Interpolasi Definisi dan Macam macamnya

I . PENGERTIAN DAN TUJUAN INTERPOLASI
A. Pengertian
Interpolasi adalah proses pencarian dan penghitungan nilai suatu fungsi yang
grafiknya melewati sekumpulan titk yang diberikan. Titik-titik tersebut mungkin merupakan
hasil eksperimen dalam sebuah percobaan, atau diperoleh dari suatu fungsi yang diketahui.
B. Tujuan
adapun kegunaan lain dari interpolasi adalah untuk menaksir harga-harga tengah
antara titik data yang sudah tepat. Interpolasi mempunyai orde atau derajat.

II. MACAM-MACAM INTERPOLASI
PEMBAHASAN
A. Interpolasi Linier
Interpolasi linear atau interpolasi lanjar adalah interpolasi dua buah titik dengan
sebuah garis lurus. Misal diberikan dua buah titik, (x0,y0) dan (x1,y1). Polinom yang
menginterpolasi kedua titik itu adalah persamaan garis lurus yang berbentuk:
P ( x ) =a0 +a 1 x
Gambar dibawah ini memperlihatkan garis lurus yang menginterpolasi titik-titik (x0,y0) dan
(x1,y1).
Y

(x1,y1)

(x0,y0)
X
Gambar 1.1 Interpolasi Linier
Y
(x0,y0)

(x1,y1)
X
Gambar 1.2 Interpolasi Linier

Koefisien

a0

(x 0 , y 0 )

mensubstitusikan

a1

dan

dicari dengan proses substitusi dan eliminasi. Dengan

dan

( x 1 , y 1)

ke dalam persamaan

p1 ( x )=a0 +a1 x

diperoleh dua persamaan linear:
y 0=a0 +a1 x 0 . . . . . . . (1)

y 1=a 0+ a1 x 1 . . . . . . . (2)
Dari dua persamaan diatas, dengan eliminasi diperoleh:
a
(¿ ¿ 0+ a1 x 1)

y 0− y 1= ( a0 +a 1 x 0 )−¿
y 0− y 1=a1 x 0 −a1 x 1

x
¿
0−x
(¿
1)
⇔ y 0 − y 1=a1 ¿
⇔ a1 =

y 0− y 1
x 0−x 1

Substitusikan nilai a1 ke dalam persamaan (1), diperoleh:
y 0=a0 +a1 x 0

y 0− y 1
x
x 0−x 1 0

⇔ y 0 =a0 +

(

)

⇔ y 0 =a0 +

x 0 y 0 −x0 y 1
x 0 −x1

⇔ y 0 =a0 +

x 0 y 0 −x0 y 1
x 0 −x1

⇔ a0= y 0 −

x 0 y 0−x 0 y 1

x 0−x 1

⇔ a0 =

y 0 (x 0−x 1)−x0 y 0 + x 0 y1
x 0−x 1

⇔ a0 =

x 0 y 0 −x1 y 0−x 0 y 0+ x0 y 1
x 0−x 1

⇔ a0=

x 0 y 1−x 1 y 0
x 0−x 1

Dengan melakukan manipulasi aljabar untuk menentukan nilai
sebagai berikut:
p1 ( x )=a0 +a1 x

p1 ( x ) dapat dilakukan

p1 ( x ) =

x 1 y 0 −x0 y 1 y 1 – y 0
+
x
x1−x 0
x 1−x 0

p1 ( x ) =

x 1 y 0 −x0 y 1 + xy 1 – x y 0
x1 −x0

p1 ( x )=

x 1 y 0 −x0 y 1 + xy 1 – x y 0 +( x0 y 0−x 0 y 0)
x 1−x 0

p1 ( x )=

x 1 y 0 −x0 y 0−x 0 y 1+ xy 1 – x y 0 + x 0 y 0
x 1−x 0

x−x 0
¿
¿
¿ – y 0 ( x −x0 )
y 0 ( x1 −x0 ) + y 1 ¿
p1 ( x ) =¿
y
x−x 0
¿
¿
¿
(¿ ¿ 1− y 0 )¿
y 0 ( x1 −x0 ) + ¿
p1 ( x )=¿

