
���(�� ⨀�n ) = �(� − 1).
G. Chartrand, L. Eroh, M.A. Johnson, and O.R.
Oellermann, Resolvabilityin graphs and
the metric dimension of a graph,
Discrete Appl. Math. 105,2000, pp. 99113.
3. Dimensi partisi dari graf hasil korona
�� ⨀�n−1 ,
dengan
��(�� ⨀�n−1 ) = 2� − 1.
�≥3
adalah
4. Dimensi partisi dari graf hasil korona
�� ⨀�n ,
dengan
�, � ≥ 2
H.Iswadi, E.T. Baskoro, and R. Simanjuntak,
On the metric dimension ofcorona
product of graphs, Far East Journal of
Mathematical Sciences 52 (2),2011, 155170.
adalah
��(�� ⨀�n ) = � + �.
Daftar Pustaka
I.G. Yero, D. Kuziak, and J.A.Rodr_iguezVel_azquez, On the metric dimension of
corona product graphs, Computers &
Mathematics with ApplicationsVolume
61, Issue 9, May 2011, Pages 2793-2798.
A.B. Permana, and Darmaji, Dimensi Metrik
Graf Pohon Bentuk Tertentu, JURNAL
TEKNIK POMITS Vol.1, No.1, 2012, 14.
263
DIMENSI MATRIK DAN DIMENSI PARTISI PADA GRAF HASIL OPERASI
KORONA �� ⨀��−� , � ≥ �
Yuni Listiana
FKIP, Universitas Dr. Soetomo Surabaya
Abstract: Let�(�, �)is a connected graph.For an ordered set � = {�1 , �2 , … , �� } of vertices,
� ⊆ �(�), and a vertex � ∈ �(�), the representation of � with respect to � is the ordered ktuple �(�|�) = {�(�, �1 ), �(�, �2 ), … , �(�, �� )|∀� ∈ �(�)}. The set W is called a resolving
set of G if every vertex of G has a distinct representation. A resolving set containing a minimum
number of vertices is called a basis for �. The metric dimension of �, denoted by ���(�), is the
number of vertices in a basis of �. Then, for a subset S of V(G), the distance between u and S is
�(�, �) = ���{�(�, �)|∀� ∈ �, ∀� ∈ �(�)}. Let ∏ = (�1 , �2 , … , �� )be an ordered l-partition
of V(G), for∀�� ⊂ �(�) dan� ∈ �(�), the representation of v with respect to ∏ is the l-vector
�(�|∏) = (�(�, �1 ), �(�, �2 ), … , �(�, �� )). The set ∏ is called a resolving partition for G if the
� −vector �(�|∏), ∀� ∈ �(�)are distinct. The minimum l for which there is a resolving lpartition of V(G) is the partition dimension of G, denoted by ��(�). In this paper, we determine
the metric dimension and the partition dimension of corona product graphs �� ⨀��−1 , and we
get some result that the metric dimension and partition dimension of �� ⨀��−1 respectively
is�(� − 2) and 2� − 1, for� ≥ 3.
Keyword: Metric dimention, partition dimenstion,corona product graphs
Pendahuluan
Graf
pasangan
�dapat
sebagai
graf bentuk tertentu. Oleh karenanya untuk
(�(�), �(�)),
mendapatkan dimensi metrik bentuk graf
didenisikan
himpunan
dengan� (�) adalah himpunan tidak kosong
tertentu ataupun kelas tertentu dilakukan
dari
dan
analisis dari subkelas terlebih dahulu agar lebih
�(�)adalah himpunan (boleh kosong) dari
mudah mencari dimensi metrik dari graf secara
elemen yang disebut sisi, selanjutnya untuk
umum [1]. Sedangkan dimensi partisi dari graf
mempermudah pemakaian maka �(�) dan
pertama kali dipelajari oleh Chartrand et. al.
