bab iv integral tidak wajar
BAB III
INTEGRAL TAK WAJAR
4.1 Pengertian
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali
teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x)
sebarang antiturunan pada I, maka
b
f ( x)dx
=
F ( x) ba F (b)
F (a)
a
Contoh
4
4
1
1. (1 x)dx x x 2
2 2
2
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4)
= -4 – 0
= -4
2
dx
ln 1 x
2.
1 x
1
2
1
= ln (1+2) – ln (1+1)
= ln 3 – ln 2
2
3.
dx
1
1
x
, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran
f(x) =
1
1 x
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
tidak terdefinisi pada x = 1.
74
1
4.
dx
, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran
x
1
f(x) =
1
tidak terdefinisi di x = 0
x
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema
dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan
sebagai integral tidak wajar.
b
Bentuk
f ( x)dx
disebut INTEGRAL TIDAK WAJAR jika:
a
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu)
di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.
b
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus
f ( x)dx
= F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.
a
Contoh
4
1)
dx
4
0
2
2)
1
4
3)
0
x
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)
dx
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]
x 1
dx
( 2 x)
2
3
, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)
(2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
75
1)
x
0
dx
4
2
0
2)
e
2x
, integran f(x) memuat batas atas di x =
dx , integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3)
dx
1 4 x , integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di
2
x = -
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu
dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak
wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan
integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
4.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu
a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b -
(
0 ), sehingga
b
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim
0
a
a
Karena batas atas x = b -
f ( x)dx lim
a
( x b ), maka
t
b
maka
t b
f ( x)dx
a
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
76
4
1.
0
dx
lim
4 x 0
4
dx
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
4 x
0
4
2 4 x
= lim
0
0
= -2 lim
0
4 (4 )
= -2 ( lim
0
( 4 0)
4)
= -2(0-2)
=4
Cara lain
4
t
dx
dx
lim
t
4
4 x
4 x
0
0
= lim 2 4 x
t 4
t
0
2 4 t 2 4 0
= tlim
4
= -2(0)+2(2)
=4
2
2.
2
dx
4 x
2
2
2
, f(x) =
2
dx
4 x
2
2
0
1
4 x2
fungsi genap tidak kontinu di x = 2 dan x = -2,
maka
dx
4 x2
2
= 2
0
dx
4 x2
2
x
= 2 Lim arcsin
0
2 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
77
=2(
=
4
3.
dx
0
(4 x)
Lim
3
2
0
0)
2
2
4 x
4
0
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4
sehingga
diperoleh
4
0
dx
(4 x)
3
2
lim
0
2
4 (4 )
2
4 0
= tidak berarti, karena mempunyai bentuk
2
0
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +
(
0 ), sehingga
b
b
f ( x)dx lim
0
a
f ( x)dx
a
Karena batas bawah x = a +
(x
a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
b
b
f ( x)dx lim
t a
a
f ( x)dx
t
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
4
1.
3
4
3dx
3dx
lim
t
3
x 3
x 3
t
4
= lim 3(2) x 3 t
t 3
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
78
6 4 3 6 t 3
= tlim
3
= 6(1) – 6(0)
=6
1
1.
1
dx
dx
lim
0
x
x
0
0
1
dx
0
x
lim 2 x
0
,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:
1
0
2 1 2 0
= lim
0
=2–0
=2
1
x ln x x
2. ln xdx lim
0
0
1
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
0
=
lim (1ln1 1) (0 ) ln(0 ) (0 )
0
= (1.0-1) –(0-0)
= -1
c. f(x) kontinu di [a,c)
(c,b] dan tidak kontinu di x = c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c +
dan x = c - (
0 ),
sehingga
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
c
79
c
= lim
0
b
f ( x)dx + Lim
0
a
f ( x)
c
Dapat juga dinyatakan dengan
t
b
f ( x)dx lim f ( x)dx + tlim
a
t b
a
a
b
f ( x)dx
t
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
4
1.
dx
, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
x 1
3
0
1
4
3
0
dx
dx
dx 3
, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
x 1
x 1
1
1
lim
4
3
0
0
dx
dx
lim 3
0
x 1
x 1
1
1
4
2
3
= lim ( x 1) 3
0
2
0
2
3
lim ( x 1) 3
0
2
1
2
2
3
3
3
3
lim
(
1
)
1
)
(
0
1
)
= 0
2
2
3
( 1 3 9 )
2
=
8
2.
