7integral tak wajar stt

Integral Tak Wajar

MA1114 KALKULUS I

Integral Tak Wajar
b

Dalam mendefinisikan integral tentu f ( x)dx sebagai limit jumlah
a
reiman ada dua syarat yang harus dipenuhi, yaitu :
a. Batas pengintegralan berhingga
b. Integran(f(x)) berhingga pada selang [a,b]
Jika paling kurang salah satu syarat diatas tidak dipenuhi maka
integral tentu disebut integral tak wajar
Jenis-jenis integral tak wajar
a. Integral tak wajar dengan batas pengintegralan tak hingga
b. Integral tak wajar dengan integran tak hingga

MA1114 KALKULUS I

a. Integral Tak Wajar , Batas Pengintegralan Tak Hingga

Definisi :
b

(i)

b

f ( x)dx  lim f ( x)dx



a  

b



(ii)

a

f ( x)dx lim f ( x)dx
b 

a

a

Jika limit diruas kanan ada dan berhingga, integral tak wajar
disebut konvergen, sebaliknya disebut divergen


c







f ( x ) dx  f ( x ) dx  f ( x ) dx

(iii)

 lim

c

b

f ( x ) dx
f ( x ) dx  blim



a   a

Jika

c

c

c







c



dan f ( x ) dxkonvergen,maka f ( x ) dx konvergen
f ( x ) dx
MA1114 KALKULUS I

Contoh Periksa kekonvergenan ITW


2

x
dx
a.  xe
4

b.

0
dx

2
  ( 2x  1)

c.


dx


2
  ( x  2x  5 )

Jawab :
a.

b

2
 1  x b

x
 x2
 e


lim
dx lim xe dx
 xe


b


b 
4 
2

4
4
2

 lim 
b 

1   b2
 1
 e  16   e  16
e
2

 2

1  16
Jadi integral tak wajar konvergen ke2 e
0
0 dx

0
dx
1



lim


lim
b. 

b   

b  
2
2
b 
2
(
2
x

1
)

(
2
x

1
)
(
2

x

1
)

b

1
 1
1
 
 lim  
b   2
2(2b  1)  2


Jadi integral tak wajar konvergen ke 1/2
MA1114 KALKULUS I

1



dx
dx
dx


c. 
 2
 2
2
x

2
x

5
1 x  2x  5
  ( x  2x  5 )  



 

1



b

dx
dx
 lim  2
 lim  2
a  
x  2 x  5 b  1 x  2 x  5
a
1

b

1
1
tan  1  x21   lim tan  1  x21 
a   2
b  2
a
1

 lim

1
1
1
 1 a 1
 lim  tan 1  tan  2    lim  tan  1  b21   tan  1 1 
a   2
b  2
1       1    

   
      
2  4  2  2  2 4 
2

2

Jadi integral tak wajar konvergen ke

MA1114 KALKULUS I

Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

  dx
a. 
2
0 4x


x dx
e. 
2 2
(
1

x
)
2

0
b. e 4 x dx
 


dx
f.
 2
  (x  16)

 dx
c. 
1 x

 xdx
g. 
x2
e

MA1114 KALKULUS I

1

d.

1

e x dx
2

x



dx
h. 
2
  x  2 x  17

b. Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Hingga
(i) Integran Tak Hingga di Ujung Selang
f ( x )  maka
Jika kontinu pada [a,b) danxlim

b
b

t

a

t b a

f ( x )dx  lim f ( x )dx

Jika kontinu pada (a,b] dan lim f ( x )  maka
x a

b

b

a

s a s

f ( x )dx  lim f ( x )dx

Jika limit ruas kanan ada, maka Integral tak wajar dikatakan
konvergen, sebaliknya dikatakan divergen

MA1114 KALKULUS I

(ii) Integran Tak Hingga di Titik Dalam Selang Pengintegralan
Jika f(x) kontinu pada [a,b], kecuali di c dengan a < c < b dan
lim f ( x)  maka
x c

b
c
b
t
b
 f ( x)dx  f ( x)dx   f ( x)dx  lim  f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t  c a
s  c s
a
a
c
II

I
b

Jika I dan II ada dan berhingga maka integral tak wajar
f ( x)dx
a

konvergen.

MA1114 KALKULUS I

Contoh Periksa kekonvergenan Integral Tak Wajar
1

ln x
 x dx
0

Jawab :
Karena fungsi
maka

f(x)

ln x
ln x
lim

tidak kontinu di x=0 dan 
x
x
x 0

1

1

ln x
ln x
1
2 1
dx

lim
dx

lim
(ln
x
)

t  0  x
t 0 2
t
x
0
t


 lim
t 0

1
0  (ln t ) 2  ( ) 2 
2





Integral tak wajar divergen

MA1114 KALKULUS I

Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar
2

x
1  x dx
0
Jawab
Fungsi

x
x
f ( x) 
diskontinu di x=1 danlim

1 x
x 1 1  x

2

1

2

x
x
x
dx

dx

dx



1 x
1 x
1 x
0
0
1
s

Karena

2

x
x
lim 
dx  lim 
dx
s 1
t1
1 x
1 x
0
t

s

x
s
lim
dx lim   x   ln | 1  x | 0 lim   s  ln | 1  s |  0 
s  1 
s 1
1 x
s  1
0
2

x
dx divergen
maka integral tak wajar 
1 x
0
MA1114 KALKULUS I

Integral takwajar bisa juga muncul dalam bentuk gabungan
dari dua jenis diatas, yaitu batas pengintegralan takhingga dan
integran tak hingga pada batas pengintegralan seperti contoh
berikut
Contoh Periksa kekonvergenan integral tak wajar

x
1  x dx
0
Jawab :
Integral diatas merupakan integral tak wajar karena
- batas atas integral tak hingga
- integran tak hingga di x = 1 yang terletak didalam selang
pengintegralan
sehingga
1

2









x
x
x
x
dx 
dx 
dx
1  x dx 
1 x
1 x
1 x
0
0
1
2



MA1114 KALKULUS I

s

2



x
x
x
lim 
dx  lim 
dx  lim 
dx
b  2 1  x
s  1 0 1  x
t  1 t 1  x
Karena
s

x
s
lim 
dx lim   x   ln | 1  x | 0 lim   s  ln | 1  s |  0 
s 1
s 1
s 1
1 x
0


x
dx divergen
Maka integral tak wajar 
0 1 x

Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut

1 dx
 13
 1x

1
x dx
xe

b.
a.
1
1
0
x dx
x dx
f.  2
e.  2
x 1
x  7x  10
2

1 dx
c. 
1 x

1

d.

0

1

g.

2

MA1114 KALKULUS I

x dx
2

x
1
2


3

h.

dx
1 x2

dx

x ln x
0

Soal-soal latihan
Periksa kekonvergenan integral tak wajar berikut
1

x dx
2

x
1
2

a.

0

1
x dx
xe
b. 
1

x dx
f.
e.  2
x  7x  10
2

1 dx
c. 
1 x

1

x dx
2

x
1
2

g.

MA1114 KALKULUS I

1 dx
 13
 1x

1

d.


0

3

h.

dx
1 x2

dx

x ln x
0