graf yang digunakan adalah berhingga, tidak
Menemukan hubungan (dalam bentuk
elemen
yang
disebut
vertex,
�(�)disingkat � dan �. Dalampaper ini, semua
yang kemudian dikuti oleh Chappel et. al [2].
berarah, dan sederhana.
dimensi matrik dan dimensi partisi) antara graf
kali
asal dan graf yang dihasilkan dari beberapa
dikenalkan oleh Harary dan Melter pada tahun
operasi graf merupakan topik yang menarik
1966, kajian tentang dimensi metrik menjadi
untuk dipertimbangkan. Pada tahun 2010, Yero
sebuah complate problem artinya tidak mudah
et. al. dalam [6] telah meneliti beberapa
untuk mendapatkan dimensi metrik dari suatu
hubungan dari dimensi metrik pada graf hasil
Dimensi
metrik
pertama
korona dengan graf asalnya. Selanjutnya, tahun
257
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
2011 Iswadi, Baskoro dan Simanjuntak [5] juga
Graf
hasil
�� ⨀��−1
korona
melakukan hal serupa untuk kasus yang lebih
merupakan graf hasil korona antara graf
umum. Iswadi menunjukkan bahwa untuk
lengkap(�� ),|�� | = �
dan
(��−1 ),|��−1 | = �-1
dan
sembarang pasangan �dan �, |�| ≤ 2, maka
{�1 , �2 , … , �� }
mengandung vertex dominan. Untuk kasus
��1 , �2 , … , ��(�−1) �,
���(�⨀�) = (G|dim (H),
�
jika
partisi dimensi, Baskoro dan Darmaji [2] tahun
diameter
sebelumnya
belum
hasil
ada
=
yang
membahas tentang dimensi metrik dan dimensi
korona �4 ⨀�3 dapat dilihat pada
lengkap, maka dalam paper ini saya akan
Gambar 1.
menganalisis dimensi metrik dan dimensi
pada
graf
hasil
operasi
(�2 + 2)(� − 1)
2
Sebagai contoh untuk � = 4, graf hasil
partisi pada graf hasil operasi korona antar graf
partisi
dimana
�−1
�
� + �(� − 1)
�(�� ⨀��−1 ) = � � + � �
2
2
dari H paling besar 2.
penelitian
� = 1, 2, … , �,
�(�� ⨀��−1 ) = � + �(� − 1) = �2
semua pasangan graf terhubung � dan �,
beberapa
dinotasikan
sebagai berikut:
korona. Mereka menunjukkan bahwauntuk
dari
lengkap
�� ⨀��−1 adalah �(�, �) dengan orderdan size
dimensi partisi dari graf-graf hasil operasi
Dikarenakan
graf
� ≥ 3bilangan bulat positif. Graf hasil korona
2011 juga telah melakukan penelitian pada
��(�⨀�) ≤ ��(�) + ��(�)jika
dengan
dinotasikan
korona
�� ⨀��−1 .
Graf Hasil Operasi Korona
dengan
Misalkan � adalah graf terhubung
order
�
dan
�
(tidak
harus
terhubung)adalah graf dengan |�| ≥ 2. Sebuah
graf � korona �, �⨀�, didefinisikan sebagai
graf yang dibentuk dengan mengambil �
Gambar Graf �4 ⨀�3
salinan (copies) graf �1 , �2 , … , �� dari graf �
dan menghubungkan vertex ke−� dari �
dengan
vertex-vertex
pada�� .
Iswadi dkk [5] memperluas ide dari
Seluruh
kesamaan
pembahasan pada bab ini, mengacu pada graf
jarak.