2
2
lim ( 4 1) 3 ((1 ) 1) 3
0
x
1
3
1
3
dx, f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
1
0
x
1
8
dx x
1
3
dx
0
0
= lim
0
1
8
x 3 dx lim
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
0
1
x 3 dx
0
80
0
8
3 2
3 2
= lim x 3 lim x 3
0
0
2 1
2 0
= =
1
3.
dx
x
4
3
6
2
9
2
, f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
1
1
dx
x4
1
0
dx
= 4 +
x
1
0
1
dx
x
4
0
1
dx
dx
lim 4
= lim
4
0
x
x
1
0
0
8
1
1
= lim 3 lim 3
0 3x
0 3x
1
0
= tidak berarti karena memuat bentuk
1
0
A. Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas
integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang
integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x =
.
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana
variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas
atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
81
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
t
a
a
Perhatikan contoh berikut ini
1.
x
0
dx
1
2
t
dx
x 4
= lim
t
0
2
1
t
x
arctan
= lim
t 2
2 0
=
t
1
1
lim arctan arctan 0
t 2
2
2
=(½.
=
2
- ½ .0)
4
dx
2. 2
x
1
= lim
t
t
dx
x
2
1
t
1
= lim
t
x 1
1
t
1
= lim
t
t
1
=1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana
variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar
dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
82
a
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
t
t
Perhatikan contoh berikut ini:
0
0
1.
e
2x
dx =
1 2x
lim
e
t 2
t
=
1 2t
1
lim .1
e
2
2
t
=½-0
=½
0
2.
dx
x) 2
(4
1
0
= tlim
( 4 x )
t
1
1
lim
(
4
t
)
(
4
0)
=
t
=0+
1
4
=¼
c. Integral tak wajar dengan batas atas x =
dan batas bawah di x = -
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral
tak wajar dengan
a
f ( x) x f ( x)dx f ( x)dx , sehingga bentuk penjumlahan integral tak
a
wajar ini
dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh
bentuk:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
83
a
f ( x) x f ( x)dx f ( x)dx
a
a
t
f ( x) dx lim f ( x) dx
= tlim
t
t
a
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1.
dx
1 4 x
2
0
=
dx
dx
2
1 4x
1 4x2
0
arctg 4 x t + lim
arctg 4 x 0
= tlim
t
0
=
2
e x dx
2. 2 x
=
e 1
lim
=
t
=
t
=
=
t
lim
0
e x dx
e 2 x 1 +
e x dx
e2 x 1
0
0
e x dx
lim
+ t `
2x
e 1
t
0
(arc tg e x ) t +
t
e x dx
e2 x 1
0
lim
t
(arc tg e x ) t0
0
2 4
4
2
Soal-soal
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
84
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
3
1.
0
dx
9 x2
Jawab
Karena integran diskontinu di x = 3, maka
3
0
3
dx
9 x
= lim
2
0
0
dx
9 x2
x
= lim arcsin
0
3
3
0
3
0
arcsin
arcsin
= lim
0
3
3
=
=
0
2
2
(90 o )
2.
2
sec x
dx
0
3.