y
x−x 0
¿
¿
¿
( ¿ ¿ 1− y 0 )¿
¿
p1 ( x )= y 0+ ¿
Dalam menentukan persamaan dari interpolasi linear juga dapat dilakukan melalui
Y
cara berikut:
Menentukan titik-titik antara dari 2 buah titik dengan menggunakan garis lurus.
P2 (x1,y1)
(x,y)

P1(x0,y0)

X

Gambar 1.3 Interpolasi Linier

Persamaan garis lurus yang melalui 2 titik P1 (x0,y0) dan P2 (x1,y1) dapat dituliskan dengan:
y− y 0 x−x 0
=
y 1 − y 0 x 1−x 0
Sehingga diperoleh persamaan dari interpolasi linear sebagai berikut:
y=

y 1− y 0
( x −x0 ) + y 0
x 1−x 0

Algoritma Interpolasi Linear
1.

Tentukan nilai

x 0 , y 0 , x1 , dan y 1 .

2.

Periksa apakah

x 0=x 1 . Jika ya, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai

fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah 3.
x .

3.

Masukkan nilai

4.

Periksa apakah min { x 0 , x 1 } ≤ x ≤ max { x 0 , x1 } . Jika tidak, maka masukkan
nilai

x

yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
P= y 0 +( x−x 0)

5.

Hitung

6.

Periksa apakah

7.

Tulis hasil

y 1− y 0
.
x 1−x 0

y 0= y 1 . Karena jika sama, maka akan diperoleh

P= y 0 .

y=P .

Contoh
1. Perkirakan atau prediksi jumlah penduduk Purworejo pada tahun 2005 berdasarkan
data tabulasi berikut:
Tahun
Jumlah Penduduk

1990
187.900

2000
205.700

Penyelesaian:
Dipunyai: x0 = 1990, x1 = 2000, y0 = 187.900, y1 = 205.700.
Ditanya: Prediksi jumlah penduduk Gunungpati pada tahun 1995.
Ingat :
y
x−x 0
¿
¿
¿
(¿ ¿ 1− y 0 )¿
¿
p1 ( x )= y 0+ ¿
Misalkan

x=1995

1995−1990
¿
¿
¿
(205.700−187.900) ¿
p1 ( 2005 )=187.900+¿
p1 ( 2005 )=196.800
Jadi, diperkirakan jumlah penduduk Purworejo pada tahun 1995 adalah 196.800 orang.
2. Dari data ln(9.0) = 2.1972, ln(9.5) = 2.2513, tentukan ln(9.2) dengan interpolasi linier
sampai 4 desimal. Bandingkan hasil yang diperoleh dengan nilai sejati ln(9.2)=2.2192.
Penyelesaian:
Dipunyai:
x 0=9.0, y 0=2.1972 .
x 1=9.5, y 1=2.2513 .
Ditanya : tentukan nilai ln(9.2) sampai 5 angka bena kemudian dibandingkan dengan
nilai sejati ln(9.2) = 2.2192.
Ingat:
y
x−x 0
¿
¿
¿
(¿ ¿ 1− y 0 )¿
¿
p1 ( x )= y 0+¿

9.2−9.0
¿
¿
¿
(2.2513−2.1972)¿
p1 ( 9.2 )=2.1972+¿
p1 ( 9.2 )=2.21884
Galat = nilai sejati ln(9.2) – nilai ln(9.2) hasil perhitungan dengan metode interpolasi
linear
Galat = 2.2192 – 2.21884 = 3,6 x 10-4 .
B. Interpolasi Kuadratik
Misal diberi tiga buah titik data,