Misalkan
�
adalah
grafterhubung. Dua vertex � dan � dalam
�� sebagai Salinanke−� dari � yang terhubung
subgraf
pada vertex ke−� dari � pada �⨀� untuk
�
dari
� dikatakan
‘berjarak
samaterhadap �’ jika �(�, �) = �(�, �) untuk
setiap� ∈ {1, 2, … , �}.
semua � ∈ �(�) − �(�). Sehingga akibat dari
258
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
kondisi tersebut muncul fakta sebagai berikut
konstruksi,
untuk graf �⨀�.
pembeda
antara
graf
dimana �(�) ≥ 2. Maka dua vertex �, � ∈ ��
, maka diperoleh representasi terhadap W
berjarak sama terhadap �� .
sebagai berikut:
���1(�−1) ��� = (1, 1, … , 1, 3, 3, … , 3, … , 3)
Iswadi [5] juga mengungkap sifat jarak
dari dua vertex � dan � dalam � atau�� subgraf
���2(�−1) ��� = (3, 3, … , 3, 1, 1, … , 1, … , 3)
dari �⨀�. Sebuah vertex � ∈ � dikatakan
dominan vertex jika�(�, �) = 1untuk vertexDimensi Metrik
�� ⨀��−�
Graf
Operasi
⋮
����(�−1) ��� = (3,3, … , 3, 3, 3, … , 3, … ,1)
Korona
�(�1 |�) = (1, 1, … , 1, 2, 2, … , 2, … ,2)
Untuk menentukan dimensi metrik graf
�(�2 |�) = (2, 2, … , 2, 1, 1, … , 1, … , 2)
korona �� ⨀��−1 dapat dilakukan pencarian
batas atas dan bawah dari dimensi metrik pada
graf
korona
dimensi
�� ⨀��−1 .Batas
metrik
pada
bawah
�� ⨀��−1
himpunan
��11 , �12 , … , �1(�−2) , �21 , �22 , … , �2(�−2) , … , ��(�−1) �
terhubung�dengan�,
vertex lainnya dalam � atau (� ∈ �).
diambil
�=
Fakta: Misalkan �⨀�adalah graf hasil
korona
misalkan
⋮
dari
dapat
�(�� |�) = (2, 2, … , 2, 2, 2, … , 2, … , 1)
ditemukan melalui lemma sebagai berikut:
Dapat dilihat bahwa setiap simpul
Lemma: Untuk setiap graf �� ⨀��−1 , � ≥ 3,
memiliki representasi yang berbeda terhadap�,
sedikitnya (� − 2) simpulpada setiap simpul
dengan demikian batas atas ���(�� ⨀��−1 ) ≤
salinan ke−� dari ��−1 pasti merupakan
�(� − 2).
himpunan himpunanpembeda W.
Teorema: Jika graf � adalah �� ⨀��−1 ,
Dari Lemma di ats diperoleh batas
dengan � ≥ 3 maka dimensi metrik dari �
bawah sedikitnya (� − 2) simpul pada setiap
adalah ���(�) = �(� − 2).
simpul salinan ��−1 merupakan himpunan
pembeda.
Oleh
karena
graf
�� ⨀��−1 ,
Bukti. Dengan menggunakan Lemma 3.1, yaitu
paling sedikit (� − 2) simpuldari � salinan graf
memiliki � salinan ��−1 yang terhubung
��−1
masing-masing pada setiap vertex dari �� maka
�� ⨀��−1 yang
merupakan
himpunan pembeda. Karena �� mempunyai
jelas bahwa batas bawah ���(�� ⨀��−1 ) ≥
vertex sebanyak �, maka jelas bahwa batas
�(� − 2). Untuk menemukanbatas atas dimensi
metrik graf �� ⨀��−1 dapat dilakukan melalui
pada
259
bawah���(�� ⨀��−1 ) ≤ �(� − 2).
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
Sehingga Akibat 3.1 sesuai dengan Teorema di
Sedangkan pada konstruksi sebelumnya
atas yang telah dibuktikan sebelumnya.
diperoleh representasi yang berbeda pada setiap
himpunan vertex terhadap himpunanpembeda,
Dari Teorema dan Akibat didapat Akibat
dengan demikian batas atas ���(�� ⨀��−1 ) ≤
berikutnya
�(� − 2). Oleh karenabatas atas dan batas
�, � ≥ 2.