2
cos xdx
1 sin x
0
1
4.
x ln xdx
0
Jawab
f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga
1
1
x ln xdx = lim
0
0
= lim
0
x ln xdx
0
1
1 2
1 2
2 ( x ln x 2 x )
0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
85
1 1
1
1 2
(1 ln 1 12 (0 2 ln 0 0 2
= lim
0 2
2 2
2
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan) karena memuat ln 0
t
5.
e x dx
= lim
t
x
e dx
0
0
x
= lim e
t
t
0
1 1
0
= lim
t et
e
=0+1
=1
Jadi
e
x
dx
=1
0
6.
dx
x ln
2
0
7.
xe
x
x2
dx
0
8.
xe
x
dx
9.
x
3
e x dx
0
6
10.
9
11.
dx
x)2
(4
2
dx =
3 x
1
3
9
2
2
dx
dx
3 x
3 x
1
3
3
= lim
0
9
2
2
dx lim
dx , ATAU
0
3 x
3 x
1
3
a
9
2
2
dx lim
dx
z 3
3 x
3 x
z
= lim
a 3
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
86
= lim 2 ln 3 x
a 3
a
1
lim 2 ln 3 x z
9
z 3
= -2 ln 0 ln 2 2 ln( 6) ln 0
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
87
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
88
INTEGRAL TAK WAJAR
4.1 Pengertian
Sebelum membahas konsep tentang integral tak wajar, marilah kita ingat kembali
teorema dasar kalkulus pada integral tertentu.
Teorema:
Misal f(x) adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada I = [a,b], dan F(x)
sebarang antiturunan pada I, maka
b
f ( x)dx
=
F ( x) ba F (b)
F (a)
a
Contoh
4
4
1
1. (1 x)dx x x 2
2 2
2
= (4- ½ .16) – (2- ½ 4)
= -4 – 0
= -4
2
dx
ln 1 x
2.
1 x
1
2
1
= ln (1+2) – ln (1+1)
= ln 3 – ln 2
2
3.
dx
1
1
x
, tidak dapat diselesaikan dengan teorem di atas karena integran
f(x) =
1
1 x
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
tidak terdefinisi pada x = 1.
74
1
4.
dx
, tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas, karena integran
x
1
f(x) =
1
tidak terdefinisi di x = 0
x
Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema
dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan
sebagai integral tidak wajar.
b
Bentuk
f ( x)dx
disebut INTEGRAL TIDAK WAJAR jika:
a
a. Integran f(x) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu)
di [a,b], sehingga mengakibatkan f(x) tidak terdefinisi di titik tersebut.
b
Pada kasus ini teorema dasar kalkulus
f ( x)dx
= F(b) – F(a) tidak berlaku lagi.
a
Contoh
4
1)
dx
4
0
2
2)
1
4
3)
0
x
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)
dx
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]
x 1
dx
( 2 x)
2
3
, f(x) tidak kontinu di x = 2 [0,4] atau f(x) kontinu di [0,2)
(2,4]
b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
75
1)
x
0
dx
4
2
0
2)
e
2x
, integran f(x) memuat batas atas di x =
dx , integran f(x) memuat batas bawah di x = -
3)
dx
1 4 x , integran f(x) memuat batas atas di x = dan batasa bawah di
2
x = -
Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu
dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak
wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga ( ).
Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan
integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.
4.2 Integral tak wajar dengan integran diskontinu
a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b
Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di x = b -
(
0 ), sehingga
b
b
f ( x)dx
f ( x)dx lim
0
a
a
Karena batas atas x = b -
f ( x)dx lim
a
( x b ), maka
t
b
maka
t b
f ( x)dx
a
Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
76
4
1.
0
dx
lim
4 x 0
4
dx
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4, sehingga
4 x
0
4
2 4 x
= lim
0
0
= -2 lim
0
4 (4 )
= -2 ( lim
0
( 4 0)
4)
= -2(0-2)
=4
Cara lain
4
t
dx
dx
lim
t
4
4 x
4 x
0
0
= lim 2 4 x
t 4
t
0
2 4 t 2 4 0
= tlim
4
= -2(0)+2(2)
=4
2
2.