( x 0 , y 0 ) , ( x 1 , y 1 ) , dan( x 2 , y 2 ) . Polinom yang

menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:
2
p2 ( x )=a0 +a1 x+ a2 x
Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentu parabola, seperti ditunjukkan dalam Gambar
2.4 dan Gambar 2.5
Y
x1,y1

y1

y2

y0

x2,y2

x0,y0
Y
x0

X

x1
x2
x1,y1
Gambar 2.1 Interpolasi Kuadratik

y1

Masih terdapat grafik berbentuk parabola yang lain, selain yang ditunjukkan pada
Gambar 2.1 diatas, namun harus diperhatikan bahwa untuk setiap nilai

xi

akan diperoleh

hanya sebuah nilai y2y i . Sehingga tidak mungkin kondisi grafiknya
x2,y2 seperti Gambar 2.2 di
bawah ini atau semacamnya.
y0

x0,y0
x0

x1

x2

X

Gambar 2.1 Bukan Interpolasai Kuadratik
p2 (x) ditentukan dengan cara berikut:

Menyelesaikan Polinom
1.

Substitusikan

(x i , y i ) ke dalam persamaan

p2 ( x )=a0 +a1 x i+ a2 x 2i

dengan i = 0,

1, 2. Diperoleh tiga persamaan dengan tiga buah parameter yang tidak diketahui
yaitu: a0 , a1 , dan a2 :
a0 + a1 x 0 +a 2 x 20= y 0
2
a0 + a1 x 1 +a2 x 1= y 1
2
a0 + a1 x 2 +a2 x 2= y 2
2.

Hitung

a0 , a1 , dan a2

dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi

Gauss.
Selain menggunakan metode eliminasi Gauss, menentukan

a0 , a1 ,

dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut:
y i+1 − y i
y i+2− y i +1
, F 12=
, dan
x i+1 −xi
y i+2− y i +1

a) Hitung

F01 =

F012 =

b) Hitung

P= y 1 + ( x−x i ) F01 +( x −xi )( x−x i+1 ) F 012

F12 −F 01
xi +2−x i

Algoritma Interpolasi Kuadratik
Untuk interpolasi kuadratik digunakan algoritma sebagai berikut :
1. Tentukan nilai x 0 , y 0 , x1 , y 1 , x 2 , dan y 2 .

dan

a2

2. Periksa apakah

x 0< x1 < x 2 . Jika tidak, maka kembali ke langkah 1 sebab nilai

fungsinya tidak terdefinisi dalam kondisi ini. Jika tidak, maka dilanjutkan ke langkah
3.
3. Masukkan nilai x .
4. Periksa apakah min { x 0 , x 1 , x 2 } ≤ x ≤max { x 0 , x1 , x2 } . Jika tidak, maka masukkan nilai
x yang lain. Jika ya, maka dilanjutkan langkah 5.
y 1− y 0
y −y
F −F 01
, F 12= 2 1 , dan F 012= 12
5. Hitung F01=
x 1−x 0
x 2−x1
x 2−x 0
6. Hitung

P= y 1 + ( x−x i ) F01 + ( x−x i ) (x−x i ) F 012

7. Periksa apakah

F012 =0.

Jika ya, maka persamaan yang dihasilkan linear. Jika tidak

maka persamaan yang dihasilkan merupakan persamaan kuadrat.
8. Tulis hasil

y=P .

Contoh :
1. Diberikan titik ln(8.0) = 2.0794, ln(9.0) = 2.1972, dan ln(9.5) = 2.2513. Tentukan nilai
ln(9.2) dengan interpolasi kuadratik.
Penyelesaian:
Diketahui: x 0=8.0, y 0=2.0794
x 1=9.0, y 1=2.1972
x 2=9.5, y 2=2.2513
Ditanya : Tentukan nilai ln (9.2).
Sistem persamaan yang terbentuk adalah:
a0 +8.0 a1+ 64.00 a2=2.0794
a0 + 9.0 a1+ 81.00 a2=2.1972

a0 + 9.5 a1+ 90.25 a2=2.2513
Untuk perhitungan secara manual, sistem persamaan diselesaikan dengan metode
eliminasi Gauss dengan langkah sebagai berikut:
Matriks yang terbentuk dari persamaan
a0 +8.0 a1+ 64.00 a2=2.0794

a0 + 9.0 a1+ 81.00 a2=2.1972
a0 + 9.5 a1+ 90.25 a2=2.2513

adalah:

[

1 8 64 2.0794
1 9 81 2.1972
1 9.5 90.25 2.2513

]

[

R 21(−1) 1 8 64 2.0794
0 1 17 0.1178
R 31(−1)
0 1.5 26.25 0.1719

[
[

1 0 −72 1.137
R12(−8)
0 1 17 0.1178
R 32(−1.5)
0 0 0.75 −0.0048

R 13(72) 1 0 0 0.6762
0 1 0 0.2266
R 23(−17)
0 0 1 −0.0064

]

R 31(

[

]

1 0 −72 1.137
1
) 0 1 17 0.1178
0.75
0 0 1 −0.0064

]

]

Menggunakan metode Eliminasi gauss menghasilkan
a0 =0.6762, a1=0.2266, a2=−0.0064

Polinom kuadratnya adalah:

.
2

p2 ( x )=a0 +a1 x+ a2 x
2

p2 ( 9.2 )=0.6762+0.2266 . ( 9.2 ) +−0.0064 .(9.2)

p2 ( 9.2 )=2.2192
2. Dalam suatu eksperimen fisika pergerakan sebuah benda pedat berbentuk parabola.
Dengan data sebagai berikut :
t (detik)
5
6,5
8

Y (m)
2,01
2,443
2,897

Dengan menggunakan interpolasi kuadratik perkirakan ketinggian bola pada saat
t=7 detik.
Penyelesaian:
Dipunyai data pergerakan suatu benda padat:
t (detik)
5
6,5
8

Y (m)
2,01
2,443
2,897

Dengan menggunakan interpolasi kuadratik akan diprediksi ketinggian bola saat
t=7 detik.
Sistem persamaan lanjar yang terbentuk adalah:
a0 +5,0 a 1+25,00 a2=2,01
a0 +6,5 a 1+ 42,25 a2=2,443

a0 +8,0 a1+ 64,00 a2=2,897
Penyelesaian sistem persamaan dengan menggunakan metode eliminasi Gauss

[
[
[

¿

]

[
[

]
]
]

1 5
25 2,01
1 5
25 2,01
1
R 2, R 1 (−1 )
R2
1 6,5 42,25 2,443
0 1,5 17,25 0,443
1,5
R 3, R 1 (−1 )
1 8
64 2,897
0 3
39 0,887
¿

]

( )

1 5 25 2,01 R 1, R 2 (−5 ) 1 0 −32,5 0,56667
1
0 1 11,5 0,28867
0 1 11,5 0,28867 ¿ R 3
4,5
R 3, R 2 (−3 )
0 3 39 0,887
1 0
4,5 0,021

]

[

1 0 −32,5 0,56667
1 0 0 0,71733
R 1, R 3(32,5)
0 1 11,5 0,28867
0 1 0 0,235
R 2, R 3(11,5 )
1 0
1 0,00467
1 0 1 0,00467

Diperoleh : a0 =0,71733, a1=0,235, a2=0,00467
Sehingga Polinom Kuadratnya adalah:
p2 ( x )=0,71733+ 0,235 x+0,00467 x

Sehingga

2

p2 ( 7 ) = 2,588

Jadi,diprediksi, pada t = 7 detik tinggi bola 2,588 m.