Dalam paper ini, sengaja tidak dibahas
Akibat: Jika graf � adalah �� , � ≥ 2, dan
mengenai dimensi metrik dari graf �� ⨀��−1
graf � adalah �� , � ≥ 2. Makadimensi metrik
untuk � < 3. Hal ini dikarenakan untuk
dari �� ⨀�n adalah:
�4
dengan
sehingga���(�2 ⨀�1 ) = ���(�4) = 1.
digunakansebagai
hasil korona graf komplit�� ⨀�n , dengan
2).
isomorfis
dapat
bentuk umum dari dimensi metrik pada graf
bawah sama, maka ���(�� ⨀��−1 ) = �(� −
� = 2,�2 ⨀�1
yang
���(�� ⨀�� ) = �(� − 1)
Sedangkan untuk � = 1, �1 ⨀�0 merupakan
penelitian sebelumnya oleh Iswadi dkk. [5],
Dimensi Partisi
�� ⨀��−�
dengan teorema berikut:
dimensi partisi dari graf hasil operasikorona
Teorema: Misalkan � adalah graf terhubung,
pada dua graf lengkap �� dengan ��−1 ,
graf trivial.
Jika
dibandingkan
dengan
hasil
Graf
Operasi
Korona
Dalam bab ini, akan dibahas mengenai
�� ⨀�n−1 ,
� adalah graf dengan orderminimal 2. Maka,
�≥3
bilangan
bulatpositif.
Dimensi Partisi pada graf�� ⨀�n−1 didapat
���(�⨀�) =
melalui kardinalitasminimum dari himpunan
partisi pembeda dari graf �� ⨀�n−1 .
|�| ���(�) ���� � ������ ������� ������
|�| ���(�) |�| ���(�1 + �) , �������
Lemma berikut dapat digunakan dalam
Bukti: Karena graf lengkap �� dan ��−1
menentukan batas bawah dari dimensi partisi
pada graf operasi korona �� ⨀�n−1 .
adalah graf yang memuat dominan vertex,maka
dari Teorema 3.2 akan didapat corollarry
Lemma: Misalkan � adalah graf terhubung
(akibat) sebagai berikut:
non trivial. Misalkan∏adalah himpunan partisi
pembeda untuk � dan �, � ∈ �(�). Jika
Akibat: Jika graf � adalah �� dan � adalah
�(�, �) = �(�, �)untuk semua � ∈ �(�) −
��−1 , maka dimensi metrikdari graf �⨀�
�, �, maka � dan � berada pada himpunan yang
adalah:
���(�⨀�) = |�|(|�| − 1)
berbedadi dalam∏.
= ��(� − 1) − 1�
= �(� − 2)
adalah
260
Misalkan graf � adalah �� dan graf �
��−1 ,
� ≥ 3,
dengan
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
{�1 , �2 , … , �� }adalah himpunan vertex dari
himpunan
didapat bahwa sedikitnya terdapat 2� − 1 kelas
partisipembeda dari �⨀�. Misalkan �� adalah
�(�� ⨀�n−1 ). Sehingga jelas bahwa batas
setiap dua vertex �, � ∈ �(��−1 ) memiliki
Kemudian, untuk menemukan batas
�� .∏ = {�1 , �2 , … , �� }
adalah
partisi
jarak yang sama, maka dengan Lemma 4.1, �
setiap
himpunan
��(�) = � − 1.
�� ,
∏
�2 , … , �� }juga harus berada pada kelaspartisi
yang berbeda di dalam himpunan partisi
pembeda dari �(�), sehingga ��(�) = �.