2
dx
4 x
2
2
2
, f(x) =
2
dx
4 x
2
2
0
1
4 x2
fungsi genap tidak kontinu di x = 2 dan x = -2,
maka
dx
4 x2
2
= 2
0
dx
4 x2
2
x
= 2 Lim arcsin
0
2 0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
77
=2(
=
4
3.
dx
0
(4 x)
Lim
3
2
0
0)
2
2
4 x
4
0
, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4
sehingga
diperoleh
4
0
dx
(4 x)
3
2
lim
0
2
4 (4 )
2
4 0
= tidak berarti, karena mempunyai bentuk
2
0
b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a
Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = a +
(
0 ), sehingga
b
b
f ( x)dx lim
0
a
f ( x)dx
a
Karena batas bawah x = a +
(x
a ) maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:
b
b
f ( x)dx lim
t a
a
f ( x)dx
t
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
4
1.
3
4
3dx
3dx
lim
t
3
x 3
x 3
t
4
= lim 3(2) x 3 t
t 3
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
78
6 4 3 6 t 3
= tlim
3
= 6(1) – 6(0)
=6
1
1.
1
dx
dx
lim
0
x
x
0
0
1
dx
0
x
lim 2 x
0
,f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0 sehingga diperoleh:
1
0
2 1 2 0
= lim
0
=2–0
=2
1
x ln x x
2. ln xdx lim
0
0
1
, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 0
0
=
lim (1ln1 1) (0 ) ln(0 ) (0 )
0
= (1.0-1) –(0-0)
= -1
c. f(x) kontinu di [a,c)
(c,b] dan tidak kontinu di x = c
Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral
tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c +
dan x = c - (
0 ),
sehingga
b
c
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
c
79
c
= lim
0
b
f ( x)dx + Lim
0
a
f ( x)
c
Dapat juga dinyatakan dengan
t
b
f ( x)dx lim f ( x)dx + tlim
a
t b
a
a
b
f ( x)dx
t
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini.
4
1.
dx
, f(x) tidak kontinu di x = 1, sehingga diperoleh
x 1
3
0
1
4
3
0
dx
dx
dx 3
, berdasarkan contoh sebelumnya didapat:
x 1
x 1
1
1
lim
4
3
0
0
dx
dx
lim 3
0
x 1
x 1
1
1
4
2
3
= lim ( x 1) 3
0
2
0
2
3
lim ( x 1) 3
0
2
1
2
2
3
3
3
3
lim
(
1
)
1
)
(
0
1
)
= 0
2
2
3
( 1 3 9 )
2
=
8
2.
2
2
lim ( 4 1) 3 ((1 ) 1) 3
0
x
1
3
1
3
dx, f(x) tidak kontinu di x = 0, sehingga diperoleh
1
0
x
1
8
dx x
1
3
dx
0
0
= lim
0
1
8
x 3 dx lim
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
0
1
x 3 dx
0
80
0
8
3 2
3 2
= lim x 3 lim x 3
0
0
2 1
2 0
= =
1
3.
dx
x
4
3
6
2
9
2
, f(x) diskontinu di x = 0, sehingga diperoleh:
1
1
dx
x4
1
0
dx
= 4 +
x
1
0
1
dx
x
4
0
1
dx
dx
lim 4
= lim
4
0
x
x
1
0
0
8
1
1
= lim 3 lim 3
0 3x
0 3x
1
0
= tidak berarti karena memuat bentuk
1
0
A. Integral tak wajar dengan batas tak hingga
Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas
integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang
integrannya tidak kontinu di salah satu batas intergrasinya.
a. Intergral tak wajar dengan batas atas x =
.
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variable dimana
variable tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas
atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk.
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
81
t
f ( x)dx lim f ( x)dx
t
a
a
Perhatikan contoh berikut ini
1.
x
0
dx
1
2
t
dx
x 4
= lim
t
0
2
1
t
x
arctan
= lim
t 2
2 0
=
t
1
1
lim arctan arctan 0
t 2
2
2
=(½.