C. Interpolasi Spline

( )

Definisi : Suatu fungsi f (x) dinamakan suatu spline berderajat k jika
1. Domain dari S adalah suatu interval [a; b].
2. S; S0; :::; S(k�1) kontinu pada [a; b].
3. Terdapat titik-titik xi sedemikian sehingga a = x0 < x1 < ::: < xn = b dan juga S
adalah suatu polinomial berderajat k pada setiap [xi; xi+1].
Dengan kata lain, spline adalah potongan-potongan fungsi polinomial dengan turunanturunan memenuhi kendala-kendala kekontinuan tertentu. Ketika k =1, spline dinamakan spline linear. Ketika k =2 , spline dinamakan spline kuadratik. Ketika k =3,
spline dinamakan spline kubik.
C.1 Spline Linear
akan dicari suatu fungsi spline linear S ( x )

sedemikian sehingga S ( xi ) =( yi )

untuk 0 ≤i ≤ n . Diambil

{

S0 ( x ) ; x ϵ[x 1 , x 2 ]
Sx = S1 ( x ) ; x ϵ [ x1 , x2 ]
⋮⋮
Sn −1 ( x ) ; x ϵ [x n−1 , x n ]
Dengan setiap S i ( x )

adalah linier

Diperhatikan fungsi linear S i ( x ) . Garis ini melalui titik (x i , y i ) dan (x i+1 , y i +1) , sehingga kemiringan dari S i ( x ) yaitu
mi=

y i+1− y i
x i+1−x i

Kita dapat juga mengatakan bahwa garis tersebut melalui titik ( x i , y i ) dan
untuk sembarang
mi=

x ,(S ( x ) )
¿

x ∈[ xi , x+1 i ] , sehingga

S i ( x )− y i
x−x i

yang memberikan
S i ( x ) = y i+ mi ( x−x i )

¿ y i+

y i +1− y i
( x −x i ) (C .1 .1)
x i +1−x i

Contoh C.2
Buatlah interpolasi spline linier untuk data berikut:

x

0,0

0,1

0,4

0,5

0,75

1,0

y

1,3

4,5

2,0

2,1

5,0

3,0

Penyelesaian :

[ 0,0 ; 0,1 ] S0 ( x )=1,3+

4,5−1,3
( x−0 )=1,3+32 x
0,1−0

[ 0,1; 0,4 ] S 1 ( x )=4,5+

2,0−4,5
16 25
( x−0,1 )= − x
0,4−0,1
3
3

[ 0,4 ; 0,5 ] S 2 ( x )=2+

2,1−2,0
( x−0,4 )=1,6+ x
0,5−0,4

[ 0,5 ; 0,75 ] S3 ( x )=2,1+
[ 0,75 ;1 ] S 4 ( x )=5+

5,0−2,1
( x−0,5 ) =−3,7−11,6 x
0,75−0,5

3−5
( x−0,75 ) =11−8 x
1−0,75

Jadi spline adalah potongan linear, yaitu linear di antara setiap titik data.
Persamaan (C.1.1) dapat dituliskan kembali sebagai
S i ( x ) =ai x+b i ,i=0,1, … , n−1
dengan
ai =

y i +1− y i
dan bi = y i−a i x i
x i +1−x i

kekurangan utama spline linear adalah pada titik-titik data di mana dua spline bertemu,
kemiringannya berubah secara mendadak. Secara formal ini berarti bahwa turunan
pertama dari fungsi tidak kontinyu pada titik-titik tersebut. Kelemahan ini diatasi oleh
penggunaan polinomial spline orde yang lebih tinggi.
C.2 Spline Kuadratik
Tidak seperti spline linear, spline kuadratik tidak dide.nisikan sepenuhnya oleh nilainilai di

x i . Berikut ini kita perhatikan alasannya. Spline kuadratik didefnisikan oleh

S i ( x)=ai x2 +b i x +c i
Jadi terdapat 3 n parameter untuk mende.nisikan S ( x) .
Diperhatikan titik-titik data:
x0

x1

x2

yy

y1

y2

⋯

xn

yn
⋯
Syarat-syarat untuk menentukan 3 n parameter dijelaskan seperti berikut ini.

1. Setiap subinterval

[ x i , x i+1 ] untuk i=0,1,2, … ,n−1

berkaitan dengan S i (x) , yaitu :

memberikan dua persmaan

S i ( xi ) = y i dan Si ( x i+1 ) = y i+1
jadi, disini didapatkan 2 n persamaan
2. Syarat pada kontinuitas dari S ' (x) memberikan suatu persamaan tunggal untuk
setiap titik dalam x i , i=0,1,2, … , n−1 yaitu:
S ' i−1 ( x i )=S' i (x i)
Jadi dari sini dipunyai n−1 persamaan. Sekarang totalnya terdapat 3 n−1
persamaan, tetapi karena terdapat 3 n parameter yang tidak diketahui maka sistem
mempunyai kekurangan ketentuan.
3. Pilihan-pilihan yang mungkin untuk melengkapi kekurangan ketentuan yaitu
S ' ( x 0 ) =0 atau S ( {x} rsub {0} )=
'
'
Sekarang dimisalkan z i=S i ( x i ) . karena S i ( xi ) = y i , S i ( x i )=z i , dan
'
S i ( x i+1 ) =z i+1 , maka kita dapat mendefinisikan :
z −z
2
S i ( x ) = i+1 i ( x −xi ) + z i ( x−x i )+ y i C .2 .1
2 ( x i+1−x i )
Selanjutnya, dengan pengambilan x=x i+1 diperoleh
z −z
z −z
2
y i+1=S i ( x )= i+1 i ( x−x i ) + z i ( x−x i ) + y i
y i+1− yi = i+ 1 i ( x−x i ) + z i ( x−x i )
2 ( xi +1−x i )
2
z i+ 1−z i
( x−x i )
2
Jadi, kita dapat menentukan
yi +1− y i
z i+1=2
−z i
xi +1−x i
y i+1− yi =

z i+1 dari z i :

Contoh C.2
Buatlah interpolasi spline kuadratik untuk data berikut ini
x

0,0

0,1

0,4

0,5

y

1,3

4,5

2,0

2,1

dengan ketetapan z o=0
Penyelesaian :
pertama-tama hitung nilai z i
y −y
4,5−1,3
z 1=2 1 0 −z 0=2
−0=64
x 1−x 0
0,1−0

z 2=2

y 3− y 2
2,1−2 242 248
−z 2=2
+
=
x 3−x 2
0,5−0,4 3
3
jadi, fungsi spline kuadratik S ( x) :
z 3=2

y 2− y 1
2−4,5
−242
−z 1=2
−64=
x 2−x 1
0,4−0,1
3

S0 ( x) =

z 1−z 0
2
( x−x 0 ) + z 0 ( x−x 0 ) + y 0
2 ( x 1−x 0 )

¿ 320 x 2 +1.3 untuk 0 ≤ x ≤ 0,1

S 1 ( x )=

z 2−z 1
2
( x−x 1 ) + z1 ( x−x 1 ) + y 1
2 ( x 2−x 1)

¿−

¿−

2170
( x −0,1 )2+ 64 ( x−0,1 ) + 4,5
9

2170 2 1010
194
x +
x+
, untuk 0,1 ≤ x ≤0,4
9
9
45

S 2 ( x )=

z 3−z 2
2
( x−x 2 ) + z 2 ( x−x 2 ) + y 2
2 ( x 3−x 2 )

¿

2450
242
( x−0,4 )2−
( x−0,4 )+2
3
3

2450 2 2202
4948
x−
x+
,untuk 0,4 ≤ x ≤ 0,5
3
3
30
persamaan C.2.1 dapat ditulis kembali sebagai
S i ( x)=ai x2 +b i x +c i ,i=0,1,2,… , n−1
dengan
z −z
ai = i+1 i ,b i=z i−2 ai xi , c i=a i x i2−z i x i + y i
2 ( x i+1−x i )
¿

C.3 Spline Kubik
Diketahui suatu fungsi f ( x) yang dibatasi oleh interval a dan b, dan memiliki
sejumlah titik data a=x 0< x 1