Karena �� ⨀�n−1 , adalah graf �� yang setiap
(��−1 )� ,
� = 1, … , �,
maka
dengan
setiap
=
graf
vertex
singelton �� pada �� dan �� pada �� , � ≠ �,
dapat
berada
dalam
kelas
partisi
yang
samadalam himpunan partisi pembeda �� ∈ ∏,
(� − 1) yang merupakan batas bawah dari
�(�21 |∏) = (0, 1, 1, … , 1,2,1, … ,2)
dimensi partisigraf �� ⨀�n−1 . Sehingga untuk
dari
�(�−1)
�(�11 |∏) = (0, 1, 1, … , 1, 1, 2, … ,2)
dapat dikatakan bahwa,��(�� ⨀�n−1 ) ≥ � +
dimensi
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
�1 = {�11 , �21 , … , ��1 }
�2 = {�12 , �22 , … , ��2 }
�3 = {�13 , �23 , … , ��3 }
⋮
= ��1(�−1) , �2(�−1) , … , ��(�−1) �
�� = {�1 }
��+1 = {�2 }
⋮
��+�−1 = {�� }
terhadap ∏ adalah:
singelton � ∈ �� , � = 1, 2, … , �. Sehingga
partisi
⎧
⎪
⎪
⎪
Maka diperoleh representasi � ∈ �(�� ⨀�n−1 )
sedemikian hingga �� memuat beberapa vertex
menentukan
dengan
rumusan sebagai berikut:
sama, maka berdasarkan Lemma 4.1, {�1 ,
�� ,dihubungkan
partisi
pembeda∏ = ��1 , �2 , … , �(�+�−1) �,
� = 1, … , �,
dalam graf � = �� juga memiliki jarak yang
vertexnya,
pembeda
dilakukan melalui konstruksi, misalkan diambil
berbeda dalamhimpunan partisi pembeda dari
Selanjutnya,karena
partisi
atas dimensi partisi graf �� ⨀�n−1 dapat
dan � harus berada pada kelas partisi yang
sehingga
himpunan
bawah ��(�� ⨀�n−1 ) ≥ 2� − 1, � ≥ 3.
n salinan dari ��−1 , � = 1, 2, … , �.Karena
�(�),
dalam
⋮
graf
�� ⨀�n−1 , dapat digunakan teorema sebagai
���1(�−1) �∏�
berikut:
= (0, 0, 1, … , 1, 2, 2, … , 1)
Teorema: Untuk � ≥ 3, maka dimensi partisi
dari graf �� ⨀�n−1 diberikan sebagai berikut:
�(�12 |∏) = (1, 0, 1, … , 1, 1, 2, … ,2)
��(�� ⨀�n−1 ) = 2� − 1
�(�22 |∏) = (1, 0, 1, … , 1, 2, 1, … ,2)
Bukti: Dengan menggunakan argumentasi
yang dijabarkan sebagai akibat Lemma 4.1,
261
⋮
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
��(�2 ⨀�1 ) = ��(�4 ) = 2.Sedangkan untuk
���2(�−1) �∏�
� = 1, �1 ⨀�0 merupakan graf trivial.
= (1, 0, 1, … , 1, 2, 2, … , 1)
Sebelumnya, disebutkan bahwa Darmaji dkk
⋮
(2009) telah melakukan penelitian terkait
= (1, 1, 1, … , 0, 0, 2, … ,1)
semua pasangan graf terhubung G an H,
dimensi partisi dari graf hasil operasi korona
�⨀H. Mereka menunjukkan bahwa untuk
����(�−1) �∏�
��(�⨀H) ≤ ��(�) + ��(�)jika
diameter
dari � paling besar 2. Sedangkan Chartrand
�(�1 |∏) = (1, 1, 1, … , 1, 0, 1, … ,1)
dkk [3] mengungkapkan ��(�) = �jika dan
�(�2 |∏) = (1, 1, 1, … , 1, 1,0, … ,1)
hanya
� = ��.