=
2
- ½ .0)
4
dx
2. 2
x
1
= lim
t
t
dx
x
2
1
t
1
= lim
t
x 1
1
t
1
= lim
t
t
1
=1
b. Integral tak wajar dengan batas bawah di x = -
Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variable dimana
variable tersebut mendekati (negative) tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar
dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
82
a
a
f ( x)dx lim f ( x)dx
t
t
Perhatikan contoh berikut ini:
0
0
1.
e
2x
dx =
1 2x
lim
e
t 2
t
=
1 2t
1
lim .1
e
2
2
t
=½-0
=½
0
2.
dx
x) 2
(4
1
0
= tlim
( 4 x )
t
1
1
lim
(
4
t
)
(
4
0)
=
t
=0+
1
4
=¼
c. Integral tak wajar dengan batas atas x =
dan batas bawah di x = -
Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral
tak wajar dengan
a
f ( x) x f ( x)dx f ( x)dx , sehingga bentuk penjumlahan integral tak
a
wajar ini
dapat diselesaikan dengan cara a dan b tersebut di atas, atau diperoleh
bentuk:
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
83
a
f ( x) x f ( x)dx f ( x)dx
a
a
t
f ( x) dx lim f ( x) dx
= tlim
t
t
a
Perhatikan beberapa contoh dibawah ini:
1.
dx
1 4 x
2
0
=
dx
dx
2
1 4x
1 4x2
0
arctg 4 x t + lim
arctg 4 x 0
= tlim
t
0
=
2
e x dx
2. 2 x
=
e 1
lim
=
t
=
t
=
=
t
lim
0
e x dx
e 2 x 1 +
e x dx
e2 x 1
0
0
e x dx
lim
+ t `
2x
e 1
t
0
(arc tg e x ) t +
t
e x dx
e2 x 1
0
lim
t
(arc tg e x ) t0
0
2 4
4
2
Soal-soal
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
84
Tentukan hasil pengintegralan berikut ini:
3
1.
0
dx
9 x2
Jawab
Karena integran diskontinu di x = 3, maka
3
0
3
dx
9 x
= lim
2
0
0
dx
9 x2
x
= lim arcsin
0
3
3
0
3
0
arcsin
arcsin
= lim
0
3
3
=
=
0
2
2
(90 o )
2.
2
sec x
dx
0
3.
2
cos xdx
1 sin x
0
1
4.
x ln xdx
0
Jawab
f(x) = x ln x diskontinu x = 0, sehingga
1
1
x ln xdx = lim
0
0
= lim
0
x ln xdx
0
1
1 2
1 2
2 ( x ln x 2 x )
0
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
85
1 1
1
1 2
(1 ln 1 12 (0 2 ln 0 0 2
= lim
0 2
2 2
2
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan) karena memuat ln 0
t
5.
e x dx
= lim
t
x
e dx
0
0
x
= lim e
t
t
0
1 1
0
= lim
t et
e
=0+1
=1
Jadi
e
x
dx
=1
0
6.
dx
x ln
2
0
7.
xe
x
x2
dx
0
8.
xe
x
dx
9.
x
3
e x dx
0
6
10.
9
11.
dx
x)2
(4
2
dx =
3 x
1
3
9
2
2
dx
dx
3 x
3 x
1
3
3
= lim
0
9
2
2
dx lim
dx , ATAU
0
3 x
3 x
1
3
a
9
2
2
dx lim
dx
z 3
3 x
3 x
z
= lim
a 3
1
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
86
= lim 2 ln 3 x
a 3
a
1
lim 2 ln 3 x z
9
z 3
= -2 ln 0 ln 2 2 ln( 6) ln 0
= tidak terdefinisi (tidak terintegralkan)
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
87
Kalkulus Integral-Dwi Purnomo
88