jika
Sehingga
dapat
disimpulkan bahwa:
⋮
��(�� ⨀�n−1 )
�(�� |∏) = (1, 1, 1, … , 1, 1, 1, … ,0)
≤ ��(�� )
+ ��(�n−1 )
Sehingga dapat dilihat bahwa setiap
= � + (� − 1)
vertex dalam �� ⨀�n−1 memiliki representasi
= 2� − 1.
yang berbeda terhadap ∏, dengan demikian
kardinalitas dari ∏adalah |∏| = � + � − 1 =
Dari Teorema-teorema di atas maka didapat
2� − 1. Jadi batas atas dimensi partisi dari
Akibat yang dapat digunakansebagai bentuk
�� ⨀�n−1 adalah ��(�� ⨀�n−1 ) ≤ 2� − 1, � ≥
umum dari dimensi partisi pada graf hasil
3.
korona graf komplit�� ⨀�n , dengan �, � ≥ 2.
Oleh karena batas atasdan batas bawah
Akibat: Jika graf � adalah �� , � ≥ 2, dan
sama, maka kardinalitas minimum dari∏adalah
graf � adalah �� , � ≥ 2. Makadimensi partisi
2� − 1.Sehingga dimensi partisi dari �� ⨀�n−1
dari �� ⨀�n adalah:
adalah ��(�� ⨀�n−1 ) = 2� − 1, � ≥ 3.∎
Sama halnya dengan dimensi metrik,
Simpulan
dalam paper ini juga tidak menjelaskan lebih
���(�� ⨀�� ) = � + �
banyak mengenai dimensi partisi pada graf
�� ⨀�n−1
dikarenakan
untuk
� < 3.
Hal
�2 ⨀�1 isomorfis
ini
dengan
Dari hasil analisis dimensi metrik dan
juga
dimensi
�4 ,
partisi
pada
graf
hasil
korona
�� ⨀�n−1 didapat kesimpulan sebagai berikut:
sehingga dimensi partisi dari �2 ⨀�1 adalah
262
-----------------------------------Jurnal Ilmiah Soul Math Vol 4. No. 5, 217-263---------------------------------
Darmaji, and E.T. Baskoro, Further results on
partition dimension of coronaproducts,
AIP Conf. Proc. 1450, 2012, 77-81.
1. Dimensi metrik dari graf hasil korona
�� ⨀�n−1 ,
�≥3
dengan
adalah
���(�� ⨀�n−1 ) = �(� − 2).
G. Chartrand, E. Salehi, dan P. Zhang, The
Partition
dimension
of
a
graph,Aequantiones Math 59, 2000, 4554.
2. Dimensi metrik dari graf hasil korona
�� ⨀�n ,
dengan
�, � ≥ 2
adalah
���(�� ⨀�n ) = �(� − 1).
G. Chartrand, L. Eroh, M.A. Johnson, and O.R.
Oellermann, Resolvabilityin graphs and
the metric dimension of a graph,
Discrete Appl. Math. 105,2000, pp. 99113.
3. Dimensi partisi dari graf hasil korona
�� ⨀�n−1 ,
dengan
��(�� ⨀�n−1 ) = 2� − 1.
�≥3
adalah
4. Dimensi partisi dari graf hasil korona
�� ⨀�n ,
dengan
�, � ≥ 2
H.Iswadi, E.T. Baskoro, and R. Simanjuntak,
On the metric dimension ofcorona
product of graphs, Far East Journal of
Mathematical Sciences 52 (2),2011, 155170.
adalah
��(�� ⨀�n ) = � + �.
Daftar Pustaka
I.G. Yero, D. Kuziak, and J.A.Rodr_iguezVel_azquez, On the metric dimension of
corona product graphs, Computers &
Mathematics with ApplicationsVolume
61, Issue 9, May 2011, Pages 2793-2798.
A.B. Permana, and Darmaji, Dimensi Metrik
Graf Pohon Bentuk Tertentu, JURNAL
TEKNIK POMITS Vol.1, No.1, 2012, 14